Để làm tốt dạng Toán này các bạn học sinh nên lưu ý và vận dụng linh hoạt công thức các nguyên hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích, diện tích giới hạn bởi các đường công, mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Luyện thi Đại học với Chuyên đề Phân tích và ứng dụng do Đặng Thanh Nam thực hiện để nắm vững hơn nội dung chi tiết.
Trang 1TICH PHAN VA ỨNG D
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@ gmail.com Yahoo: chan gtraipkt
Mobile: 0976266202
Các bài toán tích phân trong đẻ thi TSĐH được đánh giá là bài tốn quan trọng, ln xuất hiện dưới dạng tính tích phân trực tiếp hoặc là xác định diện tích, thẻ tích giới hạn bởi các đường
cong
Để làm tốt dạng toán này học sinh nên lưu ý nhớ và vận dụng lịnh hoạt công thức các nguyên hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích và diện tích giới hạn bởi các đường cong
Hai phương pháp cơ bản được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán tích phân là đổi biến và tích phân từng phan( thường là kết hợp cả 2 phương pháp này)
KIEN THUC CAN NHO
Khai niêm nguyên hàm của môt hàm SỐ:
Hàm số ƒ(x) xác định và liên tục trên khoảng Ð
Ham số Ƒ(x) được gọi là một nguyên hàm của /(x) nếu FƑ'{x)= ƒ(x),Vxe Ð
Và nguyên hàm của f(x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên hàm của một hàm số:
F(x)= Ỉ 7œ)
Để tìm nguyên hàm của một hàm số chúng ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản: Nguyên hàm của một số hàm cơ bản: att # [x'&= +€@œ#—l atl dx —= Inl|+e x foosxdy =sinx +e Trang 1 - 450 Dang Thanh Nam
Trang 2TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG fain xdx = cosx+e sin x f tan xd = [—“dx =—In|eos|+ cos x cos x 3 [eo xdx = fe = In|sin al+ e sinx dx 1 |x-a Ỉ m——=—n +e xa" 2a |x+ta dx Vera Ỉ =Inl+xaˆ+a|+ze x +a
Khái niêm tích phân của một hàm SỐ:
Tích phân của một hàm số ƒ(x) được xác định trên một đoạn [a,b] là giá trị của F(b)—F(a) va
°b
được ký hiệu là [zœ) = F(b)- F(a)
MOT SO BAI TOAN CO BAN
Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng [70)4u : Bài 1 Tính tích phan 1 = [(2x-1)(x-1) "dy 0 Lời giải 1 1 1 1 Taco [= fex- 1)(x—1)” dx = fe@- 1)+ 1)(x=1)}” dx = 2f(x-1)" d+ [(x-1)” dx 0 0 ° ° Trang 2- 451 Dang Thanh Nam
Trang 3TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG f lôi f a 102 fl 100 |L 5 =2f (2-1) d(x-1)+ f(x)" (s-1)=2(0-1) ) (9-1) KHI x\2x+ldx ro Bài 2 Tính tích phan J = Lời giải: Taco [= [wan jir= fC V2x+1 a=g [GA Pas | (art) a 2 2 2 2 0 b (2x41) a( (2x+1)- iJ ernie Cxr)a ager Li ger) a 7 1 4 n[i—ae Bai 3 Tinh tich phan J = (= dx, x+1 Lời giải: 5 pxt-146 3 6 Taco [= ee ds [= +=[[e=f°+1)+ re yA+I Bài 4 Tính tích phân J = Í = x1 —=— Lời giải: Ta có I= mm": 5 (vx+1- Ýx~1)dš= srry -se-1y + ete Tưng Bài 5 Tính tích phân J = lực Trang 3- 452
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 4
TICH PHAN Loi gidi: tess =f Seog) eee eno _- Bài 6 Tính tích phân 7 = [—"* dy l-sinx Lời giải:
coS)x cos’ x( —sin? *x)
Taco [= = dx = | cos’x(1+ sin x dx lar” -|— l—sinx J ( } = fieos'xd + fcos?sin xdx = fo —sin? x)d (sin x)—[cos’xd (cos x) ¬¬ — Sayan x-—coOsS x+c xsinx+(x+1)cosx ————— dd
Bài 7.Tính tích phân 7 = Ix
