Loi noi ddu
Trong cuốn sách Phương pháp giải các dạng tốn Hình học 10 này,
các đề mục của Kiến thức căn bản dựa theo sách giáo khoa Tốn 10 xuất
ban nam 2006 Ngồi ra, chúng tơi dưa vào những vấn đề cùng các bài tập mở rộng tương thích nhằm phục vụ cho các em học sinh khá giỏi Chúng tơi đã gắng cơng sưu tâm, biên soạn, chỉ đơn giản nhằm mục đích giúp các bạn học sinh cĩ thêm tư liệu tham khảo trong quá trình học tập
Cuốn sách gồm ba chương Mơi chương gồm ba phần A, B, € như sau:
+ Phdn A: KIEN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN
Nội dung phân A bao gồm các kiến thức thu gọn từ sách giáo khoa, với ví dụ minh hoạ và bài tập căn bản Các ví dụ và bài tập tương tự hoặc cĩ phần khĩ hơn các bài tập ở SGK, vì mục đích của sách chỉ đơn thuần là ¿ham bhdo bổ trợ Ngồi ra, chúng tơi chứng minh một số tính chất mà sách giáo khoa chỉ gợi ý hoặc xem như bài tập Các tiểu mục cĩ khi được gộp lại, nhưng nội dung kiến thức vẫn tuân thủ chương trình hiện hành
«+ Phần B: MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ VÍ DỤ MỞ RỘNG
Phan này bao gồm các kiến thức mở rộng (cĩ chứng minh) trên cơ
sở các kiến thức đã biết Day là những kiến thức phổ biến trong việc bơi
dưỡng học sinh giỏi Bên cạnh các kiến thức được trình bày là những ví
dụ minh hoạ Trong phần này, nhằm mục đích để cho cuốn sách khơng
quá dày, chúng tơi đã khơng đưa vào các phân bài tập Tuy nhiên, tự
thân các ví dụ cùng những nhận xét kèm theo cũng cĩ thể phần nào bồi
Trang 4giải quyết những bài tập xa hơn mà các em tìm gặp trong một cuĩn sách
tham khảo khác
e Phần C: LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN CÁC BÀI TẬP Hướng dẫn giải tất cả các bài tập trong những phần trước
Chúng tơi hi vọng bạn đọc tìm thấy nơi đây những điều bé ich va tận tình gĩp ý để lần in sau cuốn sách sẽ tốt hơn Xin chân thành cảm
ơn
Tháng 3 năm 2006
Trang 5Chong 7
VECTƠ
Trong chương trình lớp 10, vectơ sẽ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường trịn (chương 2) Nĩ cũng là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trên mặt phẳng (chương 3) Ngồi ra, các kiến thức về vectơ sẽ được áp dụng trong vật
lí như: vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai thành phần, cơng sinh ra bởi một lực
A
2Ì KIEN THUC, VI DU VA BAL TAP CAN BAN
§1 CAC KHAI NIEM VA DINH NGHĨA
1.1 Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng: Người ta biểu diễn vectơ bằng một mũi tên Khác với đoạn thẳng thơng thường, trong hai điểm mút của
một veetơ, ta đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối Nếu
vectg cĩ điểm đầu là M và điểm cuối là N thì ta kí hiệu vectơ đĩ là MN
Để thuận tiện, ta cũng kí hiệu một vectơ xác định nào đĩ bằng
một chữ in thường, với mũi tên ở trên Chẳng hạn, các vectd a, b, wee
hay x, Y,
Vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là uecfơ-
khơng kí hiệu là Ư
Chú ý Như vậy, trong một bài tốn Hình học, khi cần chứng
mịnh hai điểm M, N trùng nhau, ta cĩ thể chứng minh MN = 0
1.2 Mỗi vectơ đều cĩ một độ dài, đĩ là khoảng cách giữa điểm đầu và
điểm cuối của vectơ đĩ Độ dài của vectơ a được kí hiệu là |a | Theo kí hiệu đĩ, rõ ràng |Ư|= 0 Với các vectơ AB, PQ, ta cĩ: |[ABI = AB = BA ;
IPQI = PQ = @P
1.3 Hai veetơ được gọi là cùng phương nếu chúng nằm trên hai
Trang 6Nếu hai vectơ cùng phương thì ——— H cưmNt
hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng SE
ngược _hướng Ví dụ, ở hình bên, hai € at vectd AB, CD cùng hướng, cịn hai vectd
MN,PQ ngược hướng Người ta quy vP
ước: Vectd-khơng cùng phương và cùng
hướng với mọi vectd M 6
1.4 Hai vecto a va b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a= b, néu chúng cùng hướng và cùng độ dai
§2 TƠNG CỦA HAI VECTƠ
2.1 Cho hai vectơ a và b Từ một điểm A
nào đĩ ta vẽ AB=a, rồi từ điểm B vẽ tiếp
BỐ=b Khi đĩ, AC được gọi là tổng của hai vectd a va b Ki hiéu: AC=a+b 2.2 a) Tinh chat giao hoan: a + b = b + b) Tính chất kết hợp: (a + b)+ +c =at (b+c) 0 c) Tinh chat cua vectd-khéng: a + Chú ý một két quad thường dùng:
Nếu M là trung điểm NP thì MN + PN = 0
2.3 Quy tắc ba điểm: Với bất kì ba điểm M, N, P ta luơn luơm sĩ
MN + NP = MP
Mỏ rộng ra, với n điểm bất kì A¡, A¿;, A„ ta luơn cĩ
AIA2 +2 Áš + + An 2AnT + An Ân £ AIAn -
Ta thường sử dụng quy tắc chen một hay nhiều điểm như trên lể
chứng minh các đẳng thức vectơ Ví dụ 1.1
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
AD +BE+CF=AE+BF+CD =AF+BD+ CE
Trang 7
Giai
Ta cĩ AD+ BE +CÈ = AE +l 1D + BÉ + ¿CD + ĐỂ
= AE+BP+CD + DF +h + PD =AE+BF+CD+DD
Suy ra AD + BE+ CF = AE} BF +CD
Dang thức cịn lại được chúng minh tương tự 2.4 Quy tắc đường chéo hình bình hành:
Nếu OABC là hình bình hành O A
thì ta cĩ
OA +OC = OB
Đây chỉ là một hệ quả của
quy tắc ba điểm, với chú ý rằng OC=AB, € B
Vi du.1.2
Cho hai luc Ky va E; cĩ điểm đặt tại M Tìm cường độ lực tổng
hợp của chúng trong các trường hợp sau: a) F va E cĩ cùng cường độ là 100N, gĩc hợp bởi R và bằng 1200 b) Cường độ của F là 40N, của Fy là 30N và gĩc giữa R và E; bang 90° A Giai a) Vecto hdp luc 1A vectd téng cua hai " — — =: : 7
vects Fj) =MA va F,=MC Theo quy tác hình MQ60
Trang 8A Giải
Gọi M là trung điểm AB Theo tính chất
trọng tâm ta cĩ GC = 9GM Để tìm tổng
GA+GB,„ ta dựng hình bình hành
AGBC Muốn vậy ta chỉ cần lấy điểm C?
sao cho M là trung điểm CC'
Khi đĩ, GA+GB =GC' š C6 Suy ra: GA + GB+ GG = CG+ GG = CG = 0
C B
§3 HIEU CUA HAI VECTO
Trong hầu hết những tập hợp được trang bị các phép tốn, phép trừ trong tập hợp đĩ được định nghĩa dựa trên phép cộng Thủ thuật của nĩ là đưa vào phần tử đối Chẳng hạn, khi khảo sát trên tập các số, người ta đưa vào số đối trước khi định nghĩa phép trừ Đối với các vectd, ta cũng cĩ điều tương tự
3.1 Vectơ đối của vectd a #0 là + octơ ngược hướng với vectd a và cĩ cùng độ dài với vectơ a Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0
3.2 Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của
vectơ thứ hai
3.3 Quy tắc cần nhớ: Nếu MN là một vectơ đã cho, thì với điểm O
bất kì ta luơn cé thé viét: MN = ON - OM
Quy tắc trên cho phép ta biểu diễn một vectơ bất kì thành hiệu của hai vectơ cĩ chung điểm đầu Sử dụng điều này, ta cĩ thể giải lại Ví dụ 1.1 như sau
Giải
Lấy một điểm O nào đĩ tuỳ ý, phân tích mỗi vectơ thành hiệu hai
vectơ cĩ điểm đầu là O, ta được :
AD + BE + CF = OD-OA + OF -OB+ OF - OC,
AE + BF + CD = OE -OA + OF -OB+OD-OC,
AF +BD +CE = OF -OA +OD-OB+0E- OC Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh
Trang 9§4 _ PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC
4.1 Tích của vectd a với số thực k là một vectd, kí hiệu là ka, được
xác định như sau:
a) Nếu k > 0 thi vecto ka cùng hướng với vectd a Néu k < 0 thì vecto k a ngude hudng vdi vectd a b) Do dai vectd k a bang |k| lan do dai vectd a: Ika} =Ikl.lal 4.2 Tính chất Với mọi vectd a, b và mọi số thực k,h, ta cĩ: ) k(ha) = (kh)a ii)(k+h)a =ka tha HN NÊN (a + -b) = kã +kb
iv) l.a=a;(- la=-a; 0a =0; k.0 =0
* Vectd b cùng phương với vecto a (a # 0) khi và chỉ khi tổn tại
số k sao cho b = ka
* Để ba điểm phân biét A, B, C thang hang, diéu kip cần và đủ là tồn tại số k sao cho AB = kAC
* Điều kiện cần và đủ để € là trung điểm AB là AB=2AC 4.3 Biéu thi mét vecto theo hai vecto khong cing phương
Cho hai vectơ khơng cùng phương a và b Khi đĩ moi vectd
x đều cĩ thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ a va b Nghia
là: cĩ duy nhất cặp số m và n sao cho x= ma + nb
Vi du 1.4
Chứng minh rằng hai vectơ a va b cùng phương khi và chỉ khi
tơn tại hai số m, n khơng đồng thời bằng 0.sao cho: ma + nb = 0
Giải
a Trường hợp một trong hai vectơ bằng vectơ-khơng thì tầm thường, nên cĩ thể giả sử a và b khác veetd-khơng
Trang 10ma+nb=0
Đảo lại, giả sử tơn tại hai số m, n khơng đồng thời bằng 0 sao cho
ma+nb=0.Nếu m # 0 thì a= = do dé a cùng phương với b Cịn m nếu n # 0 thì B= ha, do đĩ b cùng phương với a Ta cĩ điều phải n chứng minh Vi du 1.5 Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GÃ +GB+8€ =ỗ Giải * Phần thuận đã được chứng minh ở Ví Cc du 1.2 A * Đảo lại, giả sử cĩ điểm I sao cho: IA+IB+lC=0, ta sẽ chứng minh ]I Cc B_ trùng với trọng tâm G của tam giác ARC Thật vậy, ta cĩ ‘ | 1G =I + AG =18 + BG =16 + 0G, nên 31G = IA +IB + IỂ + AG + BG + CG = IA + IB + IC + Ư = Ư
Điều này cĩ nghĩa là I trùng G
Nhận xét: Từ chứng minh trên suy ra, nếu I là điểm bất kì và G
là trọng tâm tam giác ABC thi:
3GÏ = AI+BI+Cl, hay 3ïG = IA + IB + IC,
đây cũng là kết quả cần nhớ, ‘a thường được sử dụng
Ví dụ 1.6
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và
A'EC cĩ trọng tâm tâm trùng nhau là
` AA'+BB'+CC =ư
b) Cho lục giác ABCDEEF Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác
PRT và QSU cĩ trọng tâm trùng nhau
Trang 11Giải
a) Gia su G và G' lần lượt là trong tâm tam giác ABC và A'ÿŒ
Vì Œ` là trọng tâm tam giác A'H'C' nén
3GG' = GA'+ GB'+GC' = GA + AA’ + GB+ BB'+GG+CC'
= AA'+BB'+CC
(GA +GB+GC =0 do Gla trong tam tam giac ABC) Vay
3GG*= AA +BB'+CC
Từ đĩ suy ra rằng diéu kién can va du để hai tam giác ABC và A'BC' cĩ
trọng tâm trùng nhau là AA'+BB`+ CC' =0
b) Để chứng minh hai tam giác PRT và QSU cĩ cùng trọng tâm,
theo câu trên, ta cần chứng minh: PQ + RS + TƯ =0 Thật vậy, ta cĩ:
PQ + RŠ + TỪ = 5 (AC + + Ệ) - 6
Vi du 1.7
Cho tứ giác ABCD Gọi G là điểm sao cho:
GA +GB+GC+GD = 0
Chứng minh rằng G được xác định một cách duy nhất Khi đĩ, G được
gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD Hãy dựng điểm G Giải Lấy một điểm O xác định nào đĩ, ta cĩ: GA + GB+ GC +GD = OA - 0G + 0B -0G + OC -0G + OD - 0G =0A+0B+0C+O0D-40G Do đĩ OG = * (OA +0B+ 06 +0D) Suy ra điểm G được xác định một cách duy nhất Để dựng điểm G H A ta cĩ thể chọn O trùng với D Khi đĩ: DG = (DÃ + DB + DĨ) K:
Suy ra cách dựng như sau:
Gọi H, K là hai điểm sao cho DAHB và DHKC là hai hình bình
hành Từ đĩ, DK =DA + DB + DC Sau cùng, chọn G trên đoạn thẳng
DK sao cho DG = 1/4DK Ta cĩ G là điểm phải dựng
Trang 12Từ hai ví dụ 1.5 và 1.7, ta cĩ thể tổng quát hố để đi đšn khái niệm trong tâm của một hệ hữu hạn điểm như ví dụ sau đây
Ví dụ 1.8
Cho hệ hữu hạn các điểm A¡, A›, A„ Chứng minh rằng cĩ duy
nhất một điểm G sao cho GA) +GA¿ + + GẦn = 0 Điểm G đưec gọi là
trọng tâm của hệ điểm đã cho Chứng minh rằng với mọi điểm E ta đều
cé: KA, + KA, + + KA, =nKG
Giải
Lấy một điểm O xác định nào đĩ, ta cĩ:
6 =GA1+GA;+ GA, = OA: -0G+0A; -G+ 4 04, -06, từ đĩ suy ra O6 =}(OA¡+ƯA; + +OAn)
n
Suy ra điểm G được xác định một cách duy nhất Phần cịn lại
hiển nhiên, khi thay O bằng một điểm K tuỳ ý
Ví dụ 1.9
“ Cho hai điểm A, B và hai số thực a, b sao cho a + b # 0
