09 bài giảng số 2 định thức và các phương pháp tính định thức

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Bài giảng số 02 ĐỊNH THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC 2.1 Khái niệm định thức Định nghĩa Định thức cấp ma trận A = (a) định thức có dạng |a| |a| = a  a11  a 21 Định thức cấp ma trận A =  a12  a  định có dạng 11 a 22  a 21 a12 a 22 a11 a12  a11a22  a21a12 a21 a22  a11  Định thức cấp ma trận A   a 21 a  31 a12 a 22 a32 a13  a11  a 23  kí hiệu a 21 a33  a31 a12 a13 a 22 a 23 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23  a11a22 a33  a13a21a32  a31a12 a23  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31 a31 a32 a33 Định thức ma trận vuông cấp n  a11  a1n    Cho ma trận vuông cấp n, A       a  a  nn   n1 Ta gọi Aij ma trận cấp n-1 có sau bỏ dòng thứ i cột thứ j ma trận A Đặt Cij = (-1)i+j|Aij| Thì Cij gọi phần bù đại số aij Định nghĩa 2: Định thức ma trận vuông A cấp n tính theo hai công thức sau: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức |A| = ai1Ci1 +ai2Ci2 + + ainCin (i =1, 2,…,n) (Theo hàng thứ i ma trận ) |A| = a1jC1j +a2jC2j +…+anjCnj (j =1, 2,…,n) ( Theo cột thứ j ma trận ) Kí hiệu định thức ma trận A det(A) |A| Ví dụ 1: Xét ma trận : 2 5   A = 1 2 2 5   Chúng ta tính det(A) cách khai triển theo dòng 1, ta có: C11 = (1)11  18 C12 = (1)1 2  1 C13 = (1)13  7 Vậy định thức ma trận A là: det(A) = a11C11 +a12C12 + a13C13 = 36 -3 -35 = -2 Ví dụ 2: Xét ma trận 2  A =   2  4 0 5  2 5   Khi khai triển theo cột thứ 3, ta có 3+3 det(A) = a13C13 +a23C23 + a33C33 + a43C43 = 8C33 = 8(-1)  16 Nhận xét: Khi ta tính định thức theo định nghĩa, nên khai triển theo dòng cột có nhiều phần tử 2.2 Các tính chất định thức Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Tính chất 1: Định thức ma trận A cấp n không thoả mãn ba điều kiện sau: i) Có dòng cột không ii) Có hai dòng hai cột tỷ lệ với iii) Có dòng (hoặc cột) tổ hợp tuyến tính dòng (hoặc cột) lại Tính chất 2: Nếu A ma trận dạng tam giác định thức A tích phần tử đường chéo  3   Ví dụ 3: Nếu A =   det(A) = 1.4.6 = 24 0 6   Tính chất 3: Nếu thay đổi vị trí hai dòng (hoặc hai cột) ma trận A cho định thức A đổi dấu Ví dụ 4: a b c d  c d a b Tính chất 4: Nếu ta cộng vào dòng ( cột) A với bội số dòng (hoặc cột) khác định thức ma trận A không đổi 2 5   Ví dụ 5: Cho ma trận A =   2 5   2 5   Nhân dòng với -2 cộng vào dòng ta ma trận B =   ta có 0  1   det(B) =det(A) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Tính chất 5: Nếu nhân thêm vào dòng cột ma trận A với số c khác không ta ma trận B cho det(B) = c det(A)  m 1    Ví dụ 6: Cho ma trận A =  m   1  m m3     dễ thấy cột thứ A có m -1 thừa số chung nên ta có 1 det(A) = (m  1) m 1 1 m m  m 1 2 Áp dụng tính chất 4, ta nhân cột với -1 cộng vào cột hai 0 Det(A) = (m  1) m 1 1 m m2  Áp dụng định nghĩa cách khai triển theo dòng thứ ta có det(A) = (m -1).1 m 1 1  (m  1)[2(m  1)  