Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số

Với tài liệu Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức và kỹ năng cần thiết để chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

TTLT ĐH VĨNH VIỄN  Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  ; ;    ; .0  1/ Một số dạng vô định thường gặp: Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô định (+) + (+) = +   (+) – (–) = + a   (a  0)   (–) + (–) = – a  (a  0)   a.   (a  0) 2/ Khử dạng vô định  Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp  Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc sin x 1 x x tan x 1 x x , lim , lim lim x  cos x x   Dạng vô định x  a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung  Dạng vô định  : Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa  số chung  Dạng vô định    , .0 : Biến đổi đưa dạng   B ĐỀ THI Bài 1: Tìm giới hạn I  lim x x 1  x 1 x Giải Giới hạn I có dạng vô định Ta coù: I  lim x I1  lim x 0  x   x   1 x  1 1 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc –  lim x 0 x I2  lim  x 11  x 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x   x   1   x  12  x   1   x   x  1  x   1   1 x 1 1  lim  lim  x 0   x 0 x   x     x   x  1  x   1   1 Vaäy I = I1 + I2 =   x 0 Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới haïn I = lim x 3x2   2x2   cos x Giaûi Giới hạn I có dạng vô định  Ta có I  lim  3x2    x 0 I1  lim x 0 2sin2   lim  2x2   x 3x2   2x2      x x  x 0  2sin2 2sin2  2  3x2   3x2    lim x 0 x    3x2   1 x 3 2sin2 2sin 3x     2      x     lim     2 x 0 3  3x2    3x2    sin x         x    2x  lim 4     I2  lim x 0 x  x x 2 2x    sin  2sin2  2x2   1 2  2  Vaäy I = I1 + I2 = Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L = lim x 1 x6  6x   x  12 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Giải Giới hạn L có dạng vô định Ta có L = lim x6  6x  x1 = lim  x  12  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x   15 x1  Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ Định nghóa: Hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2  K  Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số f gọi nghịch biến K x1 < x2  f(x1) > f(x2) Định nghóa kết hợp với định lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 2/ Định lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f'(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f'(x) < 0, x  K hàm số f nghịch biến K Định lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   a  b  * P(x)  0, x   hay  a  c  * P(x)  0, x    a  b   hay  a  c  Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b)  y'  (hoặc y'  0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  g(x)  a; b  (Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác định max g(x)  a; b  vaø g(x) )  a; b  Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý: Nếu toán có đặt ẩn số phụ phải xác định điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2lnb  b2lna > lna  lnb Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ln b ln a  (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  b 1 a 1 ln x ;  x 1 Xét hàm số f(x)  x 1  f (x)  x2   2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đđồng biến (0; 1) Mặt khác < a < b < nên: ln b ln a  f(b) > f(a)  (Điều phải chứng minh) b 1 a 1 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x  24  x   x  m Giải 4 Xét hàm số f(x)  2x  2x   x   x  Tập xác định: D = [0; 6] 1 1 1  f (x)     (2x)3 2x (6  x)3 6x (m  ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN 3     2  2                 (2x)   (6  x)    2x    x          1  1  1      4 4   x   (2x)2 2x  x (6  x)2  2x   Vì  1 1   4  (2x)2 2x  x (6  x)2  Neân f (x)    Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) 2x  6x    > 0, x  (0; 6)  2x  x    2x   x  x  2 +       2x  x    4  4  4  6 12  12 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt 2  6   m  3  4 CÁCH KHÁC Đặt g(u)  u  u g/ (u)    // 4 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 16 Vậy g / hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta có f(x)  g(2x)  2g(6  x) Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Neân) f (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x ( g / giaûm )  x  Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)   2x   x  x  vaø f / (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x (do g / giảm)  x  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1  x  x  y  y    x3   y3   15m  10  x3 y3 Giaûi Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Đặt x  1  u, y   v (Ñk : u  2, v  2) x y  Hệ cho trở thành: u  v  u  v      3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    u  v       u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  u  v  u  v        uv   m 5  5  3uv   3(5)  15m  10   Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2  5t + – m = hay t2  5t + = m (1)  Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t 1, t = t2 thỏa maõn: t1  2, t  (t1, t2 không thiết phân biệt)  Xét hàm số f(t)  t  5t  với t  : Suy f'(t) = 2t – vaø f'(t) =  t = Bảng biến thieân t  2  f'(t) 5/2  + f(t) + + + 22 7/4  Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm  m  m  22 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 b     Cho a  b > Chứng minh raèng:  2a  a    2b  b      a Giaûi Bất đẳng thức cho tương đương với: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  b )  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xét hàm số f(x)  ln(1  4x ) với x > x 4x ln x Ta coù: f (x)    x  ln  4x  x2  x.4x ln  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    x x (1  ) Nhận xét :  4x < + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  + 4x >  ln(1  4x )  Do f'(x) < 0, x > Suy f(x) nghịch biến khoảng (0; +) Mặt khác a  b > nên: f(a)  f(b)  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Điều phải chứng minh) Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x   m x   x2  Giaûi  Điều kiện: x   Chia hai vế phương trình cho x 1 x 1 m2  Đặt t  Vì t  4 x2  x 1  3 x  , phương trình cho tương đương với x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , phương trình (1) trở thành 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 x  nên  t <  1 x 1 x 1  Xeùt hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với  t < Suy : f'(t) = – 6t + vaø f'(t) =  t =  Bảng biến thiên: Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – t 1 f(t) 1  Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0; 1)  1  m  Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  2x   m(x  2) Giải  Điều kiện: m(x – 2)   x  (Do xeùt m > 0)  Phương trình cho tương đương với  x  2 x    m  x     x   x    m  x   x  2   x    x   x    m      x  6x2  32  m   Nhận xét: Phương trình cho có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có nghiệm khoảng (2; +)  Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 32, với x > Ta có: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  Bảng biến thieân: x f'(x) f(x) + + +  Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) có nghiệm khoảng (2; +) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Bài 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xác định m để phương trình sau có nghiệm m  1 x    x2    x   x2   x2 Giải  Điều kiện: 1  x   Đặt t =  x2   x   t    x  Điều kiện:  t   Phương trình cho trở thaønh: m (t + 2) =  t2 + t  m   Xét hàm số f(t) =  f'(t) = t  4t  t  2 t  t  , với  t  t2 t  t  t2 , f'(t) =  t = 0, t = 4  Bảng biến thiên t f’(t)  f(t) 1 Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm   m  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ x2  5x  m2  (1) (m laø tham số) x3 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +) Cho hàm số y  Giải Ta coù: y  x  6x   m (x  3)2  Hàm số y đồng biến (1; +)  y'  0, x   x2 + 6x +  m2  0, x   x2 + 6x +  m2, x   Xét hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, x  g'(x) = 2x + > 0, x  Do yêu cầu toán tương đương với 11 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – g(x)  m  g(1) = 16  m2  4  m  x1 Baøi 9: Chứng minh rằng: ex  cosx   x  x2 , x  Giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: 1/ ex   x, x  2/ cosx   x2 , x   Chứng minh ex   x, x  Xét hàm số f(x) = ex  x   f'(x) = ex   f'(x) =  x = Bảng biến thiên: x  + f'(x)  + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  0, x   ex  x  1, x   Chứng minh: cosx   (1) x2 , x  Xét hàm số g(x) = cosx  + x2 Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x  đủ  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx +   g'(x) đồng biến, x   g'(x)  g'(0) = 0, x   g(x) đồng biến, x   g(x)  0, x   cosx + x2 x2   0, x   cosx   ; x  2 Từ (1) (2) suy ex + cosx  + x  12 x2 ; x  (2) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Tập xác định: D  \ 1 y  (x  1)2  0, x  D  2m  Vì M  (C) nên M  m;  m 1   Phương trình tiếp tuyến d (C) M: y = y'(m)(x  m) +  2m 2m2  y x m 1 (m  1)2 (m  1)2 A  d  Ox nên tọa độ A thỏa hệ phương trình:  2m x  m x y  A(m2 ; 0)  (m  1)2 (m  1)2    y  y   B  d  Oy nên tọa độ B thỏa hệ phương trình : x   2m   x y 2m   B  0;  (m  1)2 (m  1)2  y  2m  (m  1)2       m  1 x    Tam giác OAB có diện tích  2m  m   2m 1 m    OA.OB   2 2m  m   (m  1)2 Với m    m     m  1   ta coù M   ;   ; với m = ta coù M(1; 1) 2     Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M   ;   M(1; 1)   Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 Cho hàm số y = (C) x 1 Cho điểm M0(x0; y0)  (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) A B Chứng minh M0 trung điểm đoạn AB Giải 56 x0  x0   M0(x0; y0)  (C)  y0 =  Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0; y0) TTLT ĐH VĨNH VIỄN : y =   x  x0   y0  x0  12  Giao điểm  với tiệm cận ngang nghiệm hệ phương trình   x  x0   y0 y    A(2x0 – 1; 1)  x0  12   y   Giao điểm  với tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình   x  x2   y  x  7 y    