Bài toán khoảng cách trong không gian , hình học không gian.

A. Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Định n[r]

(1)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 5: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng

Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P (đến đường thẳng  d ) khoảng cách

giữa hai điểm M H, H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  P (trên

đường thẳng  d )

 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng  P song song với a khoảng cách

từ điểm a đến mặt phẳng  P

Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Định lý: Cho hai đường thẳng chéo a b, ln có đường thẳng d cắt a b, vuông góc với đường thẳng Đường thẳng d gọi đường vng góc chung a và b

Định nghĩa 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d, ta thực theo bước sau:

+ Bước 1: Trong mặt phẳng O d,  hạ OH d với Hd

+ Bước 2: Thực việc xác định độ dài OH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác đường tròn

Chú ý: + Nếu tồn đường thẳng a qua O song song với d

 ,   , 

d O d d A d , với Aa

+ Nếu AOd I  

 

, ,

d O d OI

d A d  AI

H O

d

K A

d O

a

K A

d O

(2)

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O, SAa vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi I ,M theo thứ tự trung điểm SC, AB

a) Chứng minh OI ABCD

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ suy khoảng cách từ S đến CM

Giải:

a) Trong SAC, ta có: OI đường trung bình OI SA

  OI ABCD

b) Gọi H hình chiếu vng góc I lên CM, ta có:

CM HI

CM OI

  



  

CM IOH

  CM OH

Trong ABC có K trọng tâm, ta có:

2

a OB AC ,

1

3

a OK  OB

Trong OCK vng O, ta có:

2

2 2

1 1 1 20

2

6

OH OK OC a  a  a

   

   

20 a OH

 

Trong OIH vuông O, ta có:

2

2 2

2 20 10

a a a

IH OI OH         

30 10 a IH

 

Vậy khoảng cách từ I tới CM 30 10 a

Vì SICM C nên

 

,

2 ,

d S CM SC

d I CM  IC     

30

, ,

5 a

d S CM d I CM IH

   

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SA2a vng góc với mặt phẳng ABC, ABC vuông C với AB2a, 

30

BAC  Gọi M điểm di động cạnh AC, H hình chiếu vng góc S trên BM

a) Chứng minh AH BM

b) Đặt AM x, với 0x 3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách có giá trị nhỏ nhất, lớn

Giải:

D

C A

B

S

O I

M

H

A D

B C

M O

H K

S

A B

C H

(3)

a) Vì SAABC nên AH hình chiếu vng góc SH ABC, AH BM theo định lý ba đường vng góc

b) Ta thấy khoảng cách từ S đến BM SH SAH ta có: SH2 SA2AH2 Trong ABC vng C có BAC 300 nên

2

AB

BC a AC AB.cosBAC2 cos 30a a Trong BCM vuông C, ta có:

 2

2 2

BM BC CM BC  ACAM a2a 3x2 x2 2 3ax4a2

2

BM x ax a

   

Nhận xét AMH CMB hai tam giác vng có AMH CMB nên chúng đồng dạng, suy ra:

AH AM

BC  BM 2

2

AM BC ax

AH

BM x ax a

  

 

Do

2 2

2

2 2

5 16

4

2 4

a x a x a x a

SH a

x ax a x ax a

 

  

   

2

5 16

2

a x a x a

SH

x ax a

 

 

 

Do SA2a khơng đổi, ta có nhận xét:

+ SH đạt giá trị lớn khi: AHmax  AMmax M Cxa + SH đạt giá trị nhỏ khi: AHmin  AMmin M Ax

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng  P , ta thực theo bước sau:

+ Bước 1: Để dựng OH với H hình chiếu vng góc O lên  P ,ta thực hiện:

 Lấy đường thẳng a nằm  P

 Dựng mặt phẳng  Q qua O vuông góc với a cắt  P theo giao tuyến b (cần chọn a cho mặt phẳng  Q

dễ dựng)

 Trong  Q , hạ OH b H

+ Bước 2: OH khoảng cách từ O đến  P Tính độ dài đoạn OH khoảng cách từ O đến

 P

Ví dụ 3: Hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD  600 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD

4

a

SO  Gọi E trung điểm BC, F trung điểm

BE

a) Chứng minh SOF  SBC

b) Tính khoảng cách từ O A đến mặt phẳng SBC

Giải:

P

Q

H O

(4)

a) Với giả thiết, ta có: OBE OF BC Mặt khác, ta có: SOABCDSOBC Suy SOSOFSOF  SBC

b) Trong SOF hạ OH SF, suy

 

OH  SBC OH d O SBC , 

Trong SOF vuông O, ta có:

2 2

1 1

OH OS OF

3

a OH

 

Vì AO  SBCC nên:   

 

, 1

2 ,

d O SBC OC

AC

d A SBC        

3

, ,

4

a

d A SBC d O SBC OH

   

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a , SAa 3 vng góc với mặt phẳng ABCD

a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm cạnh SC vng góc với mặt phẳng ABCD

b) Hãy dựng đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng SBC Tính khoảng cách từ A đến

mặt phẳng SBC

c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC

d) Tính khoảng cách từ trọng tâm SAB đến SAC

Giải:

a) Gọi M trung điểm SC Trong SAC, ta có: OM đường trung bình OM SAOM ABCD

Vậy OM đường thẳng cần dựng b) Nhận xét rằng:

BC AB

BC SA   



  

BC SAB

  SAB  SBC

Hạ AH SB, ta có AH SBC Vậy AH đường thẳng cần dựng Trong SAB vng A, ta có:

 2

2 2 2

1 1 1

3

AH  SA  AB  a a  a

3 a AH

 

c) Vì AOSBCC nên

 

, 1

2 ,

d O SBC OC

AC

d A SBC        

1

, ,

2

a

d O SBC d A SBC AH

   

D

C A

B

S

O

F E

H

D

C A

B

S

O E

H

M

F

A D

B C

E O

(5)

d) Gọi E trung điểm AB, hạ EF AC, ta được: EF AC EF SA

  



  

EF SAC

 

Do EF khoảng cách từ E tới SAC

Trong OAB, ta có: EF đường trung bình

2

a

EF OB

  

Gọi G trọng tâm SAB, EGSACS nên:

 

, 2

3 ,

d G SAC GS

ES

d E SAC        

2 2

, ,

3

a

d G SAC d E SAC EF

   

 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song

song

Phương pháp:

1 Cho đường thẳng d  , để tính khoảng cách d   ta thực theo bước:

+ Bước 1: Chọn điểm A d, cho khoảng cách từ A đến   xác định

dễ

+ Bước 2: Kết luận d d ,  d A ,  

2 Cho hai mặt phẳng song song  P  Q , để tính khoảng cách  P  Q ta thực

theo bước:

+ Bước 1: Chọn điểm A  P , cho khoảng cách từ A đến  Q xác định dễ

+ Bước 2: Kết luận d   P , Q d A Q , 

Ví dụ 5: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D     có cạnh a BAD BAADAA600 Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy ABCD A B C D   

Giải:

Hạ A H  AC, ta có nhận xét:

BD AC

BD A O   

 

  

BD OAA

  BDA H

 

A H ABCD

 

Và ABCD  A B C D    nên A H khoảng cách hai mặt phẳng đáy

Nhận xét hình chóp A ABD hình chóp đều, nên ta

lần lượt có: 2 3

3 3

a a

AH  AO  ,

2

2 2 2

3

a a

A H  A A AH a  

3 a A H

 

D

C A

B

O

D'

C' A'

B'

(6)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có SAa 6 vng góc với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD2a

a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng SCD

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC

c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng   song song với mặt phẳng

SAD cách khoảng a

Giải:

a) Nhận xét rằng:

CD AC

CD SA

  



  

CD SAC

  SCD  SAC

Hạ AH SC, ta có AH SCD

Vậy AH khoảng cách từ điểm A tới SCD

Trong SAB vng A, ta có:

  2 2

2 2

1 1 1

2

6

AH  SA  AC  a  a  a AH a

Gọi I trung điểm AD, suy ra: BI CD BISCDd B SCD , d I SCD ,  Mặt khác, ta lại có AISCDD nên:

 

, 1

2 ,

d I SCD ID

AD

d A SCD        

1

, ,

2 2

a

d I SCD d A SCD AH

   

b) Nhận xét rằng: AD CB ADSCB d AD SBC , d A SBC , 

Hạ AK BC, ta được: BC AK BC SA

  



  

BC SAK

  SBC  SAK SBC  SAKSK

Hạ AGSK, ta có AGSBC

Vậy AG khoảng cách từ điểm A đến SBC

Trong SAK vng A, ta có:

 2

2 2

1 1 1

2

AG  SA  AK  a a   a

 

 

6 a AG

 

c) Nhận xét rằng: AK AD AK SA

  



  

AK SAD

 

Giả sử mặt phẳng   song song với SAD cắt AK E, đó:   , 

4

a

d  SAD  AE  AK

E

 trung điểm AK

N

K E

G D

C A

S

B

H I

(7)

Ta xác định thiết diện tạo hình chóp với mặt phẳng   qua E song song với SAD sau:

   

SAD

ABCD Ex Ex AD

SAD ABCD AD



 

  

 

 

 



Và Ex cắt AB, CD theo thứ tự M , N trung điểm đoạn Trong SAB, dựng My SA cắt SB Q trung điểm SB Trong SCD, dựng Nz SD cắt SC P trung điểm SC

Vậy thiết diện tạo hình chóp với mặt phẳng   MNPQ , ngồi vì: MN CD PQ  MNPQlà hình thang

MQ SA MQABCDMQMN MNPQ hình thang vng

Từ đó, ta 1 

MNPQ

S  MNPQ MQ

Trong đó: 1 

2

a

MN  ADBC  MN đường trung bình tứ giác ABCD,

1

2

a

PQ BC PQ đường trung bình SBC,

1

2

a

MQ SA MQ đường trung bình SAB

Suy

2

1 6

2 2 2

MNPQ

a a a a

S     

 

 Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo

nhau

Phương pháp:

1 Để dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b, ta lựa chọn các cách sau:

Cách 1: Ta thực theo bước:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b song song với a

+ Bước 2: Chọn M a , dựng MH  P H + Bước 3: Từ H, dựng đường thẳng a1a cắt b B + Bước 4: Từ B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b

Cách 2: Ta thực theo bước:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P vng góc với a O

+ Bước 2: Dựng hình chiếu vng góc b 1 b  P

Dựng hình chiếu vng góc H O b 1

a' a

B P

H A

b M

O

P

H

A B

a b

(8)

+ Bước 3: Từ H, dựng đường thẳng song song với a , cắt b B

+ Bước 4: Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b

Cách 3: Áp dụng cho trường hợp ab Ta thực theo bước sau:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b, vng góc với

a A

+ Bước 2: Dựng ABb b Đoạn AB đoạn vng góc chung a b

2 Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn cách sau:

Cách 1: Tính độ dài đoạn vng góc chung (nếu có)

Cách 2: Tính d a ,   với   mặt phẳng chứa b song song với a

Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABAAa, AC 2a a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ACD

b) Tìm đường vng góc chung đường thẳng AC CD Tính khoảng cách hai đường thẳng

Giải:

a) Tứ diện DACD có DA, DC, DD đơi vng góc với nhau, gọi hd D ACD ,  thì: 12 12 2 2

h  DA  DC DD

10 a h

 

b) Gọi I giao điểm C D CD, hạ IK AC Ta chứng minh IK đoạn vng góc chung AC CD, thật vậy:

CD C D

CD B C   



  

  

CD ADC B 

  CDIK

Vì hai tam giác C IK C AD đồng dạng, nên: IK C I AD C A

 



2

AD C I a IK

C A



  



Ví dụ 8: Tứ diện OABC có OAOBOCa AOB AOC600, BOC 900 a) Chứng tỏ ABC tam giác vng OABC

b) Tìm đường vng góc chung I J OA BC, tính khoảng cách hai đường thẳng OA BC

c) Chứng minh ABC  OBC

Giải:

a) Ta có: AB ACa OAB OAC

A

P

B a

b

D

C A

B

D'

C' A'

B'

I K

C

A B

O

(9)

Trong OBC vng O ta có:

2 2 2 2

BC OB OC a a AB AC ABC

 vuông cân A

Gọi I , J theo thứ tự trung điểm BC OA, ta có: BC JO BC JA

  



  

BC OAJ

  BCOA

b) Với kết câu a) ta có ngay: BCIJ

1

OJ AJ  BC IJ OA

Vậy I J đoạn vng góc chung OA BC

Trong JBI vuông J ta có:

2

2 2

2

a a a

IJ BI BJ     

   

   

a IJ

 

c) Nhận thấy OJA bốn góc tạo hai mặt phẳng  ABC OBC

Khi đó, OJA ta thấy trung tuyến JI thỏa mãn:

2

a

IJ   OA 

90 OJA

  ABC  OBC

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABC có SA2a vng góc với mặt phẳng ABC, đáy ABC tam giác vuông cân B với ABa Gọi M trung điểm AC

a) Hãy dựng đoạn vng góc chung SM BC b) Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC

Giải:

a) Để dựng đoạn vng góc chung SM BC, ta lựa chọn hai cách trình bày sau:

Cách 1: Gọi N trung điểm AB, suy BC MN BCSMN

Ta có: MN AB

MN SA

  



  

MN SAB

  SMN  SAB

SMN  SABSN

Hạ BH SN BH SMN

Từ H dựng Hx BC cắt SM E Từ E dựng Ey BH cắt BC F

Đoạn EF đoạn vng góc chung SM BC

Cách 2: Nhận xét BC AB BC SA

  



  

BC SAB

 

Do SAB mặt phẳng qua B thuộc BC vng góc với BC Gọi N trung điểm AB, suy MNBC MN SAB

Suy SN hình chiếu vng góc SM SAB Hạ BH SN BH SMN

B

C A

S

M

N

F H

(10)

Từ H dựng Hx BC cắt SM E Từ E dựng Ey BH cắt BC F

Đoạn EF đoạn vng góc chung SM BC

b) Nhận xét SAN BHN hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy BH BN

SA  SN

SA BN BH

SN

 

Trong đó:

2

a

BN  AB ,  

2 2

2

2 2 17

2

a a

SN SA AN  a     

17 a SN

 

Suy 17

17 a

BH  Vậy khoảng cách SM BC 17 17 a

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a , góc  60

A  có đường cao SOa

a) Tính khoảng cách từ O đến SBC

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB

Giải:

a) Hạ OI BC kéo dài OI cắt AD J

Ta có: BC OI

BC SO

  



  

BC SOI

  SBC  SOI

SBC  SOISI

Hạ OH SI OH SBC Vậy OH khoảng cách từ O đến SBC

Với hình thoi ABCD, ta có: BDa ABD

2

a OB

  , 2 3

2 a

AC  AO a

Trong OBC vng O, ta có:

 

2

2 2

1 1 1 13

3

OI OB OC a  a  a  

 

39 13 a OI

 

Trong SAE vng A, ta có: 2 12 12 12 2 162 39 13

OH  SO OI  a a   a

 

 

3 a OH

 

Vậy khoảng cách từ O đến SBC a

b) Nhận xét rằng:

AD BC  ADSBCd AD SB , d AD SBC , d J SBC ,  Mặt khác, ta lại có JOSBCI nên:

B

C A

D

S

O

J

I H

A B

C D

O I

(11)

 

,

2 ,

d J SBC IJ

OI

d O SBC        

3

, ,

2 a

d J SBC d O SBC OH

   

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AD SB a

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AD mp (ABCD), AC = AD = 4, AB = 3, BC = Tính khoảng cách từ A

đến mp(BCD) ĐS: 34

17

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = a, AD = a, AA’ = c Tính khoảng cách:

a) Từ B đến mp(ACC’A’) ĐS:

2 ab

a b

b) Giữa hai đường thẳng BB’ AC’ ĐS:

2 ab

a b

c) Giữa hai mp(AB’C) (A’C’D) ĐS:

2 2 2 abc

a b b c c a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA đáy SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:

a) SB AD ĐS:

2 a

b) BD SC ĐS:

6 a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đếu cạnh a SA vng góc với đáy, SA = h

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a h ĐS:

2

3

ah

a  h

b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H trực tâm tam giác SBC Chứng minh OH  (SBC)

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, A 600, góc đường chéo A’C mặt phẳng đáy 600

a) Tính đường cao hình hộp

(12)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a

a) Tính khoảng cách từ S đến mp đáy (ABCD)

b) Gọi E F trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đường thẳng AD CMR: khoảng cách hai đường thẳng EF SK khơng phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a

Bài 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính khoảng 0 cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) Đs:

2

a

b) Giữa hai đường thẳng AA’ B’C’ Đs:

4 a

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA(ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:

a) SB AD Đs:

2 a

b) BD SC Đs:

6 a

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ABa, ADb, AA' c. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) Đs:

2 ab

a b

b) Giữa hai đường thẳng BB’ AC’ Đs:

2 ab

a b

c) Giữa hai mặt phẳng (AB’C) (A’C’D) abc. Đs: 3 a

d) Giữa hai đường thẳng BC’ CD’ abc. Đs: 3 a

e) Từ điểm D đến mặt phẳng

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a Tính khoảng cách:

a) Từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’) Đs: 10

5 a

b) Giữa hai đường thẳng AC’ CD’ Đs:

2

a

(13)

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA(ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:

a) SB AD Đs:

2 a

b) BD SC Đs:

6 a

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a

a) Tính khoảng cách từ S đến mp đáy (ABCD)

b) Gọi E F trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đường thẳng AD CMR khoảng cách hai đường thẳng EF SK khơng phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a

Bài 14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính khoảng 0 cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) Đs:

2

a

b) Giữa hai đường thẳng AA’ B’C’ Đs:

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	782,49 KB