m  1]  (m  1)(m  2m  1) m2  Tính chất 6: Nếu dòng thứ i ma trận A cấp n phân tích dạng tổng hai dòng định thức A tổng hai định thức ma trận A1 A2 cấp n có dòng 1, 2, …,i-1, i +1, …, n giống A, dòng thứ i ma trận A1 A2 dòng tách dòng thứ i A Ví dụ 7: a b cb a b b c b c    a b a b a b a b Tính chất 7: Định thức ma trận chuyển vị At ma trận A định thức ma trận A Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức a b a c   ad  bc c d b d Ví dụ 8: Tính chất 8: Cho A B hai ma trận vuông cấp n ta có det(AB) = det(A).det(B)  2  1 , B    , AB =  1 0   1 Ví dụ 9: Cho hai ma trận A =  3       1 dễ thấy det(A) = 2, det(B) = det(AB) = Vậy det(AB) = det(A)det(B) Tính chất 9: Nếu A ma trận khả nghịch, ta có det(A-1)det(A) = Dễ thấy AA-1 = In nên theo tính chất det (A)det(A-1) =det(AA-1) = det(In) = Vậy det(A-1) = det A Tính chất 10: Cho ma trận vuông A cấp n Ma trận A khả nghịch det(A)  2.3 Các phương pháp tính định thức Phương pháp dựa vào tính chất định thức Ví dụ 1: Tính định thức ma trận sau: 1  2  A =  43  2  1 5 2 0  2 1  5 2  0 Giải: Áp dụng tính chất ta biến đổi định thức ma trận A sau: Nhân dòng với -1 cộng vào dòng ta có: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức 1  2 4 det(A) = det  3 2  0 5 2 0  2 1  5 2  0 0 Nhân dòng với -1 cộng vào dòng ta có: 1  0  det(A) = det  3 2  0 0 5 4 2 0  0 1  5 2  0 0 Theo tính chất phần (ii), định thức có dòng tỷ lệ nên det (A) = Ví dụ 2: Tính định thức ma trận sau a1b2 a1b3  1  a1b1   A =  a b1  a b a b3   ab a3b2  a 3b3   Giải a1b2 Ta có det(A) =  a b2 a 3b2 a1b3 a1b1 a1b2 a1b3 a b3  a b1  a b2 a b3  a 3b3 a 3b1 a3b2  a3b3 a1 a1b2 a1b3  a b2 a b3 = + b1 a  a b2 a b3 a3b2  a3b3 a3 a3 b2  a3b3 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức a1 a1b3 a1 = (1  a b2 )(1  a3b3 )  a a3b2 b3  b1 a a3 a b3 + b1 a  a3b3 a3 a1 a1 a1b3 = + a2b2 +a3b3 + b1  b1b2 a a3  a3b3 a3 a1 a1b2 a b2 a b3 a 3b2  a3b3 a1b3 a2 a b3 = + a1b1 + a2b2 a3  a 3b3 +a3b3 Phương pháp đưa định thức tam giác Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau a b  b b a  b det(A)=     b b  a Giải Cộng cột thứ 2, 3, …, n vào cột thứ ta có: a  (n  1)b b  b a  (n  1)b a  b det(A) =  [a  (n  1)b]     a  (n  1)b b  a 1  a1b3 b  b a  b    b  a Nhân dòng với -1 cộng vào dòng 2, 3, …, n ta có b  b ab  b det(A) = [a+(n-1)b]     0  ab Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức định thức cuối định thức ma trận tam giác nên theo tính chất 2, ta có: det(A) = [a +(n-1)b].1.(a –b)…(a –b) = [a +(n-1)b](a –b)n Phương pháp qui nạp Ví dụ 4: Cho a, b  R , a  b Tính định thức cấp n: Dn = a  b ab a  b ab ab    0 0 0       0 0 0   a  b ab ab Giải Khai triển định thức cấp n theo dòng ta có: ab 0 a  b ab ab Dn  (a  b) Dn 1  ab 0   0 0 0       0 0 0   a  b ab ab Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột thứ ta có: Dn  (a  b) Dn 1  abDn  Dn  aDn1  b( Dn1  aDn ) Lặp lại qua trình ta có: D n  aD n 1  b( D n 1  aD n  )  b ( D n   aD n 3 )    b n  ( D  aD1 ) Ta có D2 = a2 + b2 +ab, D1 = a+b Vậy Dn –a Dn-1 = bn Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Theo qui luật ta có Dn –a Dn-1 = bn (1) Dn-1 –a Dn-2 = bn-1 (2) ……………… D2 –aD1 = b2 (n-1) Nhân đẳng thức (2) với a, (3) với a2 …, (n-1) với an-2 cộng tất đẳng thức theo vế ta có: Dn –an-1D1 = bn +abn-1 + …+an-1b Dn –an –an-1b = bn +abn-1 + …+an-2b2 Dn = an +an-1b + an-2b2 + …+bn = a n1  b n 1 a b 2.4 Ứng dụng định thức a) Ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính ( Chương 4) b) Ứng dụng để tìm ma trận nghịch đảo  a11 a Cho ma trận vuông A cấp n: A =  21     an1 a12  a1n  a22  a2 n  ( với det( A)  )      an  ann  Đặt Cij  (1)i  j | Aij | (i, j  1, 2, , n) , lập ma trận sau:  C11 C12 C C22 C   21      Cn1 Cn  C1n   C2 n  C gọi ma trận phụ hợp      Cnn  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Ta có ma trận nghịch đảo A có dạng: A1  Ct det( A)  1 2   Ví dụ 5: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A   3   0   Giải Ta có det(A) = C11 = (-1)1+1 3 3 = -9, C12 = (-1)1+2 = -6, C13 = (-1)1+3 =9, 2 2 C21 = (-1)1+2 2 1 = 6, C22 = (-1)2+2 = 4, C23 = (-1)2+3 = -5, 2 2 C31 = (-1)3+1 2 1 = 3, C32 = (-1)3+2 = 3, C33 = (-1)3+3 =-3, 3 3 Vậy ma trận nghịch đảo A có dạng:  C11  A  C12 det( A)   C13 1 C21 C22 C23 C31   3 1    C23    2 /  C33   5 / 1 c) Tìm hạng ma trận Định nghĩa 1: Cho ma trận A cấp m  n Định thức cấp k  m, n ma trận A định thức ma trận mà lập thành từ ma trận A cách bỏ m-k dòng n-k cột ma trận A Định nghĩa 2: Hạng ma trận A cấp định thức cao mà định thức khác không Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức Kí hiệu: r(A)  2  A   2 4   4 1   Ví dụ 6: Tìm hạng ma trận sau: Giải: Dễ thấy 2 2  20  , 2 4  0, 2  4 4 Nên rank(A) = Ví dụ 7: Biện luận theo k hạng ma trận sau:  1 2   7  5 2 5  4  k  Giải Dùng phép biến đổi sơ cấp ma trận đưa ma trận dạng   1   19   17  0 3 15     0 3k   Nếu 3k    k  3 hạng ma trận Nếu k  3 hạng ma trận Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính định thức ma trận sau: 3  D =   7  a a2  C = b b2  c c  1  1   B =  1  , 1 1    1 2   A = 8 0  2   2  2 E = 2  4 5  2  0 3   3 7 1 3  5 9  4  2  2 F = 4  4 2  1 3 5 2 a3   b3   c3  1  3  2 1  1  Bài 2: Cho A B ma trận vuông cấp det A = det B = 3, Hãy tìm định thức ma trận A2B-1 Bài 3: Tính định thức sau phương pháp qui nạp   0  0   0  0  0     Bài 4: Tính giá trị định thức sau: a) a2 (a  1) (a  2)2 (a  3) b2 c2 d2 (b  1) (c  1) (d  1) (b  2)2 (c  2)2 (d  2)2 (b  3) (c  3) (d  3)3 b)  a1 a2 a1  a2 a1 a1 a2 a2 a3 a3 a4 a4  a3 a4 a3  a4 Bài 5: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp định thức Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận Định thức 1  2   b)   2 1    1 1     1  0 1   2  f)   1  1 a b  c    e) 1 b a  c  1 c a  b    1 2   c)  1  0  4    4   d)    3      5      g)  2       1   5  1 2   Bài 6: Tính giá trị định thức sau:  cos x  sin x A   sin x  cos x 1 C a B x b 1 1 1 1 1 1 x x x D x x c x x x a 0 b 0 c Bài 7: Giải phương trình sau: x a) 1 x2 x2 0 x3 b) x x x x x x x x x x x 0 x Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục [...]