B  1;  x0  12    x0    x   xA  xB  x0  Ta thaáy   M0 trung điểm đoạn AB A, B, M0 thẳ ng hà ng  Bài 10 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 x2  x  có đồ thị (C) x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y  Giải x  x 1  x 1 x2 x2 Tieäm cận xiên đồ thị (C) có phương trình y = x  1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = 1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: Ta coù y  y' = 1   Với x  2  (x  2)  1  x  2  2 y 3 2  Phương trình tiế p tuyế n : (d1 ) : y  x  2  Với x  2  y 3 2  Phương trình tiếp tuyến là: (d2 ) : y  x  2  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 57 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x  2(x2  1) có đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 2) tiếp xúc với (C) Cho hàm số: y  Giải Nhận thấy đường thẳng x = không tiếp tuyến (C)  Gọi d đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k  d: y = kx +  x4   2(x  1)  kx  (1) d tieáp xúc với (C)   có nghiệm  (2) 2x  4x  k x   k   x   k  Thế (2) vào (1) ta 3x – 8x =   3  x    k    3 Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm: y = 2, y   x2 3 Bài 12 : ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số: y = x2  x  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0; 5) Giải  Gọi  đường thẳng qua A(0; 5) có hệ số góc k (vì đường thẳng x = không tiếp tuyến đồ thị)  : y = k(x – 0) – = kx –  x2  x   kx    x 1   tiếp xúc (C)    x  2x  k   x  12  Thay (2) vaøo (1) ta được: 1 2 có nghiệ m x2  x  x2  2x  x5  x  1  x  12  (x2 – x – 1)(x + 1) = x3 + 2x2 – 5(x2 + 2x + 1)  x1  2  k1   1 : y  5  x2    k  8   : y  8x    3x2 + 8x + =   Các tiếp tuyến cần tìm là: y = – 5; y = – 8x – 58 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Baøi 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 m Gọi (Cm) đồ thị hàm số y  x3  x2  (m tham số) 3 Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x  y = Giải Tập xác định: D = Ta có: y' = x2  mx m   Điểm M thuộc (Cm) có hoành độ x =  M  1;    Tiếp tuyến M (Cm) m m2 : y +  y(1)(x  1)  y  (m  1)x  2  song song với d: 5x  y = (hay d: y = 5x) m     m  Vaäy m = m    Bài 14: ĐỀ DỰ BỊ Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x3+ (2m + 1)x2  m  (m laø tham số) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx  m  Giải  x  (2m  1)x  m   2mx  m  (1) d tiếp xúc (Cm)   có nghiệm (2)  3x  2(2m  1)x  2m  x   2   3x  2(2m  1)x  2m x[x  (2m  1)x  2m]      2 x  (2m  1)x  2m  3x  2(2m  1)x  2m   3x  2(2m  1)x  2m  x   x     m   m      x     x  (2m  1)x  2m   2x2  (2m  1)x    m    Vậy có giá trị thỏa mãn yêu cầu toán m   m  Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 59 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 2x  có đồ thị (C) x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Giải 2m    Vì M (C) neân M  m;  m 1   1  Hệ số góc tiếp tuyến M laø: k1 = f (m)  (m  1)2  (C) có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = I giao điểm hai đường tiệm cận (C)  I(1; 2) 2m  1       =  m  1;  IM   m  1;  m  m 1    a  Hệ số góc đường thẳng IM là: k2 =  a1 (m  1)2  Vì tiếp tuyến (C) M vuông góc IM nên ta có: m  1  1  (m  1)4    k1.k2 = –   2 (m  1) (m  1) m  Cho hàm số y  Với m =  M(0; 1) Với m =  M(2; 3) Bài 16 : ĐỀ DỰ BỊ 1 Cho hàm số y  x3  x2  2x  có đồ thị (C) 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + Giải Do tiếp tuyến  song song với d nên  có phương trình: y = 4x + b (b  2) f(x)  g(x)  tiếp xúc (C)   f (x)  g(x)  x1   nhaän    b   26  1  x  x  2x   4x  b   3  3   x   x2  x       73  nhaän    b2   26 73 Vậy ta có tiếp tuyến 1: y = 4x  ; 2 = y = 4x + Baøi 17: 60 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Cho hàm số y   2m  1 x  m2 (1) (m tham số) x 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Giải Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x   2m  1 x  m x   x  m 2  x 1     có nghiệ m  có nghieäm x    x  12   m  12   m  1   x 1    m   Vấn đề 11: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax2 + bx + c = (*) Hai đồ thị cắt điểm phân biệt a   Phương trình (*) có nghiệm phân biệt     Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm bên phải trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hoành độ dương  Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt     S  P    b c  Với S =  a P = a    Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm bên trái trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hoành độ âm     Phương trình (*) có nghiệm aâm phaân bieät  S  P   Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm hai phía trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hoành độ trái dấu  Phương trình (*) có nghiệm trái dấu  P < Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm phía trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hoành độ dấu 61 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu   P  Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (*) Ở ta xét phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0, nghóa phương trình (*) đưa dạng: x  x0 (x – x0) (ax2 + Bx + C) =   g(x)  ax2  Bx  C  (1) (a  0) Hai đồ thị có điểm chung  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có vô nghiệm có nghiệm kép x = x0  g    g  vaø g(x0 )  Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệ m ké p c x0   Phương trình (1) có nghiệ m phâ n biệ t có nghieä m x = x g  g   hoaë c  g(x0 )  g(x0 )  Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt g   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác x0   g(x )  Dạng 3: Phương trình hoành độ giao điểm có dạng : ax4 + bx2 + c = (*) Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành at2 + bt + c = (1) (a  0) Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có đú ng nghiệ m nghiệ m nà y bằ ng    Phương trình (1) có nghiệ m bằ ng nghiệ m â m b = c =    c  a.b > Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm trái dấu  ac < Hai đồ thị có điểm chung phân biệt 62 TTLT ĐH VĨNH VIỄN  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương  c = vaø ab < Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt     S  P   B ĐỀ THI Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 2x  Cho hàm số y  Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 vaø (C) laø: 2x  = kx + 2k +  kx2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm) x 1  d cắt (C) hai điểm  Phương trình (*) có hai nghiệm   k  k     (I)    k  6k   k   2  k   2      Khi đó, hoành độ xA, xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp b  3k dụng định lý Viét ta có: xA + xB =   a k  A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + vaø yB = kxB + 2k +  Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hoành  yA  yB  kxA  2k   kxB  2k   kx A  2k   kx B  2k   x A  x B (Loại (*) có nghiệm)      kx A  2k    kx B  2k   k x A  x B  4k     3k   k   4k    k = – (Thỏa (I))  k  Vậy k = thỏa yêu cầu toán Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010   Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m   (1), m số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành 63 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12  x22  x32  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =  x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 = Với điều kiện (2) có nghiệm, theo định lí Vieùt ta có: x1 + x2 = x1.x2 = – m Do yêu cầu toán tương đương với: Phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt khác thỏa x12  x22  12   (2)   4m  m      g(1)  m   m     2 x1  x2    x1  x2   2x1x2    m       m   m  1  2m  m    Baøi : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hàm số y = 2x  (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = 2x +m 2x   2x  m  2x2 + (4  m)x +  m = (*) (vì x = 1 không nghiệm) x 1  Phương trình (*) có  = m2 + > 0, m nên d cắt (C) điểm A, B  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  2x + m neân yA =  2xA + m yB =  2xB + m, với xA,, xB nghiệm phương trình (*) Ta có: SOAB   x y  xByB   xA  2xB  m   xB  2xA  m   A A  m  xA  xB    m2  xA  xB   12  m m2   12  m4 + 8m2  48 =  m2 =  m =  Baøi : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y =  2x + m cắt đồ thị hàm số 64 TTLT ĐH VĨNH VIỄN x2  x  taïi hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng x AB thuộc trục tung y Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng y =  2x + m là: x2  x   2x  m  x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khômg nghiệm) x  3x2 + (1 – m)x – = (1)  Vì a.c < nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Do đồ thị đường thẳng y =  2x + m cắt điểm phân biệt A, B  Gọi I trung điểm AB, ta có xI  xA  xB  b m 1  2a Theo giả thiết ta có I  Oy  xI =  m = Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y =  x + m cắt đồ thị hàm số y x2  điểm phân biệt A, B, cho AB = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng y =  x + m laø : x  m   x2   2x2 – mx – = (*) (vì x = không nghiệm (*)) x Vì 2.(1) < nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Do đồ thị đường thẳng y =  x + m cắt điểm phân biệt A, B  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  x + m nên yA =  xA + m yB =  xB + m Do A(xA;  xA + m ); B(xB;  xB + m ) với xA, xB nghiệm phương trình (*) Ta coù : AB =  (xB – xA)2 + [(– xB + m) – (– xA + m)]2 = 16  2(xB – xA)2 = 16  (xB – xA)2 =  m2    m = 2 Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = 1 : 65 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 – (3m + 2)x2 + 3m =   x4 – (3m + 2)x2 + 3m + =  x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ  0  3m     m      3m   m  Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Giải Gọi d đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) d: y = k(x – 1) + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d laø: x3 – 3x2 + = k(x – 1) +  (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = (*) x   xI   g(x)  x2  2x  k   (1)    k  g(1)   k    Do k > 3 nên phương trình (1) có:   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B, I  x A  x B x1  x2    xI   Maët khác  2  A, B, I thẳ ng hà ng  I trung điểm đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh) Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 x Cho hàm số y  x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: 66 TTLT ĐH VĨNH VIỄN x  x  m x 1  x = (x + m)(x – 1) (vì x = nghiệm)  x2 – mx + m = (*) d cắt (C) điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt   >  m2 – 4m >  m <  m > Baøi 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m tham số) Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với trục Ox là: (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) =  x = hay f(x) = x2 – 2mx – m – = (2) Cách 1: Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn 1 khác   m  m    S    m  1  m > f(1)  m    f(1)  3m  Cách 2: Đặt t = x + Phương trình (2) trở thành: (t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – =  g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = (3) Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm x phân biệt lớn 1 khác  Phương trình (3) có nghiệm t phân biệt lớn khác   m  m     S  2(1  m)   m > P  m  g(2)  3m   Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3  3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm M(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Giải Phương trình đường thẳng d y = m(x  3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm d (C) là: 67 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x3  3x   m(x  3)  20  (x  3)(x2  3x   m)  Đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt khi: f(x)  x2  3x   m có hai nghiệm phân biệt khác  15    4(6  m)  m     f(3)  24  m  m  24  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ Cho hàm số y = x4  mx2 + m  (1) (m tham số) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Giải  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục Ox là: x4 – mx2 + m – = (*) Đặt t = x2  Phương trình (*) trở thành: t2 – mt + m – = (**)  Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương m   m  1     m      S    m  m  P    m     Vấn đề 12: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ 2/ 3/ 4/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ I : y = x  B(y; x) 5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ II: y = x  B(y; x) 6/ Hai điểm A B đối xứng với qua điểm M  M trung điểm đoạn AB 7/ Hai điểm A B đối xứng với qua đường d: y = ax + b (a  0)  AB  d  Trung điểm I đoạn AB nằm đường thẳng d B ĐỀ THI 68 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Bài 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y = x2 4x có đồ thị (C) x Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + = Giải Gọi () đường thẳng vuông góc với d  (): x + y + m = m6 Hoành độ giao điểm I (d) () x1 = Phương trình hoành độ giao điểm () (C) là: x2  4x  + m =  2x2 + (m + 5)x + m + = (2) (x  1) x 1 Với điều kiện (2) có nghiệm xA, xB phân biệt khác 1 Ta có: A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + =  I trung điểm AB x +  I, A, B thẳ ng hà ng (hiể n nhiê n)    xA  xB  xI   m6 m5   2(m + 6) = m +  m = 7  Khi aáy (2)  2x2 – 2x =  x =  x = (Thỏa điều kiện (2) có nghiệm phân biệt khác 1) Với x =  y = 7, x =  y = Vaäy: A(0; 7), B(1; 6) A(1; 6), B(0; 7) Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 11 (C)  x2  3x  3 Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Giải Gọi M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy Yêu cầu toán tương đương với x2  x1  x2  x1      x1 11 x32 11  x22  3x2  y2  y1   x1  3x1   3 3 Cho hàm số: y =  x2  x1     x3 x3 11 11   x12  3x1     x12  3x1  3 3 69 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc –  x  x  3   x2  x1       x2  3  x2  x1  9x1    16 16 x1  3  y1  x1   y1  3   ;   16 16 x   y  x  3  y  2   3 16  16   16   16    Vaäy M  3;  ; N  3;  hay M  3 ;  ; N  3;  3 3  3  3   Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x2 + m (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O Giải Gọi A B hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Giả sử A(x; y) B(x; y) 70  y  x  3x  m Vì A, B  (Cm) nên ta có: (I)   y  x  3x  m (1) Cộng vế tương ứng (1) (2) suy ra: m = 3x2 Yêu cầu toán tương đương với (3) có nghiệm x   m > (vì có x ta tính y) Vậy giá trị m cần tìm laø m > (3) (2) ... điệu hàm số + Cực trị hàm số + Giới hạn hàm số đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số  Lập bảng biến thi? ?n  Vẽ đồ thị B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm. .. BIẾN THI? ?N VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số y = f(x)  Tập xác định hàm số  Sự biến thi? ?n: + Chiều biến thi? ?n: Tính đạo hàm cấp tìm nghiệm đạo hàm (nếu... (C) đường thẳng d Số điểm chung đồ thị (C) đường thẳng d số nghiệm phương trình cho  B ĐỀ THI Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 1/ Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x2  2x