Sử dụng phương pháp hàm số để giải một số bài toán cực trị hình học tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Người thực hiện: Mai Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2020 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số dạng tập cụ thể Dạng 1: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng 11 2.3.2 Một số tập tự luyện 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 Kết luận kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Các tốn cực trị hình học tọa độ không gian đề thi THPTQG, đề thi học sinh giỏi thường khó lời giải phức tạp, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có trực quan hình học tốt Muốn tiếp cận tốt với tập dạng trước hết người học cần nắm vững kiến thức phương pháp tọa độ không gian.Thiết lập mối quan hệ đại lượng đưa kiến thức biết Trong tài liệu tham khảo tốn có nhiều cách giải, thường giải phương pháp sử dụng hình học thông thường, cách giải đối tượng làm được, phải em có tư hình học thật tốt, thường học sinh giỏi Còn đại đa số em ngại học hình, hình học cực trị khơng gian Để tạo hứng thú say mê học hình học cho học sinh Trong q trình giảng dạy tơi đúc rút mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian” hi vọng với đề tài phần giúp học sinh rèn luyện khả tư phương pháp sử dụng hàm số hình học tọa độ khơng gian, tốn lên quan đến cực trị, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán, giúp em tự tin để bước vào kỳ thi THPT Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu: Bản thân nghiên cứu đề tài nhằm mục tiêu : - Cùng chia sẻ với đồng nghiệp em học sinh kinh nghiệm ứng dụng hàm số để giải số dạng tập liên quan đến cực trị hình học tọa độ không gian - Bản thân rèn luyện chuyên môn nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ - Định hướng cho học sinh cách giải dạng toán khó mà học sinh thường gặp đề thi THPT quốc gia - Tạo cho học sinh hứng thú say mê học tập mơn Tốn nói chung, mơn hình học giải tích nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh lớp 12 học tập ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Dựa sở kiến thức phương pháp tọa độ không gian, kết hợp kiến thức cực trị hàm số học chương trình THPT - Qua khảo sát thực tế kết lớp học - Thu thập kiến thức nhiều nguồn tài liệu SGK đề thi thử THPT Quốc gia nhiều trường THPT toàn quốc - Phương pháp nghiên cứu đề tài có phạm vi giới hạn chương trình ơn luyện cho học sinh thi THPTQG, học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm dựa sở: - Sử dụng chiều biến thiên hàm số - Kiến thức hình học tọa độ khơng gian như: + Tính chất điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, công thức lập phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng + Các công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách hai mặt phẳng , khoảng cách hai đường thẳng + Các cơng thức tính góc hai mặt phẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng với mặt phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề Trước gặp tốn hình học, học sinh thường nghĩ tới việc vẽ hình để tìm lời giải Bên cạnh số tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian có nhiều lời giải phức tạp, em thấy khó hiểu thường bỏ qua, học sinh giỏi tỏ lúng túng làm sai Để giải vấn đề đó, tơi tiến hành hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ không gian, với đề tài hi vọng phần giúp em tiếp cận vấn đề cách đơn giản, tạo hứng thú đam mê học tập, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải tốn, ơn thi THPTQG 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện: 2.3.1 Một số dạng tập cụ thể: Dạng 1: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d hai điểm A, B Tìm tọa độ điểm M �d cho biểu thức P nhỏ nhất; lớn Cách giải: Đưa phương trình đường thẳng dạng tham số t, M �d dạng tham số t Tính giá trị biểu thức P theo t, đặt hàm số f (t )  P ( t �R ) Xét hàm số f(t) theo t, tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ ) f(t) suy giá trị t Kết luận điểm M Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết điểm A(2;3;2); B(6; 1; 2); C ( 1; 4;3); D(1;6; 5) Tìm tọa độ điểm H đường thẳng CD cho tam giác ABH có chu vi nhỏ Hướng dẫn: uuur Ta có DC  (2; 10;8) Đường thẳng CD qua điểm C (1; 4;3) có VTCP r x 1 y  z    u  (1; 5; 4) có phương trình: 1 5 uuur Điểm H �CD nên H (1  t; 4  5t ;3  4t ) � HA  (t  3;5t  7; 4t  1) ; uuur HB  (t  7;5t  3; 4t  5) Chu vi tam giác HAB nhỏ HA+HB nhỏ Ta có: HA  HB  42t  84t  59  42t  84t  83 2 Xét hàm số f (t )  42t  84t  59  42t  84t  83 ' Ta có f (t )  42t  42 42t  84t  59  42t  42 42t  84t  83 Bảng biến thiên hàm số f(t) : � t f�  t f  t  � 42t  42  � t  1 � 1  �  � 17  41 Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ hàm số f(t) 17  41 đạt t  1 , tức H  0;1; 1 Vậy H  0;1; 1 điểm cần tìm x Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y z  1 hai điểm A  0;0;3 , B  0;3;3 Tìm tọa độ điểm M �d cho: MA  MB nhỏ Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số �x  t � Chuyển phương trình d sang dạng tham số : �y  t �z  t � Gọi tọa độ M �d có dạng M  t; t ; t  , t  R Ta có P  MA  MB   t2   t2   3t   t   3t   3 t2 P  3t  6t   3t  12t  18  P  3� �  t  1   �   t  2t   t  4t   t  2  � � � Đặt hàm số f  t    t  1    t    Xét hàm số f  t    t  1    t    R t 1  t  Ta có f � f�  t  �  t  1  t 1  t  1   Xét hàm số g  u   t 2   t  2  t2   t  2  u u2  t 1 �  t  1  2t  (2  t )  (*) R � � u g� u   � u   u   � � �u  Ta có u  � � u 2   u �R nên hàm số g(u) đồng biến R  Do từ (*) ta có: g  t  1  g (2  t ) � t    t � t  Vậy f ' (t )  � t  3 f ( )  Bảng biến thiên hàm số f(t) : t f�  t f  t �  � �  � Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ hàm số f(t) đạt t  �3 3 � �3 3 � nên M � ; ; � Do M � ; ; �thì MA  MB đạt giá trị nhỏ �2 2 � �2 2 � Nếu tốn khơng giải theo cách 1, ta giải nhiều cách khác ví dụ cách sau: �x  t � Cách 2: Chuyển phương trình d sang dạng tham số d : �y  t �z  t � Gọi tọa độ M �d có dạng M  t; t ; t  , t  R Ta có P  MA  MB    t    t   3 t    t   3 t   3 t P  3t  6t   3t  12t  18  P  3� �  t  1   � t  2t   t  4t   t  2  � � 2 P  3� �  t  1   �   �  t  2  � � � � P  �  t  1   �    t  2      � � �     Trong mặt phẳng Oxy xét điểm N  t ;0  �Ox ; H 1; ; K 2; (H, K phía với trục Ox)     Gọi H �1;  điểm đối xứng điểm H 1; qua trục Ox  NK  � 3H �  Ta có P   NH  NK  =  NH � K , N , K thẳng hàng � N  H � K �Ox Dấu “=” xảy � H � uuuur  K  1;2 Đường thẳng H � K có vectơ phương H �  r n nên có vectơ pháp tuyến:  2; 1 qua H �1;   Có phương trình tổng qt:      2  x  1  y   � 2 x  y   K trục Ox nghiệm hệ Tọa độ giao điểm N đường thẳng H � � 2x  y   � �x  �3 � � � Vậy N � ;0 � � �2 � �y  � �y   Vậygiá trị nhỏ P là: P  3H � K  12  2 �3 � � �  3 3 đạt N  t;0  �N � ;0 �� t  2 �3 3 � Suy MA  MB nhỏ 3 M � ; ; � �2 2 � Nhận xét: Bài toán giải nhiều cách khác nhau, sử dụng phương pháp hàm số lời giải đơn giản