... 0 0 0 3  0  0 0  0 0  0 0     2 5 Bài 4: Tính giá trị của các định thức sau: a) a2 (a  1) 2 (a  2) 2 (a  3) 2 b2 c2 d2 (b  1) 2 (c  1) 2 (d  1) 2 (b  2) 2 (c  2) 2 (d  2) 2 (b  3) 2 (c  3) 2 (d  3)3 b) 1  a1 a2 a1 1  a2 a1 a1 a2 a2 a3 a3 a4 a4 1  a3 a4 a3 1  a4 Bài 5: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp định thức Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com...  2 E = 2  4 5  4 5 2  0 1 0 3 6 3  2 9 4  3 3 3 6 8 7 7 6 2 7 1 1 1 3 4 3  5 9  4 5  2  2 F = 4  4 2  1 1 3 3 1 5 5 2 2 6 a3   b3   c3  1 1 1 0  3  2 1  1 7  Bài 2: Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp và det A = 2 det B = 3, Hãy tìm định thức của ma trận A2B-1 Bài 3: Tính định thức sau bằng phương pháp qui nạp 5 2 0  0 3 5 2  0 0 3 5  0 0 0 3  0... bằng 4 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận và Định thức BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính định thức của các ma trận sau: 3  1 D =  2  7  a a2  C = b b2  2 c c  1 1  1   B =  1 1 1  , 1 1 1    1 3 2   A = 8 4 0  2 1 2   2  2 E = 2 ... Ma trận và Định thức Kí hiệu: r(A)  2 1 2 3  A   2 9 4 7   4 3 1 1   Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận sau: Giải: Dễ thấy 2 1 2 9 2 1 2 2 1 3  20  0 , còn 2 9 4  0, 2 9 7  0 4 3 1 4 3 1 Nên rank(A) = 2 Ví dụ 7: Biện luận theo k hạng của ma trận sau:  3 1 2 5   4 7  5 4 3 2 4 5  1 4  7 k  Giải Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận đưa ma trận trên về dạng 2   3... Viết Tuân Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ma trận và Định thức 1 2  2   b)  1 5 3  2 6 1    1 1 1    1  1 1  0 0 1   2  1 f)  2  1  1 a b  c    e) 1 b a  c  1 c a  b    5 2 4 3 8 3 7 5 1 5 2   c)  1 1 7  0  3 4    2 3 4   d)  3 4 2   2 3 3    3  2 1  5    2 5  2 3  g)  0 2 1 0   ...  1 2  3  Bài 6: Tính giá trị của các định thức sau: 1  cos x 1  sin x 1 A  1  sin x 1  cos x 1 1 C 1 a B x b 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 x x x D x x c 1 x x x 1 a 0 0 1 0 b 0 1 0 0 c Bài 7: Giải các phương trình sau: 1 x a) 1 1 1 x2 1 x2 1 0 x3 b) x x x 1 x x x x x 1 x x x 0 x 1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng ... =9, 2 2 C21 = (-1)1 +2 2 1 = 6, C 22 = (-1 )2+ 2 = 4, C23 = (-1 )2+ 3 = -5, 2 2 C31 = (-1)3+1 2 1 = 3, C 32 = (-1)3 +2 = 3, C33 = (-1)3+3 =-3, 3 3 Vậy ma trận nghịch đảo A có dạng:  C11  A  C 12 det(... sau phương pháp qui nạp   0  0   0  0  0     Bài 4: Tính giá trị định thức sau: a) a2 (a  1) (a  2) 2 (a  3) b2 c2 d2 (b  1) (c  1) (d  1) (b  2) 2 (c  2) 2 (d  2) 2 (b  3) (c...  2  2 F = 4  4 2  1 3 5 2 a3   b3   c3  1  3  2 1  1  Bài 2: Cho A B ma trận vuông cấp det A = det B = 3, Hãy tìm định thức ma trận A2B-1 Bài 3: Tính định thức sau phương