Bài giảng số 2: Bài toán về khoảng cách và góc của hình học giải tích trong mặt phẳng

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS... http://edufly.vn Khóa học: Các dạng toán hình học phẳng trong đề thi ĐH.[r]

(1)

http://edufly.vn Khóa học: Các dạng tốn hình học phẳng đề thi ĐH

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân – Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng số 2: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Góc hai đường thẳng  d1  d2 thay góc véc tơ phương véc tơ

pháp tuyến: cos  cosu u1, 2  cosn n1, 2

   

,  d d1, 2

Chú ý: Trường hợp đường thẳng không song song với Oy chúng khơng vng góc với

ta tính cơng thức: 2 tan

1

k k

k k

  

 , k k tương ứng hệ số góc đường thẳng 1,  Khoảng cách từ điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng  d :AxByC0

Ta có:   0

2

, Ax By C

d M d

A B

 





Chú ý: Ta thường sử dụng phương trình tổng quát phải tính góc, khoảng cách Cịn ta dùng

phương trình tham số có mối quan hệ thuộc

 Phương trình đường phân giác đường thẳng  d1 :AxByC 0  d2 :A x B y C0

2 2

Ax By C A x B y C

A B A B

  

   



 

 

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Dạng tốn sử dụng cơng thức khoảng cách

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A6; 4, B   4; 1, C2; 4  Tìm tọa độ điểm FBC cho

 ,   ,  d F AB  d F AC

Lời giải

 4; 8 1; 2  AC      

Vì  

 

2; :

6;

AC n AC

A

  

   



(2)

   

2 x6  y4 0 2x   y

 10; 5 2;1 

AB     



Vì  

  1; : 6; AB n AB A        

nên phương trìnhAB là:

x62y40x2y20

6; 3 2; 1 

BC    



Vì  

  2; : 2; BC u BC C         

nên phương trình tham số BC là: 2 x t y t        

2 ; 

FBCF  a  a

Ta có: d F AB , 2d F AC ,   

 

   

 

2

2 2 2 2

2

1 2

a a a a

         

 

   

4a 12 5a

  

2

a a a a          a a        a a         Với a2 :F6; 6 

Với 6: 2; 22

7 7

a  F  

 

Ví dụ 2: Cho đường thẳng  d1 : 2x3y 1 0,  d2 : 4 x6y 3 0

a) Chứng minh    d1  d2

b) Tính khoảng cách đường thẳng

Lời giải

a) Ta có  

1 2;

d

n  



,  

2 4;6

d n   

2

d d n n    d d n n   Trên  d1 lấy A2;1, ta thấy A d2    d1  d2 Do    d1  d2

b) Do    d1  d2 nên d d d 1, 2d A d , 2  1 2

2

4.2 6.1 13

,

26

4

d d d   

  



Ví dụ 3: Lập phương trình đường phân giác góc tạo  d1  d2 biết  d1 : 2x3y 1

(3)

Lời giải

Phương trình đường phân giác đường thẳng  d1  d2 : 2 2 2 2

2 3 2

2 3

x y x y 

 

2 3 2

x y x y

    

  

     



3

5

x y

   

 

  



Ví dụ 4: (ĐH Khối B-2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A có toạ độ A(-1; 4) và đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C biết diện tích tam

giác ABC 18

Lời giải

Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng , tọa độ điểm H(t; t – 4) Véc tơ AH t( 1;t8)

Véc tơ phương  u (1;1), AH vng góc với  nên ta có

7

2

AH u        t t t

 

Suy ( ;9 9)

2

AH 



Vậy

AH  Theo cơng thức tính diện tích tam giác ABC ta có

2

ABC ABC

S

S AH BC BC

AH 

    

Đường tròn tâm ( ;7 1)

2

H  , bán kính 2

2

BC

R   có dạng

2

7

8

2

x y

   

   

   

   

Khi tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình sau

2

4

7

8

2

x y

  

 

   

   

   



   



Giải hệ phương trình suy (11 3; ), ( ;3 5)

2 2

B C  ngược lại

(4)

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng  d qua giao điểm đường thẳng  1

1

:

2

x y

  ,

 2

2 :

3

x t

y t

  

 

  

tạo với đường thẳng  3 : 3x4y100 góc 45 Lời giải

Ta có: M      1 2 nên tọa độ M nghiệm hệ:

2 3

1

2

x t

y t

x y

    

  

  

 



2 3

2

t t

   

     t 2t   t 1

6 x

y    



  

1;

M



Ta có:  

3 3;

n  

Gọi nd A B; 

Vì d , 3450 3

0

os 45

d

d n n c

n n



 