e“—-+I» Xsin x +cos x , 4 xsinx+(x+1)cosx #(xsin x+ cos x)+ xcos x 4 4 y r Ta có r=] - ( ) ex | - ) dx = | d+ | ` dx > Xsinx+cosx 5 x sin x + cos x % ọ XSỈ1 + 0S 2 : z — ‡d(xsinx+cosx) x — z x+4\j2 =zl4 + [A= Ft inf sin x + c083| 4=—+ln—— XSIn Y + COS X 4 8 0? 0 tan” xy Bài 8 Tính tích phan J = Í dx cos2x Trang 4- 453
Dang Thanh Nam
Trang 5TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Lời giải:
Taco I= joa = J - i a= J THÊ = x) pe J 7 2
-Í( tanx ~tanx (an) =f fan d(tan x) — J tan.xd (tan x) I-tan?x I-tan?x d(tanx) cos”x—sin” x I-tan”x —Iđ(I—tan°x a dt) Neste Ml tal Lents 2 l—tanˆx 2 2 2 Bài 9 Tính tích phân J = [mm (x? vx je ° Xét x? -wx>oewh( vir -1 1206 x21 Vay voi0< x <1 min(x*, yr) =2° Với 1<x<2=> min(2?,vr)=4r Vay I= Jin( ,h}u ~ [min : s+ in( ,J}n =[P_4v2-1 A 3 1 2 1 |i =|a?dx+ xXzdx=—xˆ [ede [Weare es Bai 10 Tinh tich phan J = [ min (tan x, x)dx T Lời giải: Xét hàm số ƒ(x)=tanx—x trên đoạn 4: “| Trang 5- 454 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 6TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG — -l1>0,Vx -|-Š: H Z(x) là hàm số đồng biến trên đoạn I-ã4] Taco f'(x)= 1) COS“X 44 Ta có /(0)=0 Từ đó suy ra z
(+) < ƒ(0)=0,xe |-ã:°|= tan x <x,xe€ [-49] => min (tan x,x)= tanx,xe€ [-49]
(z)> /(0)=0,xe I»‡|> tanx>x,xe€ E1 = min (tan x,x)= X,XE I»‡] a Vay [= J min (tan x,x) x)dx = [men ấy x) ¬ x)dx ` 3 + “i _ 5 9 ee Qe: = Ỉ tan 4+ [dt =S lat Ỉ Sin x dx = mo al # =—+ln— x 3 a 3 cos 32 2 4 Bai 11 Tính tích phân 7= [x|I~ a|dx i Loi giải: Với 0<x<l=I=x>0=|I=a|=l=x: Với I<x<2=I~x><0=|I=3|= L 2 2 Vay [= Í>l-x|& = fxQ-x)ar+ [sœ-0)& 0 1 Lời giải: Trang 6- 455 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 7TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ls sẽ fetal Lye \ : i td[a +3) ! Xét K=-[= 3á=-|[I= = - 3 )=-J#+s 469) 3 dx yx +3 5 #*+3 X +3 5 2; x+3 \x +3 =-HhS+| 3m 2 hé ?+3 3 dt 1 Dat x=¥3tant> dx=V3 —:x=0—/=0x=l=/i=— cOS”f 6 6 Khi đó Kale cin d+ sf de=—14 Sin + Sin 2 3 2 3 Tương tự : L= ‘dv 2—Lins VỀ, x 2
Vay Pe Rete Ins
Bài 13 Tính tích phân 7 = poe 1+2e*
Loi gi:
Lư? re 2o 1x? (14 2e*)+e* I edx
Ta có r=/- +e+ive dx = [ ¿ l+2e J ( l+2e ) dx =f x°dx+ J cay ! 11+2e" Ị ta[1+2e 1 Loft pele) 3 |0 2ý I+2e 1 l+ae | =1+Tn(+3) 2 0 3 2 13 2 In xdx Bài 14 Tính tích phân 7= |—————— ị x(J2+Inx+x2~Inx ) Trang 7 - 456 Dang Thanh Nam
Trang 8TICH PHAN Lời giải: dx Dat t=Inx > dt=—;x=1>t=0;x=e>t=1 x —== vă!=| = ¡is tender J5-Thu 1 3 =-A(2+( ;2+9 Í 1 aL +-4(2-t 0 3 ( ) 0 =43+—+_—v2 V3 454 5v2 1 4 Bai 15 Tinh tich phan J = {——.—— (neN ) I¢x¢ 244.42 2! 3! m Lời giải: x? x x" x? x x"! Đặt /(x)=l+x Mop ay tS, G)=l+x+ TT tre + = f,_(x) ne (n-1)! y 1a [MEO Lo), aif i- J0) =m|Í- £0) 56) 50) LQ) =nlx—nlln ƒ.(x)+C=nlx— ma era Zo: che 2! 3! n! Bài 16 Tính tích phân J = f a fltxtx?talxt 43x" +1 Lời giải: Ta có ¬ xrxtz)~ vest s= l+x+x” de [= + 3x? +1) 2(xx+x} —(x* +327 +1) Ix(ltx’) 4, 2x(1+2") Trang 8- 457
Dang Thanh Nam
Trang 9TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 1 ~
Xét tích phân M = [= ÍÌ~* nem benh mÌ| + arctanf oh,