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm M thoả mãn
aMA + bMB =0 Giải
Biến đổi tương đương hệ thức ở dé bài, ta cĩ
aMA + bMB =0 © aMA + b(MA + AB) = Ũ
©(a+b)MA +bAB=0œ MA = ——AB
a+b
(do giả thiết a + b # 0) Vì A, B cố định và a, b cho trước nên đẳng thức
trên chứng tỏ rằng điểm M được xác định một cách duy nhất
Ví dụ 1.10
Cho đường trịn (O ; R) và hai điểm A, B cố định.Với mỗi tliểm M ta xác định diểm M' sao cho MM' = MA+ MB Chung minh ring khi diém M chay trén (O; R) thi diém M' chạy trên một đường trịn ›ố d:nh
ban kinh R
Trang 13Giai
Gọi [ Ta trang điểm AB thi I cố định và
MA +MB - 2MI
Do đĩ, MM =MA+MB khi và chỉ khi
MM: - 2MI, tức là MAI nhận Ï làm trung
điểm
Gọi O' la điểm đối xứng của O qua điểm I thì O' cố định và MOM'O' là hình bình hành nên OM = ƠM = R Suy ra M' nằm trên
đường trịn cố dinh tam O' bán kính R
BÀI TẬP
1.1 Cho hình bình hành ABCD
a) Tinh dé dai cia vecto u=BD+CA+AB+ DC b) Goi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh:
GA + GC + GD = BD
1.2 Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
CD Chứng tỏ ring: MN = 2(AD +BC) = -IAC+ BD)
1.3 Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi I là trung điểm AC
a) Xác dinh diém M sao cho AB+IM =IC
b) Tính độ dài của vectơ u = BA + BC
1.4 Cho tam giác vuơng cân OAB với OA = OB = a Tính độ dài của:
t2 sy = =i $—
at OA + 2,50B; Vv = LÍ ~ — OB
4 ‘ 4 7
1.5 Goi G 1a trong tam tam giác ABC Hãy biểu thị các vectơ sau đây qua các vectd GA và GB: AB, GC, BC, CA
u
1.6 Cho tam giac déu ABC ndi tiép dudng tron (O)
a) Chứng minh rằng các điểm M, N, P nam trén đường trịn (O)
nếu: OM =OA+OB; ON =OB+OC; OP=OC+OA Khi đĩ, cĩ thể nĩi
Trang 14b) Chứng minh rằng: OM+ON+OP =0, với các điểm M,N,P
như trên
1.7 Để giải bài tốn: Chứng minh rằng AB=CD khi uà chỉ khi
trung điểm của hai đoạn thẳng AD uè BC trùng nhau, một học sinh tiến hành như sau: l
Ta cĩ AB= CD © ABNC là hình bình hành œ trung điểm hai
đường chéo AD uà BC trùng nhu
Em cĩ đồng ý với cách giải đĩ khơng? Nếu khơng, hãy cho biết lí
đo và trình bày cách giải của mình
1.8 Cho tam giac ABC Goi I là điểm thoả mãn điều kiện:
IA+2IB+3IC =0
a) Chứng minh rằng I la trong tam tam giac BCD, trong đĩ D là trung điểm cạnh AC
b) Biểu thị vectơ AI theo hai vecto AB va AC
1.9 Cho tứ giác ABCD Gọi G là điểm sao cho
GA +GB +GC +GC=0
Điểm G như thế tổn tại duy nhất theo Ví dụ 1.7, nĩ được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD Chứng minh:
a) G là trung điểm của các đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
đối của tứ giác; G cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác
b) G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo thành bởi ba đỉnh cịn lại của tứ giác
1.10 Cho tứ giác ABCD Goi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
Trang 151.12 Cho tam giác ABC
a) Ching minh rang với mọi điểm M, các điểm D, E, F trong các
đẳng thức veectơ sau đều là các điểm cố định:
MD = MC + AB; ME = MA + BC; ME= MB+CA b) Chung minh rang MA + MB + MG = MD + ME + MF
§5 TICH VO HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 5.1 Mở rộng tỉ số lượng giác e = Nhae lại, ở lớp 9, nếu œ là gĩc nhọn (0 <a < 90°) ta cĩ: AB OB sina = ——; cosa =—; OA O sina aie cotga = o8 OB AB Ta cĩ thêm các định nghĩa sau: e Néu a= 0° thi: sin0° = 0; cos0° = 1; tg0°= 0; cotg0” khơng xác định e Néua = 90° thi:
sin90°= 1; cos90°= 0; tg90° khéng xac dinh; cotg90° = 0
e - Nếu ơ là gĩc tù hoặc bẹt (909< a < 180°) thi
sina = sin(180° — a); cosa = —cos(180° — a); tga = ~tg(180° — a); cotga = —cotg(180° — a)
Nhu vậy, ta cĩ quy tắc:
Hai gĩc bù nhau cĩ sin bằng nhau, cịn cosin, tang va cotang cia chung đơi nhau
Trang 165.2 Tỉ số lượng giác của một số gĩc cần nhớ Géc | 0° 30° 45° 60° | 90° | 120° 135° 150° 180° im J0| 1 |JZ | j|!|j |v 2 |2 |2 2 |2 |1 |2 |0 _ ⁄3 | 2 | 1 -1 | v2 | -v3 cos 1 oa 2 5 0 3 2 2 a gl “ni =i te |0 | đã 1 lựa | ed 1 V3 0 1 =I ˆ cotg 3 1 3 0 V3 =1 ~ 3 kxd Trong bang trén, kxd la viét tat cha nhém tu kAdng xdc dinh Ví dụ 1.11 Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A= (2sin30° + cos135° - b) B = sin?90° + cos?120° + cos?0° - V2 +3V3 2 Dap so: a) A= 1-
Cho hai vectơ ấ và b đều khác vectơ-khơng Từ một ột điểm O (tuỳ uy y) nao
b) B=
3tg150°)(cos180° — cotg60");
tg’60° + cotg’135°
đĩ ta vẽ các vectd OA = 4 va OB = b
Khi đĩ: Số đo của gĩc AOB được gọi là
số đo gĩc hợp bởi hai uectơ ä uè b, hoặc
đơn giản, là gĩc giữa hai uectd ä uà b, Gĩc gitta hai vecto a va b được kí hiệu
là (a, b)
Trong trường hợp cĩ ít nhất một trong hai vectơ ä và b là vectd-
khơng thì ta cĩ thể xem gĩc giữa hai vectơ đĩ là bao nhiêu cũng được
Néu (4, b) = 90° thì ta nĩi rằng hai vectơ ä và b oương gĩc với nhau, kí
Trang 17Vi du 1.12
Chúng mình răng nếu gĩc giữa hai vectở khác vecto-khơng ä va blá nhọn, hoặc nêu ä by, thì # = Ï << {3 ad +b/]>max(ia b ) B Giai a b a Nếu một tam giác cĩ một gĩc tù hay ` _ x & và ws „ `
ZO — vuơng, thì cạnh dài nhất của nĩ chính là
na cạnh đối diện với gĩc ấy,
ĐƠNG, Vì gĩc OBC là gĩc tù hoặc vuơng nên ta
c6 OC > OB va OC > BC
Mặt khác, a + b = OC nén suy ra điều phải chứng minh 5.4 Tích uơ hướng của hai 0ec†d
5.4.1, Tích 0ơ hướng của hai vectd a và b là một số, kí hiệu là a b, và được xác định bởi cơng thức:
d.b= la |.| b leos(a b)
5.4.2 *Binh phương 0ơ hướng
Với vectơ ä tuỳ ý, tích vơ hướng ä.a được kí hiệu là (ậ)” hay
đơn giản hơn: a? va gọi là bình phương 0ơ hướng của ä
Bình phương vơ hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài
cua vecto do: £7 =| a |.| a |cosd” =| a | 5.4.3, Cong thitc hình chiếu
Cho vectơ ä = AB và đường thẳng (d) Gọi A' và B` là hình chiếu vuơng gĩc của A và B
B trén (d), Khi d6 vecto a‘ = A'B' được gọi là
AH hình chiếu của veetơ ä trên đường thẳng d
Với hai veetơ a và b bất kì ta cĩ cơng thức d hinh chiéu: a.b = a.b', trong đĩ b' là hình
xu B 7 chiếu của vectơ b trên đường thẳng chứa
vectd a
DAI HOC SUOC GIA, m\ RUNG TAM THONG TAM THONG TIN TIN THU
: Lc / ALG
Trang 185.4.A Kết qud quỹ tích cần nhớ
Cho vectơ OB # 0 cố định Khi đĩ, tập hợp những điểm M sao cho OM.OB =k, trong đĩ k là một số khơng đổi là đường thẳng vuơng gĩc với AB tại H, với H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng OB
Kết quả này được phát biểu và chứng minh dưới dạng Bai todn 6
sách giáo khoa (2006)
5.4.5 Các tính chất của tích uơ hướng
Với mọi vectơ a, b, € và mọi số thực k, ta cĩ: 1) Tính chất giao hốn: a.b= ba
ii) — Tính chất kết hợp: (ka).b= k(a.b)
ii) — Tính chất phân phối: a(b+c)=a.b+a.c
Dùng các tính chất của tích vơ hướng, dễ dàng chứng minh các cơng thức sau: (a+by =a +b +206 Tư G+bua-biea <b = |3 P«[B Í1 Ví dụ 1.13 Chung minh rang ba đường cao trong một tam giác giao nhau tại một điểm (trực tâm) A Giai Trudc hét, véi bon diém A, B, C, H bất kì, ta luơn cĩ
HA.BC + HB.CA +H€.AB =0
Ỷ ẻ Thật vậy, với điểm O tuỷ ý, ta
cĩ:
HA.BC + HB.CA + HC.AB =
= (OA -OH)\(OC - OB) + (OB- OH)(OA - OC) +(OC- OH)\(OB- OA)
Dùng tính phân phối của tích vơ hướng để khai triển rồi rút gọn, ta đễ
thấy vế phải bằng 0
Bây giờ, xét tam giác ABC, giả sử hai đường cao kẻ từ A và B cất
nhau tại H Khi đĩ, HA.BC =0 và HR.CA =0 nên từ đảng thức trên ta
suy ra HC.AB =0, nĩi cách khác, CH 1 AB Suy ra điều phải chứng mình,
Trang 19Ví dụ 1.14
` Cho tầm giác VXDC với AD, BE, CPE là ba
trung tuyển Chứng minh
` BC.AD+ CA BE+ ABCE =0
pve Giải
Vị AD, BE, CPE là các trung tuyến nên
A= AB AC ag _ BA + BC CA+CH
2 2 2
do dé BC.AD + CA.BE + AB.CE =
<i a AC „PM + EỂ „1p Ế £CH
Ai
, (BC.AB + BC.AC + CA.BA + CA.BC + AB.CA + AB.CB) =
Vi du 1.15
Cho hai điểm M, N nam trén dudng trịn đường kính AB = 2R roi 11a giao điểm của hai đường thăng AM và BN Tính AM.AI+ BN.BÍ theo R Giải Để ý, hình chiếu của veetơ AB trên đường thắng AI là veetơ AM cơng thức hình chiếu ta cĩ : M AM.AI= ABAI N , do vay theo Tuong tu, BN.BI = BABI B Tu do
AM.AI+BNBI = AB.AI+ BA.BI
= AR(AI+I) = AB.AB = AB? = 4R?
Vi du 1.16
Cho hình bình hanh ABCD Tim tap hop những điểm M sao cho
MA? + MB +MC”+MDˆ=k” š”, với k là một số khơng đổi
Trang 20Giải
Goi O la tâm hình bình hành ABCD ta cĩ:
MA”+MBˆ+ MC”+ MD? = k*
> (MO + OA)? +(MO + OB)? + (MO + OC)? +(MO +00)? =k?
<> IMO'+ OA? + OB! +0C! + OD? + 2MO(OA + OC + OB +9C) =k? 1
1
* Nếu k? > 20A? + 20B?, tập hợp các điểm M là đường tịn tâm
< MO" =—(k* -20A? - 20B?) Tu do:
O ban kinh : Vk? - 20A? -9QB°
* Nếu k=2OA” +32OB”, tập hợp các điểm M chi g6m cuw nhất một điểm O * Nếu k” <2OA” +2OBỶ, tập hợp các điểm M là tập rỗn: Cc Vi du 1.17
Cho hai tam giác vuơng cân ABC
và AH'C”' cùng cân tại đính chung A nhu hình bên Gọi ] và J lần lượt là trung điểm cua hai doan thang BB’ va CC’ Ching minh rang AIL CC’, AJ BB’ va BC’ 1 BC Giai , Ta cĩ -aŠ mg Se ee ALCC'= TAB + AB')(AC'— AC) I —— = 2(ABAC ~ AB.AC + AR.AC'~- AB.AC) i ` (AB.AC.cosBAC'-AB.ACcosB'AC)= 0,
(vi AB = AC , AB’ = AC’ và hai gĩc BAC' và BÁC bằng nhìu) Vậy AI LCC', Chứng minh tương tự ta cĩ AJ L BB Tiép theo, ta cé
BC'B'C = (AC'— AB)(AC - AB)
=ACLAC ~ ACLAB' = ABLAC + AB.AB'
=AC.AC — AB.AB' = AC.AC.cosCAC’ - AB ABLow BAB’
= 0 (vi hai gĩc BAP và CÁC" bù nhau)
Trang 21Vậy BC BC
Vhán xét Các vi du 1.18, 1.16 va 1.17 ở trên cho thấy rằng trong nột số bài tốn về hình học phang, đội khi vận dụng phép tính
vectư sc đản đến việc giải quyết được để đàng hơn, BAL TAP 1/12 Chdng minh các cơng thức: ) sin’x t+cos x= 1; sInx COSX ) Wx = ; Cox =— COSX SINN | ) † +coLg x “ -~5- sin” X cos” xX « 1) —————— — == SINX = COSX } cos x(1 + tgx) sin x(] + cot gx) | COSX sInN 1 ) |tếK# ———— cot gx 4 S se ae \ 1 + sinx 1+ cosx sin xcosx
(trong diéu kién tgx vA cotgx dude xac dinh cho cac cau b, e, d, e)
1.14 "ho tam giác ABC vuơng ở A và gĩc B = 30° Tinh các giá trị của
các biểu thức:
AH
9 cos( AB, BC) + sin(BA.BC) + te! a
3) sin( AB AC) + cos( BC BA)
1.15 Tho hai điểm A, B cố định và một số dương k khơng đổi Tìm quỹ
tích nhĩng điểm M sao cho MA.MB - k
1.16 Tọi G là trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luơn luơn cĩ: MA* + MB? + MC’ = 3MG> + GA* +GB? + GC’,
») Tim tap hdp các điểm M sao cho MA” + MP + MC®= k*, với R
là một số khơng đổi
1.17 3) Cho tứ giác ABCD với hai đường chéo la AC va BD Chung
minh, ring: AB? + CD?-BC? - AD? =2ACBD Tw dé hay suy ra diéu
kién dé hai dudng chéo của tứ giác vuơng gĩc
›) Sử dụng kết quả này, chứng tỏ rằng điều kiện cần và đủ để hai trung; tuyến kẻ từ B và C vuơng gĩc nhau là bỶ+ cŸ
tươngg vng là độ dài ba cạnh đối của các dinh A, B, C)
Trang 22
1.18 Cho tam giác cân ABC đỉnh A và đường cao AH., Gọi D là hình
chiếu của H trên AC và M là trung diém HD Ching minh rang AM { BD 1.19 Ta nĩi điểm M chia đoạn thăng AB theo tỉ số k # 1 nếu
MA =kMB, hay MA ie MB
Theo định nghĩa này, M là trung điểm AB khi và chỉ khi M chia đoạn
thang AB theo tỉ số k = -1 Nếu M chia đoạn thang AB theo tỉ số k Z 1,
chứng minh rằng với mọi điểm O ta cĩ:
OM = OA - kOB 1-k
1.20 Goi G là trong tam cua tt giac ABCD (xem Vi du 1.7) va A’, BY,
C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác:
BCD, ACD, ABD, ABC
a) Ching minh rang cac doan thang AA', BB', CC', DD' dong quy tại G b) Tìm các tỉ số mà điểm G tương ứng chia các đoạn thẳng AA', BB,, CC' c) Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của tứ giác A'BCTD' MỘT SỐ KIÊN THỨC VÀ VÍ DỤ MỞ RỘNG 1 Ví dụ sau đây là một mở rộng hơn nữa của Ví dụ 1.9 Ví dụ 1.18
Cho n bộ (A,,m,), với ¡ = 1, 2, , n, trong đĩ A; là các điểm cịn
m, là những số thực dương Ta nĩi trọng tâm của hệ n bộ (A,,m,) là một điểm T sao cho: _ — TS
m,TA, +m TA, + +m,TA, =0
(Cĩ thể hiểu m, là các trọng lượng đặt vào vị trí A; Khi n = 3 và
mị =m¿ =m¿;-=Ì, ta gặp lại khái niệm trọng tâm của một tam giác)
Chứng minh rằng với mọi n bộ như đã nĩi trên, trọng tâm luơn luơn tồn tại và duy nhất
Trang 23Giai
Chĩn O là điểm cĩ định trong mặt phang, dé thay: mì PA, ting TA, + 4 m, I Âu 0
;ờ mịt 1O4 OA)) tmạ( 1Os OAs) +¿„#m„Í TO+OA,) =0
22 (Mm, +My + 4 m,,) LO \ mOA, + m OA, +m, OA, =0
myOA, + m;OA› fos m, OA, m, +m› + +:H t? Q Ũ " Nhu the, T ton tai và duy nhất 2 Cơng thức rút gọn một tống vectơ
Cho hai điểm A, B và hai số thuc a, bsaochoatb # 0
Theo Ví dụ 1.9, điểm M được xác định một cách duy nhất theo hệ
thức MA=— T AB <+aMA + bMI <0, Đặc biệt, khia =b=1,M là
a+
trung diém AB
Từ kết quả này, với các giả thiết như trên, suy ra: với mọi điểm N Chúng mình
aNA +bNB =aNM +aMA +bNM +bMB
=(a+ b)NM +aMA + bMB = (a+ b)NM :
3 — Nhận xét
Cơng thức trên được gọi là cơng thức rút gọn cho một tổng hai
0ecfơ Một cách tương tự, bạn đọc cĩ thể chứng mình được kết quả mở
rộng cho ba vectơ như sau: Cho ba diém A, B, € và ba số thực a, b, e sao
cho a+b+c z 0 Khi đĩ, tồn tại duy nhất một điểm M thoả mãn
aMA + bMB + eMC =0, và nếu gọi N là điểm tuỳ ý, ta luơn cĩ aNA +bNB + eNC - (a+b+ c)NM
-~ bAB+cAC
(Điểm M được xác định duy nhất từ hệ thức AM=—
a+b+c .) Trong
trường hop a = b =c = 1, M trang với G, trọng tâm tam giác ABC, hệ
thức trên trở thành NA + NB+NC = 3NG, với mọi điểm M, đây là cơng thức quen thuộc
Ví dụ 1.19
Cho ABCD là hình bình hành Hãy xác định số thực m và một điểm M cố định sao cho mỗi hệ thức sau đây được thoả mãn với mọi điểm N:
Trang 24a) NÀ + 9NB - mNM; b) 2NA +NB- NC = mNM, Giai a) Goi M là điểm cố định xác định một cách duy nhất thec hệ — —2 — + sien lê ‘ thức MA = T35 AB «+ MA + 2MB =0 Sử dụng cơng thức rút gọn tt cĩ +
NA + 2NB= (1 +2)NM =3NM Vậy ta chọn M như đã nĩi và chọn mì = 3
b) Tương tự, chọn M là điểm cố định thoả mãn
2MA +1.MB +(~1).MC = 0,
và chọn m = 2, vì ta cĩ 2NA +NB-NC= (2+1~ DNM =2NM 4 Tâm tỉ cự của một hệ hữu hạn điểm
Trong nhận xét 3 ở trên, điểm M thường được gọi là (âm f cự :ùa
hệ ba điểm A, B, C ứng với các số a, b, e
Tổng quát, xét một hệ n điểm Aj, Ay, , A, va n sơ thực ay, a9, , a, thoả mãn điều kiện ap+a;s+ + aạ #0 Khi đĩ, tổn tại
duy nhất một điểm M thoả man:
aMAI+a;MA¿s+ +aạMA„, =0,
và M được gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm A\, A›, , A„ ứng với cá: số
ai, 82, , An
Nếu gọi N là điểm tuỳ ý, ta luơn cĩ:
AariNAt+aNA¿ + +anNAna =(A¡+a¿ + +an)NM Chứng mình Ta cĩ
a,MA, +a)MA, + +a,MA, =0
<> -a,A\M +a7(A,A, —A,M)+ +a,(AjA, — AM) =0
= AM _32AIA¿ +A3AIAi + tan AIAn (a, tay + +4,)
Như vậy, M được xác định một cách duy nhất
Goi N là điểm tuỳ ý, ta cĩ a, NA, +a,NA) + 4+4a, NA,
= a,(NM + MA,)+a9(NM +MAj)+ +4a,(NM+ MA, )
=(a,; +a, + +a„)NM
Trang 255 Nhận xét
Đáy chính là khái niệm ong 0m cưa " bộ như đã nĩi ở Ví dụ
1.18 Trong trường hợp ai= ay-— day =l, tâm tr cự chính là trọng tâm
của mọt hệ hữu hạn n điểm như đã nĩi ở Ví dụ 1.8 Trong chứng mình ở
Ví dụ 1.18, ta đã chọn một điểm Ư cĩ định tuỷ ý làm điểm gốc để từ đĩ xác định được TỶ cịn trong chứng mình ở 1.1, ta đã chọn điểm cố định đĩ chính là điểm cĩ sản Ai, nhằm xác định được điểm M, Thực chất, hai chúng mình chỉ khác nhau về hình thức Ngồi ra, đrọng tam của n bộ và
tâm tr cứ chỉ là hai cách định dành khác nhaấu của cùng một khái niệm
6 Mở rộng Ví dụ 1.1
Cho hai tap hop A va B Ta nĩi một ánh xạ f từ A đến B là một
phéi› cho tương ứng một phần tử của A với duy nhất một phần tử của H
Như vậy, một hàm: số chính là một ánh xạ, nhưng A và B là các tập hợp
số Trong trường hợp mọi phán tu cua B đều cĩ tương ứng và chỉ cĩ tương ứng với duy nhất một phần tử của B, ta nĩi đĩ là một song anh
Cĩ thê hình dụng ba song ánh như sau:
Dễ thấy rằng dối với hai tập hợp {A, B, } và {D, E, F), chỉ cĩ ba
song ánh như trên Bây giờ, xem lại Ví dụ 1.1 (trang 7 - và cách giải khác ở đầu trang 9)
Cho 6 diém A, B, C, D, E, F (Vi du 1.1) Ta cĩ:
AD + BE +CF = AE+BF+CD =AF+BD+ CE
Trang 26Ví dụ 1.20
Cho tập A gồm n điểm Ab A¿, An, một tập B cùng gdm n
điểm Bị, Bạ, , Bạ Với song ánh f từ A đến B, ta đặt
B; = f(A,), i= 1, 2, n
Chitng minh rằng tổng vectơ A,B, + A,B) + + A,B, khơng phụ thuộc vào song ánh f
Gidi
Chon diém O cé định nào đĩ, ta cĩ: A,B, + A,B, + +A,B,
‘ = (OB, + OB) + + OB, )- (OA, +OA3 + +OA,)
Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh
7 — Nhận xét
Chú ý rằng nếu tập A trùng với tập B, nĩi cách khác, n diểm B,, Bg, ,B, là một hốn vị (thay đổi thứ tự) của n điểm — Ái, Á¿, An, thì từ Ví dụ 1.20 ta cĩ kết quả:
AiBi +AsBạ + + AnBạ =0
Thật vậy, Ví dụ 1.20 nĩi rằng A¡Bị + A;B¿ + + AaB„ khơng phụ thuộc
vào song ánh f, nên nếu ta chọn song ánh f là song ánh đặc biệt, đĩ là
song ánh đồng nhất, biến Bị¡ thành chính A;¡, thì
A,B, + AgBy + + A,B, =A A, + AgAg + + AyAy =O
Nhận xét này giúp ta hiểu thêm bản chất của các hệ thức sau đây, mà ta
thường kiểm tra trực tiếp một cách dễ dàng:
AB+ BC + CA =0,
AD + BC + CÁ + DE =0,
AE + BE + CA + DB + EC + FD =0,
8 Một số hệ thức vectơ liên hệ đến các điểm đặc biệt trong tam giác
Các điểm đặc biệt thường gặp trong một tam giác là trực tâm,
trọng tâm, tâm đường trịn nội, ngoại tiếp Trong phần trước, chúng ta
cĩ hai hệ thức đáng nhớ liên quan đến trọng tâm của một tam giác ABC, đĩ là GA+GB+GC =0, (1) 30G = OA+0B+0C (2)
Cho G 1a trong tam,H 1a truc tam, I va O là tâm đường trịn
Trang 27tiếp: a, b, e lần lượt là độ dài bà cạnh đổi của các định A,
mụ mị mụ là độ dài bà trừng tuyến tuong ung Khi ấy ta cĩ: a1A +bll + cÍC =0 (a+b + COP aO\ + bOB + COC (a+b+c)Hl =allA + bHB+ cHC m,.MA+m,.MB+m,MC > 7 (m2 + mã +m?) a b € a: t c `) (3) (A) (5) (6) 20A.0B = 2R? —c?, 20A.0C = 2R? —b*, 20B.0C = 2R? -a? (7) Chứng mình Chứng minh (3) Theo tính chất đường phan giác ta cĩ: DB © su BẾ=_E Bể, DC b b Suy ra IB-ID = DB = = ĐC = oni -ID) hay bIB+cIC =(b+c)ID (8) DB co DB e A Do ——=— nén — = Se DC b DC+DB b+c hay DB=- “-, Vì BI là phân giác của gĩc btc
B nên lại áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ADB ta cĩ ac Bế D CC = See a ID _BD bạc a- VỤ À4 lIA BA E b+c ID= —IA b+c * Thay (9) vào (8) ta đi đến bIB+clC =(b+c)ID = -alA, hay alA +b[B+clC =0.~ Chứng mình (4) Theo (3) ta cĩ
(a+b+c)OI =a(OA — IA) + b(OB- IB) +c(OC — IC)
=aOA + bOB+cOC - (alA + bIB+¢IC) = aOA + bOB +cOC
Chitng minh (5) Theo (3) ta cé
(a+b+c)HI = aHA —alA + bHB-bIB+cHC—cIC
=aHA + bHB+cHC —(alA + bIB+cIC) = aHA + bHB +cHC
Trang 28Chứng mình (6) Vi véi moi géc x, ta cé —1<cosx <1 nén
GAMA > GAMA = GA(MG +GA)=GA.MG +GA?
= GA.MA >GA.MG +GA` Tương tự GB.MB >GB.MG +GBỶ, GC.MC >GC.MG +GC, sùy ra GA.MA +GB.MB+GC.MC > MG(GA +GB+ GC}+ GA? +GB?+GC, § 2 2 2 3 z Đề ý QA si tgs GE em, GC my, két hop vdi (), lit đẳng thức trên trở thành 2 ae ? 3 =(m,.MA +m,.MB+m,.MC) 2 MG0+ 2 (mỆ +ln+ mà ) 3ˆ 5 9ˆ <> m,-MA+m,.MB+m,.MC 2 3(m +mỹ + mệ) Chứng mình (7) Ta cĩ 20A.0B =OA” +OB” ~(OA -OB)? =2R?~ AB” =2R?-c} Tương tự,
Trang 29Vi du 1.22 (Balkan, Šennior, 1
Cho tam giác ABC c6 O la tam đường trịn ngồi tiếp, Gĩi D là trung điểm AB, E là trong tam tam giac ACD Chung minh rang OF vudng goo CD neu va chi néu AB = AC Giat Caeh 1 Dat OA =a) OB b, OC 6 Suy ra AO = vết, gố= <ế+ `8, 3 J4 voi Pla trung điểm AD Tu do, , Z3 | l,.đ 1, OE =—| Tả+—bl+>c=~d+-b+ce 3\4 4 ì 3 6 3 Ta là cĩ CŨ = OD - ĨC = sả tob~c Do do, OF L CD néu va chi néu (a + 2€).(3a + b + 26) = 0
Khai trién va dé y ä° =b =¿”, tạ được ấ(b €) =0, đẳng thức
này xìy ra nếu và chỉ nếu OA L BC Suy ra điều phải chứng mình Cách 2 Gọi K, L, M lần lượt là trung điểm CD, AC và BC Giả sử AM _ cat CD tai G G la trong tam nên À GD = CD/3 K 1a trung diém CD \ nén KG = CD/6 va KG/DG =
1/2: Vì E là trọng tâm tam giác
# ACD nên KE/AE = 1/2 Từ đĩ,
¿ GB//AD Mà OD L AD, do đĩ
„7 OD L GE, Nĩi cách khác, G nằm
trên đường cao kẻ từ E của tam
giác ODE
# Nếu AB = AC thi O phai thuéc AM Do dé GO 1 BC, hay GO | D Noi cach khác, G nằm trên đường cao kẻ từ O của tam giác ODE
Vậy ở là trục tâm tam giác ODE, suy ra OF 1 CD
* Dao lai, gid sw OE L CD (hay OE L DG), thì GŒ nằm trên đường cao kẻ từ ) của tam giác ODBE Suy ra G là trực tâm của tam giác
Trang 30ODE, do do OG 1 DE (hay DL) va nhu vay OG | BC Ma OM cùng
vuơng gĩc BC (đo O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC), nén G
nằm trên OM Nĩi cách khác, O, G, M thắng hàng Ta lai co A, G, M
thăng hàng, nên A nam trên OM Điều này cĩ nghĩa A nằm trên trung trực của BC, tức là AB = AC Ví dụ 1.23 Cho điểm M tuỳ ý nằm bên trong tam giác ABC Đặt S, = dt(MBC),S, =dt(MCA).S; = dt(MAB) Chung minh rang S,.MA+S).MB+S;.MC =0 Giải \ c— — ÁAIC -
Gọi Ai =(AM)¬(BC), suy ra MAI = E MB+ AB Mc BC
_ A,C _ dt(MA,C) dt(MAC)_ Ss, AC S> Ta c6: —— = ———-_ = —- _- = -=, suy ra = A,B dt(MA,B) dị(MAB) Sỹ BC $+; Tương tự ta cĩ: ie = Hh , do do BC S, +8; S 3_ MC () MA,B dt(MA,C Mặt khác: MẠI _ a (MA,B) = dt(MAj¢ ) = MA dt(MAB) — dt(MAC) — d(MA¡B)+dt(MAIC) — Sị — d(MAB)+dt(MAC) S;+S; = MAI =-——"!—.MA S, +8; (3) Từ (1) và (2) suy ra: ~ĐĂ.MA = S;.MB+S;.MC âS,MA+S,MB+S,M = Vớ dụ 1.24
Cho ba số thực ø./.y >0 Chúng minh rằng với mọi điểm J
thỏa man a.JA + BIB +y.JIC = 0 ta luơn cĩ
wy? = MA +8 MBÌ +yMC” _ aØ.ABƠ + đyBC” +/aCA'
at+pty (x+Ø+y}
Trang 31Giai (z+/+y)MI + JA 32/183 yIC Ta cĩ MI a+ fis _ a(MI+JA)+ (MI IB)+ (MI + IC) Md = at+fi+y MA+ BMB+>\ : RAT EMD Quế + vĐđB 4z ÐC, a+pry ứ 8 Với X va x+y+z= 1 we pay - Ly d cty
Từ đĩ, MỈ ={xMA+ yMB+zM( Ỷ =xÌMA” +y MB? +zMCỶ +
+ xy MA.MB + 2y7.MB.MC + 2x7.MCMA
Ta lại cé: 2.MA.MB = MA? + MB? -(MA MB) = MA? + MB? — AB? 3.,MB.MC =MBR” + MC” - BC”,
2.MC.MA =MA*+MC?-AC? Do vay,
MJ? = x°MA? + y?MB? +2°MC? + xy(MA? + MB? ~AB")+
ty2(MB* +MC? BC? } : xz(MA? +MC? ~ AC’)
= x?MA2 + y2MB? +2?MC? -| xy.AB? +4 yz.BC? + x2.AC? | L
_ aMA? + BMB? +yMC? af AB? + ByBC? +ayCA>
ư++y (a+ Bry) ,
Vi du 1.25 (Balkan, Sennior, 196 - ear bien!
Trang 32và các
Suy ra 9OG? =äˆ+b ˆ+ẻ? +2(äb + bẻ + cả)
Taco: a? =b? = =R?,
2ab = 2R7 cos2C = 2R? - AB? = 2R7 =?
hệ thức tương tu: 2bé = 2R? —a", 264 = 2R? -b* Tu do, 90G? = 9RẺ - (a? + bỀ + c) Ta lại cĩ (a” + bỂ + cŸ) > 3¥a2b2c? (bat đẳng thức Cauch; ch: ba số) Do đĩ R? - OG2 > sa bộc” =] 1.1 1.2 Tương tự như trên, ta cĩ 1.3 1.4 32 LOI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN BÀI TẬP CHUONG 1
a) u=BD+CA+AB+DC AB+BD+DC+CA = AC+ CA =)
Vậy độ dài của vectơ u bằng 0
b) Vì Già trọng tâm tam giác ABC nên ` GA +GB+GC =0 Do đĩ : GA + GC + GD = GA + GC + GB + BD = BD Ta cĩ: MN = MA+AD+DN, A _MN =MB+ BC+ CN _ Do MA+MB=0 va DN+CN =0, nén MN =+(AD +B), MN =+(AC + BD)
a) AB+IM =IC @ AB=IC -IM=MC Vậy M là đỉnh của hình bình hành ABCM
b) Theo quy tắc hình bình hành ta cĩ u= BM
Vay /u /= BM = 2BI = a3
HD: Dang dinh li Py-ta-go Đáp số:
V541
s31 <=<ä cong
Trang 33i | ——¬ 3 ` 16063
pep | gg Age Bg 4 7 28
15 HD: AB=-GA+GBH;:GC= GA GB;
BC =~GA -2GB; CA = 20A + GB
1.6 a) Ta cĩ OM=OA +OB nên OAMB là hình thoi Suy ra AOM là tam giác cân tại Á, ngồi ra, AB là trung trực của OM Từ đĩ, AOM là
tam giác đều, suy ra OM = OA Vay M phải năm trên đường tron (QO)
Tương tự như thế cho N va P
Do tam giác ABC đều nên CĨ là trung trực AB Suy ra M là điểm
đối tâm của C Tương tự, N, P tương ứng là điểm đối tâm của A và B
b) Ta c6 OA +OB+ OC = OA+ON = 0 Suy ra OM+ON+ OP =-(OA +OB+0C )=Ũ
1/7 Cách giải của học sinh đĩ khơng đúng, lí do: AB=CD khơng
tương đương với ABDC là hình bình hành Nếu AB =CD và bốn diém A, B, C, D thang hang thi lap luận trên khơng áp dụng được Ta cĩ thể giải bài tốn như sau:
Gọi I và I' lần lượt là trung điểm của AD và BC, tức là: AI=lD va CI'=I'B Ta c6 AB=CD @ AI+ll'+l'B<Cl'+I'Ï+IÐ = I'= II = Itring vii I’ 1.8 a) Ta cĩ: IB +14 1D = 18+ 1G + 4A + IC) = 1z (IA + 21B + 31C) =0 2
Vậy Ilà trọng tâm tam m giác BCD
b) TA +2IB +3IC =0 <3 IA + 2A + AB) +30A + AC) = 0
© 6IA + 2AB+4 3AC =0
vạy: Ạ = Ì AB + ÌA€
3 2
1.9 a) Gọi M,N là trung điểm hai cạnh đối nào đĩ (AB và CD chẳng hạn) và G là trọng tâm tứ giác ABCD, ta cé:
0= GA+GB+GC+GD = 2 GM+GN),
suy ra GŒ là trung điểm của MN Chứng minh tương tự ta cĩ G là trung
điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối AC và BD; hoặc của
đoạn thắng nối hai đường chéo AD và BC
Trang 34b) Ta chọn một đỉnh nào đĩ của tứ giác ABCĐ, A chăng hạn, và goi G, 1a trong tâm tam giác BGD tạo thành bởi bà đỉnh cịn lại của tứ giác Ta phải chứng minh rằng trọng tâm G của tứ giác nằm trên doan thang AG, That vay, vì Œ là trọng tâm tứ giác ABCD nên:
GA +GB+GC+GD = 0 (*)
Do G, là trọng tâm tam giác BCD nên GB+GC + GD = 3GG, Nhu vay từ (*) suy ra GA+3GG„ =0 Vay hai vecto GA va GG, cùng phương,
đo đĩ G nằm trên đoạn thẳng AG, 1.10 Ta cĩ MN = 2(AD + BC) 1.11 Theo tính chất đường phân giác của tam giác MOI ta cĩ IN _10 4 NM OM R- Suy ra ee 2 a i, Vi hai vecto IN va IM cùng IN+NM d+R IM d+R hướng nên đẳng thức trên cĩ nghĩa là: IN= wall IM, d+R
1.12, a) TY MD=MC+ AB ta cĩ MŨ - MC = AB ‹›CD - AB Như vậy,
D khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm 3
M và là đỉnh thứ tư của hình bình
hành ABDC Tương tự,
ME - MA=BC +AE=BC nên E là
đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCE Sau cùng ME-MB=CA <>
BE=CA nên F là dỉnh thứ tư của hình bình hành ACBE
Vì A,B,C cố định nên D, E F cố định
Trang 35
1.13 1.14 Đáp số: a) b) Theo giả thiết ta cĩ: MS ME MÊ =MC¿ MA MB AR+BC + CA = MA:MHD - MC
a) Nếu x là gĩc nhọn AOl (tam giác AOB vuơng tại O) thì
củ , — ABP OB ABP + OB? | OA?
