skkn tìm hiểu bài toán cức trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

Lý do chọn đề tàiXuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toáncực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tếtrong cuộc sống.. Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chấtl

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT VĂN GIANG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI

TRONG MẶT PHẲNG OXY

BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH

ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG

Năm học 2013-2014

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toáncực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tếtrong cuộc sống Với tinh thần đổi mới giáo dục trongcác đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cựctrị được đưa vào thường xuyên Điều đó đặt ra cho quátrình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rènluyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứngvới đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung vàToán học nói riêng gần hơn với cuộc sống

Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chấtlượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục chúng tôi

mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phươngpháp giải bài toán cực trị hình học giải tích.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trịtrong hình học giải tích

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở

trường phổ thông

Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán cực trị

trong hình học giải tích

5 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trịtrong hình học giải tích được giảng dạy tại trườngTHPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013; 2013-2014

6 Giả thuyết khoa học

Hiện nay việc giảng dạy và học tập các phương phápgiải bài toán cực trị trong hình học giải tích còn gặp một

số khó khăn Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm củatác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảngdạy chuyên đề cực trị trong hình học giải tích sẽ tốt hơn

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp thống kê Toán học

8 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

c  a b  ac bc 0

Cho hai bộ n số: a a1 , , , ; , , , 2 a b b n 1 2 b n khi đó ta có bấtđẳng thức:

a

5 Định lý Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b; 

thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấttrên đoạn a b; 

6 Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng  đi qua M x y 0 ; 0  nhận u a b  ;  0 làmvector chỉ phương Khi đó  có phương trình tham

số là: 0

0

;

Đường thẳng  đi qua điểm M x y 0 ; 0 nhận u a b  ;  0

làm vector pháp tuyến Khi đó  có phương trìnhtổng quát là:

 x-x 0   0  0 x 0;  x 0 0 

8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát: ax

+ by + c = 0 và điểm M x y 0 ; 0  Khi đó khoảng cách

từ điểm M đến đường thẳng  được tính bằng công

9 Góc giữa hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng   1 ; 2 lần lượt có phương trình

10 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y z 0 ; ; 0 0  nhận n a b c  ; ;  0

làm vector pháp tuyến Khi đó đường thẳng  cóphương trình tổng quát là:

 0   0   0  0 + y + z + d = 0; d = -  0 0 0 

11 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng    : ax + by + cz + d = 0 và điểm M x y z 0 ; ; 0 0  Khoảng cách từ điểm M đến    được tính bằng côngthức

Bài 1 Cho đường thẳng  :x 2y  2 0; A 0;6 ;  B 2;5  Tìmđiểm M   sao cho:

Bước 2: Từ đánh giá: MA MB MA  / MB A B / hằng số.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A M B/ ; ; thẳng hàng Nên

ta đi viết phương trình đường thẳng A B/

Do I là trung điểm của AA / nên ta có: A/  4; 2  

Từ đó A B  /  2;7 

Đường thẳng A B/ : 7(x 2) 2(  y 5) 0   7x 2y 24 0 

Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phươngtrình:

11

;

; 19

8

Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác

biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm về hai

phía so với  thì ta lại phải đi tìm điểm A/ đối xứng với

A qua  Sau đó ta sử dụng đánh giá:

chỉ khi M A B, , / thẳng hàng Từ đó tìm ra tọa độ của M.

M A B/  

Nếu hai điểm A B; nằm về cùng một phía so với  thì

ta có ngay đánh giá: MA MB ABhằng số Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi M A B; ; thẳng hàng Do đó điểm M cần

tìm là giao của AB với 

Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm A B; nằm vềcùng phía so với  nên ta có đánh giá: MA MB ABhằng

số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A B; ; thẳng hàng

a)Tìm a b; để diện tích tam giác OAB đạt giá trị

Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM

và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp.Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giảicho một đề toán Do vậy một trong những thủ thuật củangười thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán

nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không? Câu hỏi đó làm cho học

sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấyđược chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”

a) Lời giải 2

Suy ra: min     4 4

Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc

sử dụng đạo hàm vào bài toán cực trị cũng cần hết sứcchú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong chươngtrình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị vàthành thạo

b) Lời giải 1

Gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB

ta có: 2 2 2 2

OA OB OH OM hằng số Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi M H Tức là OM AB

Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ

dài đường chiếu luôn nhỏ hơn độ dài đường xiên Giống

như câu a) ta lại có một câu hỏi: Còn lời giải nào khác nữa không? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú

nhất định và các em trở thành những nhà thám hiểmthực sự trong kho tàng kiến thức!