2x(I+x”) 2x 2(I+x”) 2 —I | «| 4 4 ee er i l+x “1 ge 4 3(-1) Khido N fl CHỦ = festa, VE vos ao 2(-)(1+(-1) „ Ý (+?) Vậy I=SM-N=E Bài 17 Tính tích phan J = [ de Loi gi: ¬ [ dx =f dx [ x" dx (er) 1 L L = lͬ Lena = =ÍÍ + 4) (: + =) = (: + +)’ eC ja 1)» 1 Tu do suy ra J =| 1+ 06 2` Bình luân: ở ví dụ này ta không trực tiếp tính 7 luôn, bởi phép biến đổi trên không thể thực hiện x voimoi xe [0,1] nén thong qua nguyên hàm sau đó tính tích phân sau( kỹ thuật giấu cận) Trang 9- 458 Dang Thanh Nam
Trang 10TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ 3 weitere Bài 18 Tính tích phan 7 = [ Tran” x{|đ sinx+l]sinx 6 e*(cosx+sin x) tt (e sinx+ Ie" sin x cos x+sin x or = (e sin x+ 1)sin x .iàe—Is : : 14 Dat f=e' sinx = di=e' (sinx+cosx)dx=Tot=Sewx=lot mm rIÊP s+2 Vậy [= Ỉ dx = In ,=T c— „f(f+1) (+1 £ 3 : 1 n° etl Bài 19 Tính tích phân 7 = ÿ£2k ve z ee +1 Ist Loi gi: m2 x2 (22* — ø* +] Ì+ 2e? — e* n2 Ba 2v + Ta có =f ( ~ ) = f xtdv+ [ — Tá o dx a ee +1 > 62 eel 1 ,}in2 5 In 2 In? 2 ==x° =Infe**-e' +1] = 3 0 xdx 7 Bài 20 Tính tích phân J = Í °JIxa?+(i+x?)} Trang 10 -459 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
LA
Trang 11TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: ee f I fiaw)=(taaiaw) Ta có ':=—— ee leis +3") (I+ l+x l z mv Bài 21 Tính tích phân = {(2 ) dx +inx _4(Inx+2)~4 ng: (nx+2) 6 e Inxz+2jlll 3 Bài 1 Tính tích phân 7 = [ x(I—x)” dx 100 Bài 2 Tính tích phân J = (2z +1)(x x-l) 0 ọ 100 Bai 3 Tinh tich phan J = i uly’ (x+l) & ° Bài 4 Tính tích phân J = Bx +4)V2x4 1 Idx 0 Bài 5 Tính tích phan J = (x-1) Xx+ldy Bài 6 Tính tích phân 7 = [x? |x? = la Trang 11 -460
Dang Thanh Nam
Trang 12TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 Bai 7 Tinh tich phan J = Í(csx-t)sim' xdx ° 2 Bai 8 Tinh tich phan J = J max (sin Xx, COS x)dx 0 2xcosx+ (x=2)sin x Bai 9 Tinh tich phan J = dx
oes X cos x—sinx
P x'(I+e} +e
Bai 10.Tinh tich phan J = Í[———% 0 l+e
nạ 2e'+3
Bài 11 Tính tích phân 7= [—“—— —dt 9 @ t2e*+3
3 xe" (4+4(sin x+cosx)+ sin 2x)
Bài 12 Tính tich phan f= [yy a (1+ cosx) 5 Bai 13 Tinh tich phan J = Ỉ min (tan x + 2 sin x,3x) dt nly Bài 14 Tinh tích phân J = oes ma|= +608 %,24+X— dx Bài 15 Tính tích phan J Xx —— 3 zinf (x41) (x +2)" ] Bai 16 Tinh tich phan J = J (x+1)(x+2) dx dy Bon Bài 17 Tính tích phan 7 = [ 5 xsl Bài 18 Tính tích phân J = Í — x ax vx? +1 cos! fx? +1 Trang 12-461 Dang Thanh Nam
Trang 13TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG P0) _ Ø6)
+ Nếu Ø(x)= (x—x, }x—3;) (x—x, ỳ w(x-x,), trong đó x,là các nghiệm của đa thức Q(x) và & là số nghiệm bội x,, thì ta giả sử A P(x) = A + A tot 4 Ox) x-x, A A, + bk Fe Pox, (xox) a 12 (wea | TM,
+ Nếu Q(x) = (x=x)(—x,) @° + pxtq) (x-x,), trong d6 phvong trinh x* + px+-q=0 vô nghiệm, ta giả sử phân tích được P(x) _ Ox) Bx+C ob = xX + pxt+q tH xo + Nếu Ø(x)= (x-z, )x-x,) (x” +px+ a) 7ð =3), trong đó phương trình x°+ px+q=0
vô nghiệm, ta giả sử phân tích được
P(x @) 4 A A 2 tt] Bxt+C, ae B,ux+C sti B,Xx+C, ch: x|+ —*—.Sau đó A Q(x) x-x xT3, x †+px+dđ (x? + px+ 4) (x? + pxt 4) xx,
đồng nhất hai về của các đẳng thức và so sánh hệ số hai vé ta suy các hệ số cần xác định ở tử thức mỗi phân thức đơn giản hoặc có thể thay các giá trị đặc biệt của x vào hai vé
Cách nhớ phân tích là néu mau là tam thức bậc hai thì tử thức có dạng Zx+ C
Một số khai triển nhanh( nên nhớ) ` “ 1 _! (x=b)-(x=4) | 1 ( Am ) (x-a)(x-b) a=b (x-a)(x=b) a-b\x-b x-a) ae ˆ ma (ae) - =i (4 = =) Trang 13 -465 Dang Thanh Nam
Trang 14TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BAI TAP MAU Bai 1.Tính tích phân 7 = [tn x —5x? + 6x Lời giải: C+] 5x? -6x4+1 Ta có a a x —5x? +x = x(x-2)(x-3) x —5x°+6x x —5x°+6x Gia sit oui = bred Ay 3 + c „VY x-5/+Ôy x x-2 x-3 © 5x? -6x+1= A(x—2)(x-3)+ Bx(x-3)+ Cx(x-2),Va(*)
Thay x= 0 vào (*) suy ra I=64=4==
Thay x =2 vao (*) suy ra 9=-2B > B=-— ` „_ ¬_ 28 Thay x= 3vào (*) suy ra 28§= 3Œ —> Œ =e 1 9 28 Vậy I=||l+—— uP [| asa * đ — lraa 9 ae 28r_ da =f ea 35-3 =x 4+ Zins] In|— + “mị:- 3|+e Bài 2 Tính tích phân J = le (x+2)(x-UŸ Trang 14 -466 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 15TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 34 '+3x+3 4 G+2)ø-U (Gly ©3x?+3x+3= A(x+2)+(x=1)(x+2)+C(x=1) ,VaŒ) Giả sử
Thay x= Ivào (*) suy ra 9=34—= 4=3 Thay x=-—2 vảo (*) suy ra 9= 9Œ= Œ=l
Thay x =0vao (*) suyra 3=2A-2B+C>B=2 ===—+2in|x~ l|+In|x+ Are x-l x=) Bai 3 Tinh tich phan J = IS TẾ xi + Lời giải: Taco x* +I=(§? +1) Dg? =(2 +x 5+I)(s”—x b+I) x-l_ Ax+B 2 Cx+D Gia st 5 Vx Ml xtav24+1 x —xv241 oxv-l= (4x+B)(x° —xV24+ 1+ (Cr+ D)(x° +32 +1),Vx Trang 15 -467 Dang Thanh Nam
Trang 16TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x -1=(A+C)x° +(—Av2 + B+ CN2 + D) x? +(A— BY2 + C+ DAZ) x +B + Dix A+C=0 -AV? +B+CV2+D=1 as - A-BN2+C+D¥2=0 | 42 `2 a 5 B+D=-1 ioe 2x- Bp ed „ 2+2 — 4 1 Ty mí yee mà =2 (n> —x B+il- In|x 4 4 Bài 4 Tính tích phân 1z] de /2(x° +1) Lời giải: Ta có x(x? + = x(#+ I(x? —X+ 1) 1 = —+—+ AB Cx+D Vx Giả sử x(x?+1) x x+l x-x+l = > 1= A(x? +1) + Bx(x?—x+1)+(Cr+ D) x(x +1), Vx)
Thay x= 0 vào (*) suyra l= A> A=1
Thay x =-1 vao (*) suy ra l= -3B > B=-—
Đồng nhất hệ số ctia x°,x° 6 hai về ta được
Trang 16 -468 Dang Thanh Nam
Trang 17TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG +_ 2 A+B+C=0 3 -B+C D=0" +C+D= p-1 1 3 vay r= {f(t he 3(x+1) 3x -x+l 21 |, -i 2Í 285 1 x (xt Ponti" =[ll-sn|=+! ep "ape BAI TAP DE NGHI i Bài 1 Tinh tích phan 7=[—— 9(x+1)(x+2) *}—ax, 2 L a
Bài 2 Tinh tich phan 7 = [22 *4 ay o(x+1)
Bai 3 Tinh tich phan 2 Bài 4 Tính tích phan J = dx i x +] 2 a Bai 5 Tinh tich phan J = — 10 xì—2x?+5x dx Bai 6.Tinh tich phan J = sou He 1 a Bai 7 Tinh tich phan J = I x ria Bài 8 Tính tích phân 7 = je + Trang 17 -469
Dang Thanh Nam
Trang 18TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 33 Bai 9 Tinh tich phan J = Í— dx 1(x+1}Ÿ B i Bài 10 Tính tich phan J = I x+x° Bài 11 Tính tích phân 7 = | e Tự Bài 12 Tính tích phân 7 = = x el Bai 13 Tinh tich phan J = oy x rr Bai 14 Tinh tich phan J = ay 1+2x
MOT SO BAI TOAN TICH PHAN CO MAU SO LA DA THUC
Xin dé cập dưới đây các bài toán kèm theo kỹ thuật biến đổi tương ứng với mỗi ví dụ Những kỹ
thuật biến đổi dưới đây rất tự nhiên và dễ hiểu.Vì vậy khi đọc kỹ các ví dụ này các bạn có thể
nắm bắt được kỹ thuật và áp dụng vào các bài toán tương tự
BAI TAP MAU dx (x-1)(x +2) Bai 1.Tinh tich phan 7 = I Lời giải: ¬ P= I dx [POIs = b @-DG+2) 34 @-NG+2) 34 Trang 18 -470
