Chương III: VECTO – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIANDạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ: Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết: 1.. Ta luôn có: uuuur uuuur uuur uuurAC'=AA
Trang 1Chương III: VECTO – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ:
Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết:
1 Quy tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và điểm I là trung điểm của AB ta luôn có:
0
IA IB+ =
uur uur r
2
MI = MA MB+ uuur uuur uuur
2 Quy tắc ba điểm:
2.1 uuur uuur uuurAB AC CB= + ( xen điểm C )
2.2 uuur uuur uuurAC AB BC− = ( hiệu hai vec tơ cùng gốc )
3 Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có: uuur uuur uuurAC=AB AD+
4 Quy tắc trọng tâm tam giác: Với điểm M tùy ý và điểm G là trọng tâm của ∆ABC ta luôn có:
0
GA GB GCuuur uuur uuur r+ + = và MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3.MGuuuur
5 Quy tắc đường chéo hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Ta luôn có: uuuur uuuur uuur uuurAC'=AA'+AB AD+
Dạng 2: Chứng minh 3 vec tơ đồng phẳng:
Phương pháp chung:
1) Dùng định nghĩa: Ba vec tơ a b cr r r, ,
đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng song song một mặt phẳng ( )α .
2) Dùng định lý: Ba vec tơ a b cr r r, ,
đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại một cặp số (m,n) duy nhất sao cho c m a n br= r+ r
Bài tập:
Bài 1: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Chứng minh rằng:
AC =CC −CB CD−
uuuur uuuur uuur uuur
b) Đường chéo AC' cắt các ∆CB D' ' và ∆A BD' lần lượt tại trọng tâm G1của ∆CAC' ', trọng tâm G2
ACA
∆ mà '
1 1 2 2
C Guuuur uuuuur uuuur=G G =G A
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với M, N là trung điểm của AB và CD Gọi G là trọng tâm của tứ diện.
Chứng minh rằng:
a) 2.MNuuuur uuur uuur uuur uuur=AD BC+ =AC BD+
b) GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
c) Với mọi I: 4.IG IA IB IC IDuur uur uur uur uur= + + +
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD
a) Nếu đáy ABCD là hình bình hành, chứng minh: SB SD SA SCuur uuur uur uuur+ = +
Trang 2b) Nếu đáy ABCD là hình chữ nhật, chứng minh: SB2+SD2 =SA2+SC2
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I Chứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi SA SB SC SDuur uur uuur uuur+ + + =4.SIuur
Bài 5: Cho tứ diện ABCD Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm ∆ABC là:
GD GA GD GB GD GCuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + =
Bài 6: Cho tứ diện ABCD
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Chứng minh: uuur uur uuurBC IJ AD, ,
đồng phẳng b) Lấy hai điểm M, N thỏa uuuurAM =3.MDuuuur và BNuuur=3.NCuuur Chứng minh uuur uuuur uuurAB MN DC, ,
đồng phẳng Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Lấy điểm M∈AD và điểm N∈BC sao cho MA k MDuuur= uuuur và uuurNB k NC k= uuur( ≠1) Chúng minh bốn điểm I, J, M, N đồng phẳng.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Trên cạnh AC và BD
lấy hai điểm M và N sao cho: AM BN k
AC = BD = Chứng minh: uuur uur uurIM IN IJ, ,
đồng phẳng
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi P Q Q R', , ,' ' lần lượt là tâm các hình bình hành
' ' ' ' ' ' ' '
ABCD A B C D DCC D ADD A Gọi P, R lần lượt là trung điểm của AB A D, ' ' Chứng minh:
a) PP QQuuur uuuur uuur r'+ '+RR'=0
b) Hai tam giác ∆PQR P Q R,∆ ' ' ' có cùng trọng tâm
Bài 10: Cho ∆ABC vẽ các hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và
khác với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh ba vec tơ FK EH BCuuur uuur uuur, ,
đồng phẳng
b) Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH, BC chứng minh AIJL là hình bình hành
c) Chứng minh CH LJ BEuuur uur uuur, ,
đồng phẳng
Bài 11: Cho hình lập phương ' ' ' '
ABCD A B C D a) Chứng minh BD⊥AC'
b) Tính góc hợp bởi AC và DA'
Bài 12: Trong không gian cho hai đoạn thẳng AC và BD chéo nhau sao cho: AB⊥AC và BA⊥BD Gọi O là trung điểm của AB và I là trung điểm của CD Chứng minh:
a) uuur uur uuurAC OI BD, ,
đồng phẳng
b) AB OI⊥
QUAN HỆ VUÔNG GÓC Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Trang 3Phương pháp chung: Có thể sử dụng một trong các cách sau:
1) Nếu hai đường thẳng a, b được đưa về cùng trong mặt phẳng ( )α : Sử dụng cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng
2) Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian và chứng minh góc đó bằng
' ' ' '
ABCD A B C D
3) Tìm hai vec tơ chỉ phương ABCD A B C D ' ' ' ' của hai đường thẳng a , b và chứng minh
' ' ' '
ABCD A B C D
Trong các bài toán có nhiều câu hỏi, có thể sử dụng kết hợp để chứng minh bằng cách dùng các tính chất:
a) Chứng minh: ( )
( )
a
a b b
α α
⊥ ⇒ ⊥
⊂
b) Dùng định lý ba đường vuông góc (thuận – đảo)
c) Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a b a
a
α β
∩ = ⇒ ⊥
Dạng 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:
Phương pháp chung: Dùng định nghĩa hoặc dùng tích vô hướng
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:
1) Chứng minh a⊥b và a⊥c với b, c là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α , suy ra a⊥( )α . 2) Chứng minh a // b và b⊥( )α , suy ra a⊥( )α .
3) Chứng minh ( )α // ( )β và a⊥( )β , suy ra a⊥( )α .
4) Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
OA OA
α β
∩ = ∆⇒ ∆ ⊥
5) Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
∩ = ∆
⊥ ⇒ ∆ ⊥
Dạng 4: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Trang 4Trong thực hành để tính góc θ giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β có giao tuyến ∆; ta vẽ mặt phẳng ( )γ
vuông góc với ∆ tại O ( ) ( )
Ox
xOy Oy
θ
∩ = ⇒ =
Hoặc trong trường hợp đặt biệt thường gặp, ta tìm điểm A∈( )α và kẻ AB⊥( )β (có thể dữ kiện đề bài
đã cho, ta chỉ cần phát hiện) Kẻ AH ⊥ ∆thì theo định lý ba đường vuông góc, BH ⊥ ∆ nên θ =·AHB (hoặc kẻ BH ⊥ ∆ ⇒AH ⊥ ∆)
Dạng 5: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng ( )α .
2) Chứng minh: ( )α
3) Gọi ( )α và ( )α là hai vec tơ pháp tuyến của ( )α và ( )α Chứng minh: ( )α
Dạng 6: Tính khoảng cách:
1) Loại 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
- Thông thường ta tìm mặt phẳng ( )β đi qua điểm A và ( ) ( )β ⊥ α theo giao tuyến ∆ Qua A,
kẻ AH ⊥ ∆, nên AH ⊥( )α và d A( ,( )α =) AH .
- Có trường hợp xem d A( ,( )α ) như là đường cao của tứ diện Tính thể tích của tứ diện theo hai cách, suy ra d A( ,( )α )
2) Loại 2: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Xét mặt phẳng ( )α qua điểm A và ( )α ⊥ ∆ tại H thì d A( ,∆ =) AH
3) Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau:
- d(∆ ∆ =1, 2) IJ với IJ là đoạn vuông góc chung của ∆1 và ∆2.
- Trong thực hành, ta thường xét mặt phẳng ( )α chứa ∆2 và ( )α // ∆1 Lấy điểm M tùy ý trên 1
∆ là: d(∆ ∆ =1, 2) d M( ,( )α )
Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD
a) Đáy ABCD là hình bình hành và VSAB vuông tại A VSCD vuông tại D Chứng minh
AB⊥ SAD .
b) Đáy ABCD là hình thoi và SA = SC Chứng minh: AC⊥(SBD) .
Trang 5c) Đáy ABCD là hình chữ nhật, VSBC vuông tại B và VSCD vuông tại D Chứng minh
SA⊥ ABCD .
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD
a) Đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC ; SB = SD Chứng minh SO⊥(ABCD).
b) Đáy ABCD là hình chữ nhật và SA = SB Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh CD⊥(SIJ).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Gọi H là trực tâm của VABC Chứng minh OH ⊥(ABC).
b) Kẻ OK ⊥(ABC) Chứng minh K là trực tâm của VABC
c) Tính OH theo a, b, c
Bài 4; Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD).
1) Kẻ AH ⊥SB AI, ⊥SC AK, ⊥SD với H SB I SC K SD∈ , ∈ , ∈ Chứng minh:
a) SC⊥(AHK) và I∈(AHK).
b) HK ⊥(SAC) và HK ⊥AI
2) Qua A vẽ mặt phẳng ( )α vuông góc với SC tại I Mặt phẳng ( )α cắt SB, SD lần lượt tại H và K. Chứng minh AH ⊥(SBC) và tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.