Chuyên đề hình học giải tích trong không gian oxyz

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0  Chuyên đề 8: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỌA ĐỘ u  (u1; u2 ; u3 )  u  u1 i  u2 j  u3 k a  b  (a1 b1; a2  b2 ; a3  b3 ) a.b  a1b1  a2 b2  a3 b3 a a a3 a1 a1 a2  a, b   ; ;   b2 b3 b b b1 b2   a  a12  a22  a32 a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  Cos(a, b)  a.b a.b a cù ng phương b  a,b   a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3 a,b,c đồ ng phẳ ng  a,b  c  10 Diện tích tam giác: SABC   AB,AC 11 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   AB,AC AD 12 Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.ABCD  AB,AD AA MẶT PHẲNG  Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác vectơ có giá vuông góc mặt phẳng  Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = ( A2  B2  C2  ) ñi qua M(x0 ; y ; z )   () :   có vectơ phá p tuyế n : n  (A;B;C)  () : A(x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 ) = 231 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khaùc 0) x y z () :    a b c  Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = ĐƯỜNG THẲNG  Véctơ phương đường thẳng vectơ khác vectơ có giá phương với đường thẳng đi qua M (x ; y ; z )   d:   có vectơ phương a  (a1; a2 ; a3 ) x  x0 y  y0 z  z0 Phương trình tham số :   vớ i (a1; a2 ; a3  0) a1 a2 a3 y  x  x   Đường thẳng đặc biệt: Ox :  ; Oy :  ; Oz  z  z  y  B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x 1 y z  Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, vuông góc với   2 đường thẳng d cắt trục Ox Giải  Gọi M giao điểm  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3)  Véctơ phương d a = (2; 1; –2)    d  AM  d  AM.a   2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) =  m = –1 Đường thẳng  qua M nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ phương x 1 y  z  nên có phương trình:   d 2 P x Caùch O   qua A cắt trục Ox nên  nằm mặt A    phẳng (P) qua A chứa trục Ox M    qua A vuông góc với d nên  nằm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d  232 Ta có: +) Vectơ pháp tuyến (P) n(P)  OA,i  Q Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 +) Vectơ pháp tuyến (Q) n(Q)  ad   = (P)(Q)  véctơ phương  laø: a   n(P) ,n(Q)    Cách  Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + =  Gọi M giao điểm Ox (Q)  M(–1; 0; 0) Véctơ phương  là: AM Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011  x  y 1 z    2 hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : cho tam giác MAB có diện tích Giải  Đường thẳng  qua E(–2; 1; –5) có vectơ phương a  1; 3;   neân x  2  t  có phương trình tham số là: y   3t (t  R) z  5  2t   M    M  2  t;  3t; 5  2t   AB   1; 2 ; 1 , AM   t; 3t; 6  2t  , AB,AM   t  12; t  6; t   SMAB =   AB,AM     2  t  12 2   t  62  t 6  3t2 + 36t =  t = t = –12 Vậy M(–2; 1; –5) M(–14; –35; 19) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 x2 y2 z   1 1 mặt phaúng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng  Giải Tọa độ giao điểm I  với (P) thỏa mãn hệ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x  y  z    1  I  3; 1; l    x  2y  3z   Vectơ pháp tuyến (P): n  1; 2;  3 ; vectơ phương : u  1; 1;  1 233 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đường thẳng d cần tìm qua I có vectơ phương: n P   1; 2; 3 , n P    3; 2;  1 x  3  t  Phương trình d: y   2t (t  z   t  ) Baøi :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + = vaø (P2): 3x + 2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2) Giải Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P1) vaø (P2): n  P   1; 2; 3 , n  P    