Toán ôn thi đại học - chuyên đề 2: lượng giác

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 70  Chuyên đề 2: LƯNG GIÁC  Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2 sinx = sin  x k2 x k2              tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  ) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin 2 x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos 2 x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan 2 x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx acot 2 x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2  c 2  Cách 1: Chia hai vế cho 22 ab  0 (*)  22 a ab sinx + 22 b ab cosx = 22 c ab Do 2 22 a ab     + 2 22 b ab     = 1 Nên có thể đặt 22 a ab = cos, 22 b ab = sin Khi đó: (*)  sinxcos + sincosx = 22 c ab  sin(x + ) = 22 c ab  Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0) (*)  sinx + b a cosx = c a Đặt b a = tan. Khi đó: (*)  sinx + sin cos   cosx = c a TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 71  sinx cos + sin cosx = c a cos  sin(x + ) = c a cos  Cách 3: Đặt ẩn số phụ.  Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0  Xét x  (2k + 1) với (k  ) Đặt t = tan x 2 Khi đó: (*)  a 2 2t 1t + b 2 2 1t 1t   = c  (b + c)t 2 – 2at + c – b = 0 4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx + cosx = 2 cos x 4      Điều kiện  t  2 Khi đó: t 2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx = 2 t1 2  Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx (với t2 ) 5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0  Xét cosx = 0  x = 2  + k (k  ) có là nghiệm không?  Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos 2 x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cos k x và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2 sin x.sin2x 1 cot x    . Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó: (1)      2 1 sin2x cos2x 2 sinx. 2sinx cosx 1 sin x Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 72       22 sin x 1 sin2x cos2x 2 2 sin x.cosx    1 sin2x cos2x 2 2 cosx (vì sinx  0)     2 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0     cosx 0 cosx sinx 2          cosx 0 sin x 1 4        x k x k2 24 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0). Vậy nghiệm của (1) là       x k x k2 24 (k  Z). Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    Giải sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx     2sinx.cos 2 x + sinx.cosx = 2cos 2 x – 1 + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1  sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1  sinx = 1 hoặc 2cos 2 x + cosx – 1 = 0  sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1 2  x k2 2     hoặc x k2   hoặc x k2 3       x k2 2     hoặc   2 xk 33 (k Z) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Giải phương trình:      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 Giải      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 . Điều kiện: tanx  3 và cosx  0.     sin2x 2cosx sinx 1 0       2sinxcosx 2cosx sinx 1 0 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 73         2cosx sinx 1 sinx 1 0       sinx 1 2cosx 1 0         sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0) 1 cosx 2      x k2 3 (k Z). So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là    x k2 3 (k Z). Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Giải phương trình: cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0. Giải cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0  2cos 2 2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0  cos 2 2x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)  2x = k2π  x = kπ (k  Z). Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Giải phương trình: (1 sin x cos2x)sin x 1 4 cosx 1 tan x 2          Giải Điều kiện: cosx 0 và tanx ≠ – 1 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 sin x cos2x).(sin x cosx) cosx 1 tan x       (1 sin x cos2x).(sin x cosx) cosx cosx sin x cosx      2 1 sin x cos2x 1 sinx cos2x 0 1 2sin x sinx 1 0 sinx 1(loại) hay sinx 2 7 x k2 hay x k2 (k Z) 66                          Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương: (2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos 2 x – 1) = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 74  cos2x (cosx + sinx + 2) = 0  cos2x 0 cosx sinx 2 0 (vn)         2x = k 2   (k  )  x = k 42   (k  ) . Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0     Giải Phương trình đã cho tương đương: 2 2 2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 1 0 cosx(2sin x 1) 2sin x 3sinx 2 0 cosx(2sin x 1) (2sinx 1)(sin x 2) 0 (2sin x 1)(cosx sin x 2) 0                        1 x k2 sinx 6 (k ) 2 5 cosx sin x 2 (VN) x k2 6                          . Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình 5x 3x 4cos cos 2(8sin x 1)cosx 5 22    . Giải Phương trình đã cho tương đương: 2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5     2cos4x 8sin2x 5  2 2 4sin 2x 8sin2x 5    4sin 2 2x – 8sin2x + 3 = 0  3 sin2x 2  (loại ) hay 1 sin2x 2   2x k2 6     hay 5 2x k2 6      xk 12     hay 5 xk 12     (k  ) . Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình:      1 2sin x cosx 3 1 2sinx 1 sin x    . TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 75 Giải Điều kiện: sinx  1 và sinx  1 2  (*) Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 – 2sinx)cosx =    3 1 2sin x 1 sin x cosx 3sinx sin2x 3 cos2x    cos x cos 2x 36                  2 x k2 hoặc x k 2 18 3           (k  ) Kết hợp (*), ta được nghiệm:   2 x k k 18 3      Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Giải phương trình: sinx + cosxsin2x +   3 3 cos3x 2 cos4x sin x Giải Phương trình đã cho tương đương: (1 – 2sin 2 x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x  sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x  sin3x + 3 cos3x 2 cos4x cos 3x cos4x 6          4x = 3x k2 hoặc 4x 3x k2 66          (k  ) Vậy: x =   2 k2 ; x k k 6 42 7          . Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Giải phương trình: 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0   Giải Phương trình đã cho tương đương:   3 cos5x sin5x sinx sin x 0     31 cos5x sin5x sin x 22   sin 5x sinx 3                 5x x k2 hay 5x x k2 33 (k  ) Vậy: x =           k hay x k k 18 3 6 2 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 76 Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình (1 + 2sinx) 2 cosx = 1 + sinx + cosx Giải Phương trình đã cho tương đương: (1 + 4sinx + 4sin 2 x)cosx = 1 + sinx + cosx  cosx + 4sinxcosx + 4sin 2 xcosx = 1 + sinx + cosx  1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1  sinx = 1 hay sin2x = 1 2 5 x k2 hay x k hay x k 2 12 12               (với k  ) . Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Giải phương trình: 1 1 7 4sin x 3 sinx 4 sin x 2             Giải Ta có: 3 sin x cosx 2      Điều kiện: sin x 0 cosx 0       sin2x  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 11 4sin x sin x cosx 4              cosx sin x 2 2 sin x cosx sin x cosx         cosx sin x 1 2 sin2x 0    xk 4 tan x 1 cosx sin x 0 xk 1 2 sin2x 8 sin2x 2 2 5 xk 8                                        (k  ) . Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Giải phương trình: 3 3 2 2 sin x 3 cos x sinx cos x 3 sin x cosx   Giải 3 3 2 2 sin x 3 cos x sinx.cos x 3sin x.cosx   (1) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 77 Cách 1: Phương trình đã cho tương đương: 2 2 2 2 sinx(cos x sin x) 3 cosx(cos x sin x) 0         22 cos x sin x sin x 3 cosx 0    k x cos2x 0 42 (k ) tanx 3 xk 3                    Nghiệm của phương trình là: xk 42   và x k (k ) 3       Cách 2:  cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).  Chia hai vế của phương trình (1) cho cos 3 x ta được: 33 tan x 3 tanx 3 tan x      2 xk tanx 3 3 (tan x 3)(tan x 1) 0 k tanx 1 xk 4                            Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx. Giải Phương trình đã cho tương đương: 4sinx.cos 2 x + sin2x – 1 – 2cosx = 0  2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0  (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0                    1 2 2 sin2x 1haycosx x k hayx k2 hay x k2 (k ) 2 4 3 3 Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x 3 cos3x 2sin2x . Giải Phương trình đã cho tương đương: 13 sin3x cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin 2x 2 2 3 3        sin 3x sin2x 3      Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 78  3x 2x k2 x k2 33 (k ) 4 k2 3x 2x k2 x 3 15 5                           Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x Giải Phương trình đã cho tương đương: (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx) 2  (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0  x k , x k2 , x k2 (k ) 42            . Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin 2 2x + sin7x – 1 = sinx. Giải Phương trình đã cho tương đương với: sin7x  sinx + 2sin 2 2x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0  cos4x = 0  x =   k k 84    12 sin3x x k 2 18 3      hoặc 52 x k (k ) 18 3     . Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Giải phương trình: 2 xx sin cos 3 cosx 2 22       Giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 1 sin x 3 cosx 2 cos x 62            x k2 , x k2 (k ) 26          Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: 2 1 sin x 3tan x 2 2 sin x               Giải Điều kiện: sinx  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 2 2 3cot x 2 sinx   2 32 10 sinx sin x    TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 79    1 1 sin x 11 vô nghiệm sin x 3            x k2 , k 2      Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 + sinx + cosx + sinx 0 cosx  (điều kiện: cosx  0)    1 sin x cosx 1 0 cosx        sinx cosx 0 cosx 1       3 xk 4 x k2             (k  ) Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007 Giải phương trình: cos 4 x – sin 4 x + cos4x = 0. Giải Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 x – sin 2 x + 2cos 2 2x – 1 = 0  2cos 2 2x + cos2x – 1 = 0  cos2x 1 1 cos2x 2        xk 2 xk 6                (k  ) Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin 3 x + 4cos 3 x = 3sinx. Giải Phương trình đã cho tương đương với: 2sin 3 x + 4cos 3 x – 3sinx(sin 2 x + cos 2 x) = 0  sin 3 x + 3sinxcos 2 x – 4cos 3 x = 0 (1) Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1) Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos 3 x, ta được: (1)  tan 3 x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan 2 x + tanx + 4) = 0  tanx = 1 (do tan 2 x + tanx + 4 > 0 với x)  xk 4     (k  )