Toán ôn thi đại học - chuyên đề 6 bất đẳng thức

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 184  Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Một số ghi nhớ:  a 2  0 , (a  b) 2  4ab ;  a, b  a 2  ab + b 2 > 0 ;  a, b  a   a ;  a  a + b a + b ;  a, b  a  b a  b ;  a, b  1  sin x  1; 1  cosx  1 II. Bất đẳng thức Cauchy Cho hai số a, b không âm 1. Ta có: a + b  2 a.b dấu “=” xảy ra khi a = b 2. Nếu a + b = const thì tích a.b lớn nhất khi a = b 3. Nếu a.b = const thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x  y, x  z . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức x y z P 2x 3y y z z x       . Giải Áp dụng bất đẳng thức 1 1 2 1 a 1 b 1 ab    với a, b dương và ab  1. Ta có: x y z 1 1 1 P y z x 2x 3y y z z x 2 3 1 1 x y z                   1 2 1 2 yy z x x 2 3 2 3 11 xx y z y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi zx yz  hoặc x 1 y  . Đặt t = x y . Với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x  y thì t  [1; 2] . Khi đó: P  2 2 2 1 2 t 2 1 1 t 1 t 2t 3 23 t       TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 185 Xét hàm số f(t) = 2 2 t2 1t 2t 3    trên [1; 2] . Ta có: f’(t) = 32 2 2 2 2[4t (t 1) 3(2t t 3)] (2t 3) (t 1)       < 0 , x[1; 2] . Suy ra hàm số f nghòch biến trên [1; 2] . Do đó: f(t)  f(2) = 34 33 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : z x x hoặc  1 x z y x t2 y            (*) . Dễ thấy x = 4, y = 1, z = 2 thỏa (*). Vậy giá trò nhỏ nhất của P bằng 34 33 khi x = 4, y = 1, z = 2 . Cách 2: Lấy đạo hàm theo biến z ta được: P’(z) =       22 yx 0 y z z x =         2 22 x y z xy y z z x    Nếu x = y thì x x z P 2x 3x x z z x       = 6 5 .  Nếu x > y thì P’(z) = 0  2 z xy 0 z xy    . z xy P'(z)  0 + P   P xy Vậy P    P xy = xy xy 2x 3y y xy xy x    = 2y x 2x 3y yx    = x 2 y x x 23 1 y y    . Đặt: t = x y ,     t 1; 2 thì P  2 2 t2 1t 2t 3    Đặt: f(t) = 2 2 t2 1t 2t 3    . Tương tự như trên ta có minP = 34 33 . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 186 Cách 3: Ta có: yz x y z 1 xx P y y z z 2x 3y y z z x 2 3 1 x x x x             Đặt a = y x và b = z x . Vì x, y, z [1; 4] và x  y, x  z nên a, b  1 ; 1 4    . Khi đó: 1 a b P 2 3a a b b 1       . Lấy đạo hàm theo biến b ta được: P'(b) =     22 a1 0 a b b 1   =         2 22 1 a b a a b b 1   .  Nếu a = 1 thì 1 1 b 6 P 2 3 1 b b 1 5        .  Nếu a < 1 thì P'(b) = 0  2 b a 0 b a    . b 1 4 a 1 P'(b)  0 + P   Pa Vậy P   Pa = 1 a a 2 3a a a a 1    . Đặt: t = a 1 t ; 1 2        thì P  2 22 1 t t t1 2 3t t t    . Đặt: f(t) = 2 22 1 t t t1 2 3t t t    = 2 1 t t t 1 t 1 2 3t    = 2 1 2t t1 2 3t    . Ta có:     22 2 6t 2 f '(t) t1 2 3t       0 , 1 t ; 1 2     . Suy ra: f(t) đồng biến trên 1 ; 1 2     f(t) 1 34 f 2 33     . Dấu “=” xảy ra  1 t 2 ba         1 a 4 1 b 2           y1 x4 z1 x2          (*). Dễ thấy x = 4, y = 1, z = 2 thỏa (*). Ta lại có: 34 6 33 5  nên minP = 34 33 . TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 187 Caùch 4 : P = 1 1 1 2 3 1 1 y z x x y z     Đặt a = z y , b = x z . Ta có a > 0, b > 0 ; ab = 1 x y  . P thành 1 1 1 3 11 2 ab ab    Mà 1 1 2 11 1 ab ab    và khi a = b thì dấu “=” xảy ra. Nên P = 1 1 2 2 3 1 1 2 3 1 ab ab ab a b ab ab          . Đặt t = ab , vì 14 x ab y    nên 12t Suy ra P  2 2 2 2 3 1 t tt   = 2 2 4 2 2 34 2 3 11 1 3 33 t tt      = 2 2 3 12 2(2 ) 34 11(2 3) 3(1 ) 33 tt tt    = 2 3( 2) 2 34 (2 ) 11(2 3) 3(1 ) 33 t t tt         = 2 2 35 27 48 34 (2 ) 33(2 3)(1 ) 33 tt t tt       = =   2 2 8 27( 1) 48 34 34 (2 ) , 1,2 33(2 3)(1 ) 33 33 tt tt tt             Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 188 Khi a = b và t = 2 thì P = 34 33 . Do đó P 34 33  và P = 34 33 khi x = 4, y = 1 và z = 2 Vậy ta có minP = 34 33 . ( Ghi chú: 2 35 27 48tt là 1 tam thức bậc 2 có a > 0 và 0 nên ln ln dương ) Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 2 2 a b a b P 4 9 b a b a                     . Giải ª Đặt t = ab ba  ( t > 0 ) thì :  2 22 2 22 a b a b a b 2 . t 2 b a b a ba           3 33 3 33 a b a b a b a b 3 . t 3t b a b a b a ba                    Suy ra: P = 4(t 3 – 3t) – 9(t 2 – 2) = 4t 3 – 9t 2 – 12t + 18 ª Theo giả thiết ta có: 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2)    a b 1 1 2 1 ab 2 b a b a                  (Chia hai vế cho ab  0)    a b 1 1 2 1 a b 2 b a a b                   (1) Ta có:   11 a b 2 ab          11 2 a b .2 ab     = ab 2 2 2 ba     (2) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 11 a b 2 ab       Với t = ab ba  ( t > 0 ) và kết hợp với (1) và (2) ta được: TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 189   2t 1 2 2 t 2      2 4t 4t 1 4 2 t 2       2 4t 4t 15 0    5 t 2  (vì t > 0) . ª Xét P(t) = 4t 3 – 9t 2 – 12t + 18, với  5 t 2 . Ta có: P'(t) = 12t 2 – 18t – 12 > 0,   5 t 2 . Do đó: Hàm số P(t) đồng biến trên 5 ; 2      Suy ra: P(t)  5 23 P 24     . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 22 22 ab 11 a b 2 a b 2 ab 2 ab ab a b 5 a b 5 a b 5 t b a 2 ab 2                                        2 ab 2 a b 2ab 5           ab 2 a b 3       a 1 a 2 b 2 b 1       . Vậy minP = 23 4  khi a 1 a 2 b 2 b 1       . Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) +  2 2 2 2 a b c . Giải Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca  1 = (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)  a 2 + b 2 + c 2 = 1 – 2t và  1 0t 3 Theo B.C.S ta có: t 2 = (ab + bc + ca) 2 ≤ 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )  M ≥     2 t 3t 2 1 2t f(t) f’(t) =   2 2t 3 1 2t f"(t) =   3 2 2 (1 2t) < 0, t  1 0; 3     f’(t) là hàm giảm Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 190    1 11 f '(t) f '( ) 2 3 33 > 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t  1 0; 3     M ≥ 2,  a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1 Khi a = b = 0 và c = 1 thì M = 2. Vậy min M = 2. Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y  1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức  11 A x xy . Giải Cách 1: 1  3x + y = x + x + x + y  3 4 4 x y   3 4 1 4 xy A =     3 4 1 1 2 2 8 x xy x xy xy Khi x = y = 1 4 ta có A = 8. Vậy min A = 8. Cách 2: Áp dụng: a, b > 0:   1 1 4 a b a b A =        1 1 1 2 1 1 xy x x x y x xy 22      48 8 xy 3x y x 22 Khi x = y = 1 4 ta có A = 8. Vậy min A = 8. Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z) 3 . Giải x(x + y + z) = 3yz     y z y z 13 x x x x Đặt        yz u 0,v 0,t u v 0 xx . Ta có:                      2 2 2 u v t 1 t 3uv 3 3 3t 4t 4 0 t 2 3t 2 0 t 2 24 Chia hai vế cho x 3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về                    3 3 3 1 u 1 v 3 1 u 1 v u v 5 u v TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 191                         3 2 2 3 33 33 3 3 3 2 2 t 3 1 u 1 v 3 1 u 1 v 3 1 u 1 v t 5t 2 t 6 1 u 1 v 5t 2 t 6(1 u v uv) 5t 1t 2 t 6 1 t 5t 4t 6t 4t 0 t 2t 1 t 2 0 3                                            Đúng do t  2. Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y) 3 + 4xy  2. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 . Giải 3 32 2 (x y) 4xy 2 (x y) (x y) 2 0 x y 1 (x y) 4xy 0                          2 22 (x y) 1 xy 22 dấu “=” xảy ra khi :  1 xy 2 Ta có:   2 2 2 22 (x y ) xy 4   4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x y ) 3 (x y ) 2(x y ) 1 4 9 (x y ) 2(x y ) 1 4                 Đặt = x 2 + y 2 , đk t ≥ 1 2 2 9 9 1 1 9 f(t) t 2t 1 f '(t) t 2 0, t f(t) f( ) 4 2 2 2 16             Vậy:    min 91 A khi x y 16 2 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của biểu thức    22 (x y)(1 xy) P (1 x) (1 y) Giải Cách 1: Ta có:                  2 2 2 (x y)(1 xy) (x y)(1 xy) 1 1 1 pp 4 4 4 (1 x) (1 y) (1 x) (1 xy) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 192  Khi x = 0, y = 1 thì  1 p 4 là GTNN  Khi x = 1, y = 0 thì  1 p 4 là GTLN Cách 2:            2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y xy x(1 y ) y(1 x ) p (1 x) (1 y) (1 x) (1 y)             22 2 2 2 2 x(1 2y y ) y(1 2x x ) x y (1 x) (1 y) (1 x) (1 y) Ta luôn có: 2 a1 0 ; a 0 4 (1 a)      Nên  max 1 p 4 khi x = 1, y = 0 và  min 1 p 4 khi x = 0, y = 1. Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:          222 x (y z) y (z x) z (x y) P y y 2z z z z 2x x x x 2y y Giải Ta có: x 2 (y + z)  2x x . Tương tự     22 y (z x) 2y y, z (x y) 2z z        2y y 2x x 2z z P y y 2z z z z 2x x x x 2y y Đặt a x x 2y y, b y y 2z z, c z z 2x x      Suy ra: 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a x x , y y , z z 9 9 9          Do đó             2 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a P 9 b c a                           2 c a b a b c 2 4 6 (4.3 3 6) 2 9 b c a b c a 9 Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1. Vậy giá trò nhỏ nhất của P là 2. Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:                      x 1 y 1 z 1 P x y z 2 yz 2 zx 2 xy Giải TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 193 Ta có:      2 2 2 2 2 2 x y z x y z P 2 2 2 xyz Do x 2 + y 2 + z 2 =         2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 2 2 2 Nên                               2 2 2 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z Xét hàm số  2 t1 f(t) 2t với t > 0. Lập bảng biến thiên của f(t) ta suy ra    3 f(t) , t 0. 2 Suy ra:  9 P. 2 Dấu bằng xảy ra  x = y = z = 1 Vậy giá trò nhỏ nhất của P là 9 2 . Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Cho hai số thực x  0 và y  0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x + y)xy = x 2 + y 2  xy. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =  33 11 . xy Giải Từ giả thiết ta suy ra:     22 1 1 1 1 1 x y xy xy Đặt 11 a, b xy  ta có: a + b = a 2 + b 2  ab (1) A = a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + b 2  ab) = (a + b) 2 . Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) 2  3ab. Vì         2 22 a b 3 ab nên a + b ( a + b) (a b) 24  (a + b) 2  4(a + b)  0  0  a + b  4. Suy ra: A = (a + b) 2  16 Với x = y = 1 2 thì A = 16. Vậy giá trò lớn nhất của A là 16. Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:         2 2 2 2 A (x 1) y (x 1) y y 2 Giải Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét M(x  1; y), N(x + 1; y). Do OM + ON  MN nên