3; 2;  1 (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)  (P) có vectơ pháp tuyến: n P   n P  ,n P     8; 10;    2  4;  5;    Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = Hay (P): 4x – 5y + 2z – = Baøi 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm C vuông góc với mặt phẳng (ABC) Giải Ta có:  G trọng tâm tam giác ABC  C(1; 3; 4)  AB   1; 1; 1 ; AC   2; 2;   Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có vectơ phương a  AB,AC = 6(1; 1; 0) Mặt khác đường thẳng  qua điểm C nên x  1  t  Phương trình : y   t  t  z  4  234  Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho: MA = MB = MC Giải  đi qua A(0; 1; 2) (ABC) :  có vectơ phá p tuyế n laø  AB,AC  2(1; 2;  4)   Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) =  x + 2y – 4z + = Caùch 1: Ta có: AB.AC  nên điểm M nằm đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) trung điểm I(0; 1; 1) cuûa BC qua I(0; 1; 1) x y 1 z 1  d: d:   4  có vectơ phương :a  (1;2; 4) x  2x  2y  z     Tọa độ M nghiệm hệ  x y  z   y     z  7 1 4  Vậy M(2; 3; 7) Cách 2: Gọi M(x; y; z) MA  MB  Ta có MA  MC M  ()  (x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  2)2  (z  1)2    (x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  0)2  (z  1)2 2x  2y  z     x    y   M(2; 3;  7) z  7  235 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng d x y z 1 có phương trình:   1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O Giaûi  qua A(1; 1; 3) (P) :   có vectơ phá p tuyế n n(P)  ad  (1; 1;2) Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) =  x – y + 2z – = Goïi M(t; t; 2t + 1)  d  Tam giác OMA cân O  MO2 = OA2  t2 + t2 + (2t + 1)2 = + +  6t2 + 4t – 10 =  t   t    Với t = tọa độ điểm M(1; 1; 3)  Với t    5 7 tọa độ điểm M   ; ;    3 3 Bài :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai ñieåm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x 1 y  z đường thẳng  :   1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2 + MB2 nhỏ Giải Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4) Ta coù: OA  (1; 4; 2),OB  (1; 2; 2) Vectơ phương d là: u  (12;  6; 6)   2;  1; 1 Phương trình đường thẳng d: x y2 z2   1 2/ Vì M    M(1 t; 2 + t; 2t)  MA2 + MB2 = (t2 + (6  t)2 + (2  2t)2) + ((2 + t)2 + (4  t)2 + (4  2t)2) = 12t2  48t + 76 = 12(t 2)2 + 28 MA2 + MB2 nhỏ  t = Khi M(1; 0; 4) 236 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: x   t x y 1 z 1  ; d : y  1  2t t   d1 :   1 z   t  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng Giải Vectơ phương d1 d2 là: u1  (2; 1;  1) vaø u2  (1;  2; 1)  vectơ pháp tuyến (P) n   u1 ,u2   (1;  3;  5) Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 B, C  (P), nên d1, d2 // (P) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (P): x + 3y + 5z  13 = Vì M  d1, N  d2 neân M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; + n)  AM  (2m; m;   m); AN  (1  n;   2n; n)  AM,AN  (mn  2m  6n  6;  3mn  m  3n  3;  5mn  5m) A,M,N thẳng hàng  AM,AN    m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1) Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng x   t  1: y  1  t  t   z   2 : x  y 1 z   1 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng 2 Xác đònh điểm A  1, B  2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ Giải 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ phương a1  1;  1;  2 qua M2 (3; 1; 0) có vectơ phương a2   1; 2; 1  mp (P) chứa 1 song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến: n  a1 ,a2    1;  1; 1 237 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – ) = (vì M1(1; 1; 2)  (P)) x+y–z+2=0 2/ AB ngắn  AB đoạn vuông góc chung x   t   Phương trình tham số 1 : y  1  t A  1  A 1  t;   t;  z   x   t    Phương trình tham soá 2: y   2t  z  t    B  2  B   t ;  2t ; t   AB    t   t;2  2t   t;t     AB  1 2t  3t   AB.a1    t  t  Do  neân  0 3t  6t AB.a   AB  2    A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) đường thẳng x  3  2t  d y   t z  1  4t  Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, cắt vuông góc với d Giải Laáy M(3 + 2t;  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t;  t; 5 + 4t) Ta coù AM  (d)  AM ad = với ad = (2; 1; 4)  + 4t  + t  20 + 16t =  21t = 21  t = Vậy đường thẳng cần tìm đường thẳng AM qua A có vevtơ phương là: x4 y2 z4 AM = (3; 2; 1) nên phương trình ():   1  Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHIẾU Bài toán 1: Tìm hình chiếu H điểm A đường thẳng (d) Phương pháp  Cách 1: (d) cho phương trình tham số: 238 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0  H  (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t  Tìm tham số t nhờ điều kiện AH  ad   Cách 2: (d) cho phương trình tắc Gọi H(x, y, z)  AH  ad  A (d) H (*)  H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z  Cách 3: (d) cho phương trình tổng quát:  Tìm phương trình mặt phẳng () qua A vuông góc với đường thẳng (d)  Giao điểm (d) () hình chiếu H A (d) Bài toán 2: Tìm hình chiếu H điểm A mặt phẳng () Phương pháp  Cách 1: Gọi H(x; y; z) (d)  H  () (*) A  AH cuøng phương n  : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z  Cách 2:  Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng () H   Giao điểm (d) () hình chiếu H A mặt phẳng () Bài toán 3: Tìm hình chiếu () đường thẳng d xuống mặt phẳng () Phương pháp   Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () d  Hình chiếu () d xuống mặt phẳng  giao tuyến () () ĐỐI XỨNG ()  Bài toán 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Phương pháp  Tìm hình chiếu H A d  H trung điểm AA' 239 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng () Phương pháp  Tìm hình chiếu H A ()  H trung điểm AA' Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng () Phương pháp  Trường hợp 1: () (D) cắt (D) A  Tìm giao điểm M (D) ()  Tìm điểm A (D) khác với điểm M M ()  Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()  d đường thẳng qua điểm A' M  Trường hợp 2: () (D) song song: A’ (D) A  Tìm điểm A (D) d ()  Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()  d đường thẳng qua A' d A’ song song với () Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng () Phương pháp (D)  Trường hợp 1: (D) cắt () A  Tìm giao điểm M (D) ()  Tìm điểm A (D) khác với điểm M  Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()  d đường thẳng qua hai điểm A' M M  A’  Trường hợp 2: (D) song song với ()  Tìm điểm A (D) (D) A  Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()  d đường thẳng qua A' song song với (D) 240 d A’ d Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 x  t   b/ Phương trình tham số d1 : y  t   M1  t ; t ; 2t    d1 z  2t   M2  d2  M2 (1  2t; t;  t) ; M1M2   2t  t   1;t  t ;t  2t   1 Ta coù M1M2 //  P   M1M2 m p   2t  t   t  t  t  2t     t  t  t  M1M2  (t  1)2  4t 2  (1  3t )2   14t 2  8t      t   t' =  M(0; 0; 0)  (P) loaïi t  4 8 1 3 ta coù M  ; ;  ; N  ; ;   7 7  7 7 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2) B(0; 0; 7) vaø x  y  z 1 đường thẳng d:   2 Chứng minh hai đường thẳng d AB thuộc mặt phẳng Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho ABC cân đỉnh A Giải  AB  (4; 2;5)  d có: M(3; 6; 1) vectơ phương a  (2; 2; 1)  AB,a  (12;  6;  12), AM  (1; 4;  1)    AB,a AM  12  24  12   AB, d đồng phẳng   x   2t   Phương trình tham số