Toán ôn thi đại học - chuyên đề 7 hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 196  Chuyên đề 7: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY  Vấn đề 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI A. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM I. TỌA ĐỘ VECTƠ  1 2 1 2 a (a ;a ) a a i a j    Với i = (1; 0) véctơ đơn vò của trục Ox j = (0; 1) véctơ đơn vò của trục Oy II. TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM  M M M M OM (x ; y ) M(x ; y ) Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) ta có kết quả sau. B A B A 22 B A B A i) AB (x x ;y y ) ii) AB AB (x x ) (y y )         iii) M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA kMB; k 1 Khi đó tọa độ điểm M là: AB M AB M x kx x 1k y ky y 1k             iv) M trung điểm AB tọa độ điểm M AB M AB M xx x 2 yy y 2            III. TÍNH CHẤT VECTƠ Cho 1 2 1 2 a (a ; a ), b (b ; b ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1. a b (a b ; a b ) 2. ka k(a ;a ) (ka ; ka )      1 1 2 2 3. a.b a b a b 22 12 4. a a a 11 1 1 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 ab a b a b a.b 5. a b 6. cos(a,b) ab a . b a a b b            O y x B A j a j TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 197 7. a cùng phương       1 2 2 1 b a kbhayb ka a b a b 0 8. 1 1 2 2 a b a.b 0 a b a b 0      B. ĐƯỜNG THẲNG  a 0 : a gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  khi giá của a cùng phương với đường thẳng  Nếu a là vectơ chỉ phương của  thì k a cũng là vectơ chỉ phương của  (k  0)  n 0 : n gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi n  Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn cũng là vectơ pháp tuyến của  (k  0)  Cách đổi giữa vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n của đường thẳng  Có: n = (A; B)  u = (B;  A) hay u ( B; A) Có 1 2 2 1 u (a ; a ) n (a ; a )    hay 21 n ( a ; a ) I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 22 : Ax By C 0; A B 0       n (A ; B)   ,  Nếu A = 0  C :y B    nên  // Ox (C = 0 thì   Ox)  Nếu B = 0  C :x A    nên  // Oy (C = 0 thì   Oy)  Ox: y = 0, Oy: x = 0 . II. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) và có vectơ pháp tuyến n (A; B); (A 2 + B 2 > 0) Phương trình tổng quát d: A(x  x 0 ) + B(y  y 0 ) = 0 2. Phương trình đường thẳng d đi qua M(x 0 ; y 0 ) và có vectơ chỉ phương 12 u (a ; a ) (a 1 2 + a 2 2  0)  Phương trình tham số d: 01 02 x x a t t y y a t       a  a n Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 198  Phương trình chính tắc d: 00 12 x x y y aa    Phương trình tổng quát d: a 2 (x  x 0 )  a 1 y (y  y 0 ) = 0 3. Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) Phương trình chính tắc d: AA B A B A x x y y x x y y    4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng d cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0, b) có dạng d: xy 1 ab  (a  0, b  0) Lưu ý: Cho d: Ax + By + C = 0  d' // d  d': Ax + By + C' = 0 (C'  C)  d'  d  d': Bx  Ay + C' = 0 hay  Bx + Ay + C' = 0 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Lập 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A B C B A C D , Dx , Dy A B C B A C    i/ d 1 cắt d 2  D  0 ii/ d 1 // d 2  D 0 D 0 hoặc Dx 0 Dy 0      iii/ d 1  d 2  D = Dx = Dy = 0 IV. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  Cho d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0  1 1 1 n (A ;B ) d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0  2 2 2 n (A ;B ) 12 1 2 1 2 2 2 2 2 12 1 1 2 2 n .n A A B B cos n . n A B A B       Nếu d 1 , d 2 là các đường thẳng không đứng. d 1 : y = k 1 x + b 1 ; d 2 : y = k 2 x + b 2 tan(d 1 , d 2 ) 21 12 kk 1 k .k    V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B là: 22 B A B A AB (x x ) (y y )    TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 199 2. Khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng d: Ax + By + C = 0 d(M, d) 00 22 Ax Bx C AB    Lưu ý:  d(M, Ox) =  y M   d(M, Oy) =  x M  VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TẠO BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0  Khi đó phương trình hai đường phân giác là: 1 1 1 2 2 2 12 2 2 2 2 1 1 2 2 A x B y C A x B y C tt A B A B            Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù. Dấu 12 n .n Phân giác góc tù Phân giác góc nhọn 12 12 n .n 0 n .n 0   t 1 = t 2 t 1 =  t 2 t 1 =  t 2 t 1 = t 2 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. Giải  M    M(m; m – 4) và N  d  N(n; 2n – 2).    OM m; m 4 ,   ON n; 2n 2 .  O, M, N thẳng hàng  OM cùng phương ON  m(2n – 2) – n(m – 4) = 0  mn – 2m + 4n = 0  4n m 2n    OM.ON = 8      22 22 m m 4 n 2n 2 64                  22 2 2 4n 4n 4 n 2n 2 64 2 n 2 n                             22 2 2 nn 16 16 1 n 2n 2 64 2 n 2 n                          d 1 d 2  2  1  O d  N M Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 200    22 2 2 n 2n 2 n 2n 2 4 2 n 2 n                                 2 2 2 22 n 2n 2 n 2n 2 4 2 n                   2 2 2 5n 8n 4 4 2n                22 5n 8n 4 4 2n 5n 8n 4 4 2n 0                 22 5n 6n 5n 10n 8 0            n = 0 hoặc 6 n 5  . Vậy N(0; –2) hoặc 62 N; 55    . Cách 2: Nhận thấy rằng O, M, N thẳng hàng, do đó ta có thể chuyển điều kiện OM.ON = 8 sang hệ thức vectơ bằng cách: Vẽ hai đường thẳng d và  trong mặt phẳng (Oxy), ta có hai vectơ OM và ON cùng hướng, nên: OM.ON = 8  OM . ON = 8  mn + (m – 4)(2n – 2) = 8  3mn – 2m – 8n = 0. Khi đó ta có hệ phương trình: 3mn 2m 8n 0 mn 2m 4n 0             3 2m 4n 2m 8n 0 mn 2m 4n 0                  m 5n 5n n 2 5n 4n 0           n = 0 hoặc 6 n 5  . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(–4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Giải  Gọi d là đường phân giác trong của góc A  d: x – y – 1 = 0, và gọi B' đối xứng với B qua d  B' AC.  BB' đi qua B(–4; 1) và vuông góc với d. suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0  x + y + 3 = 0.  Gọi I là giao điểm của BB' và d, suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: x y 3 0 x 1 x y 1 0 y 2                I(–1; –2).  I là trung điểm của BB'  B' I B B' I B x 2x x 2 y 2y y 5            B'(2; –5). A C B I M G  d B’ TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 201  Gọi M là trung điểm của AC  BG 2GM      G B M G G B M G x x 2 x x y y 2 y y             GB M GB M 3x x 7 x 22 3y y y1 2             7 M ; 1 2    .  AC đi qua hai điểm B' và M  AC: x 2 y 5 7 15 2 2      4x – y – 13 = 0.  A là giao điểm của d và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 4x y 13 0 x 4 x y 1 0 y 3              A(4; 3).  M là trung điểm của AC nên: C M A C M A x 2x x 3 y 2y y 1            C(3; –1). Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; –4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45 o . Giải Gọi  : a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 với a 2 + b 2  0 Ta có: 0 22 ab 1 cos45 2 2. a b    22 a b a b    2 2 2 2 a b 2ab a b     ab 0 a 0 b 0      Vậy  1 : y + 4 = 0 và  2 : x – 2 = 0 Cách 2: d: x + y + 3 = 0  góc giữa Ox và d là 45 0  hợp với d một góc 45 0   cùng phương với Ox hoặc Oy Mà  qua A (2; –4)  phương trình  là x = 2 hoặc y = –4. Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Giải Toạ độ A là nghiệm hệ phương trình: x 3y 7 3x 2y 7      x1 y2       Đường cao AH qua A và có 1 vectơ pháp là n = (5; –4)  AH: 5x 4y 3 0   . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 202 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho Giải Phương trình đường cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0  x – y = 0 Gọi K là giao điểm của IJ và AH (với IJ: x + y – 4 = 0) suy ra K là nghiệm của hệ  x y 0 x y 4    K (2; 2) K là trung điểm của AH   H K A H K A x 2x x 4 6 2 y 2y y 4 6 2              H (–2; –2) Phương trình BC: 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0  x + y + 4 = 0 Gọi B (b; –b – 4)  BC Do H là trung điểm của BC  C (–4 – b; b); E (1; –3) Ta có: CE (5 b; b 3)    vuông góc với BA (6 b;b 10)   Nên (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0  2b 2 + 12b = 0  b = 0 hay b = –6 Vậy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6) . Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Giải Ta có phân giác trong góc A là (d): x + y – 5 = 0 song song với đường phân giác d’ của góc phần tư thứ II, nên góc M 1 bằng góc A 1 bằng 45 0 . Suy ra AC // Ox  phương trình AC: y = 1 Ta có A = AC  d nên A(4; 1)  AC = 8 Mà diện tích ABC = 24 nên 1 2 AC.AB = 24  AB = 6 Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên B (4; 7). Vậy phương trình của BC là: 3x – 4y + 16 = 0 A B C d O x y d’ M 1 1 1 – 4 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 203 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và  là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. Giải Cách 1: Gọi H(x 0 ; y 0 ) là hình chiếu của A trên  Ta có: 0 0 0 0 AH (x ; y 2), OH (x ; y )   Từ giả thiết ta có 2 22 0 0 0 0 0 0 2 22 00 0 0 0 x y (y 2) 0 x y 2y 0 AH.OH 0 AH d(H,Ox) x 4y 4 0 x (y 2) y                              0 2 2 0 0 00 2 2 00 00 0 2 0 y 1 5 x 8 4 5 y 1 5 y 2y 4 0 x 4y 4 x 4y 4 0 y 1 5 x 8 4 5 0 (loại)                                                      0 0 x 4 5 8 H 4 5 8; 1 5 y 1 5                  . Phương trình :   ( 5 1)x 4 5 8 y 0    Cách 2:    Oy  H  A: không thỏa AH = d(H, Ox)    Ox  H  O: không thỏa AH = d(H, Ox)  Phương trình : y = kx (k  0) AH 1 y x 2 AHquaA k         là phương trình đường AH Tọa độ H =   AH thỏa hệ 22 2 22 2 2k x y kx k 1 2k 2k H; 1 y x 2 2k k 1 k 1 y k k1                       2 2 22 42 2 2 2 2k 2k 2k AH d(H;Ox) 2 k k 1 0 k 1 k 1 k 1                     Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 204 2 2 15 k 2 2 5 2 k 2 15 k 0 (loại) 2                . Vậy : 2 2 5 yx 2   . Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Giải Gọi N đối xứng với M qua I, suy ra N(11; 1) và N thuộc đường thẳng CD E    E (x; 5 – x); IE = (x – 6; 3 – x) Và NE = (x – 11; 6 – x) E là trung điểm CD  IE  EN hay IE.EN 0  (x – 6)(x – 11) + (3 – x)(6 – x) = 0  x = 6 hoặc x = 7  x = 6  IE = (0; 3); phương trình AB: y – 5 = 0.  x = 7  IE = (1; 4); phương trình AB: x – 4y + 19 = 0. Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác đònh tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Giải Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm BC   ABC 2S 9 AH d A,BC ; BC 4 2 AH 2      2 2 BC 97 AB AC AH 42     Tọa độ B và C là nghiệm của hệ:     22 97 x 1 y 4 2 x y 4 0             Giải hệ ta được:   11 3 x; y ; 22     ;   35 x; y ; 22     Vậy 11 3 3 5 3 5 11 3 B ; , C ; hoặc B ; , C ; 2 2 2 2 2 2 2 2                          A M B C I E N D A  B H C TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 205 Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC Giải Tọa độ A thỏa mãn hệ:   7x 2y 3 0 A 1; 2 6x y 4 0           B đối xứng với A qua M, suy ra B = (3; 2) Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x – y – 4 = 0 Phương trình BC: x + 6y + 9 = 0 Tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thỏa mãn hệ: 7x 2y 3 0 3 N 0; x 6y 9 0 2                AC 2MN 4; 3     ; Phương trình đường thẳng AC: 3x – 4y + 5 = 0 Bài 11: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0 và x + 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B . Giải Giả sử AM: 5x + y – 9 = 0, BH: x + 3y – 5 = 0 AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 0  3x – y + 1 = 0 A = AC  AM  A(1; 4) B  BH  B (5 – 3m; m) M là trung điểm BC  M 4 3m m 2 ; 22     M  AM  5. 4 3m m 2 90 22      m = 0. Vậy B(5; 0) Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng  1 : x – 2y – 3 = 0 và  2 : x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  2 bằng 1 2 . Giải M   1  M(2m + 3; m)   2 2m 3 m 1 11 d M, 3m 4 1 2 2 2            m = 1 hay m = 5 3 