Dang Thanh Nam
Trang 19TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG = Ỉ a -{ a 3\hx-1 4x42) = aa Ar] Pino 3° [x+2I]0 l Bài 2 Tính tích phân ——— " P \œ+3)G+6)(x+9} Lời giải: yok Fe f aie (x+9)-(x+3) 7 lam 6$( nan )(x+9) II dx dx ;(x+6) )=(#+3) , ;(x+9) -+6) =s|Í 6 5 (x+3)( \(x+6) 5 (x+6)(x+9) “Ts 6 (x+3 )(x+6) fr 5! tas (x+6) (x+9) = ; r+ 3)(x4+ 9) -aÍÍ 51 + : Jac = inf liều ) -hấ” I8)\x+3 x+6 x+6 x+9 18 (x+6) 0 27 (3x-5)° Bai 3 Tinh tich phan J = xa (x+2)” Lời giải: Ta có 7 =f oy =|) dx ù (x+2)” oi 442) (x42) _! =1]: 1 (1 11L x+2 x42) 121(x+2 ) |0 tư nP Bài 4 Tính tích phân 7 = (ee : Lời giải: 7 -1)" ( = Ta có I= pe * wiv (2 yo 4 9 (2x+1) o (2x41 Geni Trang 19-471
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 20
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Em 22m] lam —94(2x+1 2x+1) 900\2x+1) |0 900 ` Bai 5 Tinh tich a (x+3}(x+5) Lời giải: Ta có T= [ dx af de -Ï 1 ~ 1 -, de (x+3) (x45) (2) (was) (2) (x+5} (+5) x+5 x+5 1 ch: 2 fb [Geers (x3) tpt ay atp=2 3 x+3) | x+5 x#+§ x+5 _ 1 pt 60 +15t* —20P +15t° —6r+1 =z z dt 2 at) —-~6+15In|+^°~ đe +c 212 t 2# £ 4£ Bài 6 Tính tích phân J = lạ 3 TẢ Ï Bài 7.Tính tích phân 7 = (4 ae x +3x° Lời giải: Trang 20 -472 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 21
TICH PHAN mm Na ru : x43) 3 x'(x'+3) * ia pay] ipde afede ewtde đ d (rea) -M#-li#-5|HI#-jI#- Ta | 1 1 x" = T—-InE——]|+‹ 12x 36 lš +3 x? Tự Bài 8 Tính tích phân J = = dx Lời giải: 1+] 1 1 I— a(x+4) Ta có I= ja Poly dx =f x dx = | x dx = f + dt I n2 1 |x? -xJ241 =Í— +ce=—eln @ PH2Q “TR! aD 57 x+ay2+l Bài 9 Tính tích phan J = ae H dx Lời giải: 1 wt fxd a(x-+) Taco J= pe dx =f = dx = | = dx =f x +1 2 ? * ety (:-) +2 x & dt 1 xl 1 =| — =arctan = —Ầarclan”——+e,t=x—— "+2 V2 a =% _Ộ x Trang 21 -473 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 22TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG xl Bai 10 Tính tích phân J = f x ly —5x'—=4a”—5x+l BÀI TẠP ĐÈ NGHỊ dx Bai 1.Tinh tich phan J = lay x+1)(x dx Bai 2 Tinh tich phan J = lomany x+ x+ ầ ax Bài 3.Tính tích phân 7 = |——————— aA Beigliin.= [ca Vi Ra Bài 4 Tính tích phân | ah (2 1 Bai 5 Tinh tich phan J = jor » (x41) Trang 22 -474 Dang Thanh Nam
Trang 23TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 6 Tính tích phân 7 = lu 3x-2) (3x+4 dx Bài 7 Tính tích phân ï = lg cay 2x-1) (3x-1 dx Bai 8 Tinh tich phan J =f— ~ x +32 dx Bài 9 Tỉnh tich phan J =f— 5 x +9x a: rae R xdx Bai 10 Tinh tich phan J = Peale x+3x + Bài 11 Tinh tích phân 7 = SS" # +2x 10x" - 20+ ae Tay ˆ pxi+l Bài 12 Tinh tich phan J = | ——dx wae el 1 Ð Bài 13 Tính tích phân 1= [—& ï 4+ Bài 14 Tính tích phân Bài 15 Tính tích phân Bài 16 Tính tích phân Bài 17 Tính tích phân Bai 18 Tinh tich phan J = | ———adx ì x(I+z”") TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Trang 23 -475 Dang Thanh Nam
Trang 24TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Đang tích phân: I = fe" (a + bx" l dxy, trong đó các số m,n, p là các số hữu tỉ
Hướng giải quyết dau tién lA dat t= a+ bx" hoặc t= (a + bx" l 2