d: y   2t z   t  t    C  d  C(3 – 2t; + 2t; + t)  AB  42  22 (5)2  45  AC  (2t  1)2  (2t  4)2  (t  1)2  9t  18t  18  Vì tam giác ABC cân A nên AB2 = AC2  9t2 + 18t + 18 = 45  t   C1 (1; 8; 2)  t2 + 2t – =    t  3  C2 (9; 0;  2) 267 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC' a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a b a b/ Xác đònh tỉ số để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vuông góc với b Giải z A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) b A'(0; 0; b); C'(a; a; b); M(a; a; ) A’ B’ b a/ BD = (a; a; 0); BA = (a; 0; b); BM = (0; a; ) V=  BD,BA BM  6 C’ A  [ BD , BA ] =a(b, b, a) y D’ B M C a ab  a2 b   ab    (ñvtt) 6  b/ (A'BD) có vectơ pháp tuyến  BD,BA' = a(b, b, a) hay choïn n = (b; b; a)  ab ab  (MBD) có vectơ pháp tuyeán  BD,BM    , , a2  h  2  hay m   b; b;  2a  (chọn) Ta có (A'BD)  (MBD)  m.n =  b2 + b2  2a2 =  a = b (a, b > 0)  a = b Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho đường thaúng: x  3ky  z   dk   kx  y  z   Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x  y  2z + = Giaûi n1 = (1; 3k; 1); n = (k ; 1; 1) Vectơ phương dk : a  n1 ,n2  = (3k  1; k 1;1  3k2) 268 D x Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = (1; 1; 2) Ta coù : d k  (P)  ad phương với n p k = 3k   k  1  3k       k = 1 1 2 k=1  k=    Baøi : ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thaúng: d1 : 3x  z   x y 1 z   vaø d  2x  y   a/ Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với b/ Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 x4 y7 z3 song song với đường thẳng :   2 Giaûi a/  d1 qua A(0; 1; 0) có vectơ phương a = (1; 2; 1)  d2 qua B(0; 1; 1) coù vectơ phương b = (1; 2; 3)  AB = (0; 2; 1), a, b  = (8; 2; 4)  a,b AB = 4 – = 8  d1 chéo d2    Ta lại có: a.b = – + =  d1  d2 Kết luận : d1 chéo d2 d1 vuông góc d2 b/ Đường thẳng  có vectơ phương c = (1; 4; 2)  Gọi () mặt phẳng chứa d1 song song  neân n  a,c = (8; 3; 2) () qua A có vectơ pháp tuyến n  = (8; 3; 2) (): 8(x – 0) + 3(y + 1) + 2(z – 0) =  8x – 3y – 2z – =  Goïi  mặt phẳng chứa d1 song song  nên coù ptpt: n   b,c = (8; 5; 6) () qua B có vectơ pháp tyuến n = (8; 5; 6) (): 8(x – 0) + 5(y – 1) + 6(z – 1) =  8x – 5y – 6z + 11 = Đường thẳng cần tìm giao tuyến () () có phương trình 269 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc – 8x  3y  2z    8x  5y  6z  11  Bài 10: Trong không gian với hệ trục Đêcác Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  y + =  2m  1 x  1  m  y  m    đường thẳng: dm:  (m tham số)  mx   2m  1 z  4m   Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Giải n1 = (2m + 1; – m; 0); n = (m; 0; 2m + 1) Một vectơ phương dm laø a  n1 ,n2  = (2m2 + m + 1; (2m + 1)2 ;  m(1  m)) Vectơ pháp tuyến (P) n = (2; 1; 0) Đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). a n =  4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) =  6m + =  m =  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: x  az  a  ax  3y   d1  vaø d  y  z   x  3z   a/ Tìm a để hai đường thẳng d1, d2 cắt b/ Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a = Giaûi x  a  at  a/ Đặt z = t  Phương trình tham số d1: y  1  t z  t  x  3t   Đặt x = 3t'  Phương trình tham số d2: y   at  z   t   Caùch 1: d1 d2 cắt 270 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 3a  t   a  at  3t  a 3    Heä 1  t   at  có nghiệm    a2 t  t   t    3a t   t  Thay (1), (2) vào (3) ta được: 2  a2 a 3 2 (1) (2) (3) 3a a 3  – a = 2a – 3a +  3a – 3a =  a =  a =  a1 ,a2  M1M    Cách 2: d1 d2 caét    a1 ,a2   x  2z   2x  3y   b/ Khi a = ta coù: d1:  d2:  y  z   x  3z   d1 qua M1(0; 2; 1) có vectơ phương a1 = (2; 