Bài giảng số 2: Định lý đảo và hệ quả của định lý Talet

cạnh bên, giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.( Bổ đề hình thang).. 16[r]

BÀI GIẢNG SỐ ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định lí ta-lét đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai

cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại

của tam giác

' '

AB AC

AB  AC

' '

' '

AB AC

B B C C

' '

' '/ /

BB CC

B C BC

AB  AC 

2 Hệ định lí ta-lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song

với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tưng ứng tỉ lệ với ba cạnh

tam giác cho

' ' ' '

' '/ / AB AC B C

B C BC

AB AC BC

   (Có hai trường hợp: B’, C’ nằm cạnh AB

AC; B’, C’ nằm tia đối tia AB AC).

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, AB AC lấy hai điểm M N Biết

3 , , 7, ,

AM  cm MB cm AN  cm NC  cm

a) Chứng minh rằng: MN/ /BC;

b) Gọi I trung điểm BC, K giao điểm AI với MN Chứng minh K trung điểm MN

Giải

a) Ta có:

3 7,5

;

2

AM AN AM AN

MB  NC    MB  NC

Do theo định lí đảo định lí ta-lét với tam giác ABC, ta suy MN/ /BC b) Xét tam giác ABI, có MK//BI

Theo hệ định lí ta-lét, ta có:  1

MK AK BI  AI

Xét tam giác ACI, có NK//CI Theo hệ định lí ta-lét, ta có: NK AK  2 CI  AI

Từ  1  2 suy MK NK

BI  CI hay

MK BI

NK  CI  ( BICI), MKNK Vậy K trung điểm MN

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD( AB//CD) có O giao điểm hai đường chéo Đường thẳng

qua O song song với hai đáy cắt AD, BC E F Chứng minh rằng: OEOF Giải

Áp dụng hệ định lí ta-lét cho EO//DC,OF//DC AB//DC, ta được:

EO AO

DC AC

OF BO EO OF

EO OF

DC BD DC DC

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E Đường thẳng

qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh rằng: EG/ /CD Giải

Gọi O giao điểm AC BD

Ta có: AE/ /BC OE OA  1 OB OC

 

Ta có: BG/ /AD OB OG  2 OD OA

 

Từ  1  2 OE OB OA OG OE OG EG/ /CD OB OD OC OA OD OC

    

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE Trên AB, AC lấy điểm F G

sao cho BDBF CE, CG Chứng minh rằng: FG/ /BC

Giải

Ta có  1

2

ABC

S  BD AC BF AC

( doBDBF)

Mặt khác:  2

2

ABC

S  CE AB CG AB

( doCGCE)

BF CG FG/ /BC BA CA

  

Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF Gọi I, K, M, N theo thứ tự chân

đường cao kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA Chứng minh bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng Giải

Gọi H giao điểm AD, BE, CF( H trực tâm tam giác ABC)

Ta có BI BD BK IK/ /EF  1 IF  DC  KE 

Tương tự ta có: MN/ /FE  2

Mặt khác:IF DH NE IN/ /FE  3

FA  HA  EA

Từ    1 ,  3 suy ra: I, K, M, N thẳng hàng

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ

1 Cho hình thang ABCD (BC//AD), AB CD cắt M Biết MA MB : :

2,

AD m Tính độ dài cạnh BC ĐS: BC 1,5 m

3 Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm AC BD Qua M kẻ đường thẳng

song song với AB cắt AD BC M N Chứng minh rằng: OM ON 4 Cho tam giác ABC cân A, phân giác góc B C cắt AC AB theo thứ tự D E

a) Chứng minh rằng: DE/ /BC ;

b) Biết DE10 ,m BC16 m Tính độ dài cạnh AB ĐS: AB26.7 m

5 Cho góc xAy khác góc bẹt Trên Ax lấy hai điểm B D, Ay lấy hai điểm C E

cho 11,

8

AD AC

BD  CE 

a) Chứng minh rằng: BC/ /DE ;

b) Biết BC3dm Tính độ dài DE ĐS: DE11dm

6 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB7,5 ,m CD12 m Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD, F giao điểm MB AC

a) Chứng minh rằng: EF/ /AB

b) Tính độ dài EF ĐS: EF 3,3 m

7 Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy điểm M, Oy lấy điểm N Gọi A điểm MN,

qua A kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy Q, đường thẳng song song với Oy cắt

Ox P Chứng minh rằng: OP OQ OM ON 

8 Cho tứ giác ABCD có góc vng B D Gọi H, K chân đường vng

góc kẻ từ điểm M đường chéo AC đến cạnh BC AD Chứng minh

rằng: MH MK AB  CD 

9 Cho hình thang ABCD( AB//CD) Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD,

BD, AC BC M, N, P Q Chứng minh MN PQ

10 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm D, gọi I giao điểm

của AM BD Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BD K Chứng minh rằng:

2 .

11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E Chứng minh rằng:

ABC

ADE

S AB AC

S  AD AE ( Bổ đề diện tích)

12 Trên đường chéo AC hình bình hành ABCD lấy điểm I Qua I kẻ hai đường thẳng

sao cho đường thẳng thứ cắt AB, CD E F, đường thẳng thứ hai cắt AD, BC theo thứ tự G H Chứng minh rằng: GE//FH

13 Cho hình thang ABCD điểm E nằm cạnh BC Qua C vẽ đường thẳng song song với

AE cắt AD K Chứng minh rằng: BK//DE

14 Cho tam giác ABC Trên AD, AC lấy điểm I K Vẽ IM//BK KN//CI

( MAC N, AB) Chứng minh rằng: MN/ /BC

Mức độ nâng cao

15 Chứng minh rằng: Trong hình thang có hai đáy khơng giao điểm hai

cạnh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy bốn điểm thẳng hàng.( Bổ đề hình thang)

16 Cho tam giác ABC, I điểm tam giác IA, IB, IC theo thứ tự cắt BC, CA, AB

M, N, P Chứng minh rằng: NA PA IA

NCPB  IM ( Định lí Van Obel)

17 Cho tam giác ABC, AB AC lấy hai điểm D E cho BD=CE Gọi K giao

điểm DE BC Chứng minh rằng: KE AB KD  AC

18 Cho hình thoi ABCD cạnh a Qua đỉnh C kẻ đường thẳng cắt tia đối tia BA

và DA H K Chứng minh rằng: 1 AH  AK  a

19 Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BECD Gọi

I, K giao điểm AC với BD DE Chứng minh rằng: AK AC

KC  CI

20 Cho hình thang ABCD (AB//CD), M trung điểm CD I giao điểm AM BD,

21 Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm H nằm C D Qua H kẻ đường thẳng song

song với AC, cắt AD M Qua H kẻ đường thẳng song song với BD, cắt BC N

a) Gọi I giao điểm HM BD, K giao điểm HN AC Chứng minh rằng: / /

IK MN ;

b) Gọi E, F theo thứ tự giao điểm MN với BD AC Chứng minh rằng: EM FN 22 Cho tam giác ABC ( AB AC), đường phân giác AD đường trung tuyến AM Trên AC

lấy điểm E cho AE AB. Gọi O G theo thứ tự giao điểm BE với AD, AM a) Chứng minh rằng: DG/ /AB ;

b) Gọi I giao điểm MO DG Chứng minh rằng: DIIG

23 Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BM Gọi O giao điểm đường

trung trực tam giác ABC, E trọng tâm tam giác ABM Chứng minh rằng: