Tọa độ trong không gian OXYZ ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề 15: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x' x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung z'Oz : trục cao O : gốc toạ độ JG JJG JJG e1 , e2 , e3 : véc tơ đơn vò • • • • • K e3 y' x K e1 O K e2 z' Quy ước : Không gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) II Toạ độ điểm véc tơ: JJJJG Đònh nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo JJJJG JG JJG JJG JG JJG JJG z e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : OM = xe1 + ye2 + ye3 với x,y,z ∈ \ Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M y Ký hiệu: M(x;y;z) M ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) O x M ( x; y; z) ñ/n ⇔ JJJJG JG JJG JJG OM = xe1 + ye2 + ze3 Ý nghóa hình học: • z M2 R z M3 O M y p x = OP Q x x y M1 117 ; y= OQ ; z = OR y G G Đònh nghóa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo G JG JJG JJG JG JJG JJG e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 với a1 ,a2 ∈ \ G Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a G a = (a1; a2 ) Ký hiệu: G a=(a1;a2 ;a3 ) G JG JG J JJG a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 đ/n ⇔ II Các công thức đònh lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Đònh lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B; yB ; zB ) JJJG AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) G G Neáu a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) Đònh lý 2: ⎧a1 = b1 G G ⎪ * a = b ⇔ ⎨a2 = b2 ⎪a = b ⎩ G G * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) G G * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) G * k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ \ ) III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Đònh lý phương hai véc tơ: G G G G  Đònh lý : Cho hai véc tơ a b với b ≠ G G a phương b G G ⇔ ∃!k ∈ \ cho a = k b G G Nếu a ≠ số k trường hợp xác đònh sau: G G k > a hướng b G G k < a ngược hướng b G a k = G b  Đònh lý : JJJG JJJG A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC 118  G G Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : ⎧a1 = kb1 ⎪ ⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 ⎪a = kb ⎩ G G a cuøng phương b IV Tích vô hướng hai véc tơ: Nhắc lại: GG G G G G a.b = a b cos(a, b) G2 G a =a G G GG a ⊥ b ⇔ a.b =  Đònh lý 6: G G Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a2 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : GG a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 G  Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) ta coù : G a = a12 + a22 + a32  Đònh lý 8: Nếu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2 G G  Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : G G a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = G  Đònh lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) G b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : GG G G a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b cos(a, b) = G G = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : JJJG JJJG MA = k.MB • • • A M B 119  Đònh lý 11 : Nếu JJJG JJJG A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ ) x A − k x B ⎧ ⎪ xM = − k ⎪ y A − k y B ⎪ ⎨ yM = 1− k ⎪ zA − k zB ⎪ ⎪ zM = − k ⎩ Đặc biệt : x A + xB ⎧ ⎪ xM = ⎪ y +y ⎪ M trung điểm AB ⇔ ⎨ yM = A B ⎪ zA + zB ⎪ ⎪ zM = ⎩ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: G G Đònh nghóa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) véc tơ G G ký hiệu : ⎡⎣ a; b ⎤⎦ có tọa độ : G G ⎛a ⎡ a; b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ⎞ ; ⎟ b1 b1 b2 ⎠ G a = (a1; a2 ; a3 ) Cách nhớ: G b = (b1; b2 ; b3 ) Tính chất: • • • G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ a vaø ⎣ ⎦ G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ b ⎣ ⎦ JJJG HJJG SΔABC = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ A B JJJG JJJG S ABCD = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ C D A' A • VABCD A' B'C ' D' JJJG JJJG JJJG = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ AA' D' C B C' B' D C A 120 B • JJJG JJJG JJJG VABCD = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ AD • G G a phương b • G G G G G G a, b, c đồng phẳng ⇔ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ c = D G G G ⇔ ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = C A B BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các đònh nghóa: Véc tơ phương đường thẳng: VTCP đường thẳng : G G G đn ⎧ a ≠ ⎪ a VTCP đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ G ⎪⎩a có giá song song trùng với (Δ) K a K a ( Δ) Chú ý: • Một đường thẳng có vô số VTCP, véc tơ phương với • Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: K a K b a α b G Cho maët phẳng α xác đònh hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường G thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : JGJJG Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTCP 121 K n Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : α G G G đn ⎧ n ≠ ⎪ n VTPT mặt phẳng α ⇔ ⎨ G ⎪⎩n có giá vuông góc với mpα Chú ý: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, véc tơ phương với • Một mặt phẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: G ⎧⎪a = (a1; a2 ; a3 ) Đònh lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP : ⎨ G mp α có VTPT : b ( b ; b ; b ) = ⎪⎩ G G G ⎛a n = ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = ⎜ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 ⎞ ⎟ b2 ⎠ K K K n = [a , b ] K a K b α BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm VTPT mặt phẳng α biết α qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có G VTPT n = ( A; B; C ) laø: K n = ( A; B ; C ) α M ( x0 ; y ; z ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = z Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : K n = ( A; B ; C ) α M0 y Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ≠ phương trình tổng quát mặt phẳng 122 x Chú ý : G • Nếu (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) • M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: • (Oxy):z = • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (Oyz ) z y O (Oxz ) x ⎧ A(a; 0; 0) ⎪ • Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz taïi ⎨ B(0; b; 0) ⎪C (0; 0; c) ⎩ x y z laø: + + =1 a b c (Oxy ) (a,b,c ≠ 0) C c O a b B BÀI TẬP ÁP DỤNG: A Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác III Vò trí tương đối hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: ⎧a1 = tb1 ⎪a = tb ⎪⎪ ( a , a , , a ) ⎧ n Hai n số : ⎨ gọi tỷ lệ với có số t ≠ cho ⎨ ⎩(b1 , b2 , , bn ) ⎪ ⎪ ⎪⎩an = tbn a a1 a2 Ký hiệu: a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn hoaëc = = = n b1 b2 bn Vò trí tương đối hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh phương trình : JJG (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = coù VTPT n1 = ( A1; B1; C1 ) JJG ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = coù VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) K n1 K n2 K K n1 K n1 α n2 α α β β 123 K n2 β (α ) caét (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C2 D2 (α ) ≡ (β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C2 D2 (α ) // (β ) Đặc biệt: A1 B1 B C C A hoaëc ≠ hoaëc ≠ ) ≠ B2 C2 C2 A2 A B2 α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Chùm mặt phẳng : α β γ a Đònh nghóa: Tập hợp mặt phẳng qua đường thẳng gọi chùm mặt phẳng • Δ gọi trục chùm • Một mặt phẳng hoàn toàn xác đònh biết i Trục chùm ii Hai mặt phẳng chùm b Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β cắt xác đònh phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến α β có phương trình dạng: (γ ) : λ ( A1 x + B1y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = (λ + μ ≠ 0) Chú ý: λ = μ ≠ γ ≡ β λ ≠ μ = γ ≡ α Đặc biệt : Nếu λ ≠ μ ≠ γ ≠ α β trường hợp phương trình γ viết dạng sau: m(A1 x + B1y + C1z + D1 ) + (A x + B2 y + C2 z + D2 ) = hoaëc (A1 x + B1y + C1z + D1 ) + n(A x + B2 y + C2 z + D2 ) = 124 α β γ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) G nhận a = (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : z K a ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ (Δ) : ⎨ y = y0 + ta2 ⎪ z = z + ta ⎩ (Δ) M0 M ( x, y , z ) y (t ∈ \) O x Phương trình tắc đường thẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) G nhận a = (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : (Δ ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát đường thẳng : Trong không gian ta xem đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ñoù ⎧(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = Xem (Δ ) = α ∩ β với ⎨ ta có đònh lý sau ⎩( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: ⎧ A1 x + B1y + C1z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⎨ A x + B y + C z + D = ⎩ 2 2 phương trình tổng quát đường thaúng G ⎧⎪(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( nα = ( A1; B1; C1 )) Chú ý: Nếu (Δ): ⎨ ( Δ ) có VTCP : G β A x B y C z D n A B C ( ) : ( ( ; ; )) + + + = = β ⎪⎩ 2 2 2 G G G ⎛B a = ⎡⎣ nα , n β ⎤⎦ = ⎜ ⎝ B2 C1 C1 ; C2 C2 125 A1 ; A1 A2 A2 B1 ⎞ ⎟ B2 ⎠ II Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : K a (Δ ) K n (Δ ) K n K n M α K a M K a (Δ ) M α α Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho : G x − x0 y − y0 z − z0 coù VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) vaø qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đường thẳng (Δ ) : = = a1 a2 a3 G coù VTPT n = ( A; B; C ) mặt phaúng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi : (Δ) cắt (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D = (Δ) // (α ) (Δ) ⊂ (α ) K a Đặc biệt: (Δ ) ⊥ ( α ) ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C K n α ⎧ pt(Δ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( Δ ) ( α ) ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(α ) Suy ra: M(x,y,z) Vò trí tương đối hai đường thẳng : M M0 ' Δ1 K a K b K u M0 K u' Δ2 Δ1 Δ2 ' Δ1 M M K u K u' M0 Δ2 M M 0' K u ' Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : G x − x0 y − y0 z − z0 (Δ1 ) : coù VTCP u = (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) = = a b c JG x − x0 y − y0 z − z0 ' (Δ ) : coù VTCP u = = = (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c 126 Δ1 K u' Δ2 www.MATHVN.com 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm SAB ; SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm đoạn BD Mặt phẳng () qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? www.mathvn.com - www.MATHVN.com c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính JA JD KA KS HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ không song song với BC Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ? Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả : SA’ = SA n 1 ; SB’ = 2n  SB ; SC’ = SC 3n  a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ www.mathvn.com - www.MATHVN.com BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Bµi1 Cho tø diƯn SABC cã I, J trung điểm AB BC CMR: víi M  SB (M  B) ta ®Ịu cã IJ // (ACM) Bµi Cho tø diƯn ABCD gọi M N trọng tâm  ABD vµ  ACD CMR: M N // (BCD) MN // (ABC) Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng Trên cạnh AD, BE lấy điểm M, N cho AM BN k (0 AD BE AB) Gọi M, N trung điểm SA, SB a, Chứng minh MN//CD b, Tìm giao điểm P SC mp(AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI//AB//CD Tứ giác SABI hình gì? Bài 3: Cho tø diÖn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chứng minh MNPQ hình bình hành b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn Bài 4: Cho tam giác ABC nằm mp(P) Gọi Bx; Cy nửa đường thẳng song song nằm phía mp(P) M N điểm di động x, Cy cho CN = 2BM a, Chứng minh MN qua điểm cố định I M, N di ®éng b, E điểm thuộc đoạn AM EM EA Gọi F giao điểm IE AN, Q giao điểm BE CF Chứng minh AQ//Bx//Cy (QMN) chứa đường thẳng cố định M, N di động Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm BC, SC, SD AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chøng minh PQ//SA b, Gäi K giao điểm MN PQ Chứng minh SK//AD//BC c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB Tìm giao điểm Qx mp(SAB); giao điểm Qy mp(SCD) www.mathvn.com - www.MATHVN.com Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM'  AB với M' AD; NN'  AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' // CD b) M’N// DF Vấn 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện qua điểm song song với đường thẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I; J trung điểm AD BC Gọi G trọng tâm tam giác SAB a, Tìm giao tuyến (SAB) (IJG) b, Xác định thiết diện hình chóp với mp(IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IJM) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AD = a; BC = b Gọi I; J trọng tâm tam giác SAD SBC a, Tìm đoạn giao tuyến mp(ADJ) vớimp(SBC); (BCI) (SAD) b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn bëi mp (SAB) vµ (SCD) Bµi 4: Cho tø diện ABCD cạnh a Gọi I J trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD a, Xác định thiết diện tứ diện với mp(IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân b, Tính diƯn tchs cđa thiÕt diƯn theo a Bµi 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a Mặt bên SAB 90 Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC tam giác đều, SAD a, Tìm giao ®iĨm I cđa Dx vµ mp(SAB) Chøng minh AI//SB b, Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AIC) tính diện tích thiết diện Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành; I, J trung điểm SA AB M điểm nửa đường thẳng Ax chứa C Biện luận theo vị trí M Ax dạng thiết diện hình chóp cắt mp(IJM) Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy hình vuông cạnh a; mặt bên SAB tam giác ®Òu; SC = SD = a Gäi H K trung điểm SA; SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N a,Chứng minh HKMN hình thang cân b, Đặt AM = x x a  TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c HKMN theo a x Tìm x để diện tích nhỏ c, Tìm tập hợp giao điểm HM KN; HN vµ KM www.mathvn.com - www.MATHVN.com Bµi 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a, lấy M cạnh BA; P cạnh CD cho a AM DP Xác định thiết diện tứ diện mặt phẳng qua MP song song với AC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG www.mathvn.com - 10 www.MATHVN.com Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) v (Q) Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB CD a, Chứng minh MN // mp  SBC  vµ MN // mp SAD b, Gọi P trung điểm SA Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP) c, Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1G2//mp(SAC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD, M BC cho MB = 2MC Chøng minh MG//mp(ACD) Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi O O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh: a, Điều kiện cần đủ để OO//mp(BCD) BC AB  AC  BD AB  AD b, §iỊu kiƯn cần đủ để OO//mp(BCD) mp(ACD) BC = BD AC = AD Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a, Gọi O O tâm ABCD ABEF Chứng minh OO//(ADF); OO//(BCE) 3 b, Trên AE BD lấy M vµ N cho AM  AE; BN  BD Chøng minh MN//mp(CDEF) Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất kì.Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với () ? b)Xác định vị trí N BC cho tiết diện hình bình hành ? Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB () mặt phẳng qua M song song AD SD a)Mặt phẳng () cắt SABCD theo tiết diện hình ? b)Chứng minh SA // () Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng () di động luôn song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng () cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ hình ? b)Chứng minh () chuyển động ln chứa đường thẳng cố định c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh () di động M di động đường thẳng cố định www.mathvn.com - 11 www.MATHVN.com Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM  BD a)Chứng minh () luôn qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC b) () cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ? c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện song song với đường thẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm SB CD mặt phẳng qua MN song song với SC a, T×m giao tun cđa mp    víi mặt phẳng (SBC); (SCD); SAC) b, xác định thiết diện hình chóp cắt mp Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gọi I, J trung điểm AB CD (P) mặt phẳng qua M IJ song song với AB CD a, Tìm giao tuyến mp(P) với mp(IJD) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mo(P) Thiết diện hình gì? Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi C trung điểm SC; M điểm di động SA, (P) mặt phẳng di động qua CM song song với BC a, Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố dịnh b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ mp(P) Xác định điêm M đê thiết diện hình bình hành c, Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh đối thiết diện M di chuyển cạnh SA Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a vµ AB = b Mặt bên SAD ta, giác đều, (P) mặt phẳng qua điểm M đoạn AB song song với SA BC, pm(P) cắt CD; SC; SB I; J; K a, Chứng minh MIJK hình thang cân b, Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp(P) theo a x = AM Bài 5: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm AB CD (P) mặt phẳng qua MN song song với SA a, Tìm giao tuyến (P) với (SAB) (SAC) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) c, Tìm điều kiện M; N để thiết diện hình thang Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O; M điểm di động SC (P) mặt phẳng qua AM song song với BD a, Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố định b, Tìm giao điểm H K (P) với SB vµ SD Chøng minh SB SD SC lµ mét   SH SK SM h»ng sè c, ThiÕt diÖn hình chóp