Toán ôn thi đại học - chuyên đề 1: khảo sát hàm số

TTLT ĐH VĨNH VIỄN  Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  ; ;    ; .0  1/ Một số dạng vô định thường gặp: Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô định (+) + (+) = +   (+) – (–) = + a   (a  0)   (–) + (–) = – a  (a  0)   a.   (a  0) 2/ Khử dạng vô định  Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp  Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc sin x 1 x x tan x 1 x x , lim , lim lim x  cos x x   Dạng vô định x  a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung  Dạng vô định  : Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa  số chung  Dạng vô định    , .0 : Biến đổi đưa dạng   B ĐỀ THI Bài 1: Tìm giới hạn I  lim x x 1  x 1 x Giải Giới hạn I có dạng vô định Ta coù: I  lim x I1  lim x 0  x   x   1 x  1 1 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc –  lim x 0 x I2  lim  x 11  x 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x   x   1   x  12  x   1   x   x  1  x   1   1 x 1 1  lim  lim  x 0   x 0 x   x     x   x  1  x   1   1 Vaäy I = I1 + I2 =   x 0 Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới haïn I = lim x 3x2   2x2   cos x Giaûi Giới hạn I có dạng vô định  Ta có I  lim  3x2    x 0 I1  lim x 0 2sin2   lim  2x2   x 3x2   2x2      x x  x 0  2sin2 2sin2  2  3x2   3x2    lim x 0 x    3x2   1 x 3 2sin2 2sin 3x     2      x     lim     2 x 0 3  3x2    3x2    sin x         x    2x  lim 4     I2  lim x 0 x  x x 2 2x    sin  2sin2  2x2   1 2  2  Vaäy I = I1 + I2 = Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L = lim x 1 x6  6x   x  12 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Giải Giới hạn L có dạng vô định Ta có L = lim x6  6x  x1 = lim  x  12  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x   15 x1  Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ Định nghóa: Hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2  K  Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số f gọi nghịch biến K x1 < x2  f(x1) > f(x2) Định nghóa kết hợp với định lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 2/ Định lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f'(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f'(x) < 0, x  K hàm số f nghịch biến K Định lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   a  b  * P(x)  0, x   hay  a  c  * P(x)  0, x    a  b   hay  a  c  Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b)  y'  (hoặc y'  0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  g(x)  a; b  (Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác định max g(x)  a; b  vaø g(x) )  a; b  Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý: Nếu toán có đặt ẩn số phụ phải xác định điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2lnb  b2lna > lna  lnb Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ln b ln a  (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  b 1 a 1 ln x ;  x 1 Xét hàm số f(x)  x 1  f (x)  x2   2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đđồng biến (0; 1) Mặt khác < a < b < nên: ln b ln a  f(b) > f(a)  (Điều phải chứng minh) b 1 a 1 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x  24  x   x  m Giải 4 Xét hàm số f(x)  2x  2x   x   x  Tập xác định: D = [0; 6] 1 1 1  f (x)     (2x)3 2x (6  x)3 6x (m  ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN 3     2  2                 (2x)   (6  x)    2x    x          1  1  1      4 4   x   (2x)2 2x  x (6  x)2  2x   Vì  1 1   4  (2x)2 2x  x (6  x)2  Neân f (x)    Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) 2x  6x    > 0, x  (0; 6)  2x  x    2x   x  x  2 +       2x  x    4  4  4  6 12  12 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt 2  6   m  3  4 CÁCH KHÁC Đặt g(u)  u  u g/ (u)    // 4 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 16 Vậy g / hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta có f(x)  g(2x)  2g(6  x) Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Neân) f (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x ( g / giaûm )  x  Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)   2x   x  x  vaø f / (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x (do g / giảm)  x  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1  x  x  y  y    x3   y3   15m  10  x3 y3 Giaûi Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Đặt x  1  u, y   v (Ñk : u  2, v  2) x y  Hệ cho trở thành: u  v  u  v      3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    u  v       u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  u  v  u  v        uv   m 5  5  3uv   3(5)  15m  10   Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2  5t + – m = hay t2  5t + = m (1)  Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t 1, t = t2 thỏa maõn: t1  2, t  (t1, t2 không thiết phân biệt)  Xét hàm số f(t)  t  5t  với t  : Suy f'(t) = 2t – vaø f'(t) =  t = Bảng biến thieân t  2  f'(t) 5/2  + f(t) + + + 22 7/4  Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm  m  m  22 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 b     Cho a  b > Chứng minh raèng:  2a  a    2b  b      a Giaûi Bất đẳng thức cho tương đương với: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  b )  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xét hàm số f(x)  ln(1  4x ) với x > x 4x ln x Ta coù: f (x)    x  ln  4x  x2  x.4x ln  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    x x (1  ) Nhận xét :  4x < + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  + 4x >  ln(1  4x )  Do f'(x) < 0, x > Suy f(x) nghịch biến khoảng (0; +) Mặt khác a  b > nên: f(a)  f(b)  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Điều phải chứng minh) Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x   m x   x2  Giaûi  Điều kiện: x   Chia hai vế phương trình cho x 1 x 1 m2  Đặt t  Vì t  4 x2  x 1  3 x  , phương trình cho tương đương với x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , phương trình (1) trở thành 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 x  nên  t <  1 x 1 x 1  Xeùt hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với  t < Suy : f'(t) = – 6t + vaø f'(t) =  t =  Bảng biến thiên: Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – t 1 f(t) 1  Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0; 1)  1  m  Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  2x   m(x  2) Giải  Điều kiện: m(x – 2)   x  (Do xeùt m > 0)  Phương trình cho tương đương với  x  2 x    m  x     x   x    m  x   x  2   x    x   x    m      x  6x2  32  m   Nhận xét: Phương trình cho có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có nghiệm khoảng (2; +)  Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 32, với x > Ta có: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  Bảng biến thieân: x f'(x) f(x) + + +  Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) có nghiệm khoảng (2; +) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Bài 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xác định m để phương trình sau có nghiệm m  1 x    x2    x   x2   x2 Giải  Điều kiện: 1  x   Đặt t =  x2   x   t    x  Điều kiện:  t   Phương trình cho trở thaønh: m (t + 2) =  t2 + t  m   Xét hàm số f(t) =  f'(t) = t  4t  t  2 t  t  , với  t  t2 t  t  t2 , f'(t) =  t = 0, t = 4  Bảng biến thiên t f’(t)  f(t) 1 Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm   m  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ x2  5x  m2  (1) (m laø tham số) x3 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +) Cho hàm số y  Giải Ta coù: y  x  6x   m (x  3)2  Hàm số y đồng biến (1; +)  y'  0, x   x2 + 6x +  m2  0, x   x2 + 6x +  m2, x   Xét hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, x  g'(x) = 2x + > 0, x  Do yêu cầu toán tương đương với 11 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – g(x)  m  g(1) = 16  m2  4  m  x1 Baøi 9: Chứng minh rằng: ex  cosx   x  x2 , x  Giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: 1/ ex   x, x  2/ cosx   x2 , x   Chứng minh ex   x, x  Xét hàm số f(x) = ex  x   f'(x) = ex   f'(x) =  x = Bảng biến thiên: x  + f'(x)  + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  0, x   ex  x  1, x   Chứng minh: cosx   (1) x2 , x  Xét hàm số g(x) = cosx  + x2 Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x  đủ  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx +   g'(x) đồng biến, x   g'(x)  g'(0) = 0, x   g(x) đồng biến, x   g(x)  0, x   cosx + x2 x2   0, x   cosx   ; x  2 Từ (1) (2) suy ex + cosx  + x  12 x2 ; x  (2) ... A TỔNG QUÁT Hàm số f có cực trị  y'' đổi dấu Hàm số f cực trị  y'' không đổi dấu Hàm số f có cực trị  y'' đổi dấu lần Hàm số f có cực trị (cực đại cực tiểu)  y'' đổi dấu lần Hàm số f có cực trị... lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f''(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f''(x) < 0, x  K hàm số f nghịch biến K Định lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm. .. y'' đổi dấu lần Hàm số f đạt cực đại x0 14 f (x ) f (x ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN Hàm số f đạt cực tiểu x0 neáu f (x ) f (x ) Hàm số f có đạo hàm đạt cực trị x0  f (x0 ) Hàm số f có đạo hàm đạt cực trị