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a b

Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình:

; 2

2 1

a b

Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sailầm khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lờigiải 1 của câu c) như sau:

c) Lời giải 1

Ta có OA OB a b    2 ab;   3 (Theo bất đẳng thứcAM-GM)

Mặt khác 1 2 1 2 2 ab 8;   4

     (Theo bất đẳngthức AM-GM)

Từ đó suy ra: OA OB  2 8 4 2  Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi cả hai đánh giá     3 ; 4 cùng xảy ra dấu bằng

Điều đó tương đương với 2 1; 1

2

Ta có OA OB a b  

Mặt khác 2 1 1

2

a b

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường

thẳng đi qua điểm A(2;5), cắt chiều dương của các trục

Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao

cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường

thẳng đi qua điểm M 3;2 , cắt chiều dương của các trục

Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ sao cho

2

OA OB đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 9 Bài toán về góc sút và khung thành

Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường

thẳng  Tìm trên đường thẳng  điểm M sao cho M nhìn xuống A, B một góc lớn nhất?

Nhận xét: Bài số 9 là một bài khá lý thú, gây hứng

thú và tò mò cho người làm toán Dễ nhận thấy một vàitrường hợp đặc biệt như khi  là tiếp tuyến của đường

tròn đường kính AB thì điểm M cần tìm chính là tiếp

điểm Vậy trong các trường hợp còn lại thì ta xử lý thếnào?

Dựng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc

với  tại M Ký hiệu là đường tròn (C)

Xét điểm N trên  và khác M

Gọi I là giao của (C) và NB (Hình 2)

Ta có AMB AIB (cùng chắn cung AB)

Nhận xét: điều kiện của đầu bài thoả mãn phương

trình của một đường tròn:   C1 : x 2 2   y 3 2  1 có tâm

  1 2 1 2 1 2

0 0 0

Bình luận: Như vậy ta đã sử dụng phương pháp

của hình học giải tích để tìm Max của biểu thức A nhờ

những nhận xét về điều kiện và đầu bài Sẽ tương đốikhó khăn khi đi tìm một phương pháp khác cho bài số10! Với bài 10 ta có thể khái quát hoá thành bài tập nhưsau:

Bài 11 Cho x y; thoả mãn điều kiện P Trong đó P

có thể biến đổi về phương trình của một đường tròn  C1

nào đó Yêu cầu tìm min, max của biểu thức Q trong đó

biểu thức Q cũng biến đổi được đưa về phương trình củamột đường tròn C2  nào đó.

Quay lại Bài 10 ta có thể nhận thấy biểu thức A có

thể được biến đổi nhờ điều kiện của đầu bài

Thực vậy: Từ giả thiết ta có A x 2 y2  4x 6y 12

Như vậy nếu gọi A0 là một giá trị của biểu thức A.

Điều đó chứng tỏ giữa đường thẳng  : 4x 6y 12  A0  0 vàđường tròn   C1 : x 2 2  y 3 2  1 có tâm I1  2;3 ;  R 1 1 phải cóđiểm chung (**)

   1 

0

0

0 0

Bình luận: Với việc đưa biểu thức A về dạng

phương trình đường thẳng thì ta phải xử lý ít trường hợp

hơn so với việc đưa biểu thức A về phương trình của

đường tròn

3 Bài tập vận dụng

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức A 2x y  2 với điều kiện: 2 2 1

Bài 14 Cho đường tròn:  C x: 2 y2  2x 4y 4 0; &  M  5; 3  

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giácIAB lớn nhất ở đây I là tâm đường tròn (C)

Bài 15 Cho đường thẳng:  :x y   1 0 & A 2;3 ;  B  4;1  Tìm

1      MA MB                      

có độ dài ngắn nhất (Đ/s: M(-2;1))

em làm được sau khi giảng dạy chuyên đề thì đa số các

em đã định hình phương pháp làm và thực hiện thànhthạo

Kết quả cụ thể được thống kê trong bảng sau

KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A

Điể 8  10 7 6 5 4 3 2 1

Xin trân trọng cảm ơn!

ĐÀO

QUANG BÌNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ và phương pháptoạ độ trong hình học

2 Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học

10

3 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10