Nh×n chung viÖc khai th¸c c«ng thøc diÖn tÝch vµ tÝnh chÊt diÖn tÝch ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n lµ cßn kh¸ khiªm tèn.. Hai tam gi¸c b»ng nhau th× cã diÖn tÝch b»ng nhau..[r]
(1)A- Phần mở đầu
I- Lý chọn đề tài
- Dạy học toán ta bắt gặp cơng thức tính diện tích đa giác tính chất diện tích đa giác Nhìn chung việc khai thác cơng thức diện tích tính chất diện tích để giải dạng tốn cịn khiêm tốn Hiện cha có nhiều tài liệu khai thác cơng thức diện tích đa giác để giải dạng tốn, có viết vận dụng cơng thức diện tích để giải vài dạng tốn đơn lẽ cha có tính tổng hợp
- Khi nghiên cứu diện tích đa giác biết nhìn cơng thức khơ khan dới nhiều khía cạnh khác vận dụng khéo léo ta giải đợc nhiều dạng toán
- Để học sinh có kỹ vận dụng diện tích vào dạng tốn, nh góp thêm vào kho tàng tốn học điều nhỏ bé, tơi chọn đề tài “ áp dụng diện tích để giải dạng toán THCS” để nghiên cứu
II- Mục đích nghiên cứu đề tài
- Cđng cè kiến thức diện tích đa giác
- Hỡnh thành rèn luyện kỹ để giải số dạng toán THCS - Trao đổi với đồng nghiệp số kinh nghiệm giảng dạy
III- Nhiệm vụ ca ti
- Nhắc lại kiến thức diện tích đa giác (lớp 8,9)
- Khai thác diện tích đa giác dới nhiều góc đơ, áp dụng giải số dạng toán THCS nh :
Tính độ dài đoạn thẳng
Tính tỷ số đoạn thẳng
Chng minh đẳng thức hình học
Chứng minh đẳng thức hình học
Giải tốn đại số thơng qua tập cụ thể
- Tổng hợp hệ thống dạng toán giải phơng pháp sử dụng diện tích tam giác có, đồng thời tìm tịi dạng khác nh giải phơng pháp sử dụng diện tích đa giác
IV- Phạm vi đề tài
- Còng cè khai thác kiến thức diện tích đa giác ë to¸n THCS (chđ u ë to¸n 8)
- Nghiên cứu giải dạng toán THCS (chủ yếu lớp 8, lớp 9)
V- Đối tợng nghiên cứu
- Diện tích đa giác toán THCS - Häc sinh THCS: Líp 8,
VI- Phơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu, tổng hợp, hệ thống hoá
- Phõn tớch, tng tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá - Trao đổi, thảo luận, rút kinh nghiệm
- Kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm
B Néi dung
I- Các kiến thức bản
1 Khái niệm diện tích đa giác
S o ca phn mặt phẳng bị giới hạn đa giác diện tích đa giác
Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác số dơng
C¸c tÝnh chÊt đa giác:
(2)T/c Nu đa giác đợc chia thành đa giác điểm chung diện tích đa giác tổng diện tích đa giác
T/c Nếu chọn hình vng có có cánh cm, 1dm, 1m…, làm đơn vị diện tích đơn vị diện tích tơng úng là: cm2, 1dm2, 1m2,…
Diện tích đa giác thờng đợc kí hiệu chữ S (Ví dụ: Diện tích đa giác ABCD đợc kí hiệu SABCD S )
2 Công thức tính diện tích số đa giác 2.1 Hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
a) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật b»ng tÝch kÝch thíc cđa nã S = a.b
b) Hình vuông: Diện tích hình vuông bình phơng cạnh
S = a2
c) Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông nửa tích hai cạnh góc vuông
S =
a.b
2.2 Diện tích tam giác: Diện tích tam giác tích cạnh với chiều cao tơng ứng cạnh
S =
a.h
2.3 Diện tích hình thang: Diện tích hình thang tổng hai đáy với chiều cao
S =
(a+b).h
2.4 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao tơng ứng với cạnh
S = a.h
2.5 Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vng góc, diện tích hình thoi:
a) Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vng góc: Diện tích tứ giác có hai đ-ờng chéo vng góc tích hai đđ-ờng chéo
S =
d1.d2
b) DiƯn tÝch h×nh thoi:
+ Diện tích hình thoi tích hai địng chéo
2
d
1
d h
a a h
h a a b
a b
a
(3)S =
d1.d2
+ Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao tơng ứng cạnh S = a.h
3 Phơng pháp diện tÝch
3.1 Phơng pháp diện tích phơng pháp sử dụng kiến thức diện tích đa giác ( tính chất, cơng thức tính diện tích) để giải dạng toán liên quan
3.2 Một số kết liên quan đến diện tích cần ghi nhớ
a) Hai tam giác đồng dạng tỉ số diện tích bình phơng tỉ số đồng dạng
b) Hai tam giác có chung đáy (hai đáy nhau) tỉ số diện tích tỉ số hai đờng cao
c) Hai tam giác có hai đờng cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy
II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác ABC, Aˆ = 90, AB = cm, AC = cm, đờng cao AH Tính AH
Gi¶i:
SC = 2
AC
AB = 5(cm) SABC=
2
AB.AC = 6(cm2)
L¹i cã SABC=
2
AH.BC AH= BC
SABC
2
= 2,4 cm
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm, BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh đối diện?
Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC CD Kẻ AH vng góc với CD(H thuộc CD)
SABCD=
2
AC.BD= 15cm L¹i cã: SABCD= AH.DC AH=
CD SABC
= 3,75cm
Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng
Bài 1: Cho a//b, a lấy B C, b lấy D E, cho góc ADB góc AEC 90.Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.TÝnh
AC AB Giải: a//b khoảng cách từ D E đến a
AC AB
= AEC ADB S S
(chiÒu cao b»ng nhau)
AC AB =
25 21
Bài 2: Trên cạnh AC AB tam giác ABC lấy B1 C1 tơng ứng.Gọi
là giao điểm BB1 CC1 H·y tÝnh
1
AC OB
nÕu biÕt
1
AC BC
=m vµ
1
AB CB
=n
2
d
1
(4)1
OB BO
= OC B BOC S S
1
OC B AOC S S
1
=BACC
1
= C B
C B AB
1 1
=1 + C B AB
1
=1+
h
1
BOC AOC có chung OC nên AOC BOC S S
= AH BI
, mµ AH BI
=
1
AC BC
=m
1
OB BO
= OC B BOC S S
1 =
AOC BOC S S
OC B AOC S S
1
=m.( 1+
h
1 )
D¹ng 3: Chøng minh hƯ thøc h×nh häc
Bài 1: Chứng minh định lý Talet tam giác: Cho tam giác ABC, DE//BC thì:
AB AD
= AC AE
Gi¶i: Nèi B víi C; C víi D ta cã: AB AD
= SABE SADE
(2 tam giác chung đờng cao) (1)
AC AD
= ACD ADE S S
(2 tam giác chung đờng cao) (2) SBEC=SDBC (chung đáy BC, hai đờng cao nhau)
SABC – SBEC = SABC - SDBC SABC = SACD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy ra: AB AD
= AC AE
Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác
Trong tam giác ABC, AD đờng phân giác thì: DC DB
= AC AB
Gi¶i: DC DB
= ADC ABD S S
( chung đờng cao) (1) AD đờng phân giác DH=DI
AC AB
= ADC ABD S S
(2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D nhau) Từ (1) (2) suy
DC DB
= AC AB
Bài 3: Cho ABC cântại A, M thuộc BC Kẽ MH MK lần lợt vng góc với AB, AC(H C thuộc AB AC).BI đờng cao ABC Chứng minh MH+MK=BI
Gi¶i: S ABM =
2
MH.AB MH = AB
SABM
2
T¬ng tù ta cã: MK = AC
SACM
2
MH+ MK =
AC S SABM ACM) (
2
(V× AB = AC)
MH+MK = AC
SABC
(5)Bài 4: (Định lý Xêra)Cho ABC, lấy điểm tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD t¹i A1, B1, C1.Chøng minh:
C B AB 1 B A CA 1 A C BC 1 =1 Gi¶i: 1 AC BC = ABD ACD S S ; A C BC 1 = D AC BCD S S ; C B AB 1 = D BC ABD S S
Nhân vế theo vế đẳng thức ta cú pcm
Bài 5: Cho ABC, lấy điểm tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD t¹i A1, B1, C1.Chøng minh:
1 BB OB + 1 AA OA + 1 CC OC =1 Giải: Đặt S = SABC, S1=SOBC, S2= SOAC, S3 = SOAB
1 AA OA = 1 A AB OBA S S = 1 ACA OCA S S 1 AA OA = ABC OBC S S = S S1
T¬ng tù ta cã:
1 BB OB = S S2 ; 1 CC OC = S S3 Do 1 BB OB + 1 AA OA + 1 CC OC = S S1 + S S2 + S S3 =1
Bài Cho hình bình hành ABCD Các điểm M,N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gäi K lµ giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC
Giải: Kẻ DH KA, DI KC, ta cã: DH.AN = SADN (1)
DI.CM = SCDM (2)
L¹i cã SADN =
2
SABCD
SCDM =
2
SABCD SADM = SCDM (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy DH.AN = DI.CM
Do AN = CM suy DH = DI suy KD phân giác góc AKC
Dạng 4: Chứng minh BĐT hình học
Bi 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đờng cao BI D điểm nằm B C Gọi BH CK theo thứ tự đờng vng góc kẻ từ B C đến đờng thẳng AD Chứng minh rằng: BH + Ck > BI
