chuyên đề hình học giải tích trong không gian

1 Chuyên đề : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian  x ' Ox : trục hoành  y ' Oy : trục tung  z ' Oz : trục cao  O : gốc toạ độ  ,,   ijk: véc tơ đơn vò (hay i; j;k   : véc tơ đơn vò ) Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 1. Đònh nghóa 1: Cho () M kg Oxyz . Khi đó véc tơ OM   được biểu diển một cách duy nhất theo ,,   ijk bởi hệ thức có dạng :  . . + y. với x,y,z   OM x i y j k . Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )  / ( ; ; ) . . .   đn M xyz OM xiyjzk  Ý nghóa hình học: ; y= OQ ; z = ORxOP O z 'x y x 'y k  i  j  'z O z y x M z y x z y x p 1 M M Q 3 M 2 M R O 2 2. Đònh nghóa 2: Cho ()akgOxyz  . Khi đó véc tơ a  được biểu diển một cách duy nhất theo ,,   ijk bởi hệ thức có dạng :   12 3 12 . . + a . với a ,a    aaiaj k . Bộ số (a 1 ;a 2 ;a 3 ) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a  . Ký hiệu: 12 (; )aaa   / 123 1 2 3 =(a ;a ;a ) . . .  đn aaaiajak II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Đònh lý 1: Nếu B (;;) và B(x;;) A AA BB A xyz yz thì (;;) B AB AB A A Bxxyyzz    Đònh lý 2: Nếu 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb  thì * 11 22 33 a b ab a b ab           * 112233 (; ; )ab a ba ba b     * 112 233 (; ; )ab a ba ba b     * 123 .(;;)k a ka ka ka  ()k   III. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại  Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song .  Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:  Đònh lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0abb    cùng phương !k sao cho . ab akb      Nếu 0a   thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau: k > 0 khi a  cùng hướng b  k < 0 khi a  ngược hướng b  a k b    3  Đònh lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương A BC AB AC     Đònh lý 5: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb   ta có : 11 22 123123 33 a cùng phương a : : : : kb abakbaabbb akb           IV. Tích vô hướng của hai véc tơ: Nhắc lại: cos(,)ab a b a b      2 2 aa  . 0ab ab     Đònh lý 6: Cho hai véc tơ 122 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb   ta có : 11 22 33 .ab ab a b ab    Đònh lý 7: Cho hai véc tơ 123 (; ; ) aaaa  ta có : 222 123 aaaa   Đònh lý 8: Nếu B (;;) và B(x;;) A AA BB A xyz yz thì 222 ()()() BA BA BA A Bxx yy zz  Đònh lý 9: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb   ta có : 11 22 33 a 0ab bab ab      Đònh lý 10: Cho hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb   ta có :         11 2 2 33 222222 123123 . cos( , ) . . ab ab ab ab ab ab aaa bbb 4 V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1 ) nếu như : . M AkMB        Đònh lý 11 : Nếu B (;;) , B(x;;) A AA BB A xyz yz và . M AkMB    ( k  1 ) thì . 1 . 1 . 1 A B M A B M A B M x kx x k yky y k z kz z k                   Đặc biệt : M là trung điểm của AB  2 2 2 A B M A B M A B M x x x yy y z z z                Định lý 12: Cho tam giác ABC biết BC (;;) , B(x;;), C(x;;) A AA BB CC A xyz yz yz G là trọng tâm tam giác ABC  3 3 3                A BC G A BC G A BC G x xx x yyy y z zz z Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông . b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A A B M 5 VI. Tích có hướng của hai véc tơ: 1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ 123 123 (; ; ) và (; ; )aaaa bbbb   là một véc tơ được ký hiệu : ;ab    có tọa độ là : 2331 12 2331 12 ;;; aaaa aa ab bbbb bb        Cách nhớ : 123 123 (; ; ) (; ; ) aaaa bbbb     2. Tính chất:  ; và ;ab a ab b           1 .; 2 ABC SABAC        ; ABCD SABAD        ''' ' ' . ;. ABCD A B C D VABADAA       1 .;. 6 ABCD VABACAD        cùng phương ; 0abab      , , đồng phẳng , . 0abc ab c        A, B, C, D đồng phẳng AB,AC,AD    đồng phẳng AB,AC .AD 0         BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b. Tính diện tích tam giác ABC c. Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A ( 2; 1; 6 ) , B( 3; 1; 4) , C( 5; 1; 0 ) , D(1; 2; 1) . Chứng minh tam giác ABC vng. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. 1 2 3 A B C A B C D A B C D A B C D ' A ' B 'C 'D 6 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Các đònh nghóa: 1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng: a  là VTCP của đường thẳng (  ) đn  0 a có giá song song hoặc trùng với ( ) a           Chú ý:  Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.  Một đường thẳng () hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó. 2. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : n  là VTPT của mặt phẳng  đn  0 n có giá vuông góc với mp n           Chú y ù:  Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó. II. Phương trình của mặt phẳng : Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và có một VTPT ( ; ; ) nABC  là:  Mx;y;z  000 ()()()0   x y z C z A y B x Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng : 0  A BC x yzD với 222 0ABC   là phương trình tổng quát của một mặt phẳng . Chú ý :  Nếu ( ): 0 x y C z B D A  thì ( )  có một VTPT là ( ; ; )nABC   0000 0 0 0 (;;)(): 0 Ax 0 M xyz AxByCzD By Cz D    a  a  )(  n   );;( CBAn   );;( 0000 zyxM 0 M  x y z );;( CBAn   7 Các trường hợp đặc biệt: 1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:  (Oxy):z = 0  (Oyz):x = 0  (Oxz):y = 0 2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:  Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại (;0;0) (0; ;0) (a,b,c 0) (0;0; ) Aa Bb Cc       là: 1 x yz abc  Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho       A1;3;2,B 1;2;3,C 2;0;1. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC. Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho       A1;3;2,B 1;2;3,C 2;0;1. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm     A 0; 0; 3 ; B 2; 0; 1   và mặt phẳng (P) có phương trình 3x 8y 7z 1 0 . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều. III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng 1. Một số quy ước và ký hiệu : Hai bộ n số : 12 12 (, , , ) ( , , , ) n n aa a bb b    được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số 0t  sao cho 11 22 . . nn atb atb atb             Ký hiệu: 12 12 : : : : : : nn aa a bb b hoặc 12 12 n n a aa bb b  2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,   xác đònh bởi phương trình : 1111 1111 2222 2222 ( ): 0 có VTPT ( ; ; ) (): 0 có VTPT ( ; ; ) A xByCzD n ABC A xByCzD n ABC          )(Oxz )(Oxy )(Oyz z y x O A B C a b c O 8 11 11 11 111 22 2 22 22 22 111 1 222 2 111 1 222 2 A ( ) cắt ( ) A : : : : (hay: ) A A ( ) // ( ) A A ( ) ( ) A B BC C A B C A B C hoặc hoặc B BC C A BCD BCD BCD BCD         Đặc biệt: 12 12 12 A 0 A BB CC       ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Phương trình của đường thẳng: 1.Phương trình tham số của đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và nhận 123 (; ; )aaaa  làm VTCP là : 01 02 03 ( ): (t ) x xta yy ta zz ta           Ví dụ: Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng x12t (d): y 1 t z3t            . Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Đònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng ()  đi qua điểm 0000 (;;) M xyz và nhận 123 (; ; )aaaa  làm VTCP là :   2 n  1 n    1 n  2 n    1 n  2 n  O z y x )(  0 M ),,( zyxM a  9 000 123 (): x xyyzz aaa    Ví dụ: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng xzz (d): 111    . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và đường thẳng (d) II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho : đường thẳng 000 123 (): x xyyzz aaa   có VTCP 123 (; ; )aaaa  và qua 0000 (;;) M xyz và mặt phẳng (): 0 A xByCzD   có VTPT ( ; ; )nABC  Khi đó :                     123 000 123 00 3 0 12 ( ) cắt ( ) Aa 0 ( ) // ( ) 0 Aa 0 ( ) ( ) Aa 0 0 Ba Ba Ca Ax By Cz D Ba Ca Ax By Cz D Ca    Đặc biệt: 123 ( ) ( ) a : : : :aa ABC     Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (  ) và (  ) ta giải hệ phương trình : () () p t p t      tìm x,y,z Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1 : Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0 Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x2y3z140  . Tìm tọa độ hình  n  M )( a   n  M )(  a   n  M )(  a   a  n  10 chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : 41 ( ): và (P):x-y+3z+8=0 43 2 x yz d   Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P). Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz cho     A1;1;0,B 1;2;1 và đường thẳng (d) có phương trình x1 y z2 21 2    .Tìm tọa độ điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh C. Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho     A1; 1;0,B3;3;2 và đường thẳng (d) có phương trình xy1z1 21 1    . Gọi C là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng (d). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz cho     A 2;0;0 ,B 2;3;0 và mặt phẳng (P) có phương trình xyz70. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB    đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 7: Cho đường thẳng x1 y2 z2 (d): 15 4    và mặt phẳng 2 (P):x 3y 4m z m 0 . Tìm m để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P). Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng  1 xyz d: 112   và  2 x12t d:yt z1t          . Tìm tọa độ điểm M thuộc  1 d và N thuộc  2 d sao cho MN song song với mặt phẳng  P:x y z 0 và MN 2 Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz mặt phẳng   P:x y 2z 3 0  , điểm  A1;1; 2 và đường thẳng  x1 y3 z : 214   . Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, cắt đường thẳng   và song song với mặt phẳng (P). 2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 000 1 0000 '''' '''' 000 2 0000 ''' ( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; ) ( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; ) x xyyzz uabc xyz abc xx yy zz uabc xyz abc         0 M ' 0 M a  1  2  b  0 M u  'u  1  2  ' 0 M 0 M ' 0 M u  'u  1  2  u  'u  0 M ' 0 M 1  2  [...]... 3 3 3   Để ABCD là hình thang cân thì BD = AC Do đó D(3, 2, 0) khơng thỏa mãn vì khi đó ABCD là hình bình 18 hành  5 8 2 Với D  , ,   thỏa mãn  3 3 3 Bài 6: x  2 y  3 z 1   Xét hình bình hành ABCD có 1 2 2 A(1 ; 0 ; 0), C (2 ; 2 ; 2), D  d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Bài giải: x  2 y  3 z 1... phương trình mặt cầu (S) là:  x  2    y  3   z  1  289 2 2 30 2 Bài 20: x  2 y  3 z 1   Xét hình bình hành ABCD có 1 2 2 A(1 ; 0 ; 0), C (2 ; 2 ; 2), D  d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Bài giải:    x  2 y  3 z 1    D(t  2 ;  2t  3 ;  2t  1) 1 2 2 3 2 Vì S ABCD  3 2  S ACD  2 Ta... B lμ ®iĨm ®èi xøng cđa A qua d T×m to¹ ®é ®iĨm C trong mỈt ph¼ng P  sao cho ®o¹n th¼ng BC cã ®é dμi nhá nhÊt Trong kh«ng gian víi hƯ trơc to¹ ®é Oxyz cho ®iĨm A 2,1, 0  , ®−êng th¼ng d : Bài giải: Gäi   lμ mỈt ph¼ng ®i qua A  d Ta chän n  u d  1,1,2 pt   : x  y  2 z  3  0 x  2 y 1 z 1    - Tõ hƯ  1 1 2  H 1,2,1 trong ®ã H     d x  y  2z  3  0  - V×... giao ®iĨm cđa AC vμ (P), nªn to¹ ®é B tho¶ m·n hƯ:  z  3  t 3x  y  z  3  0  Suy ra B(1;  2; 4) Bài 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M (5; 3;  1), P(2; 3;  4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0 Bài giải: - Gi¶ sư N ( x0 ; y0 ; z0 ) V× N  ( )  x0  y0  z0  6  0 (1) MN  PN  - MNPQ lμ h×nh vu«ng  MNP vu«ng...  ) 3 3 3 3   Bài 5: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 0), C (1 ; 3 ;  1) Tìm tọa độ D Bài giải: +) Rõ ràng AB  k AC nên A, B, C khơng thẳng hàng +) CD // AB nên chọn uCD  x  1  2t   AB  (2 ; 1 ;  1) Suy ra pt CD :  y  3  t  z  1  t   D(1  2t ; 3  t ;  1  t )  CD Vì ABCD là hình thang cân với hai... và ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x,y,z  pt( 2 ) Suy ra: M(x,y,z)  x  1  2t x y 1 z  2  Ví dụ: Cho hai đường thẳng  d1  :  và  d 2  :  y  1  t  2 1 1 z  3  1) Chứng minh rằng  d1  và  d 2  chéo nhau  (1 )  ( 2 ) 2) Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng  d1  và  d 2  III Góc trong không gian: 1 Góc giữa hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz)... 13 MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: 1 Phương trình chính tắc: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là : z (S) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 (S ) I R Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu M ( x; y; z ) y O (1) Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z2  R2 Đặc biệt: x 2 Phương trình tổng quát: Đònh lý : Trong Kg(Oxyz)... NQ  I ( ; 3;  ) 2 2 NÕu N (2; 3  1) th× Q(5; 3;  4) NÕu N (3;1;  2) th× Q(4; 5;  3) Bài 4: 17 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3; 2) và mặt phẳng ( ) : x  2 y  2  0 Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ) Bài giải: Gi¶ sư M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra 2 2 2 2 2 ( x0  1) 2  y0  z0  x0 ... Suy ra D (0 ;  1 ;  3)   +) ABCD là hình bình hành nên AB  DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5) Bài 7: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  4  0, đường thẳng x  2 y 1 z 1 và đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng x  1, y  z  4  0 Viết d:   2 1 1 phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với  và (P) Bài giải: Mặt cầu có tâm I (2t  2 ;  t ... 2  3  E 4, 4, 2 ; F 3, 3, 3 Thư l¹i thÊy E   A' BD  nªn EF //  A' BD  (tho¶ m·n bμi to¸n) 2 2 Bài 11: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x  y  z  8  0 và đường thẳng (d): x  2 y 1 z 1   2 3 5 Tìm phương trình    , hình chiếu vng góc của (d) trên (P) Bài giải:  Gọi A  (d)   P  , tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 2x  y  z  8  0   x  2 y 1 z 1 x  . 1 Chuyên đề : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian. vò (hay i; j;k   : véc tơ đơn vò ) Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề- Các vuông góc Oxyz được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) II. Toạ độ của một. 4: Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4;3;2(),1;3;5(   PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)(     zyx  18 Bài giải: