Bài giảng số 1: Khái niệm cơ bản về véc tơ và các dạng bài tập

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh HóaA. b a.[r]

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b a

A

D C

B o

Bài giảng số 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng

+ Vectơ có điểm đầu (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B

kí hiệu ( đọc vectơ AB)

+ Một vectơ xác định kí hiệu a b x y   , , , ,

(Chú ý:  ABBA)

+ Vectơ – khơng (có gạch nối từ):

Vectơ có điểm đầu điểm cuối cuối trùng gọi vectơkhơng, kí hiệu 

Ví dụ: MM AA , ,

+ Giá vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi giá vectơ Còn vectơ

khơng AA đường thẳng qua A giá

+ Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ

+ Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Chú ý:

+ Độ dài vectơ: khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài a 

kí

hiệu |a 

|, |AB|ABBA

 Hai vectơ nhau: chúng hướng độ dài

Nếu a 

b 

ta viết a 

=b 

AA BB  

= 

, |0 

|=

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Tìm

AB



AB



0 AB



A

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

A

D C

B o

a) Tất vectơ khác 

; b) Các vectơ phương;

c) Các vectơ

Các kí hiệu thường gặp

AB 

phương CD kí hiệu: AB//CD

AB 

hướng CD kí hiệu: ABCD

AB 

ngược hướng CD kí hiệu: ABCD

B CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN

Dạng Xác vectơ, phương hướng

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0là AB BA,  

Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối

các điểm

Giải

Có 10 cặp điểm khác {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},

{D,E} Do có 20 vectơ khác 0

Ví dụ 2: Cho điểm A vectơ a khác 0 Tìm điểm M cho:

AM phương a Giải

Gọi  giá a

Nếu AM phương a đường thẳng AM//  Do M thuộc đường thẳng m qua A // 

Ngược lại, điểm M thc m AM phương a



Dạng 2: Chứng minh hai vectơ

Ta dùng cách sau:

+ Sử dụng định nghĩa: | | | |a b a b a b

 

 

  

   

 

+ Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành a





m

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

E F

D B

A

C

K I

N

M D

A

C

B

,

ABDC BCAD,…

(hoặc viết ngược lại)

+ Nếu a b b  , ca c

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB

Chứng minh:  EFCD

Giải

Cách 1: EF đường trung bình  ABC nên EF//CD,

EF=1

2BC=CD EF=CD EF  CD  

(1)

EF 

hướng CD (2)

Từ (1),(2)  EF CD

Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành

EF=1

2BC=CD EF//CD EFDC hình bình hànhEFCD  

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN

Chứng minh:    AM NC DK, NI

Giải

Ta có MC//AN MC=ANMACN hình bình hành

 AM NC

Tương tự MCDN hình bình hành nên K trung điểm

của MD DK=KM Tứ giá IMKN hình bình hành,

suy NI=KM DK NI

Ví dụ 5: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung

điểm cuối (hoặc điểm đầu)

Giải

Giả sử  ABAC Khi AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng B, C thuôc nửa đường thẳng

góc A BC

(trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự)

Ví dụ 4: Cho điểm A vectơ a Dựng điểm M cho:

a) AM =a;

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa Giải

Giả sử  giá a Vẽ đường thẳng d qua A d// 

(nếu A thuộc  d trùng ) Khi có hai điểm M1 M2 thuộc d cho:

AM1=AM2=|a

 |

Khi ta có:

a) AM1=a



b) AM1=AM2 phương với a

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng

của B qua O Chứng minh:  AH B C'

Giải

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hai vectơ không phương



avà



b Có hay khơng véctơ phương với hai véctơ

đó

a



d

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa Bài 3: Cho ba vectơ

  

c b

a, , phương đểu khác véctơ khơng Chứng minh co hai

véctơ chúng có hướng

Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng Trong trường hợp hai véctơ ABvà ACcùng hướng, trường hợp hai véctơ ngược hướng

Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi P, Q, R trung điểm cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình tìm

trên hình vẽ véctơ PQ 

,QR 

,RP

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M, N trung điểm AD, BC

a) Tìm vectơ phương với AB;

b) Tìm vectơ hướng với AB;

c) Tìm vectơ ngược hướng với AB;

d) Tìm vectơ với MO, với OB

Bài 7: Cho lục giác ABCDEF có tâm O

a) Tìm vectơ khác 0 phương OA;

b) Tìm vectơ vectơ AB;

c) Hãy vẽ vectơ vectơ AB có: + Các điểm đầu B, F, C

+ Các điểm cuối F, D, C

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O

a) vectơ ;

b) Có độ dài  

Bài 9: Cho tứ giác ABCD

Chứng minh ABCD hình bình hành  ABDC

Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh  ABDC  ADBC

Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA

Chứng minh :

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối điểm phân biệt A, B C trường hợp sau:

a) AB AC hướng, |AB|>|AC|;

b) AB AC 

ngược hướng;

c) AB AC 

phương;

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng

AB



OB

OB



MQ NP QP

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

R

Q P

B

A

C

N M

O D

A

B

C

O

D

A

B

C

Chứng minh AQ 0

 

HƯỚNG DẪN

Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: có, vectơ-khơng

Bài 3:



a ngược hướng



b



a ngược hướng



a hướng

Bài 4: Cùng hướng A không nằm B, C; ngược hướng A nằm B, C Bài 5:

Bài 6:

Bài 7: a) DA AD BC CB AO OD DO FE EF        , , , , , , , ,

b) OC ED FO  , ,

c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB

khi  BB' AB

* FO 

vectơ cần tìm

* Trên tia OC lấy C’ cho CC’=OC=AB

Do CC’//AB CC ' AB + tương tự

Bài 8: a) ABDC  

,OBDO  

BC PQ DC

NP DA MN

BA

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b) |OB| | BO| | DO| | OD|

Bài 9:

Chứng minh chiều : * ABCD hình bình hành

*

Chứng minh chiều : * = , hướng

* hướng AB // CD (1)

* AB  CD AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình bình hành

Bài 10:  ABDC AB=DC, AB//CDABCD hình bình hành  AD BC

Bài 11 : MP=PQ MN//PQ chúng 1 2AC Và //AC Vậy MNPQ hình bình hành

 đpcm

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối điểm phân biệt A, B C trường hợp sau:

a) AB AC 

hướng, |AB|>|AC 

|;

b) AB AC 

ngược hướng;

c) AB AC 

phương;

HD: a) AB AC 

hướng, |AB|>|AC 

| C nằm A B

b) AB AC 

ngược hướng, khiA nằm B C



  

 

CD AB

CD AB //

DC AB CD AB

CD AB

  

 

 //

 AB DC  AB DC AB  DC

AB DC 

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

c) Cùng phương hướng hay ngược hướng

+ hướng: |AB|>|AC| theo a); |AB|<AC| B nằm A C

+ Ngược hướng theo b)

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng

Chứng minh  AQ 0

HD: Ta có AM  BA NP;  DC AB     

 AM=NP AM//NP AMNP hình bình hành (1) Tương tự QMNP hình bính hành (2)

Từ (1)&(2) AQ  AQ 0

BÀI TẬP LÀM THÊM

1 Cho ABC Có thể xác định vectơ khác 0 

2 Cho tứ giác ABCD

a/ Có vectơ khác 

b/ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA

CMR :



MQ =  NP

3 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA

a/ Xác định vectơ phương với  MN

b/ Xác định vectơ  NP

4 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ



EHvà 

FG



AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG hình bình hành

5 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ  CI =



DA CMR :

a/ I trung điểm AB



DI =  CB

b/



AI =



IB =  DC

6 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AD Dựng



MK =  CP



KL =  BN

a/ CMR :



KP =  PN BC PQ DC NP DA MN BA

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

b/ Hình tính tứ giác AKBN

c/ CMR :