   

2 2

3

1

2

A B



 

 

2

5 A B 3A 4B

    25.A2B22 9 A224AB16B2

7A248AB7B2 0

7

A B

   

   

+) Với A7B: Chọn B 1 A7 Phương trình  d là: 7x1  y60 7x y 13 +) Với

7

A  B: Chọn B  7 A1 Phương trình  d là: x17y60x7y41

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật

Lời giải

Gọi véc tơ pháp tuyến AC nAC( ; )a b 

(5)

2

2 15

5 50

7 8

1 1,

1

1; ( )

AB BD AC AB

AB BD AC BD

n n n n a b

n n n n a b

a a

a ab b

b b

a

a b

b a

a b L

b



  



   

          

   



     

  

       

 

  

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AC qua M(2; 1) có véc tơ pháp tuyến (1; -1) có dạng

x   y

Tọa độ điểm B nghiệm hệ (7; 3)

7 14

x y

B

x y

  



 

  



Tọa độ điểm A nghiệm hệ (1; 0)

x y

A x y

  



 

   

Tọa độ giao điểm I AC, BD nghiệm hệ ( ; )5

7 14 2

x y

I

x y

   

 

  



Do I trung điểm AC, BD nên suy tọa độ (4; 3)C D ( 2; 0)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho đường thẳng  : 2

x t

y t

   

    

điểm M3;1

a) Tìm   điểm A cho AM  13 ĐS: M0; ,  M1; 2 

b) Tìm   điểm B cho MB ngắn ĐS: min 50 1;

2 2

MB  B  

 

Bài 2: Cho điểm A 1;1 điểm B  2; 2 Viết phương trình đường thẳng  d qua A cách B

khoảng ĐS:  

 

:

d x y

   



  

(6)

Bài 3: Cho đường thẳng   :xy 1 Viết phương trình đường thẳng  d qua A 1;1 hợp với   góc:

a) 90 ĐS: xy

b) 45 ĐS:

1 x

y   

 

c)

60 ĐS:  

 

3

x y

     

 

    



d) 30 ĐS:  

 

3 3

x y

     



     



Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1;1 B4; 3  Tìm điểm C thuộc đường thẳng

2

x y  cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

ĐS: 7;3 , 43; 27 11 11 C C  

 

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng:  d1 :xy 3 0,  d2 :x  y 0,  d3 :x2y0 Tìm tọa độ điểm M  d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  d1 lần khoảng cách từ M đến  d2 ĐS: M22; 11 ,  M2;1

Bài 6: Tìm góc cặp đường thẳng sau:

a)  d1 : 5x3y 4 0,  d2 :x2y 2 ĐS: 32 28 b)  d1 : 3x4y140,  2

1

:

2

x y

d   

 ĐS:

0 63 26

c)  1 :

x t

d

y t

   

  

,  d2 : 3x2y 2 ĐS: 37 52

d)  d1 :xym 1 0,  d2 :x y 2m 1 ĐS: 90

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d trường hợp sau: a) M  3; 2,  d : 3x4y 1 ĐS:  , 

5

(7)

b) M2; 5 ,  d :y2x3 ĐS:  ,  12 5 d M d 

c) M   4; 1,  d Ox ĐS: d M d  , 

d) M  3; 2,  d : 2x 3 ĐS:  , 

d M d 

e) M5; 2 ,  : 2

x t

d

y t

   

   

ĐS:  , 

5 d M d 

f) M3; 2,  :

1

x y

d    ĐS:  , 

5 d M d 

Bài 8: Lập phương trình đường thẳng  d qua M tạo với   góc  biết:

a) M  1; 2,   :x2y 3 0,  450 ĐS:    

:

d x y

   



   

b) M2; 0,  :

x t

y t

    

   

,  450 ĐS:  

 

: 2

:

d x y

   



   

Bài 9: Lập phương trình đường phân giác góc tạo  d1  d2 biết:

a)  d1 : 4x3y 4 0,  2 : 12

x t

d

y t

   

   

ĐS: 14 67

112 64 37

x y

  



   

 b)  d1 : 5x3y 4 0,  2

1

:

3

x y

d    ĐS:

5

y

x   

   

c)  d1 : 3x4y 5 0,  d2 Ox ĐS:

3

x y

  

 

   

Bài 10: Lập phương trình đường thẳng  d1 đối xứng với đường thẳng  d qua đường thẳng   biết: a)  d :x2y 1 0,   : 2x  y ĐS:    d1  d

b)  d : 2x3y 5 0,   : 5x y 40 ĐS:  d1 : 9x46y370

c)  d : 5xy 6 0,  :

2

x y

 

 ĐS:  d1 : 37x55y240

d)  d : 2 xy 3 0,  :

x t

y t

   

    

(8)

Bài 11: Lập phương trình cạnh ABC biết A0;3, phương trình đường phân giác xuất

phát từ B C  dB :xy0, dC:x2y 8 ĐS:

:

: 22 19 57 : 34 39

AB x y

AC x y

BC x y

  

  

  

Bài 12: Lập phương trình cạnh ABC biết A  4;3, B9; 2 phương trình đường phân giác

trong xuất phát từ C  d :x  y ĐS:

: 13 35

:

AB x y

AC x y

BC y

  

 

: 13 35

: 15

: 3

AB x y

AC x y

BC x y

  

  

  

Bài 13: Lập phương trình cạnh ABC biết phương trình cạnh BC x: 4y  phương trình đường phân giác xuất phát từ B C  dB :y 0, dC: 5x3y 6

ĐS:

    

:

: 94 1921 26 1921

AB x y

AC x y

  

    

Bài 14: Lập phương trình cạnh ABC biết C3; 3 , phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ A là:  d1 :x 2,  d2 : 3x8y140

ĐS:

:

204 8787 204 8787

:

62 62

AC x y

BC y

AB x y

    

 

   

Bài 15: Tìm tọa độ trực tâm H ABC xác định tọa độ điểm K đối xứng với H qua BC biết 0;3

A , B3;0, C   1; 1 ĐS: 3; , 99; 141

5 85 85

H  K  

   

Bài 16: Lập phương trình đường thẳng   đối xứng với đường thẳng  d qua điểm I biết: a) I  3;1,  d : 2xy 3 ĐS: 2x y 13 b) I 1;1 ,  d : 3x2y 1 ĐS: 3x2y 

c) I  1;3,  : 2

x t

d

y t

   

   

ĐS: 2x y 15

d) I0; 2,  :

x t

d

y t

   

   

(9)

Bài 17: Cho tam giác ABC có AB: 2xy  , AC: 2x   , y BC x: y a) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC ĐS: 6; 0

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với AB qua BC ĐS: x2y  Bài 18: Cho hình vng ABCD có tâm I2; 3 , phương trình AB: 3x4y 

a) Tính cạnh hình vng ĐS: ABBCCD AD4

b) Viết phương trình cạnh CD AD BC , , ĐS:

: 16

:

: 27

CD x y

AD x y

BC x y

  

  

Bài 19: Cho đường thẳng  d :x2y 4 điểm A1; 4, B6; 4

a) Chứng minh A B nằm phía ,  d Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua  d ĐS: A  1; 0

b) Tìm điểm M d cho d M AB  ,  ĐS:  

 

2 4; 2 4; M

M

   

 

  



Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hồnh điểm B thuộc trục tung cho A B đối xứng với qua đường thẳng  d :x2y 3

ĐS: A2; , B0; 4

Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A0; 2 B ; 1 Tìm tọa độ trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp OAB ĐS: H 3;1 ,I  3;1

Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H   1; 1, đường phân giác góc A có phương trình x   đường cao kẻ từ y B có phương trình 4x3y 

ĐS: 

  

  

(10)

Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A2; 2 đường thẳng  d1 :xy 2 0,  d2 :xy 8 Tìm tọa độ điểm B C thuộc  d1  d2 cho ABC vuông cân

tại A ĐS:    

   

1;3 , 3;5 3; , 5;3

B C

  

 

Bài 24:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A 1;1 B4; 3  Tìm điểm C thuộc đường thẳng x2y  cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

ĐS: 17;3 , 2 43; 27 11 11

C C   

 

Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm      

0 ;

I , phương trình đường thẳng AB x2y  AB2AD Tìm tọa độ đỉnh A B C D biết đỉnh , , , A có hoành độ âm ĐS: A2; , B2; , C3; , D 1; 2

Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng:d1 : x y 3 0, d2 : x y 4 0, d3: x 2y 0 Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳngd1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 (ĐH - Khối A 2006)

Bài 27:

a) Cho đường thẳng d : 2x + 3y + = điểm M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M

và tạo với d góc 45o

Đs: x – 5y + = 5x + y – =

b) Lập phương trình cạnh hình vng ABCD biết đỉnh A (– 4; 5) đường chéo BD : 7x – y + =

Đs: 3x – 4y + = 0, 3x – 4y + 32 = 0, 4x + 3y – 24 = 0; 4x + 3y + =

Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1:x y30 d2:x y60 Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật

Đs: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

(11)

và

2

ABC

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	629,67 KB