Gi¶i: Ta cã : BI =
AC SABC (1) BH = AD SABD CK = AD SACD
BH + CK =
AD S SABD ACD) ( = AD SABC (2)
(6)Bài 2: Gọi ha, hb, hc ba đờng cao tam giác chứng minh
a
h
1
<
b
h
1
+
c
h
1
Giải: Gọi diện tích tam giác S, ba cạnh ứng với đờng cao ha, hb, hc a,
b, c ta cã: a =
a h
S
; b = b h
S
; c = c h
S
a < b + c ( B§T tam gi¸c) suy a h
S
< b h
S
+ c h
S
suy
a
h
1
<
b
h
1
+
c
h
1
Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A Tam giác Ra, khoảng cách tới cạnh CA AB db dc Chứng
minh r»ng: a.Ra c dc+ b.db
Giải:
Vẻ BK CL vuông góc với AM ( K L thuộc AM)
Đặt BK = a1, CL = a2 ta cã: a1+a2a
Suy aRa a Ra a Ra SACM SABM bdb 2cdc
1
1
1
1
1
2
suy ®pcm
Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm tam giác Các đờng thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác tơng ứng điểm A1, B1, C1 Chứng minh
r»ng
1
1
M C
CM M B
BM M A
AM
Giải:
Đặt a = SMBC, b = SMAC, c = SMAB ta cã: 1+
a b a a
c b a S
S M A
AA M
A M A AM M A
AM
MBC
ABC
1 1
1
suy
a c b M A
AM
1
(1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã BBMM cba
1
vµ CCMM acb
1
(2) Ta biết với số dơng a, b c ta cã (a+b)2 4ab
(b+c)2 4bc
(c+a)2 4ac
Suy (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Tõ (1) (2) suy đpcm
Dạng 5: Giải toán Đại số phơng pháp diện tích Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a) x2+10x = 39
b) x2-8x = 33
Gi¶i:
(7)Kéo dài cạnh hình vng thêm đơn vị ta đợc hình vng có cạnh x+5,
cã diÖn tÝch b»ng: (x+5)2 = x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 suy x = 3
b) Giả sử x cạnh hình vng Giảm hai cạnh hình vng đơn vị ta đợc hình vng có cạnh x – 4, có diện tích bằng:
(x-4)2 = x2-8x+16 = 33 + 16 = 49 suy x = 11
Bµi 2: Víi x, y, z, t dơng
) )( ( ) )(
( ) )(
(x2 z2 y2 z2 x2 t2 y2 t2 x y z t
G¶i: Vì x, y, z, t > nên tồn tứ giác ABCD có ACBD O, vói OA= x, OC=y, OB= z, OD=t
DÔ thÊy AB= x2 z2
BC = y2z2
CD= y2 t2
AD = x2 t2
SABC = h AB BC.AC
2
1
1
SADC = h AD DC.AD
2
1
2
SABCD = SABC +SADC
SABCD = ( )( )
2
t z y
x
VËy (x2z2)(y2z2) (x2t2)(y2t2) (xy)(zt)
C Kết thu đợc
Sau năm công tác dạy học trờng THCS, tổng họp, bổ sung phát triển dạng toán giải đợc phơng pháp diện tích Đồng thời đa vào giảng dạy(Dạy đại trà dạy bồi dỡng học sinh giỏi) thu đợc:
- Häc sinh n¾m ch¾c, sâu sắc diện tích đa giác
- Chất lợng giảng dạy thu đợc sau tiến hành kiểm tra là: Giỏi 20%, 35% , trung bình 45%
- Hứng thú sáng tạo giải toán học sinh đợc nâng lên rõ rệt
D KÕt luËn
Đề tài khai thác phần kiến thức nhỏ, song theo hữu ích dạy học tốn Với học sinh, đề tài phát huy đợc t sáng tạo, rèn luyện đợc kỹ vận dụng hình thành cho em niềm say mê học toán Với bạn đồng nghiệp, đề tài tài liệu tham khảo bổ ích phục vụ cho cơng tác giảng dạy, nghiên cứu toán
đề tài này, dày công nghiên cứu song thiếu sót, mong đợc đóng góp chân thành bạn đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Yên Thành, tháng năm 2008