Nếu cách đặt thứ nhất không hiệu qua chuyén sang cách đặt ân phụ thứ hai Điước a+ba" „ # là số nguyên, thường là # =1 x Dạng toán này rất hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học ñ „
Dang tích phân: Ï = Jala 0% b „ trong đó z;„d, là các số nguyên dương
Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số Qo, Bid su lak Khi đó ta đặt x=/ˆ Dạng tích phân: 7 = [# {5} of SY een ant pe, ox+d cx+d cx+d BÀI TẬP MẪU Ni dx Bài 1.Tính tích phân 7 = xo Lời giải: Đặt tay oP 14h? = x? =(7-1) = 2adš = 6/(£ = LỆ đi Khi x=0—/=1; khi x=33—>/=2 xế +3r( =1} =3f(r-1) 2 ae Ỉ =3 4_ Of? Ide =( 3 2 +3: P Grove sae 1 Vay I= Trang 24 -476 Dang Thanh Nam
Trang 25TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ \G 5 Bài 2.Tính tích phân 7 = Í== lq +9 Lời giải: Đặt ;=x+?+9>x? =9—/” — 2xdx = 2fdt Khi x=x7=f=4;khi x=4=/=5 Vậy 7= dx =Ï xdy af tdt -f đc ST : FAN +9 va +9 t(t?-9 # /—3|P _ r+3|З- mm + 4 MỸ 3 Bài 3 Tính tích phân 7= | ——d: Lời giải: Đặt ;=Ÿx°+l—x? =/`—l— 2xảy =3/24i Khi x=0—/=l;khi x=A7 =2 x? xdx 3‡(°=1)£át Vay [= [ye T ar 1 24 7 -3f(—na=3(1pg_1z “lữ t)dt xy sĩ ) 2_93 I 10) : Bài 4.Tính tích phân 7 = [zh-x'a : Lời giải: Dat t=Vl-x Sx =1-f = 2xdx =—2edt Khi x=0—=/=l;khi x=l=/=0 Vậy I= de = -[§-# )Pdt = fle -#}w -[sr -#?) 0 0 ~ Trang 25 -477 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 26
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ dx (ee) Bai 5 Tinh tich phan J = slot Lời giải: Phân tích: Việc đặt £=+x/I++x” lúc này tỏ ra không hiệu quả, ta chuyển hướng sang cách đặt thứ hai vig? 1 —2tdt Dat t= ` =3 ”=—=—=2:d:= 5 X t-l (?-1) 243 Khi vB efi M dy a xdx Way T= = „ 5 (14x) I l+x? ¥l4x° 3 2 :™ R x Xx -Ï _— Bì nỗ _ #B(# =1} Tp 2? ~2J cac P-1) — 3 dx Bài 6 Tính tích phân 7 = J 33 3 1 xwey2—x Khi xel=t=lsxe #3 =st=~—L Trang 26 -478 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 27TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ \G Bai 7 Tinh tich phan J = Tên wa Loi gi: Dat t=Vx Sx=P > dx =2edt Khi x=l—=/=l;x=4—=/=2 4 2 Vay I= =f 2tdt 1 aA (7+1) sa a(t aH =;" Bài 9 Tính tích phân J = (_—*_ I (x+4y Lời gi Đặt =vx+4—! =x+4— 2idi = dự Khi x=-3—/=l;x=-I=r=4/3 2tdt _ % at la iow lạt (ite Trang 27 -479 Vay I= = 2arctant
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 28
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ Bài 10 Tính tích phân 7 = [J2 —Y, | dr; 2+x (2—x) Loi gi: Dat t= p= spel xe 4 2 dealt 2+xz 24% l+¿ (+) 3) 3 Vậy T=), 2s Vex (2-2) l 7 ax= fle?) c2 dA de lót (ly) 4° 8P 3 6 x-4 dx x+2 x+2 : Bài 11 Tính tích phân 7 al 4 -|È=zha- Trang 28 -480 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 29
Khi x=2—i=-L;x=3—=r=—L, + | viy =f ft) fe OL eae 3 i (x- t° (-#Ÿ Bài 13 Tính tích phân 7 =Í dx l+vx 4x41 Lời giải: Đặt /=xx+x/x+l =i=Wi-Wiai=r->a-[ dx 1 11 “ấy Tê TH mg las *(1+1) +=:|[' TF = Vs 5in( J+ Sir) 3-5 Xt +0, BAI TAP DE NGHI 1% die Bài 1.Tính tích phân 7 = [ as 1 x[Ix##) Bài 2 Tính tích phân 7 = [#“+-#j% % Bài 3 Tính tích phan [= joe 0 vx? +1 7 dx BIN + + Trang 29 -481 Bài 4 Tính tích phan J =
Dang Thanh Nam
