Tọa độ trong không gian OXYZ ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng P.. Bài 28: Trong KgOxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng P có phương trình : Viết phương trình hình chiếu của d lê

Chuyên đề 15: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

• O : gốc toạ độ

• e e eJG JJG JJG1 2 3, , : véc tơ đơn vị

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là

không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M kg Oxyz∈ ( ) Khi đó véc tơ OMJJJJG được biểu diển một cách duy nhất theo

e e eJG JJG JJG1 2 3, , bởi hệ thức có dạng : OM xe yeJJJJG= JG1+ JJG2+ y với x,y,zeJJG3 ∈\

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

2 Định nghĩa 2: Cho a kg OxyzG∈ ( ) Khi đó véc tơ aG được biểu diển một cách duy nhất theo

e e eJG JJG JJG1 2 3, , bởi hệ thức có dạng : a a e a eG= 1 1JG+ 2 2JJG + a3 3eJJG với a ,a1 2∈\

Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ aG

Ký hiệu: aG=( ; )a a1 2

aG=(a ;a ;a ) 1 2 3 đ n⇔/ a a e a eG = 1 1JG+ 2 2JGJ +a e3 3JJG

118

II Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

Định lý 1: Nếu A x y z( ; ; ) và B(x ; ; )A A A B y z thì B B

( B A; B A B; A)

JJJG

Định lý 2: Nếu aG =( ; ; ) và a1 2a a3 bG=( ; ; )b b b1 2 3 thì

• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với aG bG b ≠G 0G

a k bG G

aG cùng phương bG ⇔ ∃ ∈ !k \ sao cho =

Nếu a ≠G G0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi aG cùng hướng bG

k < 0 khi aG ngược hướng bG

k a

b

=

GG

, , thẳng hàng cùng phương

 Định lý 5: Cho hai véc tơ aG =( ; ; ) và a a a1 2 3 bG =( ; ; )b b b1 2 3 ta có :

 Định lý 7: Cho hai véc tơ aG=( ; ; ) a a a1 2 3 ta có :

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠

JJJGMA k MB= JJJG

• • •

 Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z và B B JJJGMA k MB= JJJG ( k ≠ 1 ) thì

.1.1.1

k

y k y y

k

z k z z

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)

a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI Tích có hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ aG =( ; ; ) và a a a1 2 3 bG=( ; ; )b b b1 2 3 là một véc tơ được ký hiệu : ⎡⎣a bG G; ⎤⎦ có tọa độ là :

AA

A

B C D

• aG cùng phương bG ⇔ ;⎡⎣aG ⎤⎦=0

• a b cG G G, , đồng phẳng ⇔ , ⎡⎣a b cG G G⎤⎦ =0

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

a Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

b Tính diện tích tam giác ABC

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Các định nghĩa:

1 Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

1 VTCP của đường thẳng :

là VTCP của đường thẳng (Δ) ⇔đn 0

a có giá song song hoặc trùng với ( )

• Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

• Một đường thẳng (Δ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

aK

Cho mặt phẳng G α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi là VTCP của đường aG

thẳng a và là VTVP của đường thẳng b Khi đó : JGJ b

Cặp ( , )a bJG được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α

3 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : nK

α

n là VTPT của mặt phẳng G α ⇔đn 0

n có giá vuông góc với mp

• Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; )( ; ; )

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M x y z và có một 0( ; ; )0 0 0

n K =

)

;

;( 0 0 0

Chú ý :

• Nếu ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 thì ( )α có một VTPT là nG=( ; ; )A B C

• M x y z0( ; ; ) ( ) :0 0 0 ∈ α Ax By Cz D+ + + =0 ⇔ Ax0 +By0+Cz0+ =D 0

Các trường hợp đặc biệt:

1 Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

• (Oxy):z = 0

• (Oyz):x = 0

• (Oxz):y = 0

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0)(0; ;0) (a,b,c 0)(0;0; )

a

b

c O

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3)

Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2 được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số

1 2

( , , , )( , , , )

n n

a

b = b = = b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α β, xác định bởi phương trình :

JJGJJG

( ) // ( )

AA( ) ( )

3 Chùm mặt phẳng :

a Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt phẳng

• Δ gọi là trục của chùm

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết

i Trục của chùm

hoặc ii Hai mặt phẳng của chùm

b Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α β, cắt nhau xác định bởi phương trình :

