a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P) đạt giá trị lớn nhất... Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác v[r]
(1)Giải tập SBT Hình học 11 nâng cao 2, 3, chương 3 Câu 16 trang 117 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, cạnh bên SA = AB SA vng góc với BC
a) Tính góc hai đường thẳng SD BC
b) Gọi I, J điểm thuộc SB SD cho IJ // BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J
Trả lời:
a) Vì BC // AD nên góc SD BC góc SD AD
Từ giả thiết, ta có SA BC nên⊥ SA AD mặt⊥ khác SA cạnh hình thoi ABCD, nên ˆSDA=450 góc phải tìm
Vậy góc BC SD 45°
b) Do ABCD hình thoi nên AC BD Mặt khác IJ // BD nên AC IJ tức là⊥ ⊥ góc IJ AC 90° không đổi
Câu 17 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, ˆBAD=600,ˆBAA′=ˆDAA
′=1200.
a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A’D AC’ với B’D
b) Tính diện tích hình A’B’CD ACC’A’
c) Tính góc đường thẳng AC’ đường thẳng AB, AD, AA’
(2)Đặt
AB→=x→,AD→=
y→,AA′→=z→ thì
x2→=y2→=z2→=a2
x→.y→=a2/2;
x→.z→=−a2/2;
x→.z→=−a2/2;
a) Vì AB // A’B’ nên góc AB A’D góc A’B’ A’D, góc ˆDA′B′ 1800−ˆDA′B′
Đặt ˆDA′B′=α
Ta có:
A′D=a√3,A′B′=a
DB′→=x→−y→+z→
⇒DB′2→=3a2−a2−a2+a2=2a2
Vậy 2a2=a2+3a2−2a.a√3cosα cosα=1/√3⇒
Như góc A’D AB α mà cosα=1/√3
AC′→=x→+y→+z→
⇒AC′2→=3a2+a2−a2−a2=2a2
Dễ thấy AB’ = a
Ta có ADC’B’ hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ hình vng Vậy AC’ B’D, tức góc AC’ B’D 90°.⊥
b)
SA′B′CD=A′D.A′B′sinˆDA′B′=a√3.a.√6/3
Vậy SA′B′CD=a2√2
(3)hay
2a2=3a2+a2−2a√3.a.cosβ
⇒cosβ=1/√3 sinβ=√6/3⇒
Vậy SACC′A′=AC.CC′.sinβ=a√3.a.√6/3=a2√2
c) Do zAC′→=x→+y→+z→
Suy ra:
AC′→.AB→=(x→+y→+z→)x→
=a2+a2/2−a2/2=a2
hay
|AC′→||AB→|cos γ=a2
⇒cos γ=1/ γ=45⇒
Vậy góc AC’ AB 45°
AC′→.AD→=(x→+y→+z→)y→
=a2/2+a2−a2/2=a2
hay
AC′→|.|AD→|cos φ=a2⇒cos φ=1/ φ=45⇒
Vậy góc AC’ AD 45°
AC′→.AA′→=(x→+y→+z→)z→=−a2/2−a2/2+a2=0
Vậy góc AC’ AA’ 90°
Câu 18 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD góc hai đường thẳng AB CD α Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0< x < AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M song song với AB, CD
(4)b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu không phụ thuộc vào x AB = CD
Trả lời
a) Dễ thấy thiết diện hình
bình hành
MNPQ
SMNPQ=NM.NQ
.sinˆMNQ
Do MN // AB, NQ // CD nên
góc MN NQ góc AB CD sinˆMNQ=sinα
Ta có:
MN/AB=AC−x/AC MN=AB/AC(AC−x)⇒
NQ=MR,MR/CD=AM/AC=x/AC
⇒MR=CD/AC.x
Vậy SMNQR=AB.CD/AC2(AC−x)xsinα
Từ diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn x=AC/2
Như vậy, M trung điểm AC diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt (P) đạt giá trị lớn
b) Gọi P nửa chu vi thiết diện, đó:
p=MN+MR=AB/AC(AC−x)+CD/AC.x
=CD−AB/AC.x+AB
Từ đó, chu vi thiết diện khơng phụ thuộc vào x khi:
CD–AB=0 hay AB=CD
(5)Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vng A Với điểm M thuộc cạnh AD (M khác A D), xét mặt phẳng (α) qua điểm M song song với SA, CD
a) Thiết diệm hình chóp S.ABCD cắt mp(α) hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a b; biết AB = a, SA = b, M trung điểm AD
Trả lời
a) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNPQ MN // QP // CD, MQ // SA
Do SA ⊥ AB, AB //MN, MQ // SA nên thiết diện MNPQ hình thang vng M
b) SMNPQ=1/2(MN+PQ).MQ
Do M trung điểm AD nên:
MQ=1/2SA=1/2b
PQ=1/2CD=1/2a
Vậy SMNPQ=1/2(a+a/2).b/2=3ab/8
Câu 20 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc đường thẳng BC AD cho MB→=kMC→ NA→=kND→ với k số thực khác cho trước.
