Xác định m để các đường thẳng MN và BD’.. song song với nhau..[r]
(1)Giải tập SBT Hình học 11 nâng cao chương 3 Câu trang 113 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho MA→=−2MB→,ND→=−2NC→ Các điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho
IA→=kID→,JM→=kJN→,KB→=kKC→ Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng.
Trả lời:
Cách
Ta có:
IJ→= IA→+
AM→+MJ→(1)
IJ→=ID→+DN→+
NJ→(2)
Từ (1), (3) ta có:
(1−k)IJ→=−AM→−kDN→
hayIJ→=1/1−k.AM→−k/1−kDN→
Chứng minh tương tự trên, ta có:
JK→=1/1−kMB→−k/1−kNC→
Mặt khác MA→=−2MB→,ND→=−2NC→
nên IJ→=2/1−kMB→−2k/1−k.NC→
Từ đó, ta có IJ→=2IK→
Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng
Cách
Vì MA→=−2MB→
nên với điểm O OM→=OA→+2OB→/3
Tương tự
(2)OK→=OB→−kOC→/1−k;OJ→=OM→−kON→/1−k.
Từ đó, ta có:
Mặt khác
1/3+2/3=1
Vậy điểm I, J, K thẳng hàng
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; điểm M, N thuộc đường thẳng CA DC’ cho MC→−mMA→,ND→=mNC′→ Xác định m để đường thẳng MN BD’
song song với Khi ấy, tính MN biết ˆABC=ˆABB′=ˆCBB′=600 BA = a, BB’ =
b, BC = c
Trả lời:
Xác định m:
Đặt
BA→=a→,BB→=b →,BC→=c→ BD
′→=a→+b→+c→.
Do
MC→=mMAM→ n
ên
BM→=BC→−mBA
1→/
−m=c→−ma→/1−
m
Tương tự, ta có:
BN→=BD→−mBC′→/1−m=a→+c→−m(b→+c→)/1−m
=1/1−m.a→−m/1−m.b→+c→.
(3)MN→=BN→−BM
=1+m/1−ma→−m/1−mb→−m/1−mc→.
Do AC, BD’ chéo DC’, BD’ chéo nên
MN//BD′ MN⇔ →=kBD′→⇔
MN→=ka→+kb→+kc→
Mặt khác a→,b→,c→ không đồng phẳng nên điều xảy khi:
⇒1+m=−m m=−1/2⇔
Từ đó, ta có k=1/3
Vậy m=−1/2 MN // BD’
Tính MN:
Khi MN→=1/3(a→+b→+c→)
do
MN2→
hay
MN2=1/9(a2
+b2+c2+ab+ac+bc)
tức MN=1/3
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ Gọi I J trung điểm BB’ A’C’ Điểm K thuộc B’C’ cho KC′→=−2KB′→ Chứng minh bốn điểm A, I, J, K
cùng thuộc mặt phẳng
(4)Đặt AA ′→=a→,AB→=b→,AC→=c →
Ta có:
AI→=1/2(AB→+AB′→)
=1/2(b→+a→+b→)
=1/2(a→+2b→);(1)
AJ→=1/2(AA′+−−→AC
′)
=1/2(a→+a→+c→)
=1/2(2a→+c→).(2)
AK→=AC′→+2AB′/3
=a→+c→+2(a→+b→)/3
=3a→+2b→+c→/3.(3)
Từ (1), (2), (3) ta có AK→=2/3(AI→+AJ→)
Vậy KAI→,AJ→,AK→ đồng phẳng, tức điểm A, I, J, K thuộc mặt
phẳng
Chú ý: Có thể chứng minh điểm A, I, J, K thuộc mặt phẳng cách chứng minh AI JK cắt điểm M
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng (P) khơng qua S, cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD điểm A1,B1,C1,D1 Dùng phương pháp vectơ, chứng minh
SA/SA1+SC/SC1
=SB/SB1+SD/S
D1
(5)Vì ABCD hình bình hành nên
SA→+SC→=SB→+SD→
hay SD→=SA→+SC→−SB→
Đặt
SA→=aSA
1→,SB→=bSB1→
SC→=cSC
1→,SD→=dSD1→
(với a, b, c, d số lớn 1)
Khi đó:
SA/SA1+SC/SC1=a+c
SB/SB1+SD/SD1=b+d
và
SD1→=1/d.SD→=1/d(SA→+SC→−SB→)
=1/d(aSA1→+cSC1→−bSB1→)
=a/d.SA1→+c/d.SC1−b/d.→SB1→
Mặt khác điểm A1,B1,C1,D1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức suy
a/d+c/d−b/d=1
tức a + c = b + d
Như SA/SA1+SC/SC1=SB/SB1+SD/SD1
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh m, góc A 600
(ˆBAD=ˆA′AB=ˆA′AD=600)(BAD^=A′AB^=A′AD^=600) Gọi P Q điểm
xác định AP→=D′A→,C′Q→=DC'→ Chứng minh đường thẳng PQ qua trung
điểm cạnh BB’ Tính độ dài đoạn thẳng PQ
(6)Đặt AA ′→=a→,AB→=b→,AD→=
c→
a→.b→=b→.c→=c→.a→=
1/2m2
và a2→=b2→=c2→=m2
Gọi M trung điểm BB’
MP→=MB→+BA→+AP →
Do AP→=D
′A→=−a→−c→.
nên
MP→=−a→/2−b→−a→−
c→
=−3/2a→−b→−c→
Mặt khác
MQ→=MB′→+B′C′→+C′Q→
=MB′→+B′C′→+DC′→
=3/2a→+b→+c→
Như MP→=MQ→, tức ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ qua
trung điểm cạnh BB’
Ta có:
(7)Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi D1,D2,D3 điểm đối xứng điểm D’
qua A, B’, C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D1D2D3D′
Trả lời:
Cách
Đặt AA ′→=a→,AB→
=b→,AD→=
c→
Từ giả thiết, ta có
BD ′→+BD
1→=2
BA→=−2b→
mà BD ′→=a→−b→+
c→
Vậy BD1→=−a→
−b→−c.→
Lập luận tương tự trên, ta có BD2→=a→+b→−c→
và BD3→=−a→+b→+c→
Vậy BD1→+BD2→+BD3→+BD′→=0→
Điều chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D1D2D3D′
Cách
Gọi I giao điểm BD’ mp(AB’C) D’I = 2IB
Gọi J giao điểm BD’ với mp (D1D2D3), D1, D2, D3 điểm đối xứng
D’ qua A, B’, C nên IJ = ID’ hay D′B=3/4D′J
Mặt khác I trọng tâm tam giác AB’C nên J trọng tâm tam giác D1D2D3 Từ B
trọng tâm tứ diện D1D2D3D′
(8)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N điểm thuộc AD’ DB cho MA→=kMD′→,ND→=kNB→(k≠0,k≠1)
a) Chứng minh MN song song với mp (A’BC)
b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C, chứng tỏ MN vng góc với AD’ DB
Trả lời:
a) Đặt AA
′→=a→,AB→=b→,AD→=
c→.
Khi đó, ta có:
a→.b→=b→.c→=c→.a→=0
và a2→=b2→=c2→.
Vì MA→=kMD′→ nên
MA→=k(MA→+AD′→).
Vậy AM→=k/k−1(a→+c→).
Tương tự trên, ta có:
AN→=AD→−kAB→/1−k=−k/1−k.b→+1.1−k.c→.
Từ đó: MN→=AN→−AM→
=1+k/1−k.c→+k/1−k(a→−b→)
hay ′MN→=1+k/1−k.BC→+k/1−k.BA′→.
Như ba vectơ MN→,BC→,BA′→ đồng phẳng.
Mặt khác AD’, DB cắt mp(A’BCD’); điểm M, N thuộc AD’, DB với k ≠ 0, k ≠ nên MN không thuộc mp(A’BC) Vậy MN song song với mp(A’BC)
b) Ta có A′C→=−a→+b→+c→; A’C, AD’ chéo nhau; A’C, BD chéo mà M AD∈
′,N DB Do đó, đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C khi∈ MN→=mA′C→ , tức là
k/1−ka→−k/1−kb→+1+k/1−kc→=−ma→+mb→+mc→
(9)Suy −k=1+k k=−1/2⇔
Vậy k=−1/2 MN song song với A’C
Khi MN→=−1/3(a→−b→−c→)
Mặt khác AD′→=a→+c→,DB→=b→−c→
Vậy
MN→.AD′→=−1/3(a2→−c2→)=0
MN→.DB→=−1/3(−b2→+c2→)=0
Điều khẳng định MN vng góc với AD’ DB
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N trung điểm AB CD
a) Tính độ dài MN
b) Tính góc đường thẳng MN với đường thẳng BC, AB CD
Trả lời:
Đặt
AD→=a→,AB→=b→,
AC→=c→
Khi đó, ta có:
a→.b→=b→.c→=c→.a →=1/2m2 và
a2→=b2→=c2→=m2
a) Vì M, N trung điểm AB CD nên
MN→=1/2(AD→+BC→)
(10)Vậy
Tức
MN=m√2/2
b) Ta có
MN→.AB→=1/2(a→+c→−b→).b→
=1/2(a→.b→+b→.c→−b→2)=1/2(m2/2+m2/2−m2)=0
Vậy góc hai đường thẳng MN AB 90°
Ta có:
Vậy góc hai đường thẳng MN CD 90°
Ta có:
Tức là:
|MN→|.|
BC→|
cos (MN
→,BC→)
=1/2m2
Từ cos(MN
(11)Vậy góc hai đường thẳng MN BC 45°
Câu trang 114 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho hình tứ diện ABCD; I J trung điểm AB CD; M điểm thuộc AC cho MA→=k
1MC→ ; N điểm thuộc BD cho NB→=k2ND→ Chứng minh
rằng điểm I, J, M, N thuộc mặt phẳng k1 = k2
Trả lời:
Vì MA→=k 1MC→
nên
IM→=IA→−k 1IC→/
1−k1
Tương tự, ta có:
IN→=IB→−k 2ID→/
1−k2=−IA→−k2ID →/1−k
2
Mặt khác: IJ→=1/2(IC→+ID→)
Để điểm I, I, M, N thuộc mặt phẳng, điều kiện cần đủ ba vectơ IM→,IN→,IJ→ đồng phẳng Rõ ràng IN→ IJ→ không phương nên điều khẳng
định IM→,IN→,IJ→ đồng phẳng tương đương với IM→=pIN→+qIJ→
hay
Do
IA→,IC→,I
D→ không
đồng phẳng nên đẳng thức tương đương với
⇒k1/1−k1=−pk2/1−k2=k2/1−k1
(12)Câu 10 trang 115 Sách tập Hình học 11 Nâng cao
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng
a) Đặt ˆxOy=α,ˆyOz=β,ˆzOx=γ Chứng minh rằng:
cosα+cosβ+cosγ>−3/2
b) Gọi Ox1,Oy1,Oz1 tia phân giác góc xOy, yOz, zOx Chứng
minh Ox1 Oy1 vng góc với Oz1 vng góc với Ox1 Oy1
Trả lời:
Lấy E1,E2,E3 thuộc tia Ox, Oy, Oz cho OE1=OE2=OE3
Đặt OE1→=e1→,OE2→=e2→,OE3→=e3→
a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên (e→
1+e→2+e→3)2>0, tức
e2
1→+e22→+e23→+2(e1→.e2→+e2→.e3→+e3→.e1→)>0
⇔3OE2
1+2OE21(cosα+cosβ+cosγ)>0
Vậy cosα+cosβ+cosγ>−3/2
Dễ thấy
OE1→+OE2→//Ox1
OE2→+OE3→//Oy1→
OE3→+OE1→//Oz1→
Ox1⊥Oy1⇔(OE1→+OE2→)(OE2→+OE3→)=0
hay OE2
2→+OE1→.OE2→+OE1→.OE3→+OE2→.OE3→=0
Ta có:
(OE1→+OE2→)(OE3→+OE1→)
=OE12→+OE1→.OE2→+OE2→.OE3→+OE1→.OE3→=0
Vậy Ox1⊥Oz1
Tương tự, ta có Oy1⊥Oz1