Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích

PGD&ĐT HUYỆN HIỆP HÒA TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN: PHẠM VĂN NAM DẠY MƠN: TỐN ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS HỢP THỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016 MỤC LỤC PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU PHẦN II NỘI DUNG .4 A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH I Các tính chất diện tích đa giác: II Các công thức tính diện tích đa giác đặc biệt: .4 III Cách giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích: .6 B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I Các toán tính diện tích đa giác .7 II Các toán chứng minh băng phương pháp diện tích 15 Các tốn chứng minh quan hệ diện tích quan hệ đoạn thẳng: 15 Các toán bất đẳng thức cực trị .29 Một số toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy 36 PHẦN III KẾT LUẬN .38 PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU Như biết, với phát triển tư người, tốn học đời Tốn học mơn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho đời môn khoa học khác cung cần thiết cho ngành khoa học kỹ thuật Toán học rèn luyện cho người nhiều đức tính q: tính cần cù, lịng say mê, sáng tạo, kiên trì Trong tốn học khơng thể khơng kể đến mơn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo khả phân tích tổng hợp Trong đó, dạng tốn tương đối khó, địi hỏi nhiều tới khả tư cao, vận dụng linh hoạt kiến thức học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm tốn, " Diện tích đa giác phưong pháp diện tích " Trong trình giảng dạy cho học sinh khá, giỏi mơn tốn lớp trường tơi nhận thấy tập diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích hay lí thú Chính tơi viết “Sáng kiến kinh nghiệm” chuyên đề để dạy cho học sinh lớp giỏi khối trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức học nâng cao khả tư duy, sáng tạo Chuyên đề gồm I Các tốn tính diện tích đa giác II Các tốn chứng minh phương pháp diện tích Các tốn chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng Các toán bất đẳng thức cực trị Một số toán chứng minh trung điểm đoạn thẳng, đường thẳng song song, đồng quy PHẦN II NỘI DUNG A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH Để giải tốn tính diện tích học sinh cần phải nắm kiến thức sau: I Các tính chất diện tích đa giác: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tíchcủa tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Các đa giác có diện tích nhau( tính bất biến) Hình vng có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vng ( tính chuẩn hóa) Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao Hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh Tam giác cạnh a có diện tích 3a II Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt: Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S = a.b b a Cơng thức tính diện tích hình vng: Diện tích hình vng bình phương cạnh S = a2 a Cơng thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: a Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S= a.h h a b) Diện tích tam giác vng: Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S = a.b = c.h b a h c Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao a S= (a+b).h h b Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = a.h h a Cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc với nửa tích hai đường chéo S= d d 2 d2 d1 Cơng thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S= d2 d d 2 d1 III Cách giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích: Để tính diện tích đa giác: + Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính địi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu + Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Chứng minh hình phương pháp diện tích: + Ta biết số cơng thức tính diện tích đa giác dã nêu Do biết độ dài số yếu tố, ta tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ kết hợp với yếu tố biết khác, tổng hợp kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh + Để so sánh hai độ dài phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: - Xác định quan hệ diện tích hình - Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Để giải toán bất đẳng thức cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các tốn cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựợng đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải tốn cực trị: + Quan hệ đường vng góc đường xiên + Quan hệ đường xiên hình chiếu + Bất đẳng thức tam giác + Các bất đẳng thức đại số B MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I Các tốn tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác: + Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính địi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu + Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính SADOE ? A E Hướng giải : D O B N C H Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC Bài giải: Gọi N trung điểm CD � AD = DN = NC = � AC S AOD AD   (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) S AOC AC S AOC AO   (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) S AHC AH Mà SAHC = SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2) � SAOD = SABC 12 Mà SAOE = SAOD => SAOD = SAHC (1) � SADOE = SAOD = SABC áp dụng đlí Pitago vào AHC vng H => AH = 4cm � SABC = AH.BC 4.6  12cm2 2 12 = cm2 Vậy SADOE = Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? C D E M N Q B A Phân tích đề hướng giải: Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC phải thơng qua SBCD SBMQ Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt khơng cách lấy thêm điểm N trung điểm AD Bài giải: Lấy N trung điểm AD Ddcm AMCN hình bình hành � AM // CN � QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) � BQ = QE = ED 1 SBCQ ; SQBC = SBCD � SBMQ = SBCD 5 � SMQDC = SBCD = SABCD = 12 12 � SBMQ = Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = CD lấy N cho CN = CD a) Tính SAMN theo SABCD BC Trên cạnh b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD A P Phân tích đề hướng giải: Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) B M Q K H N D C Nên để tính diện tích AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN đỉnh tứ giác nằm cạnh  AMN Muốn tìm mối liên hệ rõ ràng phải thơng qua  APQ Ta nhận thấy  APQ  AMN có hai đáy thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vng góc PK MH Từ suy lời giải tốn Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD 10 15 13 Do ta tính : SAMN = SABCD 60 13 Vậy SMNPQ = SABCD 60 SABM = � b) Kẻ MH  AN ; PK  AN PK.PQ SAPQ PK AQ   � SAMN MH.AN MH AN Vì PK// MH ( vng góc với AN) AP AD AP   �  Do PM BM AM � PK AP  MH AM (Theo định lí Ta let) AQ AB AQ   �  Vì DN // AB => QN DN AN Do SAPQ AP AQ 1 13  �  �  � SAPQ  SMNPQ  SAMN  S 60 ABCD SAMN AM AN Bài 4: Cho  ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF A E F B H D K Phân tích đề hướng giải: - Để tính diện tích  DEF ta phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF hai tam giác vng - Để tính SBFD, SDFC cần phải kẻ thêm đường cao Căn thêm vào giả thiết : có phân giác góc nên từ suy kẻ đường cao C FH EK � FH = FA; EK = EA Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Nên  ABC vuông A FA CA FA 4   �  � FA   Tương FB CB AB 9 3 AE.AF tự AE  � S 1   AEF 2 Hạ FH  BC ; EK  BC � FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg góc) Ta có CF phân giác ACB � Cmtt ta tính DB = giác) � DC = 15 ( Dựa vào định lí đường phân giác tam 20 FH.BD 15 10  ��  2 7 EK.AC 20 15  ��  (*) SDFC = 2 7 AB.AC 3.4  6 (*) SABC = 2 � SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) (*) SBFD = 10 Bài 15: Cho  ABC vuông C, tam giác lấy điểm O cho SOAB = SOBC = SOCA Chứng minh rằng: OA2 + OB2 = OC2 C N M O A B I Bài giải: Ddcm toán: Gọi G trọng tâm tam giác SGAB =SGAC = SGBC Do ta cm: O trọng tâm ABC Từ O kẻ OM  AC, ON  BC; cho CO  AB= {I} Theo giả thiết SOAC = BC; Nên ddcm : OM = Cmtt : ON = SABC AC Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = 1 a, ON = b 3 Do OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) 2 2 2  1  OA =  b   a  b2  a2 9 3  3  2 3  3  2 b a  � OA2 + OB2 =    (1) 9  9     OB2 =  a   b  a2  b2 Vì O trọng tâm ABC � OC = 2 AB AB CI =  3  AB2  a2  b2  = � OC =  (2) 9   Từ (1) (2) � OA2 + OB2 = 5OC2 Bài 16: Từ điểm M tùy ý  ABC, đường thẳng MA, MB, MC cắt BC, CA, AB A1, B1 , C1 MA MB MC 1 Chứng minh: AA  BB  CC 1 1 25 ... .4 A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH I Các tính chất diện tích đa giác: II Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt:... DIỆN TÍCH Để giải tốn tính diện tích học sinh cần phải nắm kiến thức sau: I Các tính chất diện tích đa giác: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tíchcủa tổng diện tích đa giác. .. tốn tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác: + Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính địi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác + Đa giác có cơng thức tính sủ dụng