Chuyên đề Hình học giải tích trong không gian 12

Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường 2 1 2 thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng nhau... Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A[r]

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ    A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba vectơ đơn vị i , j , k  i     j  k 1          B a  a1; a2 ; a3   a  a1i  a2 j  a3 k ; M(x;y;z) OM  xi  y j  zk   C Tọa độ vectơ: cho u ( x; y; z ), v( x '; y '; z ')   u  v  x  x '; y  y '; z  z '   u  v   x  x '; y  y '; z  z '  ku  (kx; ky; kz )   u.v  xx ' yy ' zz '   u  v  xx ' yy ' zz '   u  x  y  z    y z z x x y  ; ; u  v      yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y   y' z' z' x' x' y'         x u, v cùng phương [u, v]      u.v cos u , v      z  k  0;0;1  j  0;1;0  y O  i 1;0;0  u.v D Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A ) AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )  ( z B  z A ) 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x  xB  xC y  yB  yC z  z B  zC xG= A ;yG= A ; zG= A 3 x A  kxB y A  kyB z A  kz B ; yM  ; zM  ; M chia AB theo tỉ số k: xM  1 k 1 k 1 k x  xB y  yB z  zB ; yM  A ; zM  A Đặc biệt: M là trung điểm AB: xM  A 2      ABC là tam giác AB  AC  đó S= AB  AC       AB  AC , AD , VABCD= S BCD h (h là đường ABCD là tứ diện AB  AC AD 0, VABCD= cao tứ diện hạ từ đỉnh A) I Mặt phẳng   II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT  Mặt phẳng  xác định bởi: M(x0;y0;z0), n  ( A; B; C )  Phương trình tổng quát mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax+By+Cz+D=0  số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0    b/ Mặt phẳng qua ba điểm A,B,C: có n( ABC )  [ AB, AC ]         c/  n  n d/  n  u và ngược lại e/ d u  ud f/ d n  ud Lop12.net  Đường thẳng  xác định bởi: M(x0;y0;z0), u =(a;b;c) II Đường thẳng  x  x0  at  i.Phương trình tham số:  y  y0  bt ;  z  z  ct  IV Đường cong x  x0 y  y0 z  z0   a b c  A1 x  B1 y  C1 z  D1  iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:  đó  A2 x  B2 y  C2 z  D2      n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) là hai VTPT và VTCP u  [n1 n2 ] ii.Phương trình chính tắc: III Góc- Kh/C †Chú ý: x  y  x  a/ Đường thẳng Ox:  ; Oy:  ; Oz:  z  y  z        b/ (AB): u AB  AB ; c/ 12 u  u ; d/ 12 u  n Góc hai đường thẳng   u.u ' *cos(,’)=cos=   ; u u' Góc hai mp   n.n ' *cos(,’)=cos=   ; n n' Góc đường thẳng và mp   n.u *sin(,)=sin=   n.u KHOẢNG CÁCH  Cho M (xM;yM;zM), :Ax+By+Cz+D=0,:M0(x0;y0;z0), u  ,  ’ M’0(x0';y0';z0'), u '  AxM  ByM  CZ M  D * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M,)= A2  B  C   [ MM , u ] * Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M,)=  u    [u , u '].M M '0 * Khoảng cách hai đường thẳng: d(,’)=   [u , u '] III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S)I(a;b;c),bán kính R Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 đó R= a  b2  c  d d(I, )>R:   (S)= d(I, )=R:   (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện mặt cầu (S) M   đó n = IM ) Nếu d(I, )<R thì  cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao  và (S) Để tìm tâm H và bán kính r (C) ta làm sau: a Tìm r = R2 - d (I , ) b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với  +H=   (toạ độ điểm H là nghiệm hệ phương trình  với ) Lop12.net B BÀI TẬP (Khối D_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Nâng cao x2 y2 z   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : vặt phẳng (P):x+2y3z+4=0 Viết 1 1 phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng   x  3  t  5  ĐS: Chuẩn D  ; ; 1 , Nâng cao d  y   2t 2  z   t  (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lop12.net ĐS: a x2+y2+z23x3y3z=0, b H(2;2;2) (Khối D_2007) x 1 y  z   1 a Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2+MB2 nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(1;2;4) và đường thẳng  : Lop12.net x y2 z2   , b M(1;0;4) 1 (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng x2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d1 :     , d1 : 1 1 a Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1 b Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 ĐS: a d : ĐS: a A’(1;4;1), b  : x 1 y  z    3 5 (Khối D_2005)  x  12  3t x 1 y  z 1    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : và d :  y  t 1  z  10  2t  a Chứng minh d1 và d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 và d2 b Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Lop12.net ĐS: a 15x+11y17z10=0, b S OAB  (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z2=0 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) ĐS:  x  1  y   z  1  (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến hai mặt phẳng (): x+3kyz+2=0, (): kxy+z+1=0 Tìm k để đường thẳng dk Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0 2 Lop12.net ĐS: k=1 (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến hai mặt phẳng (): (2m+1)x+(1m)y+m1=0, (): mx+(2m+1)z+4m+2=0 Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: m   Lop12.net (Khối B_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(2;1;3), C(2;1;1) và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z5=0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ Lop12.net ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z5=0, Nâng cao  : x  y z 1   26 11 2 10 (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1) a Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 cho MA=MB=MC ĐS: Lop12.net a x+2y4z+6=0, b M(2;3;7) 11 (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z22x+4y+2z3=0 và mặt phẳng (P): 2xy+2z14=0 a Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn ĐS: a y2z=0, b M(1;1;3) 12 (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng x   t x y 1 z 1  d1 :   , d :  y  1  2t 1 z   t  a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2 b Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng 10 Lop12.net ĐS: a (P): x+3y+5z13=0, b M(0;1;1), N(0;1;1) 13 (Khối B_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4) a Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1) b Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN 17 14 (Khối B_2004) ĐS: MN   x  3  2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;2;4) và đường thẳng d :  y   t Viết phương trình  z  1  4t  đường thẳng  qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d 11 Lop12.net x4 y2 z4   1 15 (Khối B_2003)  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C cho AC   0; 6;  Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA ĐS:  : ĐS: Khoảng cách 16 (Khối A_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2yz4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z22x4y6z11=0 Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó Nâng cao x 1 y z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z1=0 và hai đường thẳng 1 : , 1 x 1 y  z 1 2 :   Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường 2 thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)  18 53  ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4 Nâng cao M1(0;1;3), M  ; ;   35 35 35  12 Lop12.net 17 (Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : x 1 y z    2 a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cáh từ A đến () lớn ĐS: a H(3;1;4), (): x4y+z3=0 18 (Khối A_2007)  x  1  2t x y 1 z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  và d :  y   t 1 z   a Chứng minh d1 và d2 chéo b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y4z=0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 13 Lop12.net x  y z 1   4 19 (Khối A_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01) Gọi M, N là trung điểm AB và CD a Tính khoảng cách đường thẳng A’C và MN b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy góc  biết cos   ĐS: d : 14 Lop12.net ĐS: a d  A ' C , MN   2 , (Q1): 2xy+z1=0, (Q2): x2yz+1=0 20 (Khối A_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y  z    và mặt phẳng (P): 2x+y2z+9=0 1 a Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), biết  qua A và vuông góc với d ĐS: a I1(3;5;7), I2(3;7;1) 15 Lop12.net 21 (Khối A_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S 0; 0; 2 Gọi M là trung điểm cạnh SC   a Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN 16 Lop12.net ĐS: a d  SA, BM   , b VS AMN  22 (Khối A_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: x   t x y2 z  1 :   và  :  y   t  z   2t  a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 b Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ 17 Lop12.net ĐS: a 2xz=0, b H(2;3;4) 23 (CĐ_Khối A_2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2yz+10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) ĐS: (P): 4x5y+2z10 24 (CĐ_Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình x y z 1   1 a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O ĐS: a xy+2z6=0  5 7 b M 1; 1;3 , M   ; ;    3 3 18 Lop12.net