SINH X + cos"x = —=> + == = = SS
OA> OAD GA“ ĐA“
Néu x = 0" hoae x = 90” thì theo định nghĩa ta cĩ
sim 0” + eos00=0+ 1= 1,sin 90+ cos900=1+0= 1 Nếu x là gĩc từ 90” đến 1580 thì đặt y = 180” - x ta cĩ: sin’x + cos’x = sin’y + (cos vy)’ = sin’y + cos*y = 1 1 b) và e) Chứng minh tương tự như trên 9 9 SIN“X €OS” X d) — —= cosxXx(] + tgx) sim XI + cot gx) c9 ) _ sin” xX cos” x sinx COSN— €osXx(] + ) sinx(l + ) cosx SINX 3 ¡n3 5
— €OS”X _ sin” x —cos” x sinx + cosx sin x + cosx (sin x — cosx)(sin x + cos x) ; = sInx-cosx sin x + cosx cosx + cos” x + sin? sin x(1 { cos x) ‘ 2 2 sin xX + sin” x +cos” X | cos x(1 + sin x) SX) 1 + sinx)Œ +c sin xcosx(1 + sinx)(1-+cosx) sinxeosx 1-3V3 | 2+3 2 2 >
1.15 Gọi Ï là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA=-IB
Ta cĩ MA.MB =(MI+ 1A)(MI+ 1B) =
9 9
=(MI+ IA)(MI-IA)= MI -IA =MÙÊ -1A?
Trang 362
Vì MA.MB = k khơng đổi (k > 0) nên MIề-IA?=k hay MI= VA” k Vậy quỹ tích M là đường trịn tam I, ban kinh R= VIA? +k 1.16 a) Ta cĩ MA? + MB? + MC? = (MG + GA)? +(MG + GB)? +(MG + GC? = 3MG? + GA? + GB? + GC’? + 2MG(GA+GB+GC) = 3MG? + GA? + GB? + GC°, b) MA? + MB?+ MC? = k? © 3MG?+GA?+GB?+GCŒ? =k? <= MG? =k? ~GA?-GB? -GC?) Từ đĩ: * Nếu k?> GA?+ GB? + GC? thi tap hdp M là đường trịn ârn G k? -GA? - GB? - GC? So * Néu k? = GA?+ GB? + GC? thi tap hợp các điểm M gồm cỉ một điểm G * Nếu k?< GA?+ GB? +GC, tập hợp các điểm M là tập rỗng 1.17 a) Ta cĩ
AB? +CD2 ~ BC? - AD2 = AB” ~BC +CD” - ADˆ=
=(AB + BC)(AB - BC) + (CD + AD)(CD - AD)
= AC(AB-BC)+(CD+AD)CA = AC(AB-BC -CD-AD = AC(AB- AD - BC - CD) = AC(DB - BD)= 2 AC.DB
ban kinh ,
Từ đĩ suy ra rằng tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc khizà chỉ
khi tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau
b) Gọi BM và CN là hai trung tuyến của AABC Vì MN là lường
trung bình của AABC nên MN = 5 B
Theo kết quả câu trên, điều N i
kiện cần và đủ để tứ giác BCMN cĩ \ hai đường chéo vuơng gĩc là:
Trang 372 2
MN® + BC? = MC? + BN® es" [ vat i et
> Ba? = be te
1.18, Theo giả thiết, ta cĩ AM = AH+AD Từ đĩ: 2AM.BD= (AH + AD)(BC+CD)
=AH.CD +AD.BC + AD.CD (vi AH BC = 0)
= AIl.CD +AD 2HC + AD.CD
= AD.CD +AD.2DC+AD.CD ( cơng thức hình chiếu) =2AD (CD +DC) = 0 Vậy AM | BD 1.19 Từ MA =kMB tacé OA~ OM = k(OB — OM), suy ra OA -kOB OA -kOB = OM-kOM @ OM = 1.20 a) Vì G là trọng tâm của tứ giác ABCD nên: GA+GB+GC+GD = 0 a)
Mặt khác A' là trọng tâm của tam giác BCD nên
GA'= 5 (B+ GC+GD) hay GB+ GC+GD =3GA’
5 Thay vào (1) ta cĩ: GA+ 3GA' = 0 hay A — ~ GA =-3GA' 2 N ; (2) 3S nghĩa là A, A', G thăng hàng Chứng RQ minh tương tự, ta cũng cĩ B, B', G thẳng
D c hang ; C, C', G thang hang; D, D', G
thang hang Vay G la diém chung
của bốn đoạn AA', BB', Cơ, DD'
Trang 38Chuong 2
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
VA TRONG DUGNG TRON
Về mặt căn bản, chương này trình bay những hệ thức quan
trọng trong tam giác và trong đường trịn Những kiến thức sau
đây được chứng minh chủ yếu dựa vào các kiến thức đã cĩ về
vectơ: ,
— Định lí cosin, định lí sin
— Cơng thức trung tuyến, các cơng thức tính diện tích tam giác ~ Phương tích củamột điểm đối với một đường trịn, trục đẳng
phương của hai đường trịn
All,
KIÊN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BAN §1 _ ĐỊNH LÍ SIN VÀ ĐỊNH LÍ COSIN TRONG TAM GIÁC
1.1 _ Nhắc lại các hệ thức trong tam giác uuơng A a+b? =? t b=va'; c=vaec" c : h? =c'b’ h.a =b.c L] Ề TNN Nue do Cu Gì An kg GUẾP H ee —-=——+— L1 1 a hˆ bỉ cỄ Ví dụ 2.1
Gấp tờ giấy hình chữ nhật lại dọc theo một đường chéo của nĩ Cắt bỏ đi hai phần (tam giác) thị ra rồi mở tờ giấy ra Bây giờ, ta được
một hình thoi Ta lại gấp hình thoi dọc theo đường nối trung điểm hai cạnh đối Tiếp theo, lại cắt bỏ hai phần (tam giác) nhơ ra Sau tiến trình
như thế, giả sử rằng khi mở tờ giấy ra ta cĩ được một lục giác đều, thế thì hình chữ nhật ban đầu phải cĩ kích thước tỉ lệ ra sao?
Trang 39Giai Xét hình chủ nhat ABCD, D E, AB = a, AD = b, goi x la canh hinh thoi Tu tam giac vuong ADF, ta co b ⁄ " | x’ = b + ta - x), | , suy ra LZ FY | % 2 a a 8 ‘ 2a `
Gia su khi gap hinh thoi doc
theo đường nĩi trung điểm hai cạnh D E é
đối và cát bỏ như đẻ bài, ta nhận | tu / ⁄
được lục giác đều / / ¬ b| / ABEC'D'F — iA |/ / / Ta cé CEB'=120°, do dé, tif Nf tam giác vuơng ADB, ta cĩ R a # AED = 60°, suy ra b_ 23 —=sin60° > x=——b (2) x 3 ¬¬ 23, wtb ¬ 5 Từ (1) và (2) ta được Su = SA Từ phương trình này ta cĩ 3 2a 4= v3b
Ngược lại, giả sử kích thước hình chữ nhật ban đầu thỏa mãn a= V3b, dễ dàng chứng minh được lục giác nhận được sau cùng là lục
giác đều
Ví dụ 2.2
Xét một tam giác cân mà độ đài ba đường cao của nĩ là ba cạnh của một tam giác Gĩc ở đỉnh của tam giác cân này biến thiên trong
khoảng nao? :
Giải
Giả sử tam giác cân cĩ cạnh bên b = 1, gọi gĩc ở đỉnh là 2x (với 0° < 2x < 180”) Suy ra gĩc đáy là 90)~ x, chiều đài cạnh đáy là
a = 2sinx
Trang 40Đường cao ứng canh day la: m, = beosx = cosx, mỗi đường cao ứng cạnh bên bằng
cạnh của một tam giác nếu và chỉ
nêu mạ < 2my, hay cosx < 4sinxcosx, hay sinx >t (do cosx > 0)