SKKN tìm hiểu bài toán cự trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy Người thực hiện: Lê Đức Huy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học THANH HỐ NĂM 2018 PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, tốn cực trị mơ hình đơn giản toán kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục đề thi học sinh giỏi, đại học năm gần đây, tốn cực trị nói chung đưa vào thường xun Điều đặt cho q trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng trình giáo dục tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích III Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.Khách thể đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 2.phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích giảng dạy trường IV.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học V.Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Có hệ thống tập hay, khó Phương pháp giải đa dạng , gắn gọn PHÂN 2: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a b � ac bc c0 c0 � a � � � b �   ; a  b � ac  bc �a  b �ac bd � cd � 0ab � � ac  bd � 0cd � a  b � a n 1  b n 1 ; n �N *  a  b � a n  b n ; n �N * 0ab� a  b ab� a  b Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số f  x  xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số f  x  D �f  x  �M x �D; � � M  Max f x � D  x � D : f x  M � �     Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số f  x  D �f  x  �m x �D; � � m  f x � D  x � D : f x  m � �     Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Cho n số khơng âm: a1; a2 ; ; an a  a   a n �n a a a n n ta có: Dấu xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai n số: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn ta có bất đẳng thức:  a1.b1  a2 b2   an bn  � a12  a22   an2   b12  b22   bn2  Dấu xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Định lý Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b hàm số tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn  a; b Phương trình tham số đường thẳng r r Đường thẳng  qua M  x0 ; y0  nhận u  a; b  �0 làm vector phương �x  x0  at ; �y  y0  bt Khi  có phương trình tham số là: � Phương trình tổng quát đường thẳng r r M x ; y u a ; b �   Đường thẳng qua điểm  0  nhận  làm vector pháp tuyến Khi  có phương trình tổng qt là: a  x-x   b  y  y0   � ax  by  c  0;  c   ax  by0  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng  có phương trình tổng qt: ax + by + c = điểm M  x0 ; y0  Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  tính cơng thức: d  M ,    ax  by0  c a2  b2 Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng 1 ;  có phương trình  1  : a1 x  b1 y  c1   a12  b12 �0  ;    : a2 x  b2 y  c2   a22  b22 �0  Gọi  góc hai đường thẳng cho Khi đó: cos  a1a2  b1b2 a12  b12 a22  b22 10 Phương trình tổng quát mặt phẳng r r Cho đường thẳng  qua M  x0 ; y0 ; z0  nhận n  a; b; c  �0 làm vector pháp tuyến Khi đường thẳng  có phương trình tổng qt là: a  x  x0   b  y  y0   c  z  z0   � ax + by + cz + d = 0;  d = -ax0  by0  cz0  11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng    : ax + by + cz + d = điểm M  x0 ; y0 ; z0  Khoảng cách từ điểm M đến    tính cơng thức d  M ,     ax  by0  cz0  d a  b2  c II Tình hình thực tế trước thực đề tài Các tốn cực trị hình học giải tích dạng tập khó xuất nhiều đề học sinh giỏi trường, tỉnh kì thi quan trọng Đây dạng khó nên đa số học sinh gặp dạng tốn lúng túng không giải Học sinh chưa biết phối hợp cách khéo léo lý thuyết, tập để hình thành tư để giải tốn khó Từ thực tế trên, sau Tơi xin trình bày phương pháp tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng 1.Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài 1.Cho đường thẳng  : x  y   0; A  0;6  ; B  2;5  Tìm điểm M � cho: a) MA  MB nhỏ b) MA  MB lớn Lời giải a)Phân tích: Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng  điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng  với đường thẳng AB Nếu hai điểm A, B phía so với đường thẳng  (Hình 1) ta thực theo bước sau A B � a ; � � � b  � M  Hình Bước 1: Xác định điểm A/ điểm đối xứng với A qua  Bước 2: Từ đánh giá: MA  MB  MA/  MB �A/ B  số Dấu xảy A/ ; M ; B thẳng hàng Nên ta viết phương trình đường thẳng A/ B Bước 3: Điểm M   �A/ B Với thuật toán ta đến lời giải chi tiết cho câu a) sau: Đặt f  x; y   x  y  Ta có: f  0;6    12   10; f  2;5    10   6 Như hai điểm A; B nằm phía so với đường thẳng  Gọi A/ điểm đối xứng với A qua  Đường thẳng AA / : 2( x  0)  1( y  6)  � x  y   Gọi I  AA / � Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: 2x  y   � �x  2; �� � I  2;2  � �x  y   �y  / Do I trung điểm AA / nên ta có: A  4; 2  uuuu r Từ A/ B   2;7  Đường thẳng A/ B : 7( x  2)  2( y  5)  � x  y  24  Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm hệ phương trình: � 11 x ; � �x  y   11 19 � � � �� �M� ; � � x  y  24  �4 � � �y  19 � Trong trường hợp câu b) thuật tốn lại có khác biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm hai phía so với  ta lại phải tìm điểm A/ đối xứng với A qua  Sau ta sử dụng đánh giá: MA  MB  MA/  MB �A/ B  số Dấu xảy / M , A/ , B thẳng hàng Từ tìm tọa độ M  M  A B �  Nếu hai điểm A; B nằm phía so với  ta có đánh giá: MA  MB �AB  số Dấu xảy M ; A; B thẳng hàng Do điểm M cần tìm giao AB với  Sử dụng kết câu a) ta có hai điểm A; B nằm phía so với  nên ta có đánh giá: MA  MB �AB  số Dấu xảy M ; A; B thẳng hàng uuu r Ta có AB   2; 1 nên AB :1( x  0)  2( y  6)  � x  y  12  Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: �x  5; �x  y  12  � � 7� � � �M� 5; � � y � 2� �x  y   � � Để củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập: Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  2;1 Đường thẳng  qua M cắt Ox; Oy A  a;0  ; B  0; b  ;  a  0; b   a)Tìm a; b để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? a) Tìm a; b : 1  đạt giá trị nhỏ nhất? OA OB b) Tìm a; b : OA  OB đạt giá trị nhỏ nhất? a) Lời giải x a Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:  :  y 1 b Nhận thấy tam giác OAB vuông O nên: SOAB  a.b a b Mặt khác M � �   1;  1 2 �۳۳2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a b ab 2 ab ab 8;  2 Từ suy ra: SOAB  ab �4 Dấu xảy   xảy dấu �2  � a  4; � �a b �� Khi kết hợp với  1 ta có hệ phương trình: � b  �2   � �a b Bình luận: Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận thấy tính hiệu cao, lời giải gọn gàng đẹp Vấn đề học sinh cần tìm hiểu nhiều cách giải cho đề toán Do thủ thuật người thầy (theo cá nhân tôi) sau lời giải toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải khác khơng? Câu hỏi làm cho học sinh có hứng thú tìm tòi, phải làm cho học sinh thấy khơng nên lòng theo kiểu “ăn xổi” a) Lời giải Từ kết  1 ta rút ra: a  1� b  a b a2 Theo b  0; a  � a  Từ đó: SOAB a2  ab   f  a ; 2a   a  2 Ta khảo sát hàm số f  a  miền a  f  a  / 2a  2a    2a  2a   a0 � f /  a  � � a4 �  2a  8a  2a    l  t / m a2  � Lại có: lim f  a   lim a �2 a �2 a    a2 lim f  a   lim  � a �� a �� 2a  Lập bảng biến thiên ta có: a f /  a  �  � � f  a f  4 f  a   f  4  Suy ra: amin 2 a  4; � b  � Với a  � b  Vậy giá trị cần tìm là: � Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thông mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng OAB ta có: 1 1   �  số Dấu xảy M �H 2 OA OB OH OM Tức OM  AB uuu r uuuu r 2a  b  � � �AB.OM  � �a  ; � �2 �� Vậy ta có hệ phương trình: �  1 �M � � � b  � �a b � a ; � Vậy giá trị cần tìm là: � � b  � Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Còn lời giải khác không? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! 2 1 �1 � �1 �   � � � � gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Để ý thấy: 2 OA OB �a � �b � Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải 2 a b Theo M � �   Xét: 1� �1 �1 �  ��  1 �  �  Bunhiacopxki  � b� �a �a b � � 1  � Dấu xảy 2a  b a b2 b  2a � � a ; � � �� Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: �2  1 � � b  � �a b 10 � a ; � Vậy giá trị cần tìm là: � � b  � Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác không? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có OA  OB  a  b �2 ab ; a b Mặt khác �۳ 2 ab  3 (Theo bất đẳng thức AM-GM) ab 8;   (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: OA  OB �2  Dấu xảy hai a  b; � � đánh giá  3 ;   xảy dấu Điều tương đương với �2 1   � �a b Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có OA  OB  a  b Mặt khác a  1� b  a b a2 Do a  0; b  � a  a a2  a   f  a Ta OA  OB  a  a2 a2 Ta khảo sát hàm số f  a  với a  Ta có f / 2a  1  a    a  a a  4a     a  2  a  2  a  2 � a  2  l ; f /  a   � a  4a   � � � a    t / m � Lại có 11 a2  a lim f  a   lim  � a � � a � � a  a2  a lim f  a   lim  � a2   a�2 a�2 Ta có bảng biến thiên a f /  a f  a � � 2 - + � 3 2 � a   2; � Từ ta có kết luận:  OA  OB    2 � b   � Bài Bài tốn góc sút khung thành Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng  Tìm đường thẳng  điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tò mò cho người làm tốn Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt  tiếp tuyến đường tròn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp lại ta xử lý nào? N  I M A B Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúcvới  M Ký hiệu đường tròn (C) Xét điểm N  khác M Gọi I giao (C) NB Ta có � AMB  � AIB (cùng chắn cung AB) � � ANB  NAI AIB  � AMB � � AMB  � ANB N �M Mặt khác: � 12 Vậy M điểm cần tìm 2.Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài Cho x  y  x  y  12  Tìm: Max biểu thức A  x  y Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường 2 tròn:  C1  :  x     y  3  có tâm I1  2;3 ; R1  Gọi A0 giá trị biểu thức Dễ nhận thấy A0  Do ta 2 đường tròn  C2  : x  y  A0 có tâm I  0;0  ; R2  A0 Vì A0 giá trị biểu thức điều tương đương với  C1  &  C2  phải có điểm chung (*) � I1I  R1  R2 � I1I  R1  R2 (*) � � �R  R  I I  R  R 2 �1  1  2  3  1 ; I1I  R1  R2 � 13   A0 � A0    13   14  13 ;   ; I1 I  R1  R2 � 13  A0  � A0  14  13 �� A0  14  13 � �  3 ; R1  R2  I1 I  R1  R2 � A0   13  A0  �A0  14  13 � � � �A0  14  13 � � A0   13 � 14  13  A0  14  13 13 So sánh kết (1); (2) (3) ta có MaxA  14  13 Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: Bài Cho x; y thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường tròn  C1  u cầu tìm min, max biểu thức Q biểu thức Q biến đổi đưa phương trình đường tròn  C2  Quay lại Bài ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có A  x  y  x  y  12 Như gọi A0 giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ 2 đường thẳng  : x  y  12  A0  đường tròn  C1  :  x     y  3  có tâm I1  2;3 ; R1  phải có điểm chung (**)  ** � d  I1 ,   �1 ۣ  18  12  A0 16  36 � 14  A0 � 52 �  52 �14  A0 � 52 � 14  13 �A0 �14  13 Vậy Max A  14  13 Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường tròn PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 14 Bài 1.Cho hai điểm A  2;5  ; B  4;5  đường thẳng  : x  y   Tìm điểm �3 � M � : MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: M � ; �) �2 � Bài 2.Cho hai điểm A  2; 5  ; B  4;5  đường thẳng  : x  y   Tìm điểm N � : NA  NB đạt giá trị lớn nhất? �x  t ; Tìm M � �y   2t Bài 3.Cho hai điểm A  1;2  ; B  0; 1 đường thẳng  : � cho : a) MA  MB đạt giá trị nhỏ b) MA  MB đạt giá trị lớn Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  qua điểm A  1;3 cắt trục Ox, Oy M, N cho  đạt OM ON giá trị nhỏ nhất? Bài 5.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 6.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M  3;2  , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho OA  2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  với điều kiện: x2 y   Bài 8.Cho đường tròn:  C  : x   y  1  & A  2; 3  ; B  1;3 Tìm điểm H đường tròn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ 15 2 Bài 9.Cho đường tròn:  C  : x  y  x  y   0; & M  5; 3  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 10.Cho đường thẳng:  : x  y   & A  2;3 ; B  4;1 Tìm M � cho �6 11 � ) MA2  3MB đạt giá trị nhỏ (Đ/s: M � ;  � �5 � PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN Chuyên đề thực lớp 11A1 năm học 2017-2018 Để đánh giá kết chuyên đề thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Kết cụ thể thống kê bảng sau KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A1 � 10 Điểm Trước 27 10 Sau 15 5 Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực tốn cực trị hình giải tích (Oxy) PHÂN 5: KẾT LUẬN Chuyên đề có giá trị thực tiễn công tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng tốn cực trị khơng gian Do trình độ nên chun đề số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ phương pháp toạ độ hình học Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Những điểm sáng kiến kinh nghiệm PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy” I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN PHẦN 5: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1 1 1 2 4 11 13 15 15 XÁC NHẬN CỦA HỆU TRƯỞNG Thanh Hố, ngày 25 tháng 05 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 17 Lê Quốc Tuấn Lê Đức Huy 18 ... KIẾN KINH NGHIỆM “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương trình... mạnh dạn đưa ý tưởng Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích III Đối tượng... thuyết, tập để hình thành tư để giải tốn khó Từ thực tế trên, sau Tơi xin trình bày phương pháp tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương