Để giúp các bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh đại học về phần hình học giải tích trong không gian oxyz. Mời các bạn tham khảo!
Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Chuyên đề 8: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỌA ĐỘ u (u1; u2 ; u3 ) u u1 i u2 j u3 k a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a.b a1b1 a2 b2 a3 b3 a a a3 a1 a1 a2 a, b ; ; b2 b3 b b b1 b2 a a12 a22 a32 a1 b1 a b a2 b2 a b Cos(a, b) a.b a.b a cù ng phương b a,b a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 a,b,c đồ ng phẳ ng a,b c 10 Diện tích tam giác: SABC AB,AC 11 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD AB,AC AD 12 Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.ABCD AB,AD AA MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác vectơ có giá vuông góc mặt phẳng Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = ( A2 B2 C2 ) ñi qua M(x0 ; y ; z ) () : có vectơ phá p tuyế n : n (A;B;C) () : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) = 231 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khaùc 0) x y z () : a b c Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = ĐƯỜNG THẲNG Véctơ phương đường thẳng vectơ khác vectơ có giá phương với đường thẳng đi qua M (x ; y ; z ) d: có vectơ phương a (a1; a2 ; a3 ) x x0 y y0 z z0 Phương trình tham số : vớ i (a1; a2 ; a3 0) a1 a2 a3 y x x Đường thẳng đặc biệt: Ox : ; Oy : ; Oz z z y B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x 1 y z Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với 2 đường thẳng d cắt trục Ox Giải Gọi M giao điểm với trục Ox M(m; 0; 0) AM = (m –1; –2; –3) Véctơ phương d a = (2; 1; –2) d AM d AM.a 2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = m = –1 Đường thẳng qua M nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ phương x 1 y z nên có phương trình: d 2 P x Cách O qua A cắt trục Ox nên nằm mặt A phẳng (P) qua A chứa trục Ox M qua A vuông góc với d nên nằm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d 232 Ta có: +) Vectơ pháp tuyến (P) n(P) OA,i Q Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – +) Vectơ pháp tuyến (Q) n(Q) ad = (P)(Q) véctơ phương là: a n(P) ,n(Q) Caùch Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (Q): 2x + y – 2z + = Gọi M giao điểm Ox (Q) M(–1; 0; 0) Véctơ phương là: AM Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NAÊM 2011 x y 1 z 2 hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : cho tam giác MAB có diện tích Giải Đường thẳng qua E(–2; 1; –5) có vectơ phương a 1; 3; nên x 2 t có phương trình tham số là: y 3t (t R) z 5 2t M M 2 t; 3t; 5 2t AB 1; 2 ; 1 , AM t; 3t; 6 2t , AB,AM t 12; t 6; t SMAB = AB,AM 2 t 12 2 t 62 t 6 3t2 + 36t = t = hoaëc t = –12 Vậy M(–2; 1; –5) M(–14; –35; 19) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 x2 y2 z 1 1 mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng Giải Tọa độ giao điểm I với (P) thỏa mãn hệ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z 1 I 3; 1; l x 2y 3z Vectơ pháp tuyến (P): n 1; 2; 3 ; vectơ phương : u 1; 1; 1 233 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đường thẳng d cần tìm qua I có vectơ phương: n P 1; 2; 3 , n P 3; 2; 1 x 3 t Phương trình d: y 2t (t z t ) Bài :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + = vaø (P2): 3x + 2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2) Giải Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2): n P 1; 2; 3 , n P 3; 2; 1 (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2) (P) có vectơ pháp tuyến: n P n P ,n P 8; 10; 2 4; 5; Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = Hay (P): 4x – 5y + 2z – = Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm C vuông góc với mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: G trọng tâm tam giác ABC C(1; 3; 4) AB 1; 1; 1 ; AC 2; 2; Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có vectơ phương a AB,AC = 6(1; 1; 0) Mặt khác đường thẳng qua điểm C nên x 1 t Phương trình : y t t z 4 234 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ñieåm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho: MA = MB = MC Giaûi ñi qua A(0; 1; 2) (ABC) : có vectơ phá p tuyế n AB,AC 2(1; 2; 4) Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = x + 2y – 4z + = Cách 1: Ta có: AB.AC nên điểm M nằm đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) trung điểm I(0; 1; 1) BC qua I(0; 1; 1) x y 1 z 1 d: d: 4 có vectơ phương :a (1;2; 4) x 2x 2y z Tọa độ M nghiệm hệ x y z y z 7 1 4 Vaäy M(2; 3; 7) Cách 2: Gọi M(x; y; z) MA MB Ta coù MA MC M () (x 0)2 (y 1)2 (z 2)2 (x 2)2 (y 2)2 (z 1)2 (x 0)2 (y 1)2 (z 2)2 (x 2)2 (y 0)2 (z 1)2 2x 2y z x y M(2; 3; 7) z 7 235 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng d x y z 1 có phương trình: 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O Giải qua A(1; 1; 3) (P) : có vectơ phá p tuyế n n(P) ad (1; 1;2) Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = x – y + 2z – = Goïi M(t; t; 2t + 1) d Tam giác OMA cân taïi O MO2 = OA2 t2 + t2 + (2t + 1)2 = + + 6t2 + 4t – 10 = t t Với t = tọa độ điểm M(1; 1; 3) Với t 5 7 tọa độ điểm M ; ; 3 3 Bài :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x 1 y z đường thẳng : 1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2 + MB2 nhỏ Giải Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4) Ta có: OA (1; 4; 2),OB (1; 2; 2) Vectơ phương d là: u (12; 6; 6) 2; 1; 1 Phương trình đường thẳng d: x y2 z2 1 2/ Vì M M(1 t; 2 + t; 2t) MA2 + MB2 = (t2 + (6 t)2 + (2 2t)2) + ((2 + t)2 + (4 t)2 + (4 2t)2) = 12t2 48t + 76 = 12(t 2)2 + 28 MA2 + MB2 nhỏ t = Khi M(1; 0; 4) 236 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: x t x y 1 z 1 ; d : y 1 2t t d1 : 1 z t Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng Giải Vectơ phương d1 d2 là: u1 (2; 1; 1) u2 (1; 2; 1) vectơ pháp tuyến (P) laø n u1 ,u2 (1; 3; 5) Vì (P) qua A(0; 1; 2) (P) : x + 3y + 5z 13 = Do B(0; 1; 1) d1, C(1; 1; 2) d2 B, C (P), nên d1, d2 // (P) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm laø (P): x + 3y + 5z 13 = Vì M d1, N d2 nên M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; + n) AM (2m; m; m); AN (1 n; 2n; n) AM,AN (mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m) A,M,N thẳng hàng AM,AN m = 0, n = 1 M(0; 1; 1), N(0; 1; 1) Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng x t 1: y 1 t t z 2 : x y 1 z 1 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2 Xác định điểm A 1, B 2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ Giải 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ phương a1 1; 1; 2 qua M2 (3; 1; 0) có vectơ phương a2 1; 2; 1 mp (P) chứa 1 song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến: n a1 ,a2 1; 1; 1 237 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – ) = (vì M1(1; 1; 2) (P)) x+y–z+2=0 2/ AB ngắn AB đoạn vuông góc chung x t Phương trình tham số 1 : y 1 t A 1 A 1 t; t; z x t Phương trình tham số 2: y 2t z t B 2 B t ; 2t ; t AB t t;2 2t t;t AB 1 2t 3t AB.a1 t t Do neân 0 3t 6t AB.a AB 2 A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) Baøi 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) đường thẳng x 3 2t d y t z 1 4t Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt vuông góc với d Giải Lấy M(3 + 2t; t; 1+ 4t) (d) AM = (1 + 2t; t; 5 + 4t) Ta coù AM (d) AM ad = với ad = (2; 1; 4) + 4t + t 20 + 16t = 21t = 21 t = Vậy đường thẳng cần tìm đường thẳng AM qua A có vevtơ phương là: x4 y2 z4 AM = (3; 2; 1) neân phương trình (): 1 Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHIẾU Bài toán 1: Tìm hình chiếu H điểm A đường thẳng (d) Phương pháp Cách 1: (d) cho phương trình tham số: 238 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – H (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ad Cách 2: (d) cho phương trình tắc Goïi H(x, y, z) AH ad A (d) H (*) H (d): Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z Cách 3: (d) cho phương trình tổng quát: Tìm phương trình mặt phẳng () qua A vuông góc với đường thẳng (d) Giao điểm (d) () hình chiếu H A (d) Bài toán 2: Tìm hình chiếu H điểm A mặt phẳng () Phương pháp Cách 1: Gọi H(x; y; z) (d) H () (*) A AH phương n : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z Cách 2: Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng () H Giao điểm (d) () hình chiếu H A mặt phẳng () Bài toán 3: Tìm hình chiếu () đường thẳng d xuống mặt phẳng () Phương pháp Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () d Hình chiếu () d xuống mặt phẳng giao tuyến () () ĐỐI XỨNG () Bài toán 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Phương pháp Tìm hình chiếu H A d H trung điểm AA' 239 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng () Phương pháp Tìm hình chiếu H A () H trung điểm AA' Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng () Phương pháp Trường hợp 1: () (D) cắt (D) A Tìm giao điểm M (D) () Tìm điểm A (D) khác với điểm M M () Tìm điểm A' đối xứng với A qua () d đường thẳng qua điểm A' M Trường hợp 2: () (D) song song: A’ (D) A Tìm điểm A (D) d () Tìm điểm A' đối xứng với A qua () d đường thẳng qua A' d A’ song song với () Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng () Phương pháp (D) Trường hợp 1: (D) cắt () A Tìm giao điểm M (D) () Tìm điểm A (D) khác với điểm M Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng () d đường thẳng qua hai điểm A' M M A’ Trường hợp 2: (D) song song với () Tìm điểm A (D) (D) A Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng () d đường thẳng qua A' song song với (D) 240 d A’ d Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x t b/ Phương trình tham số d1 : y t M1 t ; t ; 2t d1 z 2t M2 d2 M2 (1 2t; t; t) ; M1M2 2t t 1;t t ;t 2t 1 Ta coù M1M2 // P M1M2 m p 2t t t t t 2t t t t M1M2 (t 1)2 4t 2 (1 3t )2 14t 2 8t t t' = M(0; 0; 0) (P) loaïi t 4 8 1 3 ta coù M ; ; ; N ; ; 7 7 7 7 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2) B(0; 0; 7) vaø x y z 1 đường thẳng d: 2 Chứng minh hai đường thẳng d AB thuộc mặt phẳng Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho ABC cân đỉnh A Giải AB (4; 2;5) d có: M(3; 6; 1) vectơ phương a (2; 2; 1) AB,a (12; 6; 12), AM (1; 4; 1) AB,a AM 12 24 12 AB, d đồng phẳng x 2t Phương trình tham số d: y 2t z t t C d C(3 – 2t; + 2t; + t) AB 42 22 (5)2 45 AC (2t 1)2 (2t 4)2 (t 1)2 9t 18t 18 Vì tam giác ABC cân A nên AB2 = AC2 9t2 + 18t + 18 = 45 t C1 (1; 8; 2) t2 + 2t – = t 3 C2 (9; 0; 2) 267 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC' a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a b a b/ Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vuông góc với b Giải z A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) b A'(0; 0; b); C'(a; a; b); M(a; a; ) A’ B’ b a/ BD = (a; a; 0); BA = (a; 0; b); BM = (0; a; ) V= BD,BA BM 6 C’ A [ BD , BA ] =a(b, b, a) y D’ B M C a ab a2 b ab (ñvtt) 6 b/ (A'BD) có vectơ pháp tuyến BD,BA' = a(b, b, a) hay choïn n = (b; b; a) ab ab (MBD) có vectơ pháp tuyến BD,BM , , a2 h 2 hay m b; b; 2a (chọn) Ta có (A'BD) (MBD) m.n = b2 + b2 2a2 = a = b (a, b > 0) a = b Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho đường thẳng: x 3ky z dk kx y z Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phaúng (P): x y 2z + = Giaûi n1 = (1; 3k; 1); n = (k ; 1; 1) Vectơ phương dk : a n1 ,n2 = (3k 1; k 1;1 3k2) 268 D x Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = (1; 1; 2) Ta có : d k (P) ad phương với n p k = 3k k 1 3k k = 1 1 2 k=1 k= Bài : ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : 3x z x y 1 z vaø d 2x y a/ Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với b/ Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 x4 y7 z3 song song với đường thẳng : 2 Giaûi a/ d1 qua A(0; 1; 0) có vectơ phương a = (1; 2; 1) d2 qua B(0; 1; 1) có vectơ phương b = (1; 2; 3) AB = (0; 2; 1), a, b = (8; 2; 4) a,b AB = 4 – = 8 vaäy d1 chéo d2 Ta lại có: a.b = – + = d1 d2 Kết luận : d1 chéo d2 d1 vuông góc d2 b/ Đường thẳng có vectơ phương c = (1; 4; 2) Gọi () mặt phẳng chứa d1 song song nên n a,c = (8; 3; 2) () qua A vaø có vectơ pháp tuyến n = (8; 3; 2) (): 8(x – 0) + 3(y + 1) + 2(z – 0) = 8x – 3y – 2z – = Gọi mặt phẳng chứa d1 song song nên có ptpt: n b,c = (8; 5; 6) () qua B có vectơ pháp tyuến n = (8; 5; 6) (): 8(x – 0) + 5(y – 1) + 6(z – 1) = 8x – 5y – 6z + 11 = Đường thẳng cần tìm giao tuyến () () có phương trình 269 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 8x 3y 2z 8x 5y 6z 11 Baøi 10: Trong không gian với hệ trục Đêcác Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y + = 2m 1 x 1 m y m đường thẳng: dm: (m tham số) mx 2m 1 z 4m Xaùc định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Giải n1 = (2m + 1; – m; 0); n = (m; 0; 2m + 1) Một vectơ phương dm a n1 ,n2 = (2m2 + m + 1; (2m + 1)2 ; m(1 m)) Vectơ pháp tuyến (P) n = (2; 1; 0) Đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). a n = 4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) = 6m + = m = Baøi 11: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: x az a ax 3y d1 vaø d y z x 3z a/ Tìm a để hai đường thẳng d1, d2 cắt b/ Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a = Giải x a at a/ Đặt z = t Phương trình tham số d1: y 1 t z t x 3t Đặt x = 3t' Phương trình tham số d2: y at z t Cách 1: d1 d2 cắt 270 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 3a t a at 3t a 3 Heä 1 t at có nghiệm a2 t t t 3a t t Thay (1), (2) vào (3) ta được: 2 a2 a 3 2 (1) (2) (3) 3a a 3 – a = 2a – 3a + 3a – 3a = a = a = a1 ,a2 M1M Cách 2: d1 d2 cắt a1 ,a2 x 2z 2x 3y b/ Khi a = ta coù: d1: d2: y z x 3z d1 ñi qua M1(0; 2; 1) có vectơ phương a1 = (2; 1; 1) d2 qua M2(0; 1; 2) có vectơ phương a2 = 3(3; 2; 1) Vì (P) chứa d2 song song d1 nên (P) có vectơ pháp tuyến n a1 ,a2 = (1; 5; 7) (P) qua M2(0; 1; 2) có vectơ pháp tuyến n = (1; 5; 7) nên có phương trình (P): (x – 0) + 5(y – 1) – 7(z – 2) = x + 5y – 7z + = Ta coù : d d1 ,d d M1 ,(P) Caùch khaùc : d d1 ,d 2 1 25 49 15 a1 ,a2 M1M2 = 15 a1 ,a2 MẶT CẦU Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình mặt cầu (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c) bán kính R x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0) Taâm I(a, b, c), bán kính R = a2 b2 c2 d 271 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) (S) Tìm tâm O (C) Tìm phương trình đường thẳng d qua I vuông góc với () (C) I O O = d () Tìm bán kính r (C): r2 = R2 IO2 r R B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = vaø điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Giải Giả sử B(x; y; z) Ta có: B(S) tam giác OAB x2 y2 z2 4x 4y 4z OA2 OB2 2 OA AB x2 y2 z2 4(x y z) x y z 32 x2 y2 z2 x2 y2 z2 32 2 2 x y z 8(x y) 32 (4 x) (4 y) z x y z z x x 2 2 x y z 32 (x y) 2xy z 32 y hoaëc y x y x y z z Trường hợp 1: Với B(0; 4; 4) Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến OA,OB (16; 16; 16) qua O (0; 0; 0) nên có phương trình x – y + z = Trường hợp 2: Với B(4; 0; 4) 272 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Mặt phẳng (OAB) có véctơ pháp tuyến OA,OB (16; 16; 16) qua O(0; 0; 0) nên có phương trình x – y – z = Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 x 1 y z mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : Giải x 2t Phương trình tham số đường thẳng : y 4t (t R) z t Goïi I tâm mặt cầu I I(1 + 2t; + 4t; t) Mặt cầu tiếp xúc (P) có bán kính d(I, (P)) = 1 2t 4t 2t 1 2t t = hoaëc t = –1 t = I(5; 11; 2) Phương trình mặt cầu: (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 = t = –1 I(–1;–1;–1) Phương trình mặt caàu: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NAÊM 2011 x 1 y 1 z 1 3 Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; –3) cắt đường thẳng d hai điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: A, B cho AB = 26 Giaûi d qua M (1; –1; 1), vectơ phương a = (4; –3; 1), IM (0; 3; 4) a,IM =(–9; –16; –12) d(I,d) = 26 37 AB 25 Ta coù: R = d (I,d) 2 37 Suy ra: phương trình (S) : (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 25 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng x2 y2 z3 : Tính khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai 273 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – điểm B C cho BC = Giaûi qua M (2; 2; 3) có vectơ phương a (2; 3; 2) ; AM (2; 2; 1) a, AM (7; 2; 10) d(A, ) = a, AM 49 100 153 =3 17 494 a Vẽ AH vuông góc với Ta có: BH = BC vaø AH = d(A, ) = Trong AHB ta coù: R2 = AB2 = BH2 + AH2 = 16 + = 25 Vậy phương trình mặt cầu (S): x2 y2 (z 2)2 25 Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; –2; 3), B (–1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + = 1/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A tâm (P) AB 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính , tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) Giaûi x 1 y z 1 H hình chiếu A (P) H = () (P) nên tọa độ H thỏa: x 1 x y z x y z y 4 Vaäy H (–1; –4; 1) z 1/ Goïi đường thẳng qua A vuông góc với (P) thì: : Ta có AB = (–2; 2; –2) vaø AB = 12 AB Bán kính mặt cầu (S) R = x 1 y z 1 Phương trình (AB): 1 Vì tâm I (AB) nên I (t – 1; – t; t + 1) (S) tiếp xúc (P) neân d (I; (P)) = R t t = –3 hay t = –5 I(–4; 3; –2) hay I(–6; 5; –4) Vaäy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài: 274 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – (S2): (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = (S1): (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = vaø mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Giải (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = Khoảng cách từ I đến (P): d(I, (P)) = 2434 3 R ; Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Gọi H r tâm bán kính đường tròn giao tuyến, H hình chiếu vuông góc I (P): IH = d(I,(P)) = 3, r = R2 IH2 x 2t y 2t Toïa độ H = (x; y; z) thỏa mãn: z t 2x 2y z Giải hệ, ta H (3; 0; 2) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) 1/ Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D 2/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải 1/ Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0) Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D nên 275 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – a A (S) 18 6a 6b d B (S) 18 6a 6c d b nhaän C (S) 18 6b 6c d D (S) 27 6a 6b 6c d c d Vaäy (S): x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z = ñi qua A(3; 3; 0) 2/ (ABC) : có vectơ phá p tuyế n AB,AC 9(1; 1; 1) Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z – = Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC giao mặt phẳng (ABC) (S) x2 y2 y2 3x 3y 3z Phương trình đường tròn (C): x y z 3 3 Goïi d qua tâm I ; ; (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC) 2 2 3 3 ñi qua I ; ; d: 2 1 có vectơ phương a (1; 1; 1) x t Phương trình tham soá d : y t t z t x t x y t y H = d (ABC) ta giải hệ z z t x y z Vậy tâm đường tròn (C) H(2; 2; 2) Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 276 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Giải 1/ (S): (x 1) + (y + 2) + (z + 1) = có tâm I(1; 2; 1) bán kính R = 2 Mặt phẳng (Q) có cặp véctơ phương là: OI (1; 2; 1), i (1; 0; 0) Vectô pháp tuyến (Q) là: n (0; 1; 2) Phương trình (Q) là: 0.(x 0) 1.(y 0) + 2(z 0) = y 2z = 2/ Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với (P) Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A, B Nhận xét: Nếu d(A; (P)) d(B; (P)) d(M; (P)) lớn M A x 1 y z 1 Phương trình đường thằng d: 1 Tọa độ giao điểm d (S) nghiệm hệ: (x 1)2 (y 2)2 z 12 x 1 y z 1 1 Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(1; 1; 3), B(3; 3; 1) Ta có: d(A; (P)) = d (B; (P)) = Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn M(1; 1; 3) Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a/ Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1 B1) b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN Giải a/ A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4); BC (4; 3; 0), BB1 (0; 0; 4) Vectơ pháp tuyến mp(BCC1B1) n BC, BB1 (12; 16; 0) Phương trình mặt phaúng (BCC1B1): 12(x 4) + 16y = 3x + 4y 12 = 277 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bán kính mặt cầu: R d A, BCC1B1 12 12 Phương trình mặt cầu: x2 (y 3)2 z2 576 25 32 42 24 3 b/ Ta coù M 2; ; , AM 2; ; , BC1 (4; 3; 4) Vectơ pháp tuyến (P) np AM,BC1 (6; 24;12) Phương trình (P): 6x 24(y + 3) + 12z = x + 4y 2z + 12 = Ta thaáy B(4; 0; 0) (P) Do (P) qua A, M song song với BC1 Ta có A1C1 (0; 6; 0) x Phương trình tham số đường thẳng A1C1 là: y 3 6t z N A1C1 N(0; 3 + 6t; 4) Vì N (P) nên + 4(3 + 6t) + 12 = t = MN = Vaäy N(0; 1; 4) 17 (2 0)2 1 (4 4)2 2 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) b/ Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải a/ BC (0; 2; 2) Mặt phẳng (P) qua O vuông góc BC (nhận BC làm vectơ pháp tuyến) Phương trình (P): 0(x – 0) – 2(y – 0) + 2(z – 0) = y – z = (*) x t (1) AC (1; 1;2) nên phương trình tham số AC: y t (2) t z 2t (3) Thay (1), (2), (3) vaøo (*) ta được: – t – 2t = t 278 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 2 2 Thay vào (1), (2), (3) ta có M ; ; giao điểm AC (P) 3 3 b/ AB (1; 1; 0), AC (1; 1; 2) AB.AC AB AC ABC vuông A Dễ thấy BOC vuông O Do A, O nhìn đoạn BC góc vuông Do A, O, B, C nằm mặt cầu tâm I trung điểm BC, bán BC kính R I(0; 1; 1), R nên phương trình (S): (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = Baøi 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a/ Tìm tọa độ điểm A1,B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A B, O1 b/ Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O 1A đồng thời cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn KN Giải a/ Vì AA1 (Oxy) A1( 2; 0; 4), BB1 (Oxy) B1(0; 4; 4) Phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0) Mặt cầu qua điểm O, A B, O1 nên z O (S) d a A (S) 4 4a b (nhaän) A1 16 8b c B (S) 16 8c d O1 (S) O A Vaäy (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = x b/ M trung điểm AB M(1; 2; 0) (P) qua M(1; 2; 0), (P) O1A B1 y B Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): nP O1A (2; 0; 4) Phương trình mp(P): 2(x – 1) + 0(y – 2) – 4(z – 0) = x 2z – = x t Phương trình tham số OA: y t z 279 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x 2z x x t N = (P) OA ta có hệ y N(1; 0; 0) y z z x t Phương trình tham số OA1: y t z 2t x 2z x x t K = OA1 (P) ta có hệ y y z 2t z 2 K ; 0; 3 2 1 KN (0 0)2 3 3 Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải IA2 IB2 IC2 Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu Giả thiết cho I (P) x 2 y2 z 12 x 12 y2 z2 2 2 x y2 z 1 x 1 y 1 z 1 x y z 2x 2z x 2x 2y y I (1; 0; 1) Bán kính R = IB = x y z z 2 Vaäy phương trình mặt cầu là: x 1 y2 z 1 Baøi 13: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z m2 3m = (m tham số) mặt cầu (S): (x 1)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) với m tìm xác định 280 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R = Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S): d(I, (P)) = R m2 3m m 3m m2 3m 9 m2 3m 10 m m 3m (VN) m 5 (P): 2x + 2y + z 10 = Gọi đường thẳng qua I vaø (P) (1) qua I (1; 1; 1) vaø a n p (2; 2; 1) x 2t Phương trình tham soá : y 1 2t z t (2) (3) (4) Tieáp điểm M giao điểm (P), thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: 2(1 + 2t) + 2(1 + 2t) + + t 10 = t = M(3; 1; 2) 281 ... Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3) Trong đường... phẳng (): 248 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – sin Aa Bb Cc A B2 C2 a2 b2 c2 B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;... Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2) 1/ Chứng minh A'C vuông góc