Tài liệu ôn luyện thi Đại học - Chuyên đề Hàm số (phần 1)

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến... IM với I là giao điểm 2 đường tiệm cận..[r]

Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học Chuyên đề I M・T S・ BÀI TOÁN TH・・NG G・P VỀ Đ・ TH・  Ch・ đề 1: - Tiếp tuyến c・a đ・ th・ hàm s・ Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ;y  , hoành độ x0 , tung độ y0 - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A  x A ;y A  cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc nó  Phương pháp: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  và M  x0 ;y  là điểm trên  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  x0 ;y  có: - Hệ số góc: k  f ' x0  - Phương trình: y  y  k  x  x0  , hay y  y  f ' x0  x  x0  Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M  x0 ;y  chúng ta cần đủ ba yếu - tố sau: Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y  f  x0  ) - Hệ số góc k  f ' x0  Dạng Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ;y  , hoành độ x0 , tung độ y0 Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ;f  x0   Giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  M  x0 ;y  là: y  f ' x0  x  x0   y Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết hoành độ tiếp điểm x  x0 Giải: Tính y  f  x0  , y' x0   phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0  x  x0   y Lop12.net Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết tung độ tiếp điểm y0 Giải Gọi M  x0 ;y  là tiếp điểm Giải phương trình f  x   y ta tìm các nghiệm x0 Tính y' x0   phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0  x  x0   y Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  x3  3x2  Tại điểm  2; 2 Tại điểm có hoành độ x  1 Tại điểm có tung độ y  2 Tại giao điểm đồ thị với y  x  Lời giải Hàm số đã cho xác định với x   Gọi M0  x0 ;y  là tọa độ tiếp điểm và y  y  x0   x03  3x02  y'  3x2  6x , tiếp tuyến điểm M0 có hệ số góc: y' x0   3x02  6x0 Ta có : x0   y'  2  Phương trình tiếp tuyến điểm M  2; 2 : y   x  2   2 Ta có: x0  1  y  2,y'  1   Phương trình tiếp tuyến: y  9 x  1   9x  Ta có: y  2  x30  3x02   2  x03  3x02     x0   x0  2   x0  1 x0  Phương trình tiếp tuyến điểm  1; 2 : y  9x  Phương trình tiếp tuyến điểm  2; 2 : y  2 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  2, y  9x  Phương trình hoành độ giao điểm : x3  3x2   x     x3  3x2  x     x  3 x2    x  x  1 Phương trình tiếp tuyến điểm  1; 2 : y  9x  Phương trình tiếp tuyến điểm  1;0 : y  3x  Phương trình tiếp tuyến điểm  3;2 : y  9x  25 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  9x  7, y  3x  3, y  9x  25 Ví dụ Cho hàm số: y  x3   m   x2  3m   x  m  Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ qua điểm A  2; 1 Lời giải Hàm số đã cho xác định với x   Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học Ta có: y'  3x2  2 m   x  3m  Với x   y 1  3m   y' 1   m  Phương trình tiếp tuyến điểm có x  : y   m   x    3m  Tiếp tuyến này qua A  2; 1 nên có: 1  m   3m   m  2 Vậy, m  2 là giá trị cần tìm Dạng Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A  x A ;y A  cho trước Giải: Gọi M  x0 ;y  là tọa độ tiếp điểm Khi đó tiếp tuyến có dạng: y  f ' x0  x  x0   y Vì tiếp tuyến qua A nên có: y A  f ' x0  x A  x0   y , giải phương trình này ta tìm x0 , suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1 Cho hàm số y  x3  3x2  9x  11 có đồ thị là  C  Lập phương trình tiếp  29  tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm I  ;184    x 2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y  , biết d qua điểm x 2 A  6;5 Lời giải Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C  điểm có hoành độ x0 đó phương trình tiếp tuyến    có dạng:   y  y' x0  x  x0   y  x0    3x  6x0    x  x   x  3x02  9x0  11   29   Vì    qua điểm I  ;184  nên:       29 184   3x0  6x0    x0   x0  3x02  9x0  11     2x30  32x20  58x0  260   x  13 x0  x0  2 - Với x0  13 thì phương trình tiếp tuyến là y  420x  3876 - Với x0  thì phương trình tiếp tuyến là y  36x  164 - Với x0  2 thì phương trình tiếp tuyến là y  15x  39 Lop12.net Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  420x  3876; y  36x  164; y  15x  39 Cách 1: Gọi  x0 ;y  x0   là tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d và  C  , với y  x0   x0  4 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x0   , x0  và d có x0   x0  22 phương trình: y  4  x0  2  x  x0   x0  x0  d qua điểm A  6;5 nên có  4  x0  2  6  x0   x0  phương trình x0  này tương đương với x20  6x0   x0  x0   Với x0  , ta có phương trình: y  x  x  Với x0  , ta có phương trình: y    x Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  , y    Cách 2: Phương trình d qua A  6; 5 có hệ số góc k , đó d có phương trình là : y  k  x    d tiếp xúc  C  điểm có hoành độ x0 và hệ: x0   4x20  24x0  k  x     x    có nghiệm x0 hay  có nghiệm x0  k   k    x0  2    x0  22  x0  0, k  1  d : y  x   x  6, k    d : y   x   4 x Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  , y    * Nhận xét 1: Qua cách ta thấy đường thẳng d : y  x  luôn tiếp xúc với C  tiếp điểm M  0; 1  và đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng IM với I là giao điểm đường tiệm cận Qua đó ta có bài toán sau: x 2 Tìm trên đồ thị y  điểm M cho tiếp tuyến M vuông góc với x 2 đường thẳng IM , với I  2;1 Gợi ý Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học và tiếp tuyến x0  Gọi  x0 ;y  x0   là tọa độ tiếp điểm cần tìm với y  x0    M có hệ số góc y' x0   4  x0  22 , x0  Đường thẳng IM có hệ số góc k và k  y  x0   y  xI  x0  xI   x0  22 Tiếp tuyến M vuông góc IM và y' x0  k  1 tức là 4  1 hay  x0  2  16  x0  x0   x0  2  x0  2 Vậy, M1  0; 1  , M2  4;3 là tọa độ cần tìm * Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến M1 , M2 song song với nhau, đường thẳng qua điểm M1 , M2 song song với đường phân giác thứ mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến M1 , M2 có hệ số góc là y' 0  y'   1 * Qua đó, ta có bài toán sau: x 2 điểm phân biệt M1, M2 x 2 k2 là hệ số góc d1 , d2 là tiếp tuyến đồ thị M1 , M2 Giả sử đường thẳng : x  y  m  cắt đồ thị y  Gọi k1, Tìm tọa độ M1 , M2 cho k1  k2  2 Tìm giá trị m  để tiếp tuyến M1 , M2 song song với Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị  C  : y  2x  biết d cách x 1 điểm A  2;4  và B  4; 2 Lời giải Gọi M  x0 ;y  x0   , x0  1 là tọa độ tiếp điểm d và  C  Khi đó d có hệ số góc y' x0   y  x0  1  x0  12  x  x0    và có phương trình là : x0  Vì d cách A, B nên d qua trung điểm I  1;1 AB cùng phương với AB TH1: d qua trung điểm I  1;1 , thì ta luôn có: 1  x0  1  1  x0    , phương trình này có nghiệm x0  x0  Lop12.net Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  4 TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, đó y  yA y' x0   k AB  B  hay   x0  2 x0  xB  xA  x  2 Với x0  2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  x  , y  x  , y  x  4 Ví dụ Cho hàm số y  x  4x2  , có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến C  qua điểm A  0;4  có hệ số góc m , biết tiếp tuyến tiếp xúc với  C  bốn điểm phân biệt Cho hàm số y   x3  3x  2, có đồ thị là  C  Tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng y  4 mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị  C  đúng hai tiếp tuyến Lời giải Phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc m có dạng: y  mx  d tiếp xúc đồ thị  C  điểm có hoành độ x0 hệ : x04  4x20   mx0  3x04  4x20   có nghiệm x  có nghiệm x0   4x0  8x0  m m  4x0  8x0 m  4 m    x2      hay   x0   m   20    m  4x3  8x  20  0 m   Với m  4 , tiếp tuyến y  4x  , tiếp điểm M1 1;0  Với m  , tiếp tuyến y  4x  , tiếp điểm M2  1;0 Với m    16  20 20 , tiếp tuyến y   x  , tiếp điểm M3  ;   9    16  20 20 , tiếp tuyến y  x  , tiếp điểm M4   ;   9   Vậy, qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  : Với m  Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 20 20 x4 , y  x4 9  Mở rộng: Dạng toán qua điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị là dạng toán ít gặp Để hiểu kĩ dạng toán này, ta giải bài toán sau: y  4x  , y  4x  , y   “Biện luận theo m số tiếp tuyến  C  : y  x  6x2 vẽ từ điểm M 3;m  ” Gợi ý: Phương trình tiếp tuyến  d   C  vẽ từ M 3;m  có dạng: y k x3 m  d  và C  tiếp xúc điểm có hoành độ x0 , từ đó suy ra: m  x04  6x20   4x30  12x0   x0    g  x0  Ta có: g' x0    x0  1 x0  x0  Từ bảng biến thiên suy ra:  m  21 m  27 : có tiếp tuyến  m  21 : có tiếp tuyến  21  m  27 : có tiếp tuyến  m  27 : không có tiếp tuyến nào Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng y  4 nên A  a; 4  Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình y  k  x  a   Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  C  và hệ phương trình sau có    x3  3x   k  x  a    x3  3x   x2   x  a  nghiệm:   3x2   k  3x2   k  x  1 2x2   3a  2 x  3a  2  1       3x   k  2 x  Phương trình  1 tương đương với:  g  x   2x  3a  2 x  3a   Qua A kẻ hai tiếp tuyến đến  C  và  2 có giá trị k khác , đó  1 có đúng nghiệm phân biệt x1 ,x2 , đồng thời thỏa k1  3x12  3, k  3x22  có giá trị k khác Trường hợp 1: g  x  phải thỏa mãn có nghiệm 1 và nghiệm khác 1 hay g  1  6a      a  1 kiểm tra  2 thấy thỏa  3a   1 a    Trường hợp 2: Lop12.net g  x  phải thỏa mãn có nghiệm kép khác 1 hay  3a  22  3a  2   3 3a  2 a  2    3a   1  3a   2  a a  2, kiểm tra  2 thấy thỏa   Vậy, các điểm cần tìm là A  1; 4  , A 2; 4  A   ; 4    Dạng Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước - Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  :ax  by  c  - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  :ax  by  c  - Tiếp tuyến cùng với đường thẳng  d  :ax  by  c  tạo thành góc  2x  có đồ thị  C  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Tiếp tuyến có hệ số góc 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  Ví dụ Cho hàm số: y  Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy Lời giải Hàm số đã cho xác định với x  Ta có: y'  4  x  2 Gọi M  x0 ;y  là tọa độ tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y 4  x0  1  x  x0   2x  2x0  4 với y' x0   và y0  x0  x0   x0   Tiếp tuyến có hệ số góc 1 4 Nên có:  1  x0  3, x0  1  x  12  Với x0  1  y    : y  x   Với x0   y    : y   x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y  x  Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  10 Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học Nên có: y' x0   4  4  x0  12  4  x0  x0   Với x0   y    : y  4x   Với x0   y    : y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  4x  2, y  4x  14 Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến 1 Mặt khác: y' x0   , nên có: y' x0   1 Tức 4  x0  12  1  x0  1 x0   Với x0  1  y    : y  x   Với x0   y    : y  x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y  x  2  Khoảng cách từ M  x0 ;y  đến trục Oy suy x0  2 , hay M  2;  , 3  M  2;6  2  Phương trình tiếp tuyến M  2;  là: y   x  3 9  Phương trình tiếp tuyến M  2;6  là: y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  , y  4x  14 9 Ví dụ Tìm tất các giá trị k để tồn tiếp tuyến với C  : y  x3  6x2  9x  phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua các tiếp điểm tiếp tuyến đó với  C  cắt các trục Ox, Oy tương ứng A, B cho OB  2012.OA Lời giải Hoành độ tiếp điểm x0 tiếp tuyến dạng y  kx  m với  C  là nghiệm phương trình f ' x0   k  3x02  12x0   k  1  Để tồn tiếp tuyến với  C  phân biệt thì phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt, đó  '   3k  hay k  3  2 Khi đó, tọa độ tiếp điểm  x0 ;y  tiếp tuyến với  C  là nghiệm hệ  y  x03  6x02  9x0  y0   x0  2 3x0  12x0   2x0  3 phương trình:   3x0  12x0   k 3x2  12x   k    11 Lop12.net k 6 2k   x0   y   x0  2 k  2x0   3  3x2  12x   k  k 6 2k  x 3 Do  d  cắt trục Ox,Oy tương ứng A và B cho OB  2012.OA nên có thể Vậy phương trình đường thẳng qua các tiếp điểm là  d  : y  - - xảy ra: Nếu A  O thì B  O , trường hợp này thỏa  d  qua O Khi đó k  Nếu A  O , đó tam giác AOB vuông O cho   OB  2012  k   2012  k  6042 tanOAB OA k  6030 (không thỏa  2 ) Vậy k  , k  6042 thỏa bài toán Chú ý:  Cho hai đường thẳng  d1  : y  k1 x  b và  d2  : y  k 2x  m  k  k2  d1    d2    b  m  d1    d2   k1 k2  1  d1  ,  d2  cùng phương  k1  k2  d1  ,  d2     cos     k 2k  k12  k22   Giả sử A  x1 ;y  , B  x2 ;y2  , đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc k  y  y1 , x2  x x2  x1 Bài tập tự luyện: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y  2x , biết: x 1 a Hệ số góc tiếp tuyến 2 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : x  2y  c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng    :9x  2y   d Tạo với đường thẳng  d' : 4x  3y  2012  góc 450 e Tạo với chiều dương trục hoành góc  cho cos    f Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm tiệm cận ) Hướng dẫn giải 12 Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học Ta có: y'  2 x    2x  x  1  2  x  12 Gọi  x0 ;y  là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ;y  y' x0   a Theo giải thiết, ta có: y' x0   2  2  x0  2 2  x0  12  2  x0    x0   y    x0  1     x0   1  x0   y0  Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y  2x  8,y  2x b Theo giải thiết, ta có: 2  x0  1     x0  1  27 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  ,y   x  4 2 2 c Theo giải thiết, ta có:     x0     x  12 32 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  ,y   x  9 9 d Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  k  x  x0   y  x0  với k  y' x0   , có   vectơ pháp tuyến là n   k; 1  ,  d' có vectơ pháp tuyến là m   4;3   n.m 4k  1 cos450       k   thỏa đề bài n m k2  1.5 e Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành ,khi đó tồn  0;  để tan   và tan   2  x0  1 f k IM  2  x0  1 Ta có: tan2   cos  1  1  tan    , nên có: 2     x0  1  2 2  x0  1 , theo bài toán nên có: k IM y' x0   1   x0  1  Cho hàm số: y  x3  3mx2  x  3m có đồ thị  Cm  Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành Hướng dẫn giải (Cm) tiếp xúc với trục hoành điểm có hoành độ x0 và hệ phương trình: 13 Lop12.net     x x2   3m x2    x30  3mx20  x  3m  0  0 có nghiệm x0 tức hệ   3x0  6mx0   3x20  6mx0      x2   x  3m   0  có nghiệm x0   có nghiệm x0  m   3x20  6mx0   Cho hàm số: y  x  x3   m   x2  x  m có đồ thị  Cm  Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành  Cm  Hướng dẫn giải tiếp xúc với trục hoành điểm có hoành độ x0 và hệ phương x04  x30   m  1 x02  x0  m  trình:  có nghiệm x0 4x0  3x0   m   x0          x2 x2   x x2   m x2   0 0  0  có nghiệm x0 4x30  3x02   m  1 x0       x2  x2  x  m  0   có nghiệm x0  m  5, m  1, m  4x30  3x02   m  1 x0   Cho hàm số y    x  x2 , có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  : a Tại giao điểm  C  với Parabol y  x2 b Tiếp tuyến qua điểm A  2;0 Hướng dẫn giải y  x  4x  4x  y'  4x3  12x2  8x a Phương trình hoành độ giao điểm:   x4  4x3  4x2  x2  x2 x2  4x    x  0,x  1,x   Với x   phương trình tiếp tuyến: y   Với x   phương trình tiếp tuyến: y   Với x   phương trình tiếp tuyến: y  24x  63 b M  x0 ;y    C  Tiếp tuyến  t   C  M  x0 ;y  :   y  4x30  12x20  8x0  x  x0   x02  x0     A  2;0    t     x0  3x30  10x02  8x0   x0  0,x0  2,x0   Với x0   y'   0,y   phương trình tiếp tuyến y   Với x0   y' 2  0,y0   phương trình tiếp tuyến y  14 Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học a b c 32 64 32 64 4  Với x   y'    ,y0   phương trình tiếp tuyến y   x  27 81 27 27 3 2x  Cho hàm số y  , có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  x 1 Tiếp tuyến có hệ số góc  Tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Khoảng cách từ I  1;2 đến tiếp tuyến lớn d Tiếp tuyến  C  M vuông góc với IM Gọi M  x0 ;y  Hướng dẫn giải là tọa độ tiếp điểm  C  và tiếp tuyến  d  Tiếp tuyến  d  M  x0 ;y  : y  a   x0  1 1  x0  1  x  x0   2x0  x0  1    x0  3,x0  1 13 Từ đó ta tìm tiếp tuyến là: y   x  và y   x  4 4  2x0  b Tiếp tuyến  d  cắt tiệm cận đứng A  1;  , cắt đường tiệm cận ngang  x0   B 2x0  1;2  IA  ,IB  x0   IA.IB  x0  Chu vi tam giác IAB : p  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA  IB Mặt khác: IA2  IB2  2IA.IB  8, IA  IB  IA.IB  Nên p  2  Đẳng thức xảy khi: IA  IB   x0  1   x0  3,x0  1 13 Từ đó ta tìm tiếp tuyến là: y   x  và y   x  4 4 c Gọi H là hình chiếu I lên  d  , ta có: d  I,    IH Trong tam giác vuông IAB, có : IH  IA  IB   Suy ra: IH  IA.IB Đẳng thức xảy  IA  IB 13 Từ đó ta tìm tiếp tuyến là: y   x  và y   x  4 4    1  d Đường thẳng  d  có vectơ phương u   1;   x  2      1  IM   x0  1;   x0  0,x0   , IM   d   x0   x0     x  3 15 Lop12.net Từ đó ta tìm tiếp tuyến: y   x  1,y   x  Viết phương trình tiếp tuyến d C  điểm M thuộc C  :  17  y  x  2x2  cho  d  vuông góc với AM, biết A  0;    Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ;y  là tọa độ tiếp điểm  C    25  AM   x0 ;x04  2x02   , đường thẳng  d  tiếp tuyến M có vectơ pháp      tuyến là n  4x30  4x0 ; 1 Theo bài toán, ta có AM và n cùng phương, từ   đây tìm M  0; 1 , M  1;2 , M  1;2 Viết phương trình tiếp tuyến d  C  : y   x  x2  , biết d cắt trục 4 hoành , trục tung A và B cho OA  OB , cho diện tích tam 3 10 và khoảng cách từ O đến d 10 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên d thì OH  d  O;d  giác OAB 1  OA.OB  OA  OA.OB  Ta có:    OA  OB  10 OB      10  OA2 OB2 OH2 OB Hệ số góc đường thẳng d là k    3 OA Tiếp tuyến d : y  3x  3, y  3x  Viết phương trình tiếp tuyến d  C  : y  x 3 điểm M cho tiếp x 1 16 là tiếp tuyến  C  Hướng dẫn giải     C Đường tròn  C' có tâm I  1;1  , bán kính R  , M  1;   x  12    2 tuyến M  C' :  x  1   y  1  Tiếp tuyến  d  M thuộc  C  có dạng: d là tiếp tuyến chung  C  và 2  x  x0   y   0 x0   x0   C' nên dI,d   R , từ đây ta tìm phương trình :  x0  1  5 x0  1   16 Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 2x  và I là giao điểm x 2 đường tiệm cận Tiếp tuyến  d   C  M cắt đường tiệm cận A và Gọi M là điểm bất kì trên  C  hàm số y  B Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2 Hướng dẫn giải   2x  Gọi M  x0 ;  ,x0  là điểm thuộc  C  x0    Tiếp tuyến  d  M có hệ số góc là: y' x0     x0  22 Phương trình có dạng:  d  : y  1  x0  2  x  x0   2x0  ,  d  cắt tiệm cận x0   2x   tại: A  2;  , B 2x0  2;2  x0   x0   M 1;1 2   x0   M 3;3  x0  2 2x  10 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  điểm thuộc x 1 đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng  d  : 3x  4y   2 IAB vuông I và SIAB  2   x0  2  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ;y  là điểm thuộc đồ thị  C  , đó: y  y  x0   Ta có: d M, d   3x0  4y0  32  42 2x0  x0    3x0  4y0  12  3x0  4y0    2x   TH1: 3x0  4y  12   3x0     12   3x0  x0   x0  x    x0   2x   TH2: 3x0  4y0    3x0       3x0  19x0  20  x     x0  5 x0   Phương trình tiếp tuyến  d  M thuộc đồ thị  C  có dạng: y  y' x0  x  x0   y  x0  đó và y' x0   1  x0  2 , x0  1 17 Lop12.net Phương trình tiếp tuyến  d1  M1  0;3 là y  x  Phương trình tiếp tuyến  d2  Phương trình tiếp tuyến  d3  Phương trình tiếp tuyến  d4  M4   47  11  M2  ;  là y   x  16 16   7 23  M3  5;  là y   x  16 16    ; 1  là y  9x  13   Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: 47 23 y   x  3, y   x  , y   x  , y  9x  13 16 16 16 16 11 Tìm tất các điểm trên đường thẳng 30x  24y  61  để từ đó kẻ đến đồ thị x3 x2   2x  tiếp tuyến tương ứng với tiếp điểm có hoành 3 độ x1 ,x2 ,x3 thỏa x1  x2   x3 C  : y  Hướng dẫn giải  5m 61  M   d  : 30x  24y  61   M  m;   24   Phương trình tiếp tuyến  C  N  x0 ;y  :  x3 x2 7 y      2x0    x02  x0   x  x0   3   Tiếp tuyến qua M 5m 61  x0 x0 7      2x0     x02  x0   m  x0  24  3  3m 1   x30    m  x20  mx0      24 2      Để thỏa yêu cầu bài toán thì phương trình   có hai nghiệm âm phân biệt  7m  m   12  m   hay m    5    m0  m  18  18  3  2 m   m    Vậy, điểm M nằm trên đường thẳng d có hoành độ m thỏa 5 m   m 18 18 Lop12.net Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học 12 Tìm tham số m để parapol  P  : y  x2  x  và đồ thị  Cm  hàm số y  x3  4mx2  7mx  3m tiếp xúc P và  Cm  Hướng dẫn giải tiếp xúc điểm có hoành độ x0 và hệ phương  x20  x0   x30  4mx02  7mx0  3m trình:  có nghiệm x0 2x0   3x0  8mx0  7m  x   x2  4mx   3m  0   có nghiệm x0 2x0   3x02  8mx0  7m      Với x0  thay vào phương trình   , ta m   Với x20  4mx0   3m  kết hợp phương trình   ta hệ: m 1   x0  2m  ,m  2x0   3x02  8mx0  7m     2  x0  4mx0   3m  0.3   m    4m  m     3m       2m    2m       4m   m  2 m    hay m    ;1;2     13 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  x3  6x2  9x  , để tiếp tuyến đó cách điểm A  2;7  và B 2;7  Hướng dẫn giải Tiếp tuyến d đồ thị  C  cách A,B và d qua trung điểm I AB là d  AB Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   0, y   0, y  3x  7, y  24x  x 1 14 Gọi  d  là tiếp tuyến đồ thị  C  : y  , giả sử  d  cắt tiệm cận x 3 A,B I là giao điểm tiệm cận Viết phương trình  d  để : a IA  4IB b IA  IB  Hướng dẫn giải Do giả thiết không nói rõ là  d  cắt tiệ, cận theo thứ tự nào để có tọa độ A,B Vì cần phải chia trường hợp để giải Tác giả hướng dẫn trường hợp, trường hợp còn lại giành cho bạn đọc  x2  2x0  15   cắt tiệm cận ngang Giả sử  d  cắt tiệm cận đứng A  3;   x      B  2x0  3;1  a Tiếp tuyến  d  có hệ số góc là k   IA  4 , suy có tiếp tuyến IB 19 Lop12.net b IA  , IB  x0  , theo bài toán ta suy  x0  3  x0  15 Cho hàm số y  x3  3x2  (m  4)x  m, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục 1 hoành ba điểm A, B, C phân biệt cho k A    0, đó k B kC k A ,k B ,k C là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị A, B, C Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm x3  3x2  (m  4)x  m      x   x2  4x  m   x  1 x2  4x  m  1 Ta thấy, đồ thị luôn cắt trục Ox điểm A  1;0  với m Để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt, thì phương trình 4  m   m   1 phải có nghiệm phân biệt khác 1 , tức là  5  m  m  5 x  x  Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm phương trình  1 , theo định lý Vi et :   x1 x2  m Khi đó x1 ,x2 là hoành độ B,C và hệ số góc A, B, C là : k A  m  5,k B  3x12  6x1  m  4,kC  3x22  6x2  m  Theo giả thiết, ta có : m   3x21  6x1  m   3x22  6x2  m  0 3x  6x  m  4  3x  6x  m  4   m 5 3x  6x  m  43x  6x  m  4 2  m 5 1 4  m   m   m  5 2 2 2   m 5 m  4   m  5    m 5 m  6 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  6 m  4 thỏa bài toán 2x  16 Cho hàm số y  có đồ thị  C  ,giao điểm hai tiệm cận là I Lập phương x 2 trình tiếp tuyến đồ thị  C  cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị  C  E, F và chu vi IEF   17 Hướng dẫn giải 2x  1 Ta có y  2  y'   và I  2;2 x 2 x 2  x  22 Tiếp tuyến    điểm có hoành độ x0 là y   20 Lop12.net  x0  2  x  x0    x0  Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học   cắt tiệm cận đứng E  2;2   và tiệm cận ngang F 2x0  2;2 x0        IE   0; , IF  2x  4;0   F  x    IE  x0   x0    PIEF  IE  IF+EF  IE+IF+ IE2 +IF2  2  x0    x0  2 x0  x0  x0  2 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y   x  , y  4x  6, y  4x  14, y   x  4 17 Cho hàm số y  x  x2  1, có đồ thị là  C  Tìm trên đồ thị  C  Hay x0  x0  x0  điểm A cho tiếp tuyến A cắt  C  hai điểm B, C khác A và B, C nằm phía A Hướng dẫn giải   Gọi A a;a  a  là điểm thỏa mãn đề bài Ta có: y'  4x3  2x Phương trình tiếp tuyến  d   C  A là:   y  4a3  2a  x  a   a  a2  Phương trình hoành độ giao điểm  d  và  C  là:     x  x2   4a3  2a  x  a   a  a2    x  a  x2  2ax  3a2  a   x  a g  x   x2  2ax  3a2  a  Theo bài toán thì g  x   có nghiệm phân biệt x1 ,x2 cho : x1  a  x2   '  2a2  a   0a  x1  a  x2  a   18 Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c, c  có đồ thị là  C  Giả sử đồ thị cắt Oy A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a,b,c để SAMN  Hướng dẫn giải Giả sử  C  cắt Ox M  m;0 và N  n;0  cắt Oy A  0;c    Tiếp tuyến M có phương trình: y  3m2  2am  b  x  m  Tiếp tuyến qua A nên có: 3m3  2am2  bm  c  a  2m3  am2   m   m3  am2  bm  c  21 Lop12.net Mà  C  cắt Ox hai điểm nên  C  tiếp xúc Ox N nên có: y  x3  ax2  bx  c   x  n   x  m  a a  m   ,n   m  2n  a   Suy ra: 2mn  n2  b  a3  32c   mn  c 5a  16b  Hơn nữa: SAMN   c n  m   c a  a3  32c   a  ta có hệ ac  8 vô nghiệm  5a  16b a3  32c   a  ta có hệ ac   a  4,b  5,c  2  5a  16b 19 Tìm tất điểm trên đồ thị  C  : y  x3  x2 cho hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị  C  điểm đó là giá trị lớn hàm số y 4x2  x4  Hướng dẫn giải 4x2  Tìm giá trị lớn hàm số y  Đặt t  x2  0, ta có hàm số x 1 4t  4t  6t  g t   Ta có : g' t   và g' t    t  2, t  2 t 1 t2    Giới hạn : lim g  t   0, lim g  t   t  t  Vậy, giá trị lớn hàm số là 4, đạt x   2 Gọi M  x0 ;y  là điểm thuộc đồ thị  C  : y  x3  x2 2 Ta có: y'  3x  x, hệ số góc tiếp tuyến  C  M là y '  3x02  x0 Theo bài toán, ta có: 3x20  x0   x0  1  y  1     40    40  y   Có hai điểm thỏa mãn:  1;   ,  ;    27    27  22 Lop12.net x0  