08 bài giảng số 1 ma trận và các phép toán trên ma trận

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức Ma trận định thức Chương 2: Bài giảng số 01 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 1: Cho trước hai số nguyên dương m, n , ta gọi ma trận có n hàng m cột với hệ số trường K (R C) bảng số gồm m  n phần tử aij K với  i  m,1  j  n kí hiệu  a11 a A =  21    am1 a12 a22  am  a1n   a2n  viết tắt A = aij mn     amn  Nhận xét: i) Ma trận A gọi ma trận cấp m  n, aij gọi phần tử dòng thứ i cột thứ j ma trận ii) Nếu A có số dòng số cột ta nói A ma trận vuông cấp n Khi phần tử aii với i = 1, 2, …, n gọi phần tử đường chéo ma trận A iii) Ma trận không, kí hiệu O ma trận mà tất phần tử ma trận Ma trận đối ma trận A ma trận có dạng  aij mn kí hiệu – A Ma trận nhau: Hai ma trận A = aij mn B = bij mn gọi aij = bij với i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà tất phần tử đường gọi ma trận đường chéo, ta viết:  a11 0 a 22 A=     0  0       ann  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức Đặc biết tất aii =1 với i = 1, 2, …, n ma trận gọi ma trận đơn vị kí hiệu In Ma trận tam giác: Ma trận tam giác trên: ma trận A= ( aij ) n i > j aij  hay A có dạng:  a11 a12 0 a 22     0     a1n  a2 n    ann  Ma trận tam giác dưới: ma trận A= ( aij ) n mà i< j aij  hay A có dạng:  a11 a  21    an1 a22  an  0       ann  Ma trận hàng: ma trận có dòng n cột: a11 a12  a1n   b11  b  Ma trận cột: ma trận có n dòng cột:  21      bn1  Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A= aij mn , ta đổi chỗ dòng thứ i thành cột thứ i với i = 1, 2, …,m ta ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu là:  a11 a t A =  12    a1n a21 a22  a2n  am1   am      amn  Hay At = a ji nm Ma trận chuyển vị A có cấp nm Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức 0 1  Ví dụ 1: Ma trận A =   2 At =    1  3 0     Ma trận đối xứng: Ma trận A= ( aij ) n vuông cấp n gọi đối xứng At = A hay aij  a ji với i, j = 1, 2, …, n Ma trận đối xứng có dạng  a11 a A =  12    a1n a12 a22  a2 n     a1n  a2 n    ann    2 Ví dụ 2: Ma trận A =   ma trận đối xứng cấp    1 Ma trận phản đối xứng: Ma trận A= ( aij ) n vuông cấp n gọi phản đối xứng At = -A hay aij   a ji với i, j = 1, 2, …, n Ma trận phản đối xứng có dạng:   a A =  12      a1n a12   a2n  a1n   a2 n      0 1.2 Các phép toán tập ma trận Ta kí hiệu tập ma trận cấp mn với hệ số trường K có dạng Mmn(K), ta định nghĩa phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số sau: Phép cộng: Cho hai ma trận cấp mn: A = aij mn B = bij mn , ta định nghĩa A + B ma trận C cấp m  n có dạng: C = aij  bij mn Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức    1    0 1  3    4   5  7  2       Ví dụ 3: Phép nhân: Tích ma trận A = aij mn với số   K ma trận có dạng A  (a i j ) mn Ví dụ 4: 2  1   12   3  5     10 4  8    12 16 Các tính chất: Cho A, B, C ma trận cấp, ta dễ dàng chứng minh tính chất sau: i) ii) iii) A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A + O = O + A = A, A – A = O iv) v)  (A + B) =  A +  B 1.A = A vi) 0.A =O vii)  O =O viii)  ( A)  ( ) A Nhận xét: Ta kí hiệu tập ma trận cấp m  n trường K M m  n (K), M mn (K) với hai phép toán cộng nhân lập thành không gian véc tơ trường K ( Khái niệm không gian véc tơ định nghĩa chương 3) 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Các phép biến đổi sau ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp: i) Đổi chỗ hai dòng hai cột ma trận ii) Nhân tất phần tử dòng cột với số khác không iii) Cộng vào phần tử dòng (hoặc cột) phần