Trang 30TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 5 Tính tích phân J = ng w+ Bai 6 Tinh tich phan J = jan Vx +1 \ Bai 7 Tinh tich phan J = [xivi= var 0 9 Bai 8 Tinh tich phan J = fav l-xdx 1 ? dx Bài 10 Tính tích phân 7 1ay +x” : Bài 9 Tính tích phân J = Ta _ eae ˆ Ix Bai 11 Tinh tich phan | vx lve Ý1+2xV1+x?+2x? Bài 13 Tính tích phân 7 = |— —" o lI+x+Vl+z Bài 12.Tính tích phân 7 = li” Bài 14 Tính tích phân 7 = —_— 1 2x? -143¥2° -1
PHƯƠNG PHAP TiCH PHAN TUNG PHAN
Giả sử u(x), v(x) la céc hàm liên tuc trén mién D, khido ta co d (uv) =udv+vdu => fa ()= ịna +f vdu cư= fuav+ [sau = [na = uy~ [vdu = fi =(uv) Ï "`
la
Trang 30 -482 Dang Thanh Nam
Trang 31TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Công thức (*) là công thức tích phân từng phần, các bài toán áp dụng cách tính này thường biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai biểu thức, trong đó một biểu thức là đạo hàm của một hàm só Khi lấy tích phân từng phân thì tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân đầu Dưới đây trình bày một số dấu hiệu nhận biết để đặt w,dv sao cho thich hợp.Một các tổng quát là thành phần đh là đạo hàm của vnên chọn thành phần đvsao cho dễ tìm được v là được u= P(x) sin(ax +b) in( b) sin(ax + cos(ax +b) nie ( b) + =| P(x (| gor fartbhgat : thì dat cos(ax + [costa 6) ax+b “ mare _ In(ax+b) " log, (ax+b) dv = P(x)dx Ề ne ke ne cos(ax+ ) ne Ƒ + [=| P(x) x thi dat log,(ax+b sin(ax+ +]= “| ( fh cos(ax+ ) - sin (Inx sin (In x) [ (nz) ] cos (In x) ,| cos(Inx u-| | + fe ix thi dat sin (log x) sin (log, x cos(log, x) cos(log, x) ở đây P(3) là đa thức BAI TAP MAU 3 ể Bài 1.Tính tích phân 7 = (tee 1 (x41) Trang 31 -483 Dang Thanh Nam
Trang 32TICH PHAN \G + Tinh tich phan K = jae (x+1Ÿ u=Inx dua 3 : x Dat de dx > 4 (x+1 v= x+1 -Inxl 2 E _ +1)- ¬ i Vậy K= Inx +f dx In3 fee 3h H3 11 de x+1 {1 lx(x+1)— 4 x+y” 4 1X x4! —In3 x |B 1, 27 = +In}—]| = —In— 4 x+I[fl 4 16 Vậy receding, 4 4 16 5 a Bài 2 Tinh tich phan 1= [—7dx 1 x Bài 3 Tính tích phân 7 =(x In’ xdx Trang 32 -484 Dang Thanh Nam
Trang 33TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: Suy dea u=In’x x Dat => (ee v=—x ily 4 Vay Tate -4 fx inxdv=te!-K 1 da 3 ¬ x Dat = an 1, v=—x 4 If 1 1? 1 1L 3e Vậy K=-—|—x°Ìnx Thả x'a4x |==e'-—3'" '=_- 2014 1 I 32 32 4 a Vay pote I1 3 se ! 4 32 32 32 1 Bai 4.Tính tich phan J = [(x-2)e"adx ° Lời giải: w=x—2 du = dx Đặt dv = e*“dx z v=se" 1, 1 oie > |b 5-32? Vậy 1=2e*(x~2) 2 lo 24 _ e°*dy=2(2—e')~—e" == ae 2 4 lo 4 Bai 5 Tinh tich phan J = fim(x? —x)dx 2 Trang 33 -485 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 34TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG => y=x 3 ;x(2x-l) 2x- ly 2(z-1)+I Vậy rah(?'-3)|,- | 2, Sake- 2In2- eS =In54— + 33 3 =In54-2[dx~ -®!' ~In54—2y php] =3lIn3—2 81 2 7 Bai 6 Tinh tich phan J = frrevax Bai 7 Tinh tich phan J = ja ụ (x+2} Lời giải: u=xe" du = xe" (x+2)dx Dat) _ dx a ve | (x+2) x+2 -x’e"|2 > : 2 7 Bộ Vay I= x+2)0 4 + [xe'dy =-e" + [xd (e')=-e? + xe" -fe'dr=e =e) BÍ | (me 0 Trang 34 -486 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 35TICH PHAN a Bai 8 Tinh tich phan J = fe tan’xdx 0 Lời giải: ‡ 2 4 1—cos*x tạdšv ‡ ï ae r Ta có 1=[xian xdy= [x——=—xh = T -[adt=K-=x 4=K-— % $ C0§% W608:X Đ 2 0 32 # tự +4 z IZ + eo + 4 gìn 3 + Tính K=] xa = [xd (tanx)=xtanx 4~[tanxdx=2—- [= de 5 COS X 4 0 ° 4 5 cosx Lo V7 dx Bai 9 Tinh tich phan J = Í— o(1+x*) du =4x°dx ve =! 4(x*+1) -x' | d I 1.đ[l+x 1L 1 I 2In2-1 Vậy I=— 4(I+a!)|0 3+2” + 8 4i l+a a ( J, a 8 0 8 Bai 10 Tinh tich phan J = Ỉ (2-3) xdx, x Trang 35 -487 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 36
