Bài toán khoảng cách trong không gian – Nguyễn Tất Thu

Bài viết này sẽ trình bày cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉ cần tách phần cần tính để đưa về mô hình của hình chóp.

1 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Nguyễn Tất Thu - GV Trường Chuyên Lương Thế Vinh Bài viết trình bày cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Quy trình tính khoảng cách tìm cách chuyển khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp Với mơ hình lăng trụ, ta cần tách phần cần tính để đưa mơ hình hình chóp Bài toán Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Lời giải Nguyễn Tất Thu Để tính khoảng từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta có cách sau: Cách 1: Xác định hình chiếu vng góc H M lên (α) Để xác định vị trí hình chiếu H ta có số lưu ý sau: Chọn β chứa điểm M (β) ⊥ (α) , xác định giao tuyến ∆ = (α) ∩ β Trong β dựng MH ⊥ ∆ ⇒ MH ⊥ (α) Nếu (α) có hai điểm A, B cho M A = MB (α) kẻ đường trung trực d đoạn AB, mp ( M, d ) dựng MH ⊥ d Khi MH ⊥ (α) (h.3) Thật vậy, Gọi I trung điểm AB Do M A = MB nên ∆ M AB cân M , suy  M I ⊥ AB ⊂ (α) Lại có AB ⊥ d ⇒ AB ⊥ mp ( M, d ) ⇒ AB ⊥ MH Vậy  MH ⊥ AB  ⇒ MH ⊥ (α) MH ⊥ d Nếu (α) có điểm A đường thẳng d không qua A cho M A ⊥ d (α) kẻ đường thẳng d qua A d ⊥ d , mp M, d kẻ MH ⊥ d ⇒ MH ⊥ (α) (h 4) Thật vậy, d ⊥ d d ⊥ M A ⇒ d ⊥ mp M, d ⇒ d ⊥ MH Lại có MH ⊥ d ⇒ MH ⊥ mp d, d ≡ (α) Nếu (α) có điểm A , A , , A n (n ≥ 3) mà M A = M A = · · · = M A n đường thẳng M A , M A , , M A n tạo với (α) góc hình chiếu M (α) tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác A1 A2 · · · A n Nếu (α) có điểm A , A , , A n (n ≥ 3) mà mặt phẳng ( M A A ) , ( M A A ) , , ( M A n A ) tạo với (α) góc hình chiếu M tâm đường trịn nội tiếp đa giác A A · · · A n Nếu tứ diện O ABC có O A, OB, OC đơi vng góc có đường cao OH 1 1 = + + 2 OH OA OB OC (∗) Cách 2: Sử dụng cơng thức thể tích: Xét hình chóp có M đỉnh, đáy nằm 3V mặt phẳng (α) Khi đó: d( M, (α)) = Sd Cách 3: Chuyển việc tính khoảng cách từ M tính khoảng cách từ điểm N dễ tính cách sử dụng kết sau Nếu MN // (α) d ( M, (α)) = d ( N, (α)) Nếu MN ∩ (α) = { I } d( M, (α)) = MI · d( N, (α)) NI Khi sử dụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển chân đường cao, với ý sau Chú ý SH Kẻ A i E ⊥ H A j Khi A1 d( A i , (SH A j )) = A i E d(H, (S A i A j )) = HK = HF · HS HF + HS H F Kẻ HF ⊥ A i A j , HK ⊥ SF Khi An K A2 E A4 A3 Cách 4: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ta thường gắn hệ trục mơ hình tốn có ba cạnh xuất phát từ đỉnh đơi vng góc Nguyễn Tất Thu S Cho hình chóp S.A A · · · A n có đường cao VÍ DỤ (Thi thử, Sở GD ĐT -Lạng Sơn, 2019) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A vng góc với mặt phẳng đáy, S A = A đến (SBC ) a A B a C a a Khoảng cách từ D a Lời giải Đây tốn tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên Ta áp dụng cách xử lí ý (1) S a Gọi M trung điểm BC AM ⊥ BC, AM = Gọi H hình chiếu vng góc A lên SM , ta có AH ⊥ (SBC ) Trong tam giác vuông S AM , ta có: H 1 a = + ⇒ AH = 2 AH AS AM Nguyễn Tất Thu Vậy d( A, (SBC )) = AH = A a C M B Chọn đáp án A VÍ DỤ (KSCL HK2 Cụm trường THPT TP Nam Định) Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc B A C D A lên ( ABCD ) trùng với giao điểm AC BD Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( A BD ) A a B a C a D a A B I D C Lời giải Ta thấy mặt phẳng ( A BD ) chứa đường cao A I , nên ta gắn vào mơ hình hình chóp có mặt bên ( A BD ), nên ta xét hình chóp A ABD Khi ta tìm cách chuyển khoảng cách từ B , khoảng cách từ A Để có điều ta cần tìm giao điểm J AB với mặt phẳng ( A BD ) Dễ thấy J giao điểm AB A B, J trung điểm AB Do d (B , ( A BD )) = d ( A, ( A BD )) Để tính khoảng cách từ A đến ( A BD ) ta cần kẻ AH ⊥ BD khoảng cách AH Vậy ta có lời giải sau: Gọi I giao điểm AC BD Dựng AH ⊥ BD B A C D Ta có A I ⊥ ( ABCD ) mà AH ⊂ ( ABCD ) nên A I ⊥ AH Từ ta AH ⊥ ( A BD ) A Suy d(B , ( A BD )) = d( A, ( A BD )) = AH B Xét ∆ ABC vuông A có 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AD a Vậy d(B , ( A BD )) = AB2 · AD a = 2 AB + AD H I D C Chọn đáp án D Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có tam giác ABC vuông C A B, BA = 2a, BC = a, A A = a Trên cạnh AB lấy B M cho AM = 3BM Tính khoảng cách d từ A đến B MC a 48 a C d = 12 A d = 2a a D d = 18 B d = C A M B Lời giải Vì cần tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B CM ) nên ta dựng hình chóp có mặt bên B MC Hơn BA BC, BB đơi vng góc, nên ta xét hình chóp B BMC Khi đó, ta chuyển khoảng cách từ A khoảng cách từ B sử dụng công thức (*) Ngồi ra, BA BC, BB đơi vng góc nên ta gắn hệ trục tọa độ Ox yz Do ta giải tốn theo hai hướng sau: Hướng 1: Vì ba đường thẳng BA, BC, BB đơi vng góc, nên ta gắn hệ trục tọa độ Ox yz, cho B ≡ O , A ∈ tia Ox, C ∈ tia O y B ∈ tia Oz Khi B(0; 0; 0), A (2a; 0; 0), C (0; a; 0), B (0; 0; 1), A (2a; 0; a), C (0; a; a) M a ; 0; Việc lại lập phương trình mặt phẳng (B CM ) sử dụng cơng thức tính khoảng cách Hướng 2: Nguyễn Tất Thu VÍ DỤ 5 Gọi I giao điểm A B với B M , ta có IA AB = = 4, IB MB C A nên B d ( A , (B MC )) = d (B, (B MC )) = h Vì B.MCB tứ diện vuông B, nên C A 1 a = + + = ⇒h= 2 2 h BM BC BB a I M 2a Vậy d = B Chọn đáp án B VÍ DỤ (Đề thức THPTQG 2019, Mã đề 101) S Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh Nguyễn Tất Thu a, mặt bên (S AB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC ) a 21 A 14 a 21 B a C a 21 D 28 D A B C Lời giải Vì tam giác S AB nằm mặt phẳng vng góc với đáy, nên đường cao tam giác S AB đường cao hình chóp Do đó, hình chiếu S lên ( ABCD ) trung điểm H cạnh AB Ta chuyển khoảng cách từ B khoảng cách từ H Vì BH cắt (S AC ) A H trung điểm AB, nên d(B, (S AC )) = 2d(H (S AC )) Ta có lời giải sau S Gọi O giao điểm AC BD Gọi H trung điểm AB Khi SH ⊥ ( ABCD ) SH = a (vì tam giác S AB có cạnh a) Kẻ HK ⊥ BD K Khi K trung điểm BO (vì H trung điểm AB AO ⊥ BD ) Do a HK = AO = Suy BD ⊥ (SHK ) I A H D O K B C Kẻ H I ⊥ SK I Khi H I ⊥ BD Suy H I ⊥ (SBD ) Do H I = d (H, (SBD )) Vì H trung điểm AB nên d ( A, (SBD )) = 2d (H, (SBD )) = 2H I Xét tam giác vng SHK có đường cao H I nên 1 16 a 21 = + = + ⇒ HI = 2 14 HI SH HK 3a 2a Vậy khoảng cách từ A đến (SBD ) d ( A, (SBD )) = 2H I = a 21 Chọn đáp án B VÍ DỤ S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A = 2a vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách d từ M đến M mặt phẳng (SCD ) Lời giải D A B C Bài tốn u cầu tính khoảng cách từ M đến (SCD ), ta tìm cách chuyển khoảng cách từ A (do A chân đường cao) Để làm điều đó, trước hết ta chuyển khoảng cách từ M khoảng cách từ B, từ chuyển khoảng cách từ A Hoặc ta tìm giao điểm AM với (SCD ) chuyển trực tiếp khoảng cách từ M khoảng cách từ A Cụ thể ta có lời giải sau: Gọi E giao điểm AB với CD Do BC ∥ AD BC = AD , nên B trung điểm AE Do d( M, (SCD )) = MS MS BE d(B, (SCD )) = · d( A, (SCD )) = d( A, (SCD )) BS BS AE Kẻ AI ⊥ SC , ta có AC ⊥ CD nên d( A, (SCD )) = AI = Vậy d( M, (SCD )) = AC · AS 2a = 2 AC + S A a Chọn đáp án D VÍ DỤ (Đề tập huấn số 2, Sở GD ĐT Quảng Ninh, 2019) Nguyễn Tất Thu a B d = a D d = a A d = 12 a C d = C A Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB = 1, AC = 2, A A = BAC = 120◦ Gọi M , N lần B lượt điểm cạnh BB , CC cho N BM = 3B M , CN = 2C N Tính khoảng cách từ M điểm M đến mặt phẳng ( A BN ) A C 138 184 16 46 138 46 138 D 46 B C A B Lời giải Với liệu cho (lăng trụ đứng, tam giác ABC khơng có tính chất đặc biệt tam giác cân, hay vng) nên ta nghĩ đến việc tính thể tích Trước hết ta tính thể tích khối lăng trụ ta tính tỉ số diện tích tam giác A MB Nguyễn Tất Thu diện tích tam giác A B B, nên ta tính tỉ số thể tích hai khối chóp C A B B N A MB (cùng chiều cao) Hơn ta tính thể tích khối chóp C A B B thơng qua thể tích khối lăng trụ tính trực tiếp Do đó, để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A BN ) ta cần tính diện tích tam giác A BN Dựa vào tam giác vng ta thấy tính độ dài cạnh tam giác A BN , ta tính diện tích tam giác Ta có lời giải sau: Ta có BC = AB2 + AC − · AB · AC cos BAC = 12 + 22 − · · cos 120◦ = Suy BC = Thể tích khối lăng trụ 3 V = A A · AB · AC · sin BAC = 2 Suy 1 VC A B B = VC A B BA = · V = 2 3 BM Do S A MB = · S A B B = S A B B , nên BB VN.A MB = VC ABB = 3 Mặt khác A B= A B + B B2 = 10, BN = BC + CN = 11, A N = A C + C N2 = Suy cos BA N = A B2 + A N − BN 2 23 = ⇒ sin BA N = 2A B · A N 5 8 Suy S A BN = A B · A N · sin BA N = Do d( M, ( A BN )) = 46 3VM.A BN 138 = S A BN 184 Ngồi cách làm trên, ta giải tốn cách dựng hình chóp có mặt ( A BN ) chứa mặt phẳng bên hình chóp Vì khoảng cách từ M ta chuyển khoảng cách từ B Do đó, ta tạo hình chóp có đỉnh B, đường cao BB Do đó, ta dựng giao điểm D BN với B C Khi ta có hình chóp B.B A D hình chóp cần tìm Ta có lời giải sau: E A D C B H N M A Ta có BC = AB2 + AC − · AB · AC cos BAC = 12 + 22 − · · cos 120◦ = Suy BC = AB2 + BC − AC 12 + − 22 2 = Ta có cos ABC = = , suy cos A B C = · AB · BC 2·1· 7 3 DC CN Gọi D = BN ∩ B C , suy = = , nên DB = B C = DB BB 2 43 2 2 Từ ta có A D = A B + B D − · A B · B D cos A B D = + · = −2·1· 2 43 Kẻ B E ⊥ A D B H ⊥ BE , suy B H ⊥ ( A BN ) Do d B , ( A BN ) = B H Từ cos A B C = ⇒ sin A B C = 7 1 3 Do S A B D = · A B · B D · sin A B D = · · · = 2 3 2S A B D · 3 B E= = = AD 43 43 1 1 46 27 = + = + = ⇒ B H = 2 27 46 B H B E B B2 3 Suy A D = 43 Nguyễn Tất Thu C B Từ BM = 3B M suy d M, ( A BN ) = d B , ( A BN ) = 3 ·B H = · 4 27 138 = 46 184 Chọn đáp án A Tóm lại: Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta thường chuyển Khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên hình chóp Khoảng cách từ đỉnh tứ diện vng đến mặt đối diện Bài tốn Khoảng cách hai đường thẳng chéo Nguyễn Tất Thu Cho hai đường thẳng chéo a b Tính khoảng cách a b Lời giải Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: Cách 1: Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi d (a, b) = MN Chú ý Nếu a ⊥ b ta dựng đoạn vng góc chung a b sau Dựng mặt phẳng (α) chứa b vng góc với a Tìm giao điểm O = a ∩ (α) Dựng OH ⊥ b Đoạn OH đoạn vng góc chung a b Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) qua a song song với b, đó: d(a, b) = d(a, (α)) = d( M, (α)) với M điểm thuộc (α) Cách 3: Dựng hai mặt phẳng (α) qua a song song với b, (β) qua b song song với a Khi đó: d(a, b) = d((α), (β)) Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ Giả sử #» u , #» v VTCP a, b M ∈ M, N ∈ b Khi # » d(a, b) = ( #» u ∧ #» v ) · MN | #» u ∧ #» v| 10 VÍ DỤ (KSCL, Sở GD ĐT - Thanh Hóa, 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh B C a Tính khoảng cách hai đường thẳng CC A BD A a B a C a D D a C B O D A Lời giải Đây toán dễ Ta thấy CC nằm mặt phẳng ( ACC A ) vng góc vơi BD trung điểm O BD , nên ta có OC đường vng góc chung Do d[CC , BD ] = OC = AC 2a = = a 2 VÍ DỤ (Thi thử lần I, Sở GD ĐT Sơn La 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất C A cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB A C A a B B a C 2a D a C A B Lời giải Ta thấy hai đường thẳng AB A C nằm hai mặt phẳng đáy, nên khoảng cách chúng khoảng cách hai đáy, nên ta có lời giải sau: Ta thấy AB ⊂ ( ABC ); A C ⊂ A B C Mà ( ABC ) ∥ A B C Nên d AB; A C = d ( ABC ); A B C = A A = a Chọn đáp án A VÍ DỤ (Tập huấn, Sở GD ĐT lần 1, 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a S A vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng S A BC a a a B C a D Ta thấy S A ⊥ ( ABC ) nên khoảng cách S A BC đoạn AM , với M hình chiếu A Nguyễn Tất Thu Chọn đáp án C 11 A lên BC Ta có lời giải sau: Lời giải Gọi M trung điểm cạnh BC , suy AM ⊥ BC a Vì S A ⊥ ( ABC ) ⇒ S A ⊥ AM (1) S ABC AM = (2) Từ (1) (2) suy d(S A, BC ) = AM = a C A M B Chọn đáp án D VÍ DỤ Nguyễn Tất Thu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng S cạnh a, S A ⊥ ( ABCD ), S A = a Tính khoảng cách hai đường chéo SC BD A a B a C a D a D A B C Ta nhận thấy BD ⊥ (S AC ) nên khoảng cách hai đường thẳng độ dài đoạn OK , O trung điểm BD , K hình chiếu O lên SC Lời giải S Do BD ⊥ AC BD ⊥ S A nên BD ⊥ (S AC ) Suy BD ⊥ SC Trong mặt phẳng (S AC ) gọi K hình chiếu O lên SC Khi d(BD, SC ) = OK H Gọi H trung điểm SC Xét tam giác HOC ta có: 1 a = + = + = ⇒ OK = 2 OK OH OC a a a D K A O B Chọn đáp án C VÍ DỤ (Thi thử L2, THPT Ngơ Quyền-Hải Phòng, 2019) C 12 2a Khoảng cách AB CC 2a A B a C a C A Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB = a, A A = B a D A C B Ta thấy AB nằm mặt phẳng ( ABB A ) song song với CC Do khoảng cách AB CC khoảng cách từ C đến ( ABB A ) Lời giải Do CC ∥ ( A A B B) nên C A d( AB , CC ) = d(CC , ( A A B B)) = d(C, ( A A B B)) B Gọi H trung điểm AB Do ABC nên CH ⊥ AB (1) Mặt khác, A A ⊥ ( ABC ) nên CH ⊥ A A (2) Vậy d(C, ( A A B B)) = CH = a C A H B Chọn đáp án D VÍ DỤ (Đề thi thử lần ĐHSP Hà Nội-2019) Cho khối chóp S.ABC có (S AB) ⊥ ( ABC ), (S AC ) ⊥ ( ABC ), S A = a, AB = AC = 2a, BC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SM AC a a A B C a D a 2 Từ giả thiết ta có S A đường cao hình chóp Ta dựng mặt phẳng chứa đường song song với đường Ta ưu tiên dựng mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng đáy, tức dựng mặt phẳng chứa SM song song với AC Do M trung điểm BC cần dựng song song nên ta nghĩ đến dựng đường trung bình tam giác ABC Do đó, ta dựng I alf trung điểm AB Khi đó, AC ∥ (SM I ), nên d( AC, SM ) = d( AC, (SM I )) = d( A, (SM I )) Đến ta có tốn quen thuộc tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Lời giải Nguyễn Tất Thu Từ (1) (2) suy CH ⊥ ( A A B B) 13 S Gọi I trung điểm AB, M I ∥ AC ⇒ AC ∥ (SI M ) Do d(SM ; AC ) = d( AC ; (SM I )) = d( A ; (SM I )) Kẻ AK ⊥ SI Khi đó, ta chứng minh AK ⊥ (SM I ) Nên d( A ; (SM I )) = AK = có AK đường cao) a (do K S AB vuông cân A C A I M B Chọn đáp án B VÍ DỤ (Thi thử, Sở GD ĐT -Lạng Sơn, 2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi D A Nguyễn Tất Thu M, N trung điểm AC B C Khoảng cách hai đường thẳng MN B D A a a B C 3a N B a D C D A M B C Với mô hình cho hình lập phương, ta gắng hệ trục tọa độ Ox yz để giải toán Ta chọn hệ trục Ox yz cho A ≡ O , B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A ∈ tia Oz Khi đó, ta xác định tọa độ điểm cịn lại Ngồi cách trên, ta giải cách dựng mặt phẳng chứa MN song song với B D Do N trung điểm B C , nên ta dựng mặt phẳng ( MNP ) với P trung điểm C D Khi d(B D , N M ) = d(B D , ( MNP )) = d(O, ( MNP )) với O trung điểm B D Ta chọn O ta có MO ⊥ ( A B C D ) Vậy ta giải toán theo hai cách sau: Lời giải Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz cho A ≡ O , B ∈ tia Ox, D ∈ tia O y, A ∈ tia Oz ta chọn a = Khi B (2; 0; 2), D (0; 2; 2), M (1; 1; 0), N (2; 1; 2) Suy # » # » # » MN = (1; 0; 2), B D = (−2; 2; 0), B M = (−1; 1; −2) Do # » # » # » # » # » MN ∧ B D = (−4; −4; 2), MN ∧ B D · B M = −4 Suy # » # » # » | MN ∧ B D · B M | d( MN, B D ) = Cách 2: # » # » | MN ∧ B D | = a = 3 14 C D Gọi O, N, P trung điểm cạnh B D , BC , C D Vì B D ∥ NP nên M B A d(B D , MN ) = d(B D , ( MNP )) = d(O, ( MNP )) Tứ diện O.MNP có OM, ON, OP đơi vng góc, P C D 1 1 = + + 2 d(O, ( MNP )) OM ON OP N O A B a a ⇒ d(O, ( MNP )) = Vậy d(B D , MN ) = 3 Chọn đáp án D VÍ DỤ (Hàm Rồng - Thanh Hóa,lần - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng S cạnh a Cạnh bên S A vng góc với đáy ABCD Góc điểm BC Tính khoảng cách hai đường A a 19 B D A thẳng DE SC a 38 C a D a 38 19 B E C Với tốn này, ta giải theo hai cách sau: Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Ox yz với A (0; 0; 0), B(a; 0; 0), D (0; a; 0) S ∈ tia Oz Khi ta tìm tọa độ đỉnh cịn lại Cách 2: Ta dựng mặt phăng chứa SC song song với DE Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành DECF Khi khoảng cách cần tính khoảng cách từ D đến (SCF ) ta chuyển khoảng cách từ A đến (SCF ) Cách bạn đọc tự làm, lời giải theo cách thứ hai Lời giải S Dựng hình bình hành CEDF , ta có: DE ∥ CF ⇒ DE ∥ (SCF ) Do d(DE, SC ) = d(D, (SCF )) Lại có AD ∩ (SCF ) = F nên H d(D, (SCF )) FD = = d( A, (SCF )) F A Suy d(DE, SC ) = d(, (SCF )) A B D K E Ta có S A ⊥ ( ABCD ) nên (SC, ( ABCD )) = (SC, AC ) = SC A = 45◦ ⇒ S A = AC tan SC A = a Kẻ AK ⊥ CF K , AH ⊥ SK H C F Nguyễn Tất Thu SC mặt phẳng đáy 45◦ Gọi E trung 15 Khi d( A, (SCF )) = AH Ta có CF = DE = DC + CE = a , S ACF 1 = CD · AF = AK · CF 2 AF · CD 3a = CF 1 3a 38 Xét S AK có = + ⇒ AH = 2 19 AH AS AK 1 a 38 Vậy d (DE, SC ) = d( A, (SCF )) = AH = 3 19 Suy AK = Chọn đáp án D VÍ DỤ (Thi thử lần 1, THPT Văn Giang - Hưng n, 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mp( ABC ) 45◦ Hình S chiếu S lên mp( ABC ) điểm H thuộc AB Nguyễn Tất Thu cho H A = 2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng S A BC a 210 45 a 210 C 15 A a 210 20 a 210 D 30 B C A H B Để tính khoảng cách hai đường thẳng S A BC ta dựng mặt phẳng chứa S A song song với BC Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành ABCD Khi khoảng cách cần tính khoảng cách B đến (S AD ) ta chuyển khoảng cách từ H Lời giải S Dựng hình bình hành ABCD , ABCD hình thoi cạnh a BC ∥ AD ⇒ BC ∥ (S AD ) Do I d (S A ; BC ) = d [BC ; (S AD )] = d [B; (S AD )] K A BA 3 = ⇒ d [B; (S AD )] = d [ H ; (S AD )] HA 2 Ta có SH ⊥ ( ABC ) nên suy Từ H D B (SC ; ( ABC )) = (SC ; HC ) = SCH C Suy SCH = 45◦ HC = HB2 + BC − HB · BC · cos HBC = a + a2 − · a a2 a · a cos 60◦ = ⇒ HC = 16 Tam giác SHC vuông H SCH = 45◦ nên tam giác SHC vuông cân H Từ a Kẻ HK ⊥ AD K ⇒ H AK = 60◦ Do ta có SH = HC = HK = H A · sin H AK = a 2a · sin 60◦ = 3 Kẻ H I ⊥ SK K , suy H I ⊥ (S AD ) ta có d [ H ; (S AD )] = H I = 3 Vậy d (S A ; BC ) = d [H ; (S AD )] = H I = HK · HS HK + HS = a 210 30 a 210 210 · = 30 20 Chọn đáp án B A BÀI TẬP có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC , đồng thời đường cao AB = BC = a Biết S A = a 3, khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC A a 10 B 2a C a 10 D 2a Câu Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC cạnh a tâm O Hình chiếu C lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm ABC Cạnh bên CC tạo với mặt phẳng đáy ( ABC ) góc 60◦ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng A B 7a a a B C A 2 D 7a Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A , biết S A ⊥ ( ABC ) AB = 2a, AC = 3a, S A = 4a Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC ) 12a 61 2a a 43 A d = B d = C d = 61 12 11 D d = 6a 29 29 Câu Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a > Khi khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD ) a a A B 3 C a D a Câu Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC , DBC vng cân nằm hai mặt phẳng vng góc với AB = AC = DB = DC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACD ) 2a A Câu B a C a D a Nguyễn Tất Thu Câu Cho hình chóp S.ABCD có S A vng góc với ( ABCD ), ABCD hình thang vng 17 S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, S A ⊥ ( ABCD ) S A = a Khi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ) A d (B, (S AC )) = a B d (B, (S AC )) = a C d (B, (S AC )) = 2a D d (B, (S AC )) = a D A B C Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O tất cạnh a Gọi M trung điểm đoạn O A Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD ) a A B a C a D a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác S AB nằm mặt phẳng vng góc mặt phẳng đáy Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC Nguyễn Tất Thu mặt phẳng ( ABCD ) 30◦ Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ) A h = a 13 B h = 2a 66 11 C h = 2a 13 D h = 4a 66 11 Câu S Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, tâm O, SO = a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD ) 5a A B 2a C 6a D a D A O B C Câu 10 Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B AB = a, S A ⊥ ( ABC ) Góc cạnh bên SB mặt phẳng ( ABC ) 60◦ Khi khoảng cách từ A đến (SBC ) A a B a C a D a Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60◦ Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABCD ) A a B a C a D a Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Cạnh bên S A vng góc với đáy S A = 2a Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD ) A d = 2a B d = 2a 57 19 C d = a 57 19 D d = a Câu 13 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = 2a, AD = a, A A = a Gọi M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng (B MC ) A h = a 21 B h = a 21 14 C h = 3a 21 D h = 2a 21 18 Câu 14 Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = a, AB = 3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) A a B a C a a D Câu 15 S Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B có AB = BC = a, tam giác S AC nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến (SBC ) a 21 A 14 a 42 C B 2a A a 42 D 14 B C S Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a 2, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ), góc SC mặt phẳng ( ABCD ) M 60◦ Gọi M trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) A Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ( ABCD ) A a B 3a C 2a B D a D C Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD ) a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD ) A a B a C 6a D a Câu 18 S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, đường chéo AC = 2a S A vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a B a C a B Câu 19 D A D a C Nguyễn Tất Thu Câu 16 19 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a (tham A khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BB D C B A C A a B a C 2a D a A D B C Câu 20 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A d( AB, CD ) = 3a B d( AB, CD ) = a C d( AB, CD ) = a a D d( AB, CD ) = 2 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên S A vng góc với đáy, I trung điểm AC , H hình chiếu I SC Kí hiệu d(a, b) khoảng cách hai đường thẳng a b Khẳng định sau đúng? Nguyễn Tất Thu A d(BI, SC ) = I H B d( AB, SC ) = BH C d(SB, AC ) = AB D d(S A, BC ) = AB Câu 22 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cạnh a Gọi C A M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B C a A B a C a B D a C A M B Câu 23 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a hình bên Tính khoảng cách hai đường thẳng A A B D a B A a a C D A B C D a A D O B C Câu 24 Cho lăng trụ ABC.A B C có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AC BB A 2a B 5a C a D 3a Câu 25 Cho khối chóp S.ABCD có S A ⊥ ( ABCD ), đáy ABCD hình vng cạnh 4, biết S A = Khoảng cách đường thẳng SB AD A B 12 C D Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a, S A vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng S A BC 20 A 2a B a C a D a Câu 27 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vng A , AB = a, BC = 2a Gọi M , N , P lầ lượt trung điểm AC , CC , A B H hình chiếu A lên BC Tính khoảng cách MP N H A a B a C a D a Câu 28 Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD 3a A B a C a D a Câu 29 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a Khoảng cách hai đường thẳng AC BB A a B a C a D a Câu 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB a B a C a D a Câu 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm BC Cho S A hợp với đáy góc 30◦ Khoảng cách hai đường thẳng S A BC A a B a C 2a D a Câu 32 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC = 120◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng A C BB a a C A B a 2 D a a Câu 33 Cho tứ diện O ABC có O A, OB, OC đơi vng góc với OB = , O A = 2OB, OC = 2O A Khoảng cách hai đường thẳng OB AC bao nhiêu? a 3a 2a 2a A B C D Câu 34 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng A A BD A C C B A D B D B C D A Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cạnh a M trung điểm A A Tìm khoảng cách hai đường thẳng MB BC A a B a C a D a Nguyễn Tất Thu A 21 Câu 36 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a Biết tam giác S AB có ABS = 60◦ nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) theo a A d = a 21 B d = 3 C d = 2a D d = a Câu 37 S Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a Gọi I trung điểm AB Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CI , góc S A mặt đáy 60◦ (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai A a 57 19 B a C A đường thẳng S A CI C a 21 D a 42 H I B Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A ⊥ ( ABC ), góc Nguyễn Tất Thu đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB a A B a 15 C 2a D a Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, tam giác S AB đều, góc (SCD ) ( ABCD ) 60◦ Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình vng ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SM AC A 5a B a C 2a D 2a 15 Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Dựng mặt phẳng (P ) cách năm điểm A , B, C , D S Hỏi có tất mặt phẳng (P ) vậy? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 41 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SBA = SC A = 90◦ , góc đường thẳng S A mặt phẳng ( ABC ) 60◦ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC A 6a B 2a C 2a 57 D 6a 57 Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, S A vng góc với mặt phẳng đáy Biết S A = 2a, AB = a, BC = 2a Khoảng cách BD SC A 7a B 7a C a D 6a Câu 43 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng AD B A a B a C a D a 22 Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tam giác S AB nằm mặt phẳng vng góc với đáy ( ABCD ) Tính khoảng cách từ A đến (SCD ) A B 21 C D Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, tam giác S AB đều, góc (SCD ) ( ABCD ) 60◦ Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình vng ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SM AC A a B 5a C 2a D 2a 15 Câu 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh AB = 2a 3, góc BAD 120◦ Hai mặt phẳng S AB S AD vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC ) ( ABCD ) 45◦ Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC ) 3a a a B h = C h = A h = D h = 3a Câu 47 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi I , J trung điểm Câu 48 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có A AB = a, A A = b Gọi M, N trung C B điểm A A , BB (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách hai đường thẳng B M CN A d(B M, CN ) = B d(B M, CN ) = 3ab 12a2 + b2 3ab 4a2 + 12 b2 a C d(B M, CN ) = a D d(B M, CN ) = M N A C B Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 10 Cạnh bên S A vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SC = 10 Gọi M , N trung điểm S A CD Tính khoảng cách d BD MN A d = B d = C d = D d = 10 Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Đường thẳng SD tạo với đáy 3a , mặt phẳng (SDM ) mặt phẳng (S AC ) vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SM ABCD góc 60◦ Gọi M trung điểm AB Biết MD = theo a A a B 3a C a 15 D 3a 15 Nguyễn Tất Thu BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng ( AI A ) (C JC ) a 3a 5 A d = 2a B d = 2a C d = D d = 5 23 Nguyễn Tất Thu ĐÁP ÁN B C A B A D C B B 10 D 11 C 12 B 13 D 14 B 15 C 16 B 17 D 18 A 19 C 20 D 21 D 22 B 23 B 24 D 25 B 26 C 27 A 28 D 29 B 30 C 31 D 32 C 33 C 34 D 35 D 36 A 37 C 38 B 39 B 40 B 41 A 42 A 43 A 44 B 45 A 46 B 47 C 48 A 49 B 50 D ... đường cao hình chóp Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên hình chóp Khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông đến mặt đối diện Bài toán Khoảng cách hai đường thẳng chéo Nguyễn Tất Thu Cho hai đường... điều đó, trước hết ta chuyển khoảng cách từ M khoảng cách từ B, từ chuyển khoảng cách từ A Hoặc ta tìm giao điểm AM với (SCD ) chuyển trực tiếp khoảng cách từ M khoảng cách từ A Cụ thể ta có lời... đáy Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách d từ M đến M mặt phẳng (SCD ) Lời giải D A B C Bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ M đến (SCD ), ta tìm cách chuyển khoảng cách từ A (do A chân đường cao)