Đặt α góc hai vectơ NMN→ BA→; β góc hai vectơ MN→ và
CD→ Tìm mối liên hệ AB CD để α=β=450
(6)Kẻ MP // AB dễ thấy NP // CD Từ đó, góc MN→ và
BA→ bằng góc
giữa MN→ và
MP→, góc
PMN^ Góc MN→ và
CD→ góc
giữa MN→ và
PN→, góc PNM^.
Vậy hai góc 45° khi:
MP = NP ˆMPN=900
Từ đó, suy CP/CA.AB=AP/AC.CD AB CD⊥
hay AB/CD=AP/CP AB CD⊥
Mặt khác, ta có PA→=kPC→⇒AP/PC=|k|
Vậy AB CD có mối liên hệ
AB/CD=|k| AB CD⊥
thì góc hai vectơ MN→ BA→ góc hai vectơ MN→ CD→,
cùng 45°)
Câu 21 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K trung điểm BC, AC, AD, BD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD trường hợp sau:
a) Tứ giác IJHK hình thoi có đường chéo IH=√3IJ
b) Tứ giác IJHK hình chữ nhật
(7)Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng IJ IK, góc ˆJIK 1800−ˆJIK
a) Vì hình tứ giác IJHK hình thoi mà IH=√3IJ, nên từ IK2+IH2=4IJ2
ta có: IK2=IJ2
hay IK = IJ
Như JIK tam giác đều, ˆJIK=600
Vậy góc AB CD trường hợp 60°
b) Khi tứ giác IJHK hình chữ nhật ˆJIK=900 Do đó, góc AB CD
bằng 90°
Câu 22 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác
a) Chứng minh AD vng góc với CB
b) Gọi M, N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA→=kMB→,ND→=kNB→ Tính góc hai đường thẳng MN BC.
Trả lời:
a) Gọi I trung điểm BC AI BC,DI BC⊥ ⊥
Ta có
AD→=AI→+ID→.
Xét
BC→.AD→=BC→(A
I→+ID→)
=BC→.AI→+BC→.I
D→=0
(8)b) Từ giả thiết
MA→=kMB
ND→=kNB→
ta có MN // AD
Vậy góc hai đường thẳng MN BC góc hai đường thẳng AD BC Theo câu a) AD vng góc BC, nên góc MN BC 90°
Câu 23 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD có CD=4/3AB Gọi I, J, K trung điểm BC, AC, BD Cho biết JK=5/6AB, tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB
Trả lời:
Ta có:
IJ=1/2AB
IK=1/2CD=2/3AB
IJ2+IK2=1/4AB2+4/
9AB2=25/36AB2
IJ=12ABIK=12CD=23ABIJ2+IK2=14AB2+49AB2=2536AB2
mà IK2=25/36AB2
nên IJ2+IK2=JK2
Vậy JI IK⊥
Do IJ // AB, IK // CD nên góc AB CD 90°
(9)Vậy góc IJ CD 90°
Câu 24 trang 118 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α góc BC AD; β góc AC BD; γ góc AB CD Chứng minh ba số hạng a2cosα,b2cosβ,c2cosγ có số hạng tổng hai số
hạng cịn lại
Trả lời:
Ta có:
cos (BC→,DA→)=2c 2−2b2/2a2=c2−b2/a2.
Vậy góc BC AD α thì:
cosα= c∣ 2−b2∣/a2
hay a2cosα= c∣ 2−b2∣
Tương tự trên,
nếu gọi β góc AC BD thì:
b2cos β=|a2−c2|
và γ góc AB CD
c2cos γ=|b2−a2|.
Với a, b, c dộ dài BC, CA, AB, khơng giảm tính tổng qt coi a ≥ b ≥ c Khi đó:
a2cosα=b2−c2
b2cosβ=a2−c2
c2cosγ=a2−b2
Từ đó, trường hợp ta có b2cosβ=a2cosα+c2cosγ
(10)Cho tứ diện ABCD có tất cạnh Gọi M N trung điểm AB CD Lấy điểm I, J, K thuộc đường thẳng BC, AC, AD cho IB→=kIC→,JA→=kJC→,KA→=kKD→ k số khác cho
trước Chứng minh rằng:
a) MN IJ MN IK⊥ ⊥
b) AB CD⊥
Trả lời
a) Từ
IB→=kIC→JA→=
kJC→
ta có IJ // AB
Tương tự, ta có IK // CD
Do cạnh tứ diện ABCD N
là trung điểm CD nên NA = NB
Mặt khác MA = MB MN AB, suy MN IJ.⊥ ⊥
Tương tự trên, ta có MN CD IK // CD nên MN JK.⊥ ⊥
b) Ta có AB→=AN→+NB→.
Từ giả thiết, ta có:
AN CD tức AN⊥ →.CD→=0;
BN CDBN CD tức BN⊥ ⊥ →.CD→=0.
Vậy AB→.CD→=(AN→+NB→).CD→=0 tức AB CD⊥