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Loi gi: Taco [= Í[zs-s]h»e= 2f sind [ar M-N x + Tinh M=2[xInady din _ fu=Inx x Dat = Am v==x 1; 2 « 2 2 Vậy M =2 4x inx|—+ fade |=2 = eis 2° sẽ ác, 2 I2 2 4 |i 2 2 Inx _3 + Tinh N= fe —dx= 3finad (Inx)=5 (n3Ÿ [ =F a e 13 & Vậy I=—+—~-—=—-] 2 2 2 2 Bài 11 Tính tích phan J = —Ïx — + cos x) cos xdx Lời giải:
2 ; sin ; sins ; 2 3 XiữE l+cos2x
Taco [= (e +cos x)cos xdy =fe cos xdx + f cos xdx = fe dtsins) of 2 ° 0 0 1 v — z 1 ~ [ear(S+tsin2s] 2=e| + =e+T-I, ! 24 5 l0 4 Bài 12 Tính tích phân 7 = | xsin xcos” xẩx oes Loi gi Trang 36 -488 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 37TÍCH PHÂN VÀ Ú © Ta có I= [zsn xcos’ xdx =-=| J 3 xd (cos’x) = —.eos x lo ++ f cos’xdy o 3 e—-I» x =i, ? -zx HD 1 es y= lla _ 48 +3] ( (I-sin? Sẽ )4(sinx)= +— si x—- sỈn” x 35 72 48 3 0 Bài 13 Tính tich phan J = | x cos? xdx se in Lời giải: „ 3 1 3 12 1 3 Taco [= fe cos* xdx =<] x(1+cos2x)dx =| xdv+—J xeos2xdx 0 2 0 2 0 2 0 2 4k eo lz = 2 ey =F +—] xd (sin2x —+—| xsin2x|2 — Jin 2xdx =Z_+ —eos2x l2 =———— 16 44 l6 4 § 9 l6 8 ạ 16 4 Bài 14 Tính tích phân =f : ~ ha Lời giải: Ta có [= i(; dx =] = i x~ -® —M—N, mx Hự Ẹ Vậy I=M_—N=e-— Bài 15 Tính tích phân 7 = [(xInx) đy Trang 37 -489 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Trang 38
TICH PHAN VA UN Lời giải: ? le Taco [= f(vmxy dx = sih x) d (x)= ify (In x) , 1 ta 1 2? 1 2 -4| 3 -?Ƒ* rats] : ~3/in xd (x || ễ -š- Inx _——¬ he x = = 5 " >~< a 3 3) x¢dy oe 2 14 21 1 Bai 16 Tinh tich phan r= fxin( as -x 0 Lời giải: 1 =1in3- x~2In|l+a|— —ÌÌb=+m3+2m2—Š 8 x+l § 2 0 Bài 17 Tính tích phan I= [e" TM Fe » I+cosx Lời giải: Trang 38 -490
Dang Thanh Nam
Trang 39TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1+cosx 1+cosx 1+cosx l+cosx che mm, 2 ý (I+reosa)
3 l+ HIẾN: 3 e' ĐO Quế
+ Tính tích phan K = fe’ TSOSX* SY 4, |_ Ê av [TC XE gy
o (l+eosx) sl+€0sx %(I+eosx)
a dle’) P e'sinx 1 n> 1 5 e' sinx
"ốm oltcosx )(I+cosx) 1+cosx ö 1+cosx) 4 (1+cosx)
sanded ean a Ỉ esinx gt 2 ;(I+cosa) 0 (1+cosx) 2 ễ Ị = |] x Vay [= 20? -—-| e? -—|=e? 2 2 Bài 18 Tính tích phân 7 = [n(x+di++ Jat 3 Loi gi: 1 w= In(x+vi+x") du= dx Dat > 142° dv=dx v=x 1 Ị 1 sl Vay r=[m(x+i+x”)áx=xn(x+ V+ + )| =[ ee 0 owNl+x Trang 39 -491
Dang Thanh Nam
Trang 40TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤ \G 1 xin(x+vi+x° ) Bài 19 Tính tích phân 7 = Í————— x dx= Vie In x4 Ve), [&=všh(t+v3)~I tx+sinx Bài 20 Tính tích phân 7 = J dx 0 1+cosx Lời giải: + “ x+sin | Taco [= Ỉ dy= 5 1+ cosx xdx dì sin xdx (a (1+cosx) 1+cosx Š oes oes 1 1+ cosx 1+cosx 1? ote e Ỷ rE 4 =—InlI+ cos x||4 + | xd| tan— t4 VN 4- tan —đy | I ( sjnm P 21 J 2 z — Z# +Ttan^ sim os=|4 == (¥2-1 net 4 ; | al ) Bài 21 Tính tích phân 7 = it ï Trang 40 -492
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam