01 bài giảng số 1 dạng song tuyến tính, dạng toàn phương và các dạng bài tập

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Bài giảng số Dạng song tuyến tính dạng toàn phương I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 1.1: Cho E không gian véc tơ thực Ánh xạ  : E  E  E gọi dạng song tuyến tính E nếu: a)  ( u   u ', v)   (u , v)   (u ', v ) với  ,   ,  u , u ', v  E ; b)  (u ,  v   v ')   (u , v)   (u , v ') với  ,   R,  u , v, v '  E Trong trường hợp  (u , v)   (v, u ) ta nói  song tuyến tính đối xứng E Ma trận dạng song tuyến tính Gọi e1 , e2 , , en  sở không gian véc tơ thực E Giả sử  song tuyến tính E, ma trận  sở e1 , e2 , , en  có dạng:   (e1 , e1 )  (e1 , e2 )   (e1 , en )    (e , e )  (e , e )   (e , e )  2 2 n             (en , e1 )  (en , e2 )   (en , en )  Nếu  song tuyến tính đối xứng E ma trận  sở E ma trận đối xứng Định nghĩa 1.2: Một dạng toàn phương n biến x1 , x2 , , xn biểu thức có dạng: n n  c x x ij i j , cij   với i, j  1, 2,, n thoả mãn i  j i 1 j 1 Ta viết dạng toàn phương dạng ma trận xtAx  x1  Trong x     A   aij n , với aij xác định sau: x   n Nhận xét 1.3:  i  j cij  1 aij   cij i  j 2 1  c ji i  j dễ thấy A ma trận đối xứng cấp n, A gọi ma trận dạng toàn phương Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Định nghĩa 1.4: Hạng ma trận dạng toàn phương gọi hạng dạng toàn phương Dạng toàn phương gọi không suy biến ma trận không suy biến Định nghĩa 1.5: Một dạng toàn phương x t Ax xác định dương x t Ax  với x  n Mệnh đề 1.6: Một dạng toàn phương x t Ax gọi xác định dương tất giá trị riêng ma trận đối xứng A dương Mệnh đề 1.7: (Tiêu chuẩn Sylvester) Điều kiện cần đủ để dạng toàn phương xác định dương tất định thức ma trận dương Định nghĩa 1.8: Dạng toàn phương x t Ax gọi dạng tắc tất aij  với i  j Nói cách khác dạng toàn phương gọi dạng tắc có dạng: a11 x12  a22 x22    ann xn2 Các phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange Xét dạng toàn phương xtAx = n a ij xi x j , có hai trường hợp sau: i , j 1 Trường hợp 1:  aii  , không tính tổng quát, giả sử a11  , ta có n a n x x  a11 ( x12  a12 x1 x2    a1n x1 xn )  ij i j i , j 1 a ij xi x j i , j 2  a11[ x12  2(a12 x2    a1n xn ) x1  (a12 x2    a1n xn ) ] n + a xx ij i j - a11 (a12 x2    a1n xn ) i , j 2  a11 ( x1  a12 x2    a1n xn )2  g ( x2 , , xn ) Dùng phép biến đổi không suy biến:  y1  x1  a12 x2    a1n xn y  x2        yn  xn Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Ta viết dạng toàn phương dạng n a11 y12  g ( y2 ,  yn )  a11 y12  b y y ij i j i , j 2 n Nếu bii  , lặp lại trình dạng toàn phương b yy ij i j i , j 2 Cứ tiếp tục ta thu dạng tắc: 1t12  2t22    ntn2 Trường hợp 2: Nếu aii  0, i  1, 2, , n , tồn aii  đặt: xi  x j   yi   xi  yi  y j    x j  yi  y j  y  xi  x j  j dùng phép biến đổi:  xi  yi  y j   x j  yi  y j x  y , k  i, j  k k n ta đưa dạng toàn phương ban đầu dạng: a11 y12   bij yi y j i , j 2 Lặp lại trình trường hợp 1, ta đưa dạng toàn phương cho dạng tắc Phương pháp Jacobi Phương pháp Jacobi áp dụng tất định thức ma trận dạng toàn phương khác không Cho dạng toàn phương x t Ax  n a xx ij i j i , j 1 Giả sử tất định thức 1 ,  , ,  n ma trận A dạng toàn phương khác không Khi tồn phép biến đổi tuyến tính không suy biến biến có dạng:  x1  y1   21 y2   31 y3     n1 yn x  y2   32 y3     n yn             xn  yn Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide n Chuyển dạng toàn phương cho dạng tắc:  j y 2j (*) j 1 với 1  1;  j  j , j  2, , n  j 1 Các hệ số  ij phép biến đổi tuyến tính xác định công thức:  ij  (1)i  j  j 1i ,  j 1  j 1i định thức ma trận A nằm giao điểm hàng ma trận với số 1, 2, , j  cột với số 1, 2, , i  1, i  1, , j Phương pháp trực giao hoá Các bước đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp trực giao hoá: Bước 1: Viết ma trận A dạng toàn phương tìm giá trị riêng A Bước 2: Tìm véc tơ riêng trực chuẩn tương ứng với giá trị riêng tìm Bước 3: Lập ma trận trực giao P có cột véc tơ riêng tìm bước dùng phép biến đổi x = Py, thay vào dạng toàn phương ta đưa dạng toàn phương dạng tắc với hệ số giá trị riêng II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Trong không gian Euclide  , cho biểu thức:  ( x, y)  x1 y1  3x2 y3  x3 y1  x3 y3 (1) 1) Chứng minh biểu thức (1) xác định dạng song tuyến tính  2) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở: v1 (1, 0, 0), v2 (1,1, 0), v3 (1,1, 1) Giải :  x1   y1   z1  1) Gọi x   x2  , y   y2  , z   z2  véc tơ  ,  ,    , ta có : x  y  z   3  3  3  ( x   y, z )  2( x1   y1 ) z1  3( x2   y2 ) z3  4( x3   y3 ) z1  ( x3   y3 ) z3   (2 x1 z1  3x2 z3  x3 z1  x3 z3 )   (2 y1 z1  y2 z3  y3 z1  y3 z3 )   ( x, z )   ( y , z ) Tương tự ta có  ( x,  y   z )   ( x, y )   ( x, z ) Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Vậy  dạng song tuyến tính  2) Ma trận dạng song tuyến tính  sở {v1, v2, v3} có dạng:   (v1 , v1 )  (v1 , v2 )  (v1 , v3 )   2    (v , v )  (v , v )  (v , v )    2 1 2 2       (v , v )  (v , v )  (v , v )   6   3 3    Ví dụ 2: Trong không gian Euclide  , xét dạng toàn phương x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3 theo biến x1 , x2 , x3  x1  1) Viết dạng toàn phương theo dạng x t Ax x   x2  , A ma trận đối xứng x   3 với hệ số thực 2) Áp dụng trình trực giao hoá ma trận A 3) Tìm phép biến đổi x = Py, P ma trận khả nghịch để dạng toàn  y1  phương viết dạng ytDy với y   y2  D ma trận dạng chéo với hệ số y   3 thực 4) Dạng toàn phương có xác định dương không? Hãy khẳng định điều kiện giá trị riêng theo chứng minh câu (3) Giải: 1) Ma trận dạng toàn phương có dạng 2 1 A   1  1 1   Vậy dạng toàn phương: x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3 = x t Ax 2) Phương trình đặc trưng ma trận A có dạng: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide 2 A   I3   1  1 0 1   (1   )[(1   )(2   )  1]  (1   )     (1   )(  3 )        Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: 2 x1  x2  x3   x1   x3  0   x1  x2  x  x3 x  x    1 véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng u1     1   Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  x1  x2  x3   x1   x      x   x3 x 0   0 véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng u2   1   1   Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  x1  x2  x3   x1  x3  0  x1  x2  x  x3 x  x   0 Vậy véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng u3   1 1   Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Hệ véc tơ u1 , u2 , u3  hệ trực giao, trực chuẩn hoá véc tơ ui ( i  1, 2, ) cách đặt    ui  vi  ta có hệ véc tơ trực chuẩn { v1   ui         Đặt P       Khi đó: 1 3 1 2 1               1  , v  , v    2 3     1         3  2     } 6    6    P ma trận trực giao Vậy P 1  P t     6 0 0 P t AP    0 3       3) Bằng cách đặt x  Py       1 3 1 2   y  1   y2 ,     y  3  6  x   y  y3 1   1  ta có :  x2  y1  y2  y3   1 y1  y2  y3  x3   Thay vào dạng toàn phương biến đổi ta đưa dạng tắc: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide  0  y1    y2  y y t Dy   y1 y2 y3    y 2    0  y     4) Vì ma trận A có giá trị riêng không nên theo mệnh đề 1.6 dạng toàn phương không xác định dương Ví dụ 3: Dùng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương sau dạng tắc: 1) x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 (1) 2) x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 (2) Giải: 1) x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3  [ x12  x1 ( x2  x3 )  ( x2  x3 ) ]  x22  x2 x3  x32  ( x2  x3 )  ( x1  x2  x3 )  x32  y1  x1  x2  x3  x3  y3  Suy dạng tắc dạng toàn phương (1) : y12  y32 Dùng phép đặt 2) Biến đổi dạng toàn phương (2), ta có: 4 x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3  5[ x12  x1 ( x2  x3 )  ( x2  x3 ) ] 25 2 x22  x32  x2 x3  ( x2  x3 )  5[ x1  ( x2  x3 )]2  x22  x32  x2 x3 5 5 x2  5[ x1  ( x2  x3 )]2  ( x22  x2 x3  )  x32 5 x  5[ x1  ( x2  x3 )]2  ( x2  )  x32 5 3 Đặt:   y1  x1  x2  x3   x2  x3  y2   x3  y3   Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide dạng toàn phương (2) đưa dạng tắc sau: 5 y12  y22  y32 Ví dụ 4: Cho dạng toàn phương x12  x22  x32  x1 x3 (3) Dùng phương pháp Jacobi, tìm phép biến đổi đưa dạng toàn phương (3) dạng tắc Giải: 3 1 Ma trận dạng toàn phương là: A     3   dễ thấy định thức 1  3,   6,   16 khác không nên tồn phép biến đổi đưa dạng toàn phương (3) dạng tắc :  y i i i 1 Trong đó: 1  1  ,   2      1 2  x1  y1   21 y2   31 y3  Phép biến đổi:  x2  y2   32 y3 x  y3  y12  y22  y32 Các hệ số phép biến đổi xác định sau: đưa dạng toàn phương dạng tắc:  21  0 11    0,  31  21     32  22  0 1 2 2   x1  y1  Vậy phép biến đổi phải tìm là:  x2  x    Ví dụ 5:  y3 y2 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục y3 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide Các dạng toàn phương sau có phải dạng toàn phương xác định dương không? Hãy tìm hạng dạng toàn phương 1) x12  x22  x32  x1 x2  x2 x3  14 x3 x1 ; 2) x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 Giải 1) Ma trận dạng toàn phương có dạng: 6 7 A   1  7 9   Dễ thấy   nên dạng toàn phương không xác định dương Để tìm hạng dạng toàn phương ta tìm hạng A Vì     nên hạng ma trận A hạng dạng toàn phương 2) Ma trận dạng toàn phương có dạng:  2 1 A   2 1  1 1    Dễ thấy định thức 2 1 2 1  6,    32,   2 1  132 dương nên dạng toàn 2 1 1 phương xác định dương hạng ma trận A 3, hạng dạng toàn phương Ví dụ 6: Tìm điều kiện tham số m để dạng toàn phương sau x  y  z  2mxy  xz xác định dương Giải Ma trận dạng toàn phương là: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian Euclide  m 1 A   m   3   Dạng toàn phương cho xác định dương ma trận A xác định dương, tức là: 2   1  5   m    2  m    3   5  3m    III Bài tập tự giải Bài 1: Trên  cho biểu thức:  ( x, y )  x1 y2  5x1 y3  x2 y1  x2 y3  x3 y3 (1) 1) Chứng minh biểu thức (1) xác định dạng song tuyến tính  2) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở : {v1 (1, 1, 0), v2 (1, 0,1), v3 (0, 1,1)} Bài 2: Hãy đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi phương pháp trực giao hoá: 1) x12  x22  x32  x1 x3 ; 2) x12  x22  x32  x1 x3  x2 x3 ; 3) x12  x22  x32  x1 x2  x2 x3 Bài 3: Tìm ma trận xác định xem dạng toàn phương sau xác định dương ? 1) x12  x22  3x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 ; 2) x12  x22  x32  x42  x2 x4 Bài 4: Tìm ma trận hạng dạng toàn phương sinh dạng song tuyến tính sau: 1) f ( x, y )  x1 y1  x1 y2  3x2 y2  x2 y3  x3 y2 ; 2) f ( x, y )  x1 y2  x1 y3  x2 y2  x2 y3  x3 y3 Bài 5: Hãy tìm giá trị tham số a để dạng toàn phương sau: x12  x22  x32  2ax1 x2  x1 x3  x2 x3 xác định dương Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục [...]... trận của dạng song tuyến tính đối với cơ sở : {v1 (1, 1, 0), v2 (1, 0 ,1) , v3 (0, 1, 1)} Bài 2: Hãy đưa các dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc bằng 3 phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và phương pháp trực giao hoá: 1) 3 x12  2 x22  3 x32  2 x1 x3 ; 2) 3 x12  5 x22  4 x32  4 x1 x3  4 x2 x3 ; 3) x12  5 x22  x32  4 x1 x2  6 x2 x3 Bài 3: Tìm ma trận và xác định xem dạng toàn phương. .. dương ? 1) 3 x12  6 x22  3x32  4 x1 x2  8 x1 x3  4 x2 x3 ; 2) 2 x12  x22  2 x32  x42  2 x2 x4 Bài 4: Tìm ma trận và hạng của dạng toàn phương sinh bởi các dạng song tuyến tính sau: 1) f ( x, y )  5 x1 y1  4 x1 y2  3x2 y2  6 x2 y3  x3 y2 ; 2) f ( x, y )  2 x1 y2  6 x1 y3  x2 y2  x2 y3  5 x3 y3 Bài 5: Hãy tìm giá trị của tham số a để dạng toàn phương sau: x12  x22  5 x32  2ax1 x2... Euclide  2 m 1 A   m 1 0   1 0 3   Dạng toàn phương đã cho xác định dương khi và chỉ khi ma trận A là xác định dương, tức là: 2  0  1  0 5 5   2 m  2  0  2  m  0   3 3 2   0 5  3m  0  3  III Bài tập tự giải Bài 1: Trên  3 cho biểu thức:  ( x, y )  4 x1 y2  5x1 y3  8 x2 y1  6 x2 y3  x3 y3 (1) 1) Chứng minh biểu thức (1) xác định một dạng song tuyến tính trên... 3x2 y2  6 x2 y3  x3 y2 ; 2) f ( x, y )  2 x1 y2  6 x1 y3  x2 y2  x2 y3  5 x3 y3 Bài 5: Hãy tìm giá trị của tham số a để dạng toàn phương sau: x12  x22  5 x32  2ax1 x2  2 x1 x3  4 x2 x3 là xác định dương Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... nghĩa 1. 8: Dạng toàn phương x t Ax gọi dạng tắc tất aij  với i  j Nói cách khác dạng toàn phương gọi dạng tắc có dạng: a 11 x12  a22 x22    ann xn2 Các phương pháp đưa dạng toàn phương dạng. ..  x3 y3 (1) 1) Chứng minh biểu thức (1) xác định dạng song tuyến tính  2) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở: v1 (1, 0, 0), v2 (1, 1, 0), v3 (1, 1, 1)  Giải :  x1   y1   z1  1) Gọi x... hạng dạng toàn phương 2) Ma trận dạng toàn phương có dạng:  2 1 A   2 1   1 1    Dễ thấy định thức 2 1 2 1  6,    32,   2 1  13 2 dương nên dạng toàn 2 1 1 phương