tử tương ứng dòng (cột) sau nhân với số 1.4 Phép nhân hai ma trận Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức   Cho hai ma trận A = aij mn   B = b jk np Định nghĩa 2: Tích hai ma trận A B ma trận C = cik mp cấp mp mà phần tử cik n xác định bởi: cik   aij b jk với i = 1, 2, …,m k = 1, 2, …, p j 1 Hay viết cik  ai1  b1k  b   ain   k  , tức phần tử dòng thứ i, cột thứ k C tích vô       bnk  hướng véc tơ dòng thứ i A với véc tơ cột thứ k B Ví dụ 5:   Cho hai ma trận A =  , B =   4 1   0  ,     5 Phần tử c23 ma trận tích AB tích vô hướng véc tơ dòng thứ hai ma trận A véc tơ 1 cột thứ ma trận B, ta có c23 = 2  4 2 = -6 2 AB ma trận có dạng: 1       =   16  22  AB =         4   5 6  12   22   Nhận xét: i) Điều kiện để thực phép nhân ma trận A với B số cột ma trận A số dòng ma trận B ii) Ma trận A ma trận cấp n, I ma trận đơn vị cấp n, ta có A.I = A Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức iii) Nếu thực phép nhân A B không suy phép nhân B với A, trường hợp thực phép nhân B với A thi nói chung AB  BA, tức phép nhân hai ma trận tính chất giao hoán iv) Nếu A ma trận vuông cấp n ta có tích n ma trân A kí hiệu A.A…A = An Các tính chất phép nhân hai ma trận: Cho ma trận A = aij mn , B = b jk np , C = ckl  pq , D = d ik np ta có tính chất sau: i) (AB)C = A(BC) ii) (AB)t = BtAt iii) A(B + D) = AB + AD Đa thức ma trận nghiệm Cho đa thức P(x) = anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0 A ma trận vuông cấp n, ta gọi P(A) = anAn + an-1An-1 +…+a1A + a0In đa thức ma trận theo biến A Nếu tồn ma trận A cho P(A) ma trận O ta nói A nghiệm đa thức P(A) 1 2   Ví dụ 6: Cho f(x) = 2x +3x +5 ma trận A =   Ta có 4 1    28 15 16    f(A) = 2A + 3A + 5I3 =  19 36 15   30 19 28    1.5 Vành ma trận vuông Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức Ta kí hiệu tập ma trận vuông cấp n trường K Mn(K) Định lý 1: Tập Mn(K) với phép toán cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số trường K vành có đơn vị Chứng minh: Giả sử A, B, C ma trận vuông cấp n trường K, ta dễ chứng minh tính chất sau: Đối với phép cộng Mn(K) nhóm giao hoán Đối với phép nhân, ta có: (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (B + C)A =BA + CA A.I = I A = A Từ kết luận suy (Mn(K), +,  ) vành có đơn vị I Nhận xét: Vành Mn(K) nói chung không vành giao hoán không vành nguyên Tính chất 1: Cho A, B  Mn(K)   K, ta có  (AB) = (  A)B = A(  B) 1.6 Ma trận nghịch đảo Tính chất 2: Cho ma trận vuông A cấp n, ta có A.In = InA = A Câu hỏi đặt là: Nếu cho ma trận vuông A cấp n có tồn ma trận vuông B cấp n cho AB = BA = In Định nghĩa 3: Một ma trận vuông A cấp n nói khả nghịch tồn ma trận vuông B cấp n cho AB = BA = In Trong trường hợp ta nói B ma trận nghịch đảo A kí hiệu B = A-1 A khả nghịch hay ta nói A có nghịch đảo Tính chất 3: Giả sử ma trận vuông A cấp n khả nghịch ma trận A-1 Chứng minh: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức Giả sử B ma trận nghịch đảo A Thì ta có AB = BA = In, từ suy A-1 =A-1In =A-1(AB) = (A-1A)B = InB = B Tính chất 4: Giả sử A B ma trận khả nghịch cấp n, ta có AB khả nghịch (AB)-1 = B-1A-1 Chứng minh: Ta có (AB)(AB)-1 = A(B(B-1)A-1) =A((BB-1)A-1) = A(InA-1) = AA-1 = In Tương tự ta có (BA)-1(BA) = In (đpcm) Tính chất 5: Nếu A ma trận khả nghịch cấp n (A-1)-1 = A Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo Giả sử ma trận A vuông cấp n ma trận khả nghịch, ta tìm ma trận A-1 phương pháp Gauss sau: Viết thêm vào ma trận A ma trận In để có dạng (A | In) Dùng phép biến đổi sơ cấp ma trận để biến đổi ma trận (A | In) dạng (I | B) Khi ma trận B thu ma trận A-1 cần tìm  1 2   Ví dụ 7: Xét ma trận A =  3    0   Giải: Để tìm A-1, ta xét (A | I3)  1 0   Ta viết (A | I3) =  3   0 1   Nhân dòng với -3 cộng vào dòng 2, sau nhân dòng với cộng vào dòng ta có: 0 1   0    0 0   Nhân dòng với 3, sau nhân dòng với cộng vào dòng ta có: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức 0 1   0    0 0   3   Nhân dòng với sau cộng dòng dòng vào dòng ta có:  3 3   0    0 0   3   Nhân dòng với -1 cộng vào dòng ta có 9  3     3 0  0     Nhân dòng với 1 , dòng với  dòng với  ta có 3 1 1 0    1 0  /  0  /  1   1 3   Vậy ma trận nghịch đảo A A =   /    /  1   -1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ma trận sau:  5   A = 1 4 , B =  1   1  1  2   , C =  9   3  1 4  3 ,D= 5   1 7    2 1 0   Tính tất tích ma trận Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận định thức Bài 2: Trong trường hợp sau xác định tích AB BA trường hợp AB = BA  3  B =  5 a) A =    1   3  1 1   B = b) A =      1  B = 3  c) A =  2 1    6 1 5     4   12   4    d) A =    B =  2    2 0    0   0  1   Bài 3: Cho đa thức f(x) = 3x2- 2x -3 Hãy tính đa thức f(A-I) sau với  1 1   1 1   b) A =   1 1     1 1  1   a) A =    1 2      5  tìm  ,  ,   R cho ma trận ma trận   Bài 4: Tính giá trị A2 biết A =  I   A  A không Bài 5: Chứng minh A B ma trận mà I – AB khả nghịch nghịch đảo I – BA cho công thức ( I – BA )-1 = I + B( I – AB)-1A Bài 6: Cho ma trận vuông A thoả mãn điều kiện A2 –A + I = Chứng minh ma trận A khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo A Bài 7: Hãy tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com  1 1   a)   1  0 1   1 a b  c    e) 1 b a  c  1 c a  b    Khóa học: Ma trận định thức 1  2   b)   2 1   2  1 f)   1  1 2   c)  1  0  4    4   d)    3      5      g)  2       1   5  1 2   Bài 8: Giải phương trình ma trận sau:  1 1   1 1  a) X   1 =      0 1    1  1   b)   1  X = 1 1      2     1   3   Bài 9: Tìm ma trận X thỏa mãn điều kiện 1 1  1 1 a) X       1   3 1    1   0      b) X  1    0   3   1      2 1   Bài 10: Cho ma trận A  Tính A n   0 2   Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục [...]...  1 1 1   1 0 1  a) X  1  1 1 =  2 1  2    0 0 1    1 1  1   b)  1  1 1  X =  1 1 1     1 0  1 2    2  3 1 1  0 1  1 3   Bài 9: Tìm các ma trận X thỏa mãn điều kiện 1 0 1  1 2 1 a) X  0 1 0      1 1 1   3 0 1    1 2 1   0 0 1      b) X  2 1 0    1 0 0   1 3 1   0 1 1      2 1 1   Bài 10 : Cho ma trận A  0 2 1. ..http://baigiangtoanhoc.com  1 1 1   a)  1  1 1  0 0 1   1 a b  c    e) 1 b a  c  1 c a  b    Khóa học: Ma trận định thức 1 2  2   b)  1 5 3  2 6 1   2  1 f)  2  1  5 2 4 3 8 3 7 5 1 5 2   c)  1 1 7  0  3 4    2 3 4   d)  3 4 2   2 3 3    3  2 1  5    2 5  2 3  g)  0 2 1 0     1  1 0  1   5  1 2  3  Bài 8: Giải các phương trình ma trận. .. 1   0 0 1      b) X  2 1 0    1 0 0   1 3 1   0 1 1      2 1 1   Bài 10 : Cho ma trận A  0 2 1 Tính A n   0 0 2   Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên toán Học viện Quản lý Giáo dục ...      ann  Ma trận hàng: ma trận có dòng n cột: a 11 a12  a1n   b 11  b  Ma trận cột: ma trận có n dòng cột:  21      bn1  Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A= aij mn , ta...   1   5  1 2   Bài 8: Giải phương trình ma trận sau:  1 1   1 1  a) X   1 =      0 1    1  1   b)   1  X =  1 1      2     1   3   Bài. .. học: Ma trận định thức Đặc biết tất aii =1 với i = 1, 2, …, n ma trận gọi ma trận đơn vị kí hiệu In Ma trận tam giác: Ma trận tam giác trên: ma trận A= ( aij ) n i > j aij  hay A có dạng:  a11