1; 1) d2 ñi qua M2(0; 1; 2) có vectơ phương a2 = 3(3; 2; 1) Vì (P) chứa d2 song song d1 nên (P) có vectơ pháp tuyến n  a1 ,a2  = (1; 5; 7) (P) qua M2(0; 1; 2) vaø có vectơ pháp tuyến n = (1; 5; 7) nên có phương trình (P): (x – 0) + 5(y – 1) – 7(z – 2) =  x + 5y – 7z + = Ta coù : d  d1 ,d   d  M1 ,(P)   Caùch khaùc : d  d1 ,d     2    1   25  49  15 a1 ,a2  M1M2   = 15 a1 ,a2    MAËT CẦU  Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương trình mặt cầu  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c) bán kính R  x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0) Tâm I(a, b, c), bán kính R = a2  b2  c2  d 271 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) (S)  Tìm tâm O (C)  Tìm phương trình đường thẳng d qua I vuông góc với () (C) I O  O = d  ()  Tìm bán kính r (C): r2 = R2  IO2 r R  B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt caàu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Giải Giả sử B(x; y; z) Ta có: B(S) tam giác OAB x2  y2  z2  4x  4y  4z    OA2  OB2  2 OA  AB x2  y2  z2  4(x  y  z) x  y  z     32  x2  y2  z2  x2  y2  z2  32   2 2 x  y  z  8(x  y)  32  (4  x)  (4  y)  z x  y  z  z  x  x      2 2  x  y  z  32  (x  y)  2xy  z  32   y  hoaëc  y  x  y  x  y  z  z      Trường hợp 1: Với B(0; 4; 4) Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến OA,OB  (16;  16; 16) qua O (0; 0; 0) nên có phương trình x – y + z = Trường hợp 2: Với B(4; 0; 4) 272 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Mặt phẳng (OAB) có véctơ pháp tuyến OA,OB  (16;  16;  16) qua O(0; 0; 0) nên có phương trình x – y – z = Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NAÊM 2011 x 1 y  z   mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : Giải x   2t  Phương trình tham số đường thẳng : y   4t (t  R) z  t  Gọi I tâm mặt cầu I   I(1 + 2t; + 4t; t) Mặt cầu tiếp xúc (P) có bán kính  d(I, (P)) =  1  2t     4t   2t 1   2t    t = hoaëc t = –1  t =  I(5; 11; 2)  Phương trình mặt cầu: (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 =  t = –1  I(–1;–1;–1) Phương trình mặt cầu: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 x 1 y 1 z 1   3 Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; –3) cắt đường thẳng d hai điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: A, B cho AB = 26 Giải d qua M (1; –1; 1), vectơ phương a = (4; –3; 1), IM  (0;  3; 4)  a,IM  =(–9; –16; –12) d(I,d) = 26 37  AB    25 Ta coù: R =    d (I,d)  2   37 Suy ra: phương trình (S) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  25 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng x2 y2 z3 :   Tính khoảng cách từ A đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  hai 273 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – điểm B C cho BC = Giaûi  qua M (2; 2; 3) có vectơ phương a  (2; 3; 2) ; AM  (2; 2;  1)  a, AM  (7; 2; 10)  d(A, ) = a, AM  49   100 153   =3   17 494 a Vẽ AH vuông góc với  Ta có: BH = BC  AH = d(A, ) = Trong AHB ta coù: R2 = AB2 = BH2 + AH2 = 16 + = 25 Vậy phương trình mặt cầu (S): x2  y2  (z  2)2  25 Baøi 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; –2; 3), B (–1; 0; 1) mặt phaúng (P): x + y + z + = 1/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A tâm (P) AB 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính , tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) Giải x 1 y  z    1 H hình chiếu A (P) H = ()  (P) nên tọa độ H thoûa: x  1 x  y  z      x  y  z   y  4 Vaäy H (–1; –4; 1) z      1/ Gọi  đường thẳng qua A vuông góc với (P) thì: : Ta có AB = (–2; 2; –2) AB =    12  AB  Bán kính mặt cầu (S) laø R = x 1 y z 1 Phương trình (AB):   1 Vì tâm I  (AB) nên I (t – 1; – t; t + 1) (S) tiếp xúc (P) nên d (I; (P)) = R  t    t = –3 hay t = –5  I(–4; 3; –2) hay I(–6; 5; –4) Vậy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài: 274 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 (S2): (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = (S1): (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = Baøi 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt caàu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Giải (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = Khoảng cách từ I ñeán (P): d(I, (P)) = 2434 3 R ; Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Gọi H r tâm bán kính đường tròn giao tuyến, H hình chiếu vuông góc I (P): IH = d(I,(P)) = 3, r = R2  IH2  x   2t y   2t  Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:  z   t 2x  2y  z   Giải hệ, ta H (3; 0; 2) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) 1/ Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D 2/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải 1/  Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0)  Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D nên 275 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  a  A  (S) 18  6a  6b  d   B  (S) 18  6a  6c  d     b    nhaän    C  (S) 18  6b  6c  d   D  (S) 27  6a  6b  6c  d  c   d  Vaäy (S): x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z =  ñi qua A(3; 3; 0) 2/ (ABC) :  có vectơ phá p tuyế n  AB,AC  9(1; 1; 1)   Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z – =  Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC giao mặt phẳng (ABC) (S) x2  y2  y2  3x  3y  3z    Phương trình đường tròn (C):   x  y  z   3 3  Goïi d qua tâm I  ; ;  (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC) 2 2   3 3 ñi qua I  ; ;  d:  2 1 có vectơ phương a  (1; 1; 1)   x   t    Phương trình tham soá d : y   t  t     z   t   x   t  x  y   t    y   H = d  (ABC) ta giải hệ    z  z   t  x  y  z   Vậy tâm đường tròn (C) H(2; 2; 2) Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 276 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Giải 1/ (S): (x 1) + (y + 2) + (z + 1) = có tâm I(1; 2; 1) bán kính R = 2 Mặt phẳng (Q) có cặp véctơ phương là: OI  (1;  2;  1), i  (1; 0; 0)  Vectơ pháp tuyến (Q) là: n  (0;  1; 2) Phương trình (Q) là: 0.(x  0)  1.(y  0) + 2(z  0) =  y  2z = 2/ Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với (P) Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A, B Nhận xét: Nếu d(A; (P))  d(B; (P)) d(M; (P)) lớn M  A x 1 y  z 1 Phương trình đường thằng d:   1 Tọa độ giao điểm d (S) nghiệm hệ: (x  1)2  (y  2)2   z  12   x 1 y  z 1     1 Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(1; 1; 3), B(3; 3; 1) Ta coù: d(A; (P)) =  d (B; (P)) = Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn M(1; 1; 3) Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a/ Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1 B1) b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN Giải a/ A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4); BC  (4; 3; 0), BB1  (0; 0; 4) Vectơ pháp tuyến mp(BCC1B1) n  BC, BB1   (12; 16; 0) Phương trình mặt phẳng (BCC1B1): 12(x  4) + 16y =  3x + 4y  12 = 277 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bán kính mặt cầu: R  d  A,  BCC1B1    12  12 Phương trình mặt caàu: x2  (y  3)2  z2  576 25 32  42  24  3    b/ Ta coù M  2; ;  , AM   2; ;  , BC1  (4; 3; 4)     Vectơ pháp tuyến (P) np  AM,BC1   (6; 24;12) Phương trình (P): 6x  24(y + 3) + 12z =  x + 4y  2z + 12 = Ta thaáy B(4; 0; 0)  (P) Do (P) qua A, M song song với BC1 Ta có A1C1  (0; 6; 0) x   Phương trình tham số đường thẳng A1C1 là: y  3  6t z   N  A1C1  N(0; 3 + 6t; 4) Vì N  (P) neân + 4(3 + 6t)  + 12 =  t = MN = Vaäy N(0; 1; 4) 17   (2  0)2     1  (4  4)2  2   Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) a/ Vieát phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) b/ Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải a/ BC  (0;  2; 2)  Mặt phẳng (P) qua O vuông góc BC (nhận BC làm vectơ pháp tuyến) Phương trình (P): 0(x – 0) – 2(y – 0) + 2(z – 0) =  y – z = (*) x   t (1)   AC  (1; 1;2) nên phương trình tham số cuûa AC: y   t (2)  t   z  2t (3)  Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được: – t – 2t =  t  278 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 2 2 Thay vào (1), (2), (3) ta có M  ; ;  giao điểm AC  (P) 3 3 b/ AB  (1; 1; 0), AC  (1;  1; 2)  AB.AC     AB  AC  ABC vuoâng A  Dễ thấy BOC vuông O Do A, O nhìn đoạn BC góc vuông Do A, O, B, C nằm mặt cầu tâm I trung điểm BC, bán BC kính R   I(0; 1; 1), R  nên phương trình (S): (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a/ Tìm tọa độ điểm A1,B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A B, O1 b/ Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O 1A đồng thời cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn KN Giải a/ Vì AA1  (Oxy)  A1( 2; 0; 4), BB1  (Oxy)  B1(0; 4; 4) Phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2 – d > 0) Maët cầu qua điểm O, A B, O1 nên z O  (S) d  a   A  (S) 4  4a  b         (nhaän) A1  16  8b  c   B  (S) 16  8c  d  O1  (S) O A Vaäy (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = x b/ M trung điểm AB  M(1; 2; 0)  (P) qua M(1; 2; 0), (P)  O1A B1 y B  Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): nP  O1A  (2; 0;  4)  Phương trình mp(P): 2(x – 1) + 0(y – 2) – 4(z – 0) =  x  2z – = x  t   Phương trình tham số OA: y   t   z   279 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x  2z   x  x  t    N = (P)  OA ta coù heä    y   N(1; 0; 0) y  z    z  x  t    Phương trình tham soá OA1: y   t    z  2t    x  2z   x  x  t     K = OA1  (P) ta có hệ   y  y   z  2t  z     2   K   ; 0;   3  2  1  KN      (0  0)2      3  3  Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phaúng (P): x + y + z  = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải  IA2  IB2  IC2 Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu Giả thiết cho   I  (P)  x  2  y2   z  12   x  12  y2  z2   2 2   x    y2   z  1   x  1   y  1   z  1 x  y  z     2x  2z   x     2x  2y    y   I (1; 0; 1) Bán kính R = IB = x  y  z   z    2 Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1  y2   z  1  Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z  m2  3m = (m tham số) mặt cầu (S): (x  1)2 + (y + 1)2 + (z  1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) với m tìm xác đònh 280 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Giải  Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R =  Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S):  d(I, (P)) = R  m2  3m       m  3m       m2  3m   9  m2  3m  10  m     m  3m   (VN)  m  5  (P): 2x + 2y + z 10 =  Gọi  đường thẳng qua I   (P) (1)  qua I (1; 1; 1) vaø a  n p  (2; 2; 1) x   2t  Phương trình tham số : y  1  2t z   t  (2) (3) (4)  Tiếp điểm M giao điểm  (P), thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: 2(1 + 2t) + 2(1 + 2t) + + t  10 =  t =  M(3; 1; 2) 281 ... (D) 240 d A’ d Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x  t  Phương trình tham số  : y  1 z   t  t   Baøi 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC...  z  4  234  Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2;