γ

β α

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( )Δ đi qua điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0

và nhận aG =( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )Δ đi qua điểmM x y z 0( ; ; )0 0 0

và nhận aG =( ; ; )a a a1 2 3 làm VTCP là :

3 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó

⎧

Định lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình:

αβ

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Suy ra: M(x,y,z)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

JG JJJJJJJGG

( ) và ( ) chéo nhau , 0

pt pt

Δ

⎧

⎩Δ

Suy ra: M(x,y,z)

III Góc trong không gian:

1 Góc giữa hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α β, xác định bởi phương trình :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) :Δ x x− 0 = y y− 0 = z z− 0

và mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )Δ α ta có công thức:

α

)

;

;(A B C

nK =K

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

0 0

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )Δ1 Δ2 ta có công thức:

1 a b c

aK =

1Δ2Δ

)'

;'

;'(

aK =0

0 ≤ϕ ≤

IV Khoảng cách:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 và điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0 Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )α được tính bởi công thức:

H

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ) đi qua điểm M x y z và có VTCP 0( ; ; )0 0 0

uG =( ; ; )a b c Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ( )Δ được tính bởi công thức:

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau : G

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

,

u u M M d

JGG

H

uK)

;

; ( 0 0 0

2Δ

BÀI TẬP RÈN LUYỆN -*** -

Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết

6

1cosα =

Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :

t y

t x d z

y x d

2

21

1:

&

1

11

12

1

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2

2 Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng

Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng :

1

12

11

1:

&

1

31

22

y x

d

1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1

2 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2)

1 Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông

2 Tính thể tích tứ diện ABCD

3 Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH

Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1)

1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

2 Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC)

3 Tính thể tích tứ diện OABC

Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng:

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1và song song với đường thẳng Δ2

2 Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất

Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng

Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12)

1 Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

2 Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB

Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : 2 1 0 và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P)

Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: 1: 0 và d :2 3

1 Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau

2 Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng

d1 Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2

Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ,

B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) Gọi M là trung điểm của cạnh CC’

1 Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

2 Xác định tỷ số a

b để hai mặt phẳng (A

’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5) Tính

góc giữa hai đường thẳng AB và CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho

tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất

Bài 13: 2 Trong không gian với hệ tọa dộ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

1:

x y

0 và 2 2: 3 11

x z d

1 Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

2 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường thẳng : 4 7

32

x− y− z−

−

Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với

A(0;0;a 3), B(a;0;0), C(0; a 3;0) (a>0) Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1),

B(0;-1;3) và đường thẳng : 3 2 11

Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên

3 Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) sao cho Δ cắt cả d1 và d2

Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) sao cho Δ ⊥d và //(P)Δ

Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

và mặt phẳng ( )P x y z: + + − =1 0

Lập phương trình đường thẳng Δ sao cho Δ ⊥( )P và Δ cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng :

z và điểm I(2;-1;3)

Gọi K là điểm đối xứng của I qua (d) Tìm toạ độ điểm K

Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng :

1( ) :

1 Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2

2 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và d2

3 Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ

Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = 0

1 Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)

2 Viết phương trình chính tắc của giao tuyến của (P) và (Q)

3 Gọi K là điểm đối xứng của A qua (P) Tìm toạ độ điểm K

Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) và B(7;-2;3) và đường thẳng (d): 2 3 4

1 Chứng minh (d) và AB đồng phẳng

2 Tìm toạ độ giao điểm I0 của đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn AB

3 Tìm I∈( )d sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất

Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

1 Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

2 Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều

Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) và mặt phẳng (P): z = 0

1 Tìm M ∈ (P) sao cho MA+MB là nhỏ nhất

2 Tìm N∈ (P) sao cho NA NB− là lớn nhất

Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Tìm M∈ (P) sao cho MA MB− là lớn nhất

Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P)

Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

2 Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2

Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

2 Tìm toạ độ các điểm A, B của đường vuông góc chung AB của d1 và d2

Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4)

và đường thẳng ( ) : 1 2

1 Tìm toạ độ điểm M nằm trên (d) sao cho AM ⊥AB

2 Tìm toạ độ điểm N nằm trên (d) sao cho VNABC = 3

Bài 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) và S(0;5;8)

1 Chứng minh rằng SB⊥OA

2 Chứng minh rằng hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA Gọi

K là giao điểm của hình chiếu đó với OA Tìm toạ độ điểm K

3 Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh OS và AB.Tìm toạ độ M thuộc SB sao cho

PQ và KM cắt nhau

Bài 33: Cho hai đường thẳng :

Bài 34: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt hai đường thẳng :

Bài 35: Cho bốn điểm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3)

1 Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D nằm trên cùng một mặt phẳng

2 Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

3 Tìm trên đường thẳng AB điểm M sao cho tổng MC+MD là nhỏ nhất

Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P):x-2 = 0 , (Q):y-z-1=0

Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q)

Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) và C(1,1,3)

Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC

và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài 39: Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai đường

(P): x+y+z-2 = 0 và vuông góc với đường thẳng (d) : x y 1 0

1 Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo nhau

2 Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

3 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) sao cho (P)//(Q)

4 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz và cắt cả (d1) và (d2)

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình mặt cầu:

Phương trình (1) được gọi là phương trình M )

chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi I ≡O thì ( ) :C x2+y2+z2 =R2

2 Phương trình tổng quát:

Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình :

x2+y2+z2 2− ax−2by−2cz d+ =0

z

với a2+b2+c2− >d 0 là phương trình của mặt cầu (S) có

tâm I(a;b;c), bán kính =R a2+b2+c2−d

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )α và mặt cầu (S) có phương trình :

O

R

; (x y z

)

S

I

(

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

R I

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

II CÁC CÔNG THỨC VỀ ðỊNH LƯỢNG

3

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI GIỮA MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

CÁC BÀI TOÁN MẪU

Trước khi làm các bài tập trong Chuyên ðề này thầy có một vài quy ước sau (ñể các em tiện theo dõi) :

+)M t( ) ∈ ∆: ta ràng buộc tọa ñộ ñiểm M theo một ẩn là t

Hướng giải: +) Gọi M t( ) ∈d ( )

+) Khai thác dữ kiện bài toán ( tam giác AMB vuông tại M) : MA MBuuur uuur = ⇔0 f t( )= ⇔ =0 t ?⇒M

= − −



uuur uuur

+) Tam giác AMB vuông tại M nên : MAuuur⊥MBuuur

− và hai ñiểm A(1; 1; 2)− , B(2; 1; 0)− Xác ñịnh tọa ñộ

ñiểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M (ñã giải)

2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M

thuộc (P) sao cho MA = MB = 3 (ñã giải)

− và hai ñiểm A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2) Tìm ñiểm M

thuộc ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

− và mp (P): x – 2y + z = 0 Gọi C là giao của ∆ với (P), M

là ñiểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M ñến (P), biết MC = 6

6) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b c, > 0 và mp (P): y – z + 1 = 0 Tìm b và c, biết mp (ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng 1

8) (D – 2010:NC) Cho hai ñường thẳng 1

3 :

∆ = = Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc ∆1

sao cho khoảng cách từ M tới ∆2bằng 1

9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai ñường thẳng 1 1 9

10) (D – 2009: CB) Cho A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mp (P): x + y + z – 20 = 0 Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm D thuộc

ñường thẳng AB sao cho ñường thẳng CD song song với mp (P)

11) (A – 2008) Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng d: 1 2

13) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3) Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

14) (B – 2007) Cho mặt cầu (S) :x2+y2+ −z2 2x+4y+2z− =3 0 và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mp (P) lớn nhất.

15) (D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và ñường thẳng : 1 2

thuộc ∆ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất

16) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 1 1 1

Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộcd1, N thuộc d2 sao cho 3 ñiểm A, M, N thẳng hàng

17) (D – 2006) : Cho ñiểm A(1; 2; 3) và ñường thẳng : 2 2 3

− và mp (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm I thuộc d

sao cho khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P) bằng 2

19) (D – 2005) Cho hai ñường thẳng : 1 1 2 1

và mp Oxz cắt d d1, 2 lần lượt tại

các ñiểm A, B Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa ñộ )

20) ( A – 2002) Cho ñường thẳng

1 : 2

thẳng MH có ñộ dài nhỏ nhất

23) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2; -3; 1) trên mặt phẳng (P) : x + 3y – z + 2=0

24) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2 ; -1; 1) trên ñường thẳng d :

1 2 1 2

CÁC BÀI TOÁN MẪU

1) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 1 1 1

Phân tích:

+) Bài toán cho ñi qua ñiểm A(0; 1; 2) (biết một yếu tố - vẫn còn thiếu véc tơ pháp tuyến của (P))

+) Khai thác dữ kiện: “(P) ñồng thời song song với d d1, 2” ⇒ u uur uur1, 2 là cặp vtcp của (P) ⇒nuuur( )P =u uur uur1, 2

Như vậy theo Hướng tư duy ở TH1 ta sẽ có lời giải như sau:

Giải: Từ phương trình của ñường thẳng d d1, 2 ta có : uur1= (2;1; 1) − và uuur2 = (1; 2;1) −

mà (P) ñồng thời song song với d d1, 2 ⇒nuuur( )P =u uur uur1, 2=(1;3;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A(0; 1; 2) và có nuuur( )P = (1; 3; 5) là:

(x− + 0) 3(y− + 1) 5(z− = 2) 0 hay x+ 3y+ 5z− = 13 0

Kiểm tra kết quả:

(vì chúng ta khai thác bài toán chưa triệt ñể : d d1; 2 có thể nằm trên (P) – u u1, 2

2) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2

Phân tích:

+) Như vậy với dữ kiện của ñề bài ta không khai thác ñược yếu tố ñiểm Thế còn véc tơ pháp tuyến ?

+) Dữ kiện: “mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ⇒ nuuur uuur( )P ,n( )Q là cặp vtcp của (R) ⇒nuuur( )R = nuuur uuur( )P ,n( )Q =( ; ; )a b c ⇒ mp (R): ax+by+ + =cz m 0 +) Cắt nghĩa dữ kiện: O ñến (R) bằng 2 ⇒ f m( ) = ⇔ = 0 m ? ⇒ mp (R) Với những phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH2 Và ta có lời giải cụ thể sau:

Giải:

Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q) ta có : nuuur( )P = (1;1;1) và nuuur(Q) = (1; 1;1) −

mà mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ⇒nuuur( )R = nuuur uuur( )P ,n( )Q = (2; 0; 2) − = 2.(1; 0; 1) −

9

3) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P)

ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P)

Chú ý: Với số liệu ñặc biệt của bài toán trên các em có thể có cách giải khác là: “khoảng cách từ C ñến (P) bằng

khoảng cách từ D ñến (P)” ⇔(P) song song với CD hoặc (P) ñi qua trung ñiểm của CD Và quay về Hướng tư duy ở

TH1 (ñây cũng là cách giải của Bộ Giáo Dục – cách giải này là hay nhất với số liệu trên) Nhưng nếu khoảng cách không bằng nhau ? thì cách này lại không làm ñược Hướng tư duy ở TH3 lúc này vẫn phát huy tác dụng

4) (B – 2012: NC) Cho A(0; 0; 3),M(1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM

Phân tích: Với dữ kiện (P) ñi quaA(0; 0;3) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C cho ta hướng tư duy của TH4

Nên theo Hướng tư duy của TH4 ta có lời giải như sau:

Giải : Vì (P) ñi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C nên B b( ; 0; 0) và C(0; ; 0)c ⇒phương trình (P): 1

Gọi G t( ; 2 ; 3 3 )t − t ∈AM ( 1 ) ( thuật toán tìm ñiểm )

Mặt khác: G là trọng tâm tam giác ABC ; ;1

t c

c t

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)

1 ) (B – 2008) Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1).Viết phương trình mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A, B, C

2) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 1 1 1

3) (B – 2005) Cho lăng trụ ñứng ABC A B C. 1 1 1 với A(0 ; - 3 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0), B1(4; 0 ; 4) Gọi M là trung ñiểm củaA B1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua hai ñiểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt ñường thẳng A C1 1 tại ñiểm N Tính ñộ dài ñoạn MN

4 ) ( D – 2005) Cho hai ñường thẳng 1 1 2 1

5 ) (A – 2002) Cho hai ñường thẳng 1 2 1 4

6 ) Cho ñiểm M(1; -1; 1) và hai mặt phẳng (P): 3x + y – 2 z – 2011 = 0, (Q): x – 3y + 2 = 0 Viết phương trình mặt

phẳng ( )α ñi qua M và ñồng thời vuông góc với (P) và (Q)

7) Cho ñiểm M(0 ; – 2; -1), ñường thẳng d: 1 1

x− = =y z+

− và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2012 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )α ñi qua M song song với d và vuông góc với (P)

Bài 2 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1 ) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0 Viết phương trình mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2 (ñã giải)

2 ) (TN – 2005) Trong không gian cho mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x+ 2y+ 4z− = 3 0 và hai ñường thẳng

2 1 1

− Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) và song song với ∆ 1 , ∆2

3 ) (TN – 2003) Trong không gian cho bốn ñiểm A(2; 4; -1), C(2; 4; 3),OBuuur= +ri 4rj−kr và ODuuur= + 2ri 2rj−kr

Gọi (S) là mặt cầu qua bốn ñiểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song với (ABD)

4) Trong không gian cho mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 2x+ 4y+ 2z− = 10 0 và hai ñiểm A(-1; 2; 1), B(2; 3; -1)

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 3 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH3)

1 ) (A – 2011:NC) Cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 4x− 4y− 4z= 0 và ñiểm A(4 ; 4 ; 0) Viết phương trình mặt

phẳng (OAB), biết ñiểm B thuộc (S) và tam giác OAB ñều

11

2 ) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P)

ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P) (ñã giải)

3 ) (A – 2008): Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng 1 2

4 ) (B – 2007) Cho mặt cầu (S):x2+y2+ −z2 2x+ 4y+ 2z− = 3 0 và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 Viết phương

trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ñường tròn có bán kính bằng 3

5 ) ( A – 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Viết phương

trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 1

− − và ñiểm A(1; 0; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, song song

với ñường thẳng ∆ và khoảng cách giữa ñường thẳng ∆với mặt phẳng (P) bằng 3

Bài 4 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH4)

1 ) (B – 2012 – NC) Cho A(0;0;3),M(1; 2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM ( ñã giải)

2 ) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b c, >0 và mp (P): y – z + 1 = 0 Tìm b và c, biết mp (ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng 1

3

3) Viết phương trình mặt phẳng ( )P ñi qua ñiểm M(1; 2;3) và cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho : a) M là trọng tâm của tam giác ABC

b) Mlà trực tâm của tam giác ABC

4) Viết phương trình mặt phẳng ( )P cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , sao cho ABC là tam giác ñều và

BÀI TOÁN 2.2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG

CÁC BÀI TOÁN MẪU

1) ( D – 2007) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình ñường

thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)

Phân tích:

+ ) Yếu tố ñiểm: G là trọng tậm của tam giác OAB ⇒ tọa ñộ G

+ Véc tớ Chỉ Phương: d⊥ (OAB) ⇒uuurd =nuuuuur(OAB) = OA OBuuur uuur, 

Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:

uuur mà d ⊥ (OAB) ⇒uuurd =nuuuuur(OAB) = OA OBuuur uuur, =(12; 6; 6 − )= 6 2; 1;1( − )

Vậy phương trình của ñường thẳng d là: 2 2

x = y− = z−

−

(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa ñộ giao ñiểm A của ñường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số

của ñường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ ñi qua A và vuông góc với d

uur uuur uur

Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:

uur uuur uur

Vậy phương trình của ñường thẳng ∆ là: 1

4

x t y

+ ) Yếu tố ñiểm : “ ∆ cắt dvà ( )P lần lượt tại M và N” → tìm M N, theo TTTð (Thuật Toán Tìm ðiểm)

+ ) Véc tơ chỉ phương : uuur∆ =MNuuuur

Như vậy với dữ kiện của bài toán ta sẽ ñi theo hướng tư duy ở TH2 và có lời giải như sau:

Bài toán trên khi viết phương trình ∆ chúng ta có 3 sự lựa chọn ñiểm (là những ñiểm chúng ta nhìn thấy rõ nhất) là:

A(1; 1; 2), − M(3; 2; 4),N( 1; 4; 0) − − (Bài toán trên thầy ñã chọn ñiểm M(3; 2; 4) )

Phân tích:

+ ) Yếu tố ñiểm : ∆ ñi qua ñiểm A (1 ; 2 ; 3)

+ Véc tơ chỉ phương : ∆ cắt trục Ox → gọi B x( ; 0; 0) ∈Ox và do ∆ ⊥d ⇒ tọa ñộ ñiểm B⇒uuur∆ =uuurAB

Như vậy với dữ kiện của bài toán ta sẽ ñi theo hướng tư duy ở TH2 và có lời giải như sau:

Giải:

Gọi B x( ; 0; 0) ∈Ox ( với { }B = ∆ ∩Ox ) ⇒uuurAB= − − −(x 1; 2; 3)

Ta có:uuurd = (2;1; 2) − Mà ∆ ⊥ ⇔d u uuur uur∆. d = ⇔ 0 uuur uurAB u. d = 0 ⇔ 2(x− − + = ⇔ = − 1) 2 6 0 x 1 ⇒B( 1; 0; 0) −

Bài 1 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)

1 ) ( D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam

giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) (ñã giải)

2 ) (A – 2005) Cho ñường thẳng d : 1 3 3

x− = y+ = z−

− và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa ñộ giao ñiểm A của ñường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của ñường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ ñi qua A và vuông góc với d (ñã giải)

3 ) Cho ñường thẳng d : 1

1 2 3

x = y− = z

− và hai mặt phẳng (P): x + y – 3z + 4 = 0, (Q) : x – y + 2z – 2 = 0 Viết phương trình ñường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) ñi qua ñiểm M và song song với (P), biết M là giao ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (Q)

4 ) Cho ñiểm M(- 1 ; 2 ; 1) và hai ñường thẳng d1: 1 2

5 ) Cho ñiểm M(0 ; 2 ; -3) và hai mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2011 = 0, (Q): x + 3y – z + 2013 = 0

Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua ñiểm M cùng song song với (P) và (Q)

6 ) Cho ñiểm M(2 ; 1 ; -1), ñường thẳng 1 1

7 ) Cho hai ñiểm A(2; 4; -1), B(-5; 2; 4) và ñường thẳng 1 2

Bài 2 (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1 ) (A, A1- 2012:NC) Cho ñường thẳng 1 2

4 ) (A – 2007) Cho hai ñường thẳng : 1 1 2

5 ) (B – 2004) Cho ñiểm A( 4; 2; 4)− − và ñường thẳng

3 2 : 1

Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua

ñiểm A, cắt và vuông góc với ñường thẳng d

7) Cho hai ñường thẳng 1 1 2

BÀI TOÁN 2.3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CÁC BÀI TOÁN MẪU

1) (A, A1 – 2012: CB) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng 1 2

+) Yếu tố Tâm : ðề bài ñã cho tâm I(0;0;3)

+) Yếu tố Bán Kính : Tam giác IAB vuông cân tại I ( vì IA = IB = R) ⇒ R= 2IH ⇒ cần tính IH:

C1: Tìm tọa ñộ ñiểm H (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) ⇒IH

C2: IH bằng khoảng khoảng cách từ I ñến d (Áp dụng công thức khoảng cách)

Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:

Giải:

+) Gọi H t( − 1; 2 ;t t+ ∈ 2) d là hình chiếu của I xuống ñường thẳng d ⇒IHuuur= − (t 1; 2 ;t t− 1)

Ta có véc tơ chỉ phương của d: uuurd =(1; 2;1)

+) Yếu tố Tâm : ðề bài ñã cho tâm I(2;1; 3)

+) Yếu tố Bán Kính: Mặt cầu cắt (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4

Vậy theo hướng tư duy ở TH2 ta có lời giải như sau:

Giải: +) Gọi mặt cầu có tâm I và gọi I(2t+ 1; ; 2 )t − t ∈d

+) Mặt cầu ñi qua A B, nên IA=IB=R 2 2

IA IB

⇔(2t−1)2+ −(t 1)2+4t2=(2t+3)2+ −(t 3)2+(2t+2)2⇔ − + =6t 2 14t+22⇔ = −t 1

Suy ra: I( 1; 1; 2) − − và bán kính R=IA= 32+ +22 22 = 17

Vậy phương trình mặt cầu là: (x+1)2+ +(y 1)2+ −(z 2)2 =17

4) (D – 2011 - NC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng 1 3

+) Yếu tố Tâm : ðề bài ñã cho tâm I∈ ∆ → Dựa vào Thuật Toán Tìm ðiểm ⇒I

+) Yếu tố Bán Kính : ðề bài cho R= 1

Vậy theo hướng tư duy ở TH2 ta có lời giải như sau:

Giải: +) Gọi tâm I(2t+ 1; 4t+ 3; )t ∈ ∆ Ta có: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) ⇔d I P( , ( )) =R

2 2 2

2 (5;11; 2)2(2 1) (4 3) 2

BÀI 1: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)

1 ) (D – 2012) Cho mặt phẳng (P): 2x+ − + =y 2z 10 0 và ñiểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4 (ñã giải)

2 ) (A, A1 – 2012) Cho ñường thẳng 1 2

:

và ñiểm I(0;0;3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I

và cắt d tại hai ñiểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I (ñã giải)

3 ) ( A – 2010 : NC) Cho ñiểm A(0 ; 0 ; -2) và ñường thẳng 2 2 3

:

∆ = = Tính khoảng cách từ A ñến ∆

Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai ñiểm B và C sao cho BC = 8