hơn, đa số em hiểu Trong giải cách lại phức tạp gây khó khăn cho học sinh, học sinh giỏi Ở dạng toán khác việc sử dụng phương pháp hàm số để giải tỏ hiệu Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng Bài toán 1: Trong hệ Oxyz cho điểm A Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d, cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) lớn nhỏ Cách giải: r r - Gọi VTPT mặt phẳng ( ) cần tìm n  ( A; B; C ) �0 r -Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M �d , có VTPT n  ( A; B; C ) -Viết công thức khoảng cách từ điểm A đến mp ( ) , chứa A,B,C - Xét hai trường hợp : + Trường hợp C = 0, tính khoảng cách từ điểm A đến mp ( ) + Trường hợp C �0, đặt t  A , xét hàm số f(t), sử dụng phương pháp hàm số C tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f(t) suy giá trị t Gộp hai trường hợp ta kết luận, viết pt mp ( ) cần tìm x 1 y z    Lập phương 2 trình mặt phẳng (  ) chứa d cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (  ) lớn Ví dụ: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : Hướng dẫn: r Gọi VTPT mp(  ) n  ( A; B; C ), A2  B  C �0 Vì mặt phẳng (  ) chứa d, nên qua M (1;0; 2) �d � phương trình mp (  ) có dạng: A( x  1)  By  C ( z  2)  (*) uur uur Giả thiết cho d �( ) � ud n  � B  2 A  2C (1) AC ( A  C )2  Ta có: d ( A,( ))  A2  AC  5C A2  AC  5C - TH1: Nếu C = � d ( A,( ))  (a) A (t  1) - TH2: Nếu C �0 , đặt t  d ( A,( ))   f (t ) C 5t  8t  Đặt f (t )  (t  1) 5t  8t  (t  1) R Ta có f '(t )  � t  �1 5t  8t  Với f (1)  0; f (1)  lim f (t )  t ��� Xét hàm số f (t )  Bảng biến thiên hàm số f(t): t � f�  t  1  f  t �  Từ bảng biến thiên hàm số f(t) � �f (t ) � �0 d ( A;( )) (b) Từ (a) (b) ta suy d ( A;( )) lớn t  � A  (2) C �A  C �B  4C Từ (1) (2) � � �A  C (C �0) vào (*) ta phương trình mp ( ) : x - 4y + z – = �B  4C Thay � Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : x - 4y + z – = Nhận xét : - Có thể sử dụng hình học túy để làm này, với cách sử dụng phương pháp hàm số học sinh dễ hiểu làm tập tương tự - Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D=0 là: d  M ,(α)  = Ax +By0 +Cz +D A +B2 +C2 Bài toán 2: Trong hệ Oxyz cho đường thẳng d mp(P) Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d cho góc mp ( ) mp (P) lớn nhất, nhỏ Cách giải: r r Gọi phương trình mp(  ) có dạng: Ax + By + Cz + D = ; n  ( A; B; C ) �0 - Viết cơng thức góc mp ( ) với mp(P) ) chứa A,B,C - Xét hai trường hợp : + Trường hợp C = 0, tính góc mp ( ) với mp(P) + Trường hợp C �0, đặt t  A , xét hàm số f(t), R Sử dụng phương pháp C hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f(t) suy giá trị t Kết hợp hai trường hợp ta kết luận, viết pt mp ( ) cần tìm Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình x y z 2   mặt phẳng P có phương trình: 3x – y – z = Lập phương  trình mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng d, cho góc hai mặt phẳng(P) (  ) bé Hướng dẫn: Gọi phương trình mp(  ) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0.