Chuyên đề ôn thi đại học: Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải

Nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương trình, bất phương trình được tốt hơn, mời các bạn cùng tham khảo chuyên đề ôn thi đại học Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải dưới đây. Hy vọng chuyên đề phục vụ hữu ích nhu cầu học tập và ôn thi.

PT – BPT vơ tỷ LỜI NĨI ĐẦU Phương trình, bất phương trình vơ tỷ chủ đề quan trọng chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học, cao đẳng Có nhiều dạng tốn phương trình, bất phương trình hay khó, dùng câu phân loại đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ Xuất phát từ trình tự học, tự nghiên cứu thân kinh nghiệm trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết chuyên đề : “ Một số dạng toán phương trình, bất phương trình vơ tỷ phương pháp giải” Ở phần phương pháp giải, dạng toán, cách giải tương ứng, lưu ý, ví dụ minh hoạ sau tập vận dụng Có ba phương pháp giải thường dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hàm số Trong báo cáo tác giả có đề cập thêm phương pháp khử đưa phương trình bậc bốn Đề tài viết nhằm giúp học sinh có kỹ phương pháp giải phương trình, bất phương trình tốt Do hạn chề thời gian không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp cấp Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đỗ Thị Thanh Huyền Tổ trưởng tổ Toán-Tin, Trường THPT Trần Phú Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú PT – BPT vơ tỷ CHUN ĐỀ Phương trình - bất phương trình vơ tỷ I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ:  a n n a  ab    a, b  a  b  a n  b n a  b  a n 1 b n 1 a  b   a n  b n a  b  a n 1  b n 1  a, b  Các dạng bản: * Dạng 1:  g  x  (Không f  x  g  x     f  x  g  x * Dạng 2: f  x  g  x * Dạng 3: xét trường hợp: g  x  TH1:   f  x   cần đặt điều kiện f  x   ) TH2:   g ( x)     f  x  g  x  f ( x)   f  x  g  x  g  x    f  x  g  x Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g  x   bình phương vế đưa phương trìnhbất phương trình dạng quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x n  a1 x n 1  a2 x n    an 1 x  an  có nghiệm x= chia vế trái cho cho x– ta  x     b0 xn1  b1 xn2   bn2 x  bn1   , tương tự cho bất phương trình * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, khơng nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số khơng ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, cịn nhẩm nghiệm sử dụng phương trìnhbất phương trình bậc khơng ta phải chuyển sang hướng khác Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x  3x   (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: x    x  3x  (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: x  x  11x  8x   ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú PT – BPT vơ tỷ Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  x  12   x  10  1     2x x 3 hai 2    x  3 x  1  pt  x  x    x  5  x   x  ( x  5)  x   x không âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – b) Tương tự với dạng: * f  x   g  x   , ĐK: (1), Với * x vế (1) f  x  g  x Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2  x   x   1 Giải 1  x2  x   x  bất phương trình tương đương với hệ: x  x    3 3 3   x  x     x   x3  x  2   2 x  x   x  1  x   Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2  2mx   m  có nghiêm Giải * Nếu m <  phương trình vơ nghiệm * Nếu m   phương trình  x22mxm2+4m3=0 Phương trình có =2m24m+3>0 với m Vậy với m  phương trình cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2  mx   x  có hai nghiệm phân biệt Giải: Cách 1: x1    x  1 , PT   x  m  x   0, (*)     phương trình (*) ln có nghiệm:  m  m  4m  20  m  m  4m  20  0, x2   2 Phương trình cho có nghiệm  m   m  1 2    m   m  4m  20  (*) có nghiệm x  1  x2  1   m  m2  4m  20   Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x  1  t  (*) trở thành:  t  12   m   t  1   (**) Để (*) có nghiệm x  1 (**) phải có nghiệm t  Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2  mx   x  , (1) Giải:  2 x   pt    3x   m   x   0,   nghiệm lớn  để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai hay     m    12     1 m  f      2 S   2 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú PT – BPT vô tỷ Chú ý : Cách 2: đặt tx , 2 1  1   t     m  4  t     2 2   để (2) có hai nghiệm lớn  có hai nghiệm thực lớn Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế khơng âm Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x   x   x  (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: x   x   x  ta bình phương vế đưa dạng để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  1  x  x    x 1 Giải Điều kiện: x 1  x  2 *     x  1  x  x  x  x  1 x    x  x  x  1 x    x  x  1  x  x  x    x  x  1  x2 8x    Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0, (Cịn có cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x x2  mx  x2   có nghiệm HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm x1,2  m  m  16 Kết hợp với điều kiện ta tìm |m|  b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x   HD:  Bình phương hai vế  Dùng đẳng thức a2  b2=0  Nghiệm x  2, x   29 Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a x 1  x2 1 x  x4 b  3x  x  3x   ĐS: a 1x Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú PT – BPT vô tỷ x  pt  x  2x  4  mx  2   Để chứng minh m  , phương  x  x  32  m, (2) trình (1) có nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác Thật vậy: đặt ta có f(2) = 0, f  x   x3  x  32, x  , lim f  x   , f '  x   3x  12 x  0, x  nên f(x) hàm liên tục  2;   đồng biến x  khoảng suy m  phương trình (2) ln có nghiệm x0 mà < x0 <   Một số dạng chuyển thành tích: a - c x  b - d  - Dạng: ax  b  cx  d  m Ta biến đổi thành: m( ax  b  cx  d )   ax  b    cx  d  Ví dụ: Giải phương trình: x   3x   x3 ĐS: x=2 - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x   x    x2  3x  ĐS: x=0, x=1 Ví dụ: Giải phương trình: x   x   x3  x2 ĐS: x=0, x=1 - Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x   2x x   2x  x2  4x  ĐS: x=0, x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x3  x2  3x   2x  x2   2x2  2x ĐS: x=0 3 2 - Dạng: a b  (ab)(a +ab+b )=0  a=b Ví dụ: Giải phương trình:  3 x2  x  2  x  3 3x  x  22 ĐS: x=1 c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai  0,  i  n pt tương đương với: A1  0, A2  0, An  Ví dụ 1: Giải phương trình: x  3x   x x   2 x  HD: Phương trình tương đương  x2  x x   x  31  2 x   x  1  ĐS: x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải 4x  y  y   4x2  y  Bình phương hai vế ta  x  12   y  2   y    x  y     x  , y  2 d Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát a  b  c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức  a  b  a  b3  3ab  a  b  phương trình tương đương với hệ 3   a b c  a  b  abc  c   Giải hệ ta có nghiệm phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình x   x   2x  ĐS: x  1; x  2; x  e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẫu ln dương ln âm ta quy đồng khử mẩu: Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú PT – BPT vô tỷ  x  16  Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Giải ĐK: x4 1  x3  x3  7x x3 1 (ĐH Khối A2004)  x  16   x    x   x  16   10  x  x    10  x   10  x      x  16   10  x 2    x5  10  34  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x  10  34 TH2: Mẫu âm, dương khoảng ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a  x  3 x2   x2  HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x suy y’ > nên hàm số đồng biến 2x lim  lim Giới hạn: x  x  x2  x   x2  x  2x lim  lim x  BBT: x y’ y x  x2  x   x2  x   1 1   + 1 Vậy phương trình có nghiệm 1 < m < Chú ý: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số R dẩn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn tốn khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: bpt  1 x   m, x 1 f(3) = xét hs y mx  x   m  , 1 x  5 x  y' x 1 x   x  1 ĐK: x3 y '   x  lim y  x  Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 15 PT – BPT vô tỷ BBT: x y’ y +  y(5)  Vậy bất phương trình có nghiệm  y  5  m  m  Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x  x  12  m Giải: ĐK: 0 x4 pt  ( x x  x  12)   5 x  4 x  m  1 5 x  4 x  có nghiệm y  f  x   ( x x  x  12) xét hs  5 x  4 x  Miền xác định: D  0; 4 Nhận xét: Hàm số h  x   x x  x  12 đồng biến D Hàm số g  x    x   x đồng biến D Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có nghiệm f  0  m  f  4 Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: Giải: Phương trình viết lại dạng: x3 x2  x   m x2  m Số nghiệm phương trình số giao điểm (C): Lập BBT : x  y’ y + 1/3 y x3 x2  đường thẳng: y = m   10 1 phương trình vô nghiệm 1  m  m  10 : phương trình có nghiệm  m  10 : phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x    x   x  13  x   m , (1) Giải: ĐK:  x  Đặt t  x    x , lập BBT t(x) với  x  ta có  t  KL: m  1  m  10 : t + 1 m  Khi phương trình (1) trở thành: trái với t 2 từ kết luận:  Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú t + = m, lập bảng biến thiên hàm số vế 16 PT – BPT vô tỷ Bài tập hướng dẫn giải Bài 1: Giải phương trình sau: 2x   2x   2x   (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = Ta có: f ' ( x)  (2 x  1) 2x 1  2x   2x   3 (2 x  2)  3  0; x   ,1, 2 (2 x  3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M=   ,     ,1    1,     ,   2    2   Ta thấy f(-1)=0  x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( )  3; f ( )  3 2 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ f’(x) F(x) -1      +∞ +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 2x m 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI (1) Đặt y 3x2 6x 2x x x2 , với x x m (2x 1)2 m 2x (1) 3) có nghiệm thực 3x 6x 1 ta có: Bảng biến thiên x y Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1) m 2, 2) m m Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 2, 3) m 17 PT – BPT vơ tỷ Bài Tìm điều kiện m để phương trình x x x m (2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x 4 t Do t t t2 x t t , (2) trở thành: 4 m t t m 2 t m nên (2) có nghiệm m Bài Tìm điều kiện m để phương trình 16 m x2 (3) có nghiệm x2 16 thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t 16 x2 t m t m (0; 4] , (3) trở thành t Lập BBT hàm số y = t2 – 4t, ta có t2 4t m Chú ý: Nếu giải 2, ta loại m = Do nên lập BBT để tránh sai sót Bài Tìm điều kiện m để phương trình x x m x x (4) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x x Đặt t ) \ {1} , (4) trở thành t m t t2 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x m x nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x + x = 1: (5) vô nghiệm x2 t (0; Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có + x > 1: (5) Đặt t x x 1 x x 1 m4 x x x 1 t (1; m 2t m (5) có ) , (5) trở thành t m t t2 2t m Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m > Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 2x x m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm phân biệt Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 18 PT – BPT vơ tỷ HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) x2 2x x Đặt y x2 2x x, x m y' Bảng biến thiên x y’ y x x x 2x x –1 x2 x 2x 2x 3 – + –3 Dựa vào bảng biến thiên: m 1) m 2) khơng có m 1, Bài Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x 1 x m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) x Bảng biến thiên x f’(x) f(x) x, x –1 0 + f /(x) [ 1; 1] x x x2 9x x – 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m : (7) vô nghiệm +m + m = 2: (7) có nghiệm + m : (7) có nghiệm phân biệt x Bài Tìm điều kiện m để phương trình x thực HƯỚNG DẪN GIẢI (8) Đặt t 9x x 9 9x x2 x x2 t 0 x t2 x2 ) x2 m (9x (9 x) , x 2t [0; 9] , ta có (8) trở thành: 2t m m [0 ; 9/2] ta có Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 9x x2 9x t2 Lập BBT hàm số y x m (8) có nghiệm m 10 19 PT – BPT vô tỷ Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x x nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x x t2 Ta có (9) trở thành: t2 Lập BBT hàm số y 4 t2 t m t2 2t 2t 6, t ta có m 4t t2 Bài 11 Tìm điều kiện m để phương trình x x x x x m (9) có m x t2 x m (10) có nghiệm thực Đặt t x t 6t x t HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (10) trở thành: t 6t t2 t2 t m t 12t 27 m, m, t t m (*) t (**) m + Lập BBT hàm số y t2 12t 9, t ta suy (*) có nghiệm thực 18 m 27 + Do 18 t2 27 27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực Vậy với m 27 (10) có nghiệm thực Bài 12 Tìm m để phương trình thực x x (x 1)(3 27 m (11) có nghiệm x) HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x x Mặt khác t2 2 x Ta có (11) trở thành: t t x t2 Chú ý: Nên lập BBT t x m Đặt t x 4x (3 t 2 x)] t t t m 2; ta có m x để tìm miền giá trị t x x x (1 x)(8 x) m có nghiệm thực Bài 14 Tìm m để phương trình 1) 1, t Bài 13 Tìm m để phương trình Đáp số: 3 m t x [(x 2 t Lập BBT hàm số y m t2 t (13) Lập BBT hàm số y x4 4x m x4 4x m (13) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có: t x4 x4 4x 16 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú m x4 ta có m 19 4x 4x 16 m 20 PT – BPT vơ tỷ Bài 15 Tìm điều kiện m để phương trình x2 x2 m (14) 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x0 x0 x0 nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy m = m 2) Đặt t x t Ta có (14) trở thành t3 2t2 Lập BBT hàm số y t3 2t2 [0 ; 1] ta suy m Bài 16 Chứng tỏ phương trình 3x 2x 2x mx (15) ln có nghiệm thực với giá trị m HƯỚNG DẪN GIẢI 2x (15) 3x2 2x 3x Xét hàm số f(x) Mặt khác xlim 2x 3x x 2x 2x , x , lim x Suy hàm số f(x) có tập giá trị 3x2 mx 2x (2x 2x 3x mx 1) 2x 2 x 2x 3x f / (x) 3x 2x m Vậy (15) ln có nghiệm thực với m Bài 17 Tìm m để phương trình (x 3)(x 1) 4(x x x 3) m (16) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện x x : (16) x x (x 3)(x 1) (x 3)(x 1) m + Với x m (x 3)(x 1) 0, x , (16) trở thành t2 4t m Đặt t + Với x : (16) (x 3)(x 1) (x 3)(x 1) m m Vậy m Bài 18 Tìm m để phương trình x x m (17) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) f / (x) x x (1 f / (x) x)2 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú (1 1 (1 x) x)2 x (1 x)2 f(0) 21 PT – BPT vô tỷ lim f(x) lim x x x x (1 x)2 3 x)2 (1 x2 x2 3 x)2 (1 lim x x x 3 x2 Suy tập giá trị f(x) (0; 2] Vậy m x x)2 (1 Bài 19 Tìm điều kiện m để phương trình: m x2 x2 x4 1 x (18) có nghiệm thực x x2 HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x 2 x, x t' t( 1) (18) trở thành m(t Xét hàm số y 2) t2 1 x2 x2 2, t(0) t2 t t Bảng biến thiên x y’ y x t x2 x2 t 0; t2 m , x 1; t t t2 4t (t 2)2 y' 0, t 0; 0 – Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực m Bài 20 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x2 HƯỚNG DẪN GIẢI m (19) Xét hàm số y x2 x m x x 2 x2 2 x 0, x m (19) x x x2 2 x2 x2 y' x 2 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú x2 2 x 2 x 2 2 x 22 PT – BPT vô tỷ Giới hạn lim y x lim x x x x2 lim y x x Bảng biến thiên x y’ y –1 – + – 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có +m m : (19) vô nghiệm + m m : (19) có nghiệm + m 1 m : (19) có nghiệm phân biệt Bài tốn 21 Tìm m để phương trình x 2x2 x m (20) có nghiệm thực mx HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện 2x2 x Ta có (20) 2x x x x x x 3 (x 1) m 2x x Lập BBT hàm số y ta suy m m Bài 22 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: x x 2m x(1 x) x(1 m (21) x) HƯỚNG DẪN GIẢI Nhận thấy x0 nghiệm (21) – x0 nghiệm (21) Từ đó, để (21) có nghiệm x Đặt t x x (21) trở thành 2(t2 x0 0, x mt2 1) x0 2(t2 1) t t2 + m = 1: (21) 2(t2 1) t2 t x(1 x) m (t 3)(t2 1)(t 1) x(1 2(t2 1)2 (t t 2) t Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú m m (t x (t 1)(t x) 1) t t m t2 2(t t m3 m3 t + m = 0: (21) t t x(1 t 2)2 x(1 (nhận) 2) 3t2 x) x) 2t x x x 0 (loại) 23 PT – BPT vô tỷ : (21) +m 2(t2 1) (t t t 3t 1)(2 2t t) t Vậy m Bài 23 Tìm m để phương trình x2 x m x (nhận) x m (22) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện x x Xét hàm số f(x) x x Giới hạn x2 x lim f(x) x x lim x x f(x) x 1 x x 2x x x lim x x x x(1 1 x lim x2 , x x x x2 x 0, x 1 x2 x x x x x2 x x x2 f / (x) x lim x x lim x x lim f(x) x2 x Vậy (22) có nghiệm thực 1 m 1 x 1 ) x x x2 , x x2 Bài 24: Tìm m để bất phương trình mx  x   m  (1) có nghiệm Giải: Đặt t  x  3; t [0; ) t 1 (2) t2  t 1 (1)có nghiệm (2) có nghiệm t≥0  có điểm ĐTHS y= với t≥0 t 2 Bất phương trình trở thành: m(t  3)  t  m   m(t  2)  t   m  không phía đường thẳng y=m Xét y= t y’ y t  2t  t 1 y '  với t≥0 có (t  2)2 t2  1  - 1  +  + + - 1 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 24 PT – BPT vô tỷ 1 Từ Bảng biến thiên ta có m≤ Bài 25: Tìm m để phương trình  x   x  (3  x)(6  x)  m có nghiệm Giải: Đặt t  f ( x)   x   x với x  [3;6] t '  f '( x )  Bảng biến thiên: x -3 f’(x) ║ + f(x) 3/2 ║ - 6 x  3 x (6  x )(3  x ) +∞ 3 Vậy t  [3;3 2] Phương trình (1) trở thành t  t2  t2  m    t   m (2) 2 Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t  [3;3 2]  đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=  Ta có y’=-t+1 nên có t y’ + -  y t2  t  với t  [3;3 2] 2  - 2 Bài 26: Cho bất phương trình (4  x )(2  x )  (18  a  x  x ) Tìm a để bất phương trình nghiệm với x  [-2;4] Giải: Đặt t  (4  x)(2  x)   x  x  8; t  [0;3] Bất phương trình trở thành: t  (10  a  t )  a  t  4t  10 (2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm t  [0;3] đường thẳng y=a nằm ĐTHS y=t2-4t+10 với t  [0;3] y’=2t-4; y’=0t=2 t y’ y  10 - +  Vậy m≥10 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 25 PT – BPT vô tỷ Bài 27: Cho phương trình x  x  x  m( x  1)2 (1) Tìm m để PT có nghiệm Giải: Phương trình cho tương đương 4( x  x  x ) x ( x  1)  x 2x 2x  m   m  ( )  4m 2 2 (1  x ) (1  x ) 1 x  x2 2x Đặt t= ; t  [-1;1]  x2 Khi phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t  [-1;1] Ta có f’(t)=2t+2≥0 với t  [-1;1] t f’ f -1  + -1 4 Từ BBT -1≤4m≤3    m  Bài 28: Cho PT 1) x   a) Giải pt m=2 b) Tìm m pt có nghiệm  x  ( x  1)(3  x)  m t  x    x ;   t  2 vi : a  b  a  b  2(a  b) t  0(l ) 1) m  : t  2t     x  1, x  t  2) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) Lập BBT suy : 2   m  Bài 29: Tìm m để phương trình sau có nghiệm HD: x  9 x   x2  9x  m HD: Bình phương : Đặt t= x(9  x)   t  / KSHS f (t )  t  2t  ;  t  / ĐS: 9 /  m  10 Bài 30: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4  4x  m  x4  4x  m  HD: Đặt t  x4  x  m  pt : t  t   t  3 ( lo¹i) PT   t   x4  x  m   m   x  x  16 ĐS : m>19VN; m=19: nghiệm ; m