4 ) ( B – 2005) Cho hình lăng trụ ñứng ABC A B C 1 1 1 với A(0 ; - 3 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0),B1(4; 0; 4) Tìm tọa ñộ các ñỉnhA C1, 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC B1 1)

5 ) Cho ñiểm I(1 ; 2 ; -2) và mặt phẳng (P) : 2x +2y + z + 5 = 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, sao cho (P)

cắt (S) theo một ñường tròn có chu vi là 8π

6 ) Cho mặt phẳng (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0, mặt phẳng (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và ñường thẳng d : 1 1

x− = y = z−

Viết phương trình mặt cầu (S), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao ñiểm của d với (P) và mặt phẳng (Q) cắt hình cầu (S) theo thiết diện là hình tròn với diện tích là 20π

7 ) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2 ; 3 ; -1) và cắt ñường thẳng d : 11 25

b) Lập phương trình mặt cầu (S) nhận ñoạn vuông góc chung của d1 và d2 làm ñường kính

BÀI 2: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và

A, B là hai ñiểm thuộc (S)

4 ) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3) Viết phương trình mặt cầu ñi qua bốn

ñiểm A, B, C, D

5 ) (D – 2004) Cho ba ñiểm A(2 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0

Viết phương trình mặt cầu ñi qua ba ñiểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

6 ) (TN – 2004) Trong không gian cho bốn ñiểm A(1 ; -1 ; 2), B(1 ; 3 ; 2), C(4 ; 3 ; 2) và D(4 ; -1 ; 2) Gọi A’ là hình

chiếu của A lên mặt phẳng Oxy Viết phương trình mặt cầu ñi qua A’, B, C, D

7 ) Cho ñường thẳng d : 1 2

x− = y+ = z

và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 2 = 0

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1

8 ) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và A, B là hai ñiểm

19

Ý tưởng cho các bài toán tìm GTLN ,GTNN nói chung cũng như các bài toán GTLN ,GTNN của hình học giải tích

trong không gian nói riêng, là ta tìm cách thiết lập biểu thức cần xác ñịnh GTLN, GTNN theo một ẩn t nào ñó bằng

cách “cắt nghĩa” dữ kiện bài toán Sau ñó dùng các kĩ thuật, và phương pháp tìm GTLN, GTNN ñể giải quyết (thường

là bài toán tìm ñiểm) Hoặc cắt nghĩa bài toán (không cần thiết lập biểu thức) ñể khai thác ñược yếu tố vuông góc,

song song (thường với những bài toán viết phương trình ñường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu) Và sau ñây chúng ta sẽ ñi

tìm hiểu các hướng ñi này

Bài toán 1: Cho ñường thẳng d và hai ñiểm A, B Tìm tọa ñộ ñiểm M∈dsao cho:

1) k MA1 2+k MB2 2nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) 2) k MA k MB1uuur+ 2uuur nhỏ nhất

3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giác MABnhỏ nhất) 4) MA MB− lớn nhất

Cách giải chung: Gọi M t( ) ∈d →

+) Từ (2*) và (3*) → MA MB− = a NH −NK ≤ a HK = const → MA MB− m ax = a HK (4*) +) Dấu “=” (4*) xảy ra khi: { }N =HKI Ox→ = → = →N ? t ? M

CHÚ Ý:

+) Ở Câu 3 (và Câu 4) ta phải chọn y y1 2 <0(vày y1 2>0) ñể hai ñiểm H, K khác phía (và cùng phía) với Ox

+) Ở phần cách giải chung trong Câu 3 và Câu 4 ta ñang giải quyết trong trường hợp khó là AB và ñường thẳng d

là chéo nhau (không ñồng phẳng) Nhưng nếu AB và d ñồng phẳng (có thể cắt nhau, song song, trùng nhau) thì ta sẽ

có cách giải quyết nhẹ nhàng hơn ??? (thầy sẽ nói rõ ñiều này qua các ví dụ)

+) Ở Câu 1,Câu 2 chúng ta có thể mở rộng bài toán thành n ñiểm A A1, 2, ,A n

Ví dụ 3: Cho hai ñiểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và ñường thẳng

Xác ñịnh vị trí ñiểm M nằm trên ñường

thẳng ∆ ñể chu vi tam giác MAB ñạt giá trị nhỏ nhất

3) 2MA MBuuur−uuur nhỏ nhất 4) 2MA MBuuur+uuur nhỏ nhất

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 2; -1), B(7; - 2; 3) và ñường thẳng d có phương

21

Bài toán 2 : Cho mặt phẳng (P) và ba ñiểm A, B, C Tìm tọa ñộ ñiểm M∈ ( )P sao cho:

1) k MA1 2+k MB2 2+k MC3 2nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) 2) k MA k MB1uuur+ 2uuur+k MC3uuuur nhỏ nhất

3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giác MABnhỏ nhất) 4) MA MB− lớn nhất

Cách giải chung:

Câu 1)

+) Xét ñiểm Ithỏa mãn: k IA k IB1uur+ 2uur+k IC3uur=0r (*) → tọa ñộ ñiểm I

+) Ta có: k MA1 2+k MB2 2+k MC3 2 =k MA1uuur2+k MB2uuur2+k MC3uuuur2

=k MI1(uuur+IAuur)2+k MI2(uuur+uurIB)2+k MI3(uuur+ICuur)2

= (k1+ +k2 k MI3) 2+k IA1 2+k IB2 2+k IC3 2+2MI k IA k IBuuur( 1uur+ 2uur+k IC3uur)

+) Xét ñiểm Ithỏa mãn: k IA k IB1uur+ 2uur+k IC3uur=0r (*) → tọa ñộ ñiểm I

+) Ta có: k MA k MB k MC1uuur+ 2uuur+ 3uuuur=k MI1(uuur+IAuur)+k MI2(uuur+IBuur)+k MI3(uuur+ICuur)

=(k1+ +k2 k MI3)uuur+k IA k IB k IC1uur+ 2uur+ 3uur

=(k1+ +k2 k MI3)uuur (do có (*))

→ k MA k MB1uuur+ 2uuur+k MC3uuuur = (k1+ +k2 k MI3)uuur = + +k1 k2 k MI3

min

k MA k MBuuur+ uuur+k MCuuuur khi MImin (2*) → M là hình chiếu của I trên (P) →M

CHÚ Ý: Các em có thể tìm nhanh ñiểm I nhờ vào công thức sau:

+) Xác ñịnh ñiểm A' ñối xứng với A qua (P)

+) Ta có: MA MB+ =MA'+MB≥A B' =const→(MA MB+ )min = A B' khi { }M = A B' I( )P

Câu 4) (về mặt ý tưởng ta sẽ làm tương tự như Câu 3 – song cách giải ngược với Câu 3)

Xét vị trí tương ñối của A, B so với mặt phẳng (P) Nếu :

CHÚ Ý: Qua Câu 3 và Câu 4 ta nhận thấy ñể giải ñược bài toán:

+) (MA MB+ )min thì A, B khác phía (nếu cùng phía thì phải chuyển về khác phía – phần giải ñã làm rõ ñiều này)

+)

m ax

MA MB− thì A, B cùng phía (nếu khác phía thì phải chuyển về cùng phía)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z 4 0 Tìm ñiểm M∈ ( )P sao cho:

23

Tìm ñiểm M thuộc mặt phẳng ( )α sao cho MA2−MB2−MC2có giá trị lớn nhất

Bài toán 3: Bài toán GTLN, GTNN liên quan tới khoảng cách, ñộ dài ñoạn thẳng,chu vi tam giác, diện tích tam giác, thể tích của khối hình ña diện

Cách giải chung:

Với dạng toán trên chúng ta thường ñi theo hai hướng :

+) Cắt nghĩa bài toán ñể khai thác ñược yếu tố vuông góc, song song

+) Thiết lập biểu thức khoảng cách theo ẩn t Và chuyển về bài toán tìm t ñể khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất

Ví dụ 1: Cho ñiểm A(10; 2: - 1) và ñường thẳng 1 1

:

Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A,

song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

Ví dụ 2: (t2) Cho ñiểm A(2; –1; 0), B(0; 1; – 1) và ñường thẳng 1 1

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng ñi qua M cắt ba tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Ví dụ 5: Trong không gian cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 2x−4y+2z=16 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; 1; 1) sao cho (P) cắt (S) theo giao tuyến là một ñường tròn có bán kính nhỏ nhất

Ví dụ 6: Cho hai ñường thẳng 1 1 1 3

Cảm ơn các em và các bạn ñã ñọc tại liệu !

Mọi ý kiến ñóng góp các em và các bạn gửi qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com

hoặc ñịa chỉ : số 9 – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội

ðiện thoại : 043.9871450 hoặc Dð: 0947141139

Lời giải các bài tập các em có thể tham khảo trên web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3