(*) ( A  B  C 0 ) VTPT mặt phẳng (  ) là: n ( A; B; C ) rr Vì mp(  ) chứa d nên n.u d  suy ra: A  B  C  � A  B  C (1) (Với uu r ud  (1; 2;1) ) Mặt khác mp(  ) qua M(1;1;-2) nên ta có: A  B  2C  D  (2)  Gọi góc mp(  ) mp(P)  ,(0 � � ) Ta có: cos   3A  B  C 11 A2  B  C - TH1: Nếu B = cos   - TH2: Nếu B �0 , đặt t  Khi đó: cos    22 5B  4C 11 B  BC  2C (a) C B (5  4t ) (5  4t ) f ( t )  Đặt  4t  2t 11  4t  2t (5  4t ) Xét hàm số f (t )  R  4t  2t 25 cos   (b) 33 C Từ (a) (b) suy giá trị lớn Cos  đạt t  5 �  5 (3) B Từ bảng biến thiên hàm số f (t ) � �f (t ) � �A  B � Từ (1), (2), (3) ta suy ra: �C  5 B ( B �0) (**) �D  18 B � Thay (**) vào (*) ta được: x  y  z  18  Vậy phương trình mặt phẳng (  ) cần tìm : x  y  z  18  Nhận xét : - Có thể sử dụng hình học tọa độ thơng thường để làm - Có thể mở rộng tốn sau : Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +2z – =0 đường thẳng d : x 1 y  z   Lập phương trình mp(P) chứa d cho góc 1 hai mặt phẳng (P) (Q) nhỏ Hướng dẫn: r Gọi VTPT mặt phẳng( P ) : n P  ( A; B; C ),( A2  B  C �0) Vì mp(P) chứa d nên qua điểm M o (1; 2;0) �d , phương trình mp(P) có dạng : A( x  1)  B ( y  2)  Cz  (*) uur uur Ta có : d �( P) � ud nP  � C  A  B (1)  Gọi góc hai mặt phẳng  ,(0 � � ) Ta có: cos   A  2B A2  AB  5B 2 A2  AB  5B 2 (a) - TH1: Nếu B = cos  - TH2: Nếu B �0 , đặt t    A  2B2 A B (t  2) (t  2) Khi đó: cos  Đặt f (t )  2 2t  4t  2t  4t  Xét hàm số f (t )  (t  2)2 R 2t  4t  Từ bảng biến thiên hàm số f (t )  (t  2)2 2t  4t  5 � �f (t ) � � �cos  � 30 (b) 6 axcos  Từ (a) (b)  M �� 0; � � � 2� 30 , t  Do góc hai mặt phẳng nhỏ t  hay A  (2) B C  5A � ( A �0) thay vào (*) ta được: x + 2y + 5z + = �B  A Từ (1) (2) suy � Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : x + 2y + 5z + = Bài toán 3: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ lớn Cách giải: r Gọi VTPT mp(P) nP  ( A; B; C )( A2  B  C  0) uur uur Vì d �( P) � ud nP   Gọi góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ :  ,(0 � � ) uuruur nP ud ' A Tính sin  uur uur  f (t ) , với t  ( B �0) B nP ud ' r Từ bảng biến thiên hàm số f (t ) � max f (t ) � t  ? � nP  ( A; B; C ) Lập phương trình mp(P) Ví dụ: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d : d' : x 1 y  z   1 x  y 1 z   Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho góc 1 mặt phẳng (P) đường thẳng d’ lớn Hướng dẫn: r Gọi VTPT mp(P) : n P  ( A; B; C ),( A2  B  C �0) Vì mp(P) chứa d nên qua điểm M o (1; 2; 0) �d , phương trình mp(P) có dạng : A( x  1)  B ( y  2)  Cz  (*) uur uur Ta có : d �( P) � ud nP  � C  A  B (1)  Gọi góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ :  ,(0 � � ) Ta có: S in   A  3B (4 A  3B)  2 A2  AB  B A  AB  5B - TH1: Nếu B = sin  - TH2: Nếu B �0 , đặt t  2 (a) A B (4t  3) (4t  3) Ta có: Sin  Đặt hàm số f (t )  2t  4t  2t  4t  Xét hàm số f (t )  (4t  3) R 2t  4t  10 25 Từ bảng biến thiên hàm số f (t ) � �f (t ) � � �sin  � (b) axsin  So sánh (a) (b) � M �� t  7 0; � � � 2� Vậy góc  đường thẳng d ' mp (P) nhỏ t  7 � A  7 (2) B �A  7 B ( B �0) thay vào (*) ta được: 7x - y + 5z - = C  5 B � Từ (1) (2) ta suy � Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : 7x - y + 5z - = Nhận xét : Có thể mở rộng tốn lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d cho góc hai mặt phẳng góc đường thẳng mặt phẳng thỏa mãn điều kiện Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng Ở số tốn lập phương trình đường thẳng việc áp dụng phương pháp hàm số khái qt tốn sau: Bài tốn: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A Lập phương trình đường thẳng d thỏa mãn điều kiện sau: - Đường thẳng d nằm mp(P), qua A cách điểm B cho trước - Đường thẳng d qua A, song song với mp(Q), tạo với d ' góc lớn nhất, nhỏ - Đường thẳng d qua A cắt đường thẳng d ' , cách  khoảng lớn - Đường thẳng d qua A cắt d ' , tạo với  góc lớn nhất, nhỏ Cách giải: r - Gọi VTCP đường thẳng d u d  (a; b; c), a  b  c �0 Từ điều kiện tốn (từ cơng thức góc khoảng cách) ta thiết lập biểu thức liên quan hai ba ẩn a, b, c (giả sử a b) Xét hai trường hợp: TH b  TH b �0 a b Trong TH b �0 , đặt t  Dùng bảng biến thiên hàm số f (t ) ta suy giá trị cần tìm t Và viết phương trình đường thẳng d Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   Và điểm A(1;0;0) ; B (0;2; 3) Lập phương trình tham số đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: r Gọi VTCP đường thẳng d là: u d  (a; b; c), a  b  c �0 11 r r d �( P) � u d n P uuu r AB  (1;2; 3) ;  � c  a  2b (1) uur uuu r � � (2a  7b;2 a  2b;2a  b) u , AB d � � uur uuu r � 2 ud , AB � � � 12a  24ab  54b  uur Ta có: d ( B, d )  2a  4ab  5b ud - TH1: Nếu b = d ( B, d )  - TH2: Nếu b �0 , đặt t  a b 12t  24t  54 Khi đó: d ( B, d )   2t  4t  Xét hàm số: f (t )  12t  24t  54 f (t ) Đặt hàm số: f (t )  2t  4t  12t  24t  54 R 2t  4t  Từ bảng biến thiên f(t) ta suy ra:  f (t ) �14  d ( B, d ) � 14 Kết hợp hai trường hợp ta có: �d ( B, d ) � 14 +) Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ b=0, thay vào (1) ta có �x   t r � a  c �0 Chọn VTCP u  (1;0;1) Phương trình đường thẳng d : �y  �z  t � +)Và khoảng cách từ B đến d lớn 14 t  1 � r a  1 � a  b thay b vào (1) ta có c  b Chọn VTCP d u  (1;1;1) phương trình tham số �x   t � đường thẳng cần tìm : �y  t �z  t � Nhận xét : - Có thể mở rộng tốn sau: Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng thỏa mãn điều kiện - Có thể sử dụng hình học túy để làm - Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  qua M0 , có vectơ phương uuuuuuuur ur � M M ,u � u là: d(M1 ,Δ)= � ur � ur u Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d qua 12 A (1;-1;2), song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z   , đồng thời d tạo với đường thẳng d ' : x 1 y 1 z   góc lớn nhất, nhỏ 2 Hướng dẫn: uur Gọi VTCP đường thẳng d là: ud  (a; b; c), a  b  c �0 uur uur uur d / /(Q) � ud nQ  � c  2a  b (1); ud '  (1; 2; 2)  Gọi góc hai đường thẳng d d '  ,(0 � � ) 5a  4b (5a  4b)2  2 5a  4ab  2b 5a  4ab  2b - TH1: Nếu b = cos  a - TH2: Nếu b �0 , đặt t  b Ta có cos  (5t  4) (5t  4)2 Khi đó: cos   f (t ) Đặt f (t )  5t  4t  5t  4t  Xét hàm số: f (t )  12t  24t  54 2t  4t  Từ bảng biến thiên hàm số f(t) �0 f (t ) 25 � �cos � Gộp hai trường hợp � �cos � +) Vậy góc hai đường thẳng d d ' lớn cos  sảy t  a  (2) b � 4b a � r � (b �0) ta chọn VTCP d u  (4;5;3) Từ (1) (2) ta suy � 3b � c � Do phương trình đường thẳng d : x 1 y 1 z    +) Và góc hai đường thẳng d d ' nhỏ cos  t  a   (3) b 13 Từ (1) (3) � b a � � � (b 7b � c � r 0) ta chọn VTCP d u  (1; 5;7) Do phương trình đường thẳng d : x 1 y 1 z    5 Nhận xét : - Có thể mở rộng tốn sau : Lập phương trình đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng (Q) , đồng thời d tạo với đường thẳng d ' góc thỏa mãn điều kiện - Có thể sử dụng hình học túy để làm Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình tham số đường thẳng d qua A(0; 1;2) cắt đường thẳng d ' : x 1 y z    cho 1 1) Khoảng cách từ B(2;1;1) đến d lớn nhất; nhỏ 2) Khoảng cách d  : x 5 y z   lớn 2 Hướng dẫn: 1) Giả sử d �d '  M � M ( 1  2t; t;2  t ), t �R r uuuu r Ta có VTCP d : u d  AM  (2t  1; t  1; t ) uuu r uur uuu r � AB AB  (2;2; 1) ; � ; ud � � (1  t ;1;4  2t ) uuu r uu r � � 5t  18t  18 AB ; u d � �   r Ta có: d ( B, d )  6t  2t  ud Xét hàm số : 5t  18t  18 f (t ) Đặt f (t )  6t  2t  5t  18t  18 f (t )  6t  2t  Từ bảng biến thiên hàm số f (t ) � �f (t ) �9 � 11 �d ( B; d ) �3 11 - Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d lớn t  � �x  t r � u d  (1;1;0) � phương trình đường thẳng d cần tìm : �y  1  t �z  � 14 - Và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ t  � 11 �x  3t r � u d  (3;3; 2) � phương trình đường thẳng cần tìm : �y  1  3t �z   2t � 2) Tương tự câu ta có d �d '  M � M (1  2t ; t ;2  t ), t �R r uuuu r Ta có VTCP d : u d  AM  (2t  1; t  1; t ) (*) r Từ phương trình   u   (2; 2;1) N  (5;0;0) � uuur r r � AN  (5;1; 2) ;  u ; ud   (t  1; 4t  1;6t ) r r Khi d (, d )  Xét hàm số: f (t )  uuur  u ; ud  AN r r  u ; u d  (2  t ) (2  t )  .Đặt f (t )  53t  10t  53t  10t  (2  t ) R 53t  10t  Từ bảng biến thiên hàm số f (t )  26 � d( ,d) Ta có �f (t ) � (2  t ) 53t  10t  26 Vậy khoảng cách hai đường thẳng d  lớn Thay t  26 t  , 37 r vào (*) ta chọn VTCP d u  (29; 41;4) 37 �x  29t � Vậy phương trình tham số đường thẳng d : �y  1  41t �z   4t � Nhận xét : - Có thể mở rộng tốn thỏa mãn điều kiện cho trước - Có thể sử dụng hình học túy để làm Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua A (-1;0;-1) cắt đường thẳng d ' : cho góc đường thẳng d  : x 1 y  z    1 x 3 y 2 z 3   lớn nhất; nhỏ 1 2 Hướng dẫn: Giả sử d �d '  M � M (1  2t ;2  t ; 2  t ), t �R r uuuu r r Vì A, M �d � u d  AM  (2t  2; t  2; 1  t ) ; u  (1; 2; 2) 15  Gọi góc hai đường thẳng d   ,(0 � � ) 2 t2  Ta có: cos   6t  14t  Xét hàm số : f (t )  t2 f (t ) Đặt f (t )  6t  14t  t2 R 6t  14t  t2 Từ bảng biến thiên hàm số f (t )  : 6t  14t  Ta có: �f (t ) �9 � �cos  �2 5 +) Vậy góc hai đường thẳng d  lớn cos  sảy r t  � ud  (2; 2; 1) � tắc đường thẳng cần tìm : +) Và góc hai đường thẳng d sảy t   x 1 y z 1   2 1 nhỏ cos  5 r 9 Ta chọn VTCP d u  (4;5; 2) � phương trình tắc đường thẳng cần tìm : x 1 y z 1   4 Nhận xét : Có thể sử dụng hình học túy để làm mở rộng toán thỏa mãn điều kiện cho trước Trong trắc nghiệm khó học sinh thử đáp án ra, có khơng thể thử được, mà phải làm tự luận kết quả, có thử cịn phức tạp Trong khuôn khổ đề tài hướng dẫn cho học sinh giải tự luận 2.3.2.Một số tập tự luyện Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp (P): x+2y-z+5=0 đường thẳng d: x 1 y 1 z    Lập phương trình mp(Q) chứa d cho góc hai 2 mặt phẳng (P) mp(Q) nhỏ Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y  z    3 Lập phương trình mp(  ) chứa d cho khoảng cách từ A(1;0;5) tới (  ) lớn Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 uuur uuur điểm M  m; m; m  , để MB  AC đạt giá trị nhỏ m bằng: A B C D 16 Bài 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 điểm M  m; m; m  , để MA2  MB  MC đạt giá trị lớn m bằng: A B C D Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2; 4; 1) , B(1; 4; 1) , C (2; 4;3) D (2; 2; 1) Biết M  x; y; z  , để MA2  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ x  y  z bằng: A B C D Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1; 0;1 , B  2;1;  , đường thẳng d: x 1 y 1 z   Tìm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến AB nhỏ 1 Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1; 2;1 , B  0; 2; 1 , C  2; 3;1 Điểm 2 M thỏa mãn T  MA2  MB  MC nhỏ Tính giá trị P  xM  yM  3z M : A P  101 B P  134 C P  114 Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : D P  162 x  y z   hai điểm 1 A(1;2; 1), B(3; 1; 5) Lập phương trình thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn Đường thẳng d có phương trình là: x 1 y  z 1   1 1 x 1 y  z 1   C d : 2 1 x 1 y  z 1   1 x 1 y  z 1   D d : 2 1 Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z - = hai A d : B d : điểm A(3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với mặt phẳng (P), tìm đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ A x + = y = z - 31 C 12 - x y+3 z- = = 21 11 - B x + = y = z - 26 D 11 - x- y+4 z = = 12 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Khi chưa dạy cho học sinh cách sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ không gian cho em làm kiểm tra 45 phút, thu kết sau: Số Điểm 8HS 10 Điểm từ 6,5 Điểm từ đến đến dưới dưới 6,5 Điểm từ đến dưới Điểm dưới 17 36 0 2,8% 11,1% 16 44,4% 15 41,7% Kết thấp, đa số em không làm được, số có làm kết khơng đúng.Trong số câu hỏi trắc nghiệm học sinh khoanh ngẫu nhiên, không suy nghĩ lời giải Nguyên nhân kết học sinh thiếu cơng cụ để giải tốn Sau sử dụng đề tài này, chất lượng môn học nâng lên rõ rệt Các em hiểu nhanh, tỏ hứng thú, tích cực chủ động làm tập tương tự Tôi thay số đề kiểm tra trước cho học sinh làm lại tiết học Kết cụ thể qua kiểm tra sau: Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5 Điểm từ HS đến dưới đến dưới 6,5 36 5,5% 25% 15 36,2% Điểm từ đến dưới 19,4% Điểm dưới 13,9% Kết luận kiến nghị : 3.1 Kết luận: Cực trị hình học tọa độ khơng gian dạng tốn khó học sinh, giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp lý rèn luyện cho học sinh khả tư duy, khả hệ thống kiến thức Sau giáo viên phải kiểm tra đánh giá rút kinh nghiệm cho em việc vận dụng phương pháp 3.2 Kiến nghị: - Phương pháp giải cần đưa vào sách giáo khoa với phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp sử dụng hình khơng gian để em sử dụng thành thạo - Mở rộng với toán tương tự theo chủ đề tìm cực trị Mặc dù có đầu tư thu kết trình giảng dạy, song điều kiện thời gian hạn chế nên viết mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hồn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA Nga Sơn, ngày 22 tháng năm 2020 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Mai Thị Hồng 18 Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao Bài tập hình học 12 nâng cao Bài toán liên quan đến cực hình học tọa độ đề thi học sinh giỏi , đề thi thử THPT Quốc gia 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Thị Hồng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Đình TT 11 2 3 Tên đề tài SKKN Phát huy tính tích cực sáng tạo chủ động cho học sinh thơng qua việc giải tốn cực trị chương trình tốn 12 Phương pháp ”lượng giác hóa“ để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Kỹ thuật tìm hàm đặc trưng để giải số phương trình chương trình tốn THPT Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp tỉnh C 2008-2009 Cấp tỉnh C 2012-2013 Cấp tỉnh C 2014-2015 20 ... thú say mê học hình học cho học sinh Trong trình giảng dạy đúc rút mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ không gian? ?? hi vọng với... phần giúp học sinh rèn luyện khả tư phương pháp sử dụng hàm số hình học tọa độ khơng gian, toán lên quan đến cực trị, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải tốn, giúp em tự tin để bước... học sinh giỏi tỏ lúng túng làm sai Để giải vấn đề đó, tơi tiến hành hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hàm số để giải số tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian, với đề tài hi vọng phần giúp