với mp(P) hình thang hay không www.mathvn.com - 12 www.MATHVN.com Bài 7: Cho tứ diện ABCD cạnh a; M P hai điẻm di động cạnh AD BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Mét mỈt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diÖn theo mét thiÕt diÖn a, Chøng minh thiÕt diÖn thông thường hình thang cân b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ Bài Cho hình chóp S.ABCD gọi M, N hai điểm SB CD ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC a Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC) b Xác đinh thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng () Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác địnhthiết diện hình chóp SABCD tạo mặt phẳng () biết a () qua M vµ song song SO vµ AD b () qua O song song AM SC Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD; G trọng tâm ABC; M, N, P, Q, R, H trung điểm SA, SC, CB, BA, QN, AG a Chøng minh r»ng: S, R, G thẳng hàng SH = 2MH = 4RG b G1 trọng tâm SBC Chứng minh GG1 // (SAB); GG1 // (SAC) c mặt phẳng () qua GG1 song song BC Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng () Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Một điểm M nằm AB, () mặt phẳng qua M song song AD SB a Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì? b Chứng minh SC song song () Bài 12 Cho tứ diện ABCD cạnh a I trung ®iĨm cđa AC , J  AD cho AJ = 2JD M điểm di động BCD cho mặt phẳng (MIJ) song song AB a Tìm tập hợp điểm M b Tính diện tích thiết diện tứ diện tạo mặt phẳng (MIJ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mt phng Bài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I lµ trung điểm SC J điểm nằm mp(ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ // mp(SAB) www.mathvn.com - 13 www.MATHVN.com c, Giả sử tam giác SAB ABC cân A Gọi AE AF đường phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF // mp(SAD) Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên AC BF lấy M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD; AF M, N a, Chứng minh: (CBE) // (ADF) b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’) c, Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp I M, N di động Bài 3: Cho tø diÖn ABCD cã AB = AC = AD Chøng minh đường phân giác CAD, DAB đồng phẳng góc BAC, Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC) b, Gäi P Q trung điểm AB ON Chøng minh PQ // mp(SBC) Bµi 5: Cho tø diện ABCD Gọi I J hai điểm di động AD BC cho IA JB Chøng minh IJ lu«n song song víi mét mặt phẳng cố định ID JC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân A Trên AD lấy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a) MỈt phẳng qua M song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD N, P, Q a, Chứng minh MNPQ hình thang vuông b, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M chạy AD c, Tính diện tích MNPQ theo a x Bài 7: Cho đường thẳng a b chéo Tìm tập hợp điểm I đoạn MN chia MN theo tỉ sè k cho tr­íc tr­êng hỵp: a, M, N di động a, b b, M, N di động a, b MN song song với mặt phẳng nằm mặt phẳng cho trước cắt a b Bài 8: Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H,I,K trung điểm SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) //(HIK) Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G G’ tam giác A’BD CB’D’ Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N trung điểm SA ,CD a) Cm: (OMN) //(SBC) b) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE,A F đường phân giác tam giác ACD SAB Cm: E F //(SAD) www.mathvn.com - 14 www.MATHVN.com Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không nằm mặt phẳng Trên đường chéo AC,BF lấy điểm M,N cho AM=BN Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N cắt AD, A F taïi M’,N’ a)Cm: (CBE) //(AD F) b) Cm: (DE F)//(MNN’M’) VN 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD Mặt phẳng di động song song với mp(SBD) qua I đoạn AC a, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp b, TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a, b vµ x = AI Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) thoả mãn (P) //(Q), ABC mp P  ; MN   Q  a, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(Q); giao tun cđa mp(NAC) mp(Q) b, Tìm giao tuyến mp(MAB) mp(NAC) Bài 3: Từ đỉnh hình bình hành ABCD vẽ nửa đường thẳng song song chiều Ax; By; Cz; Dt kh«ng n»m mp(ABCD) Mét mp  cắt nửa đường thẳng A; B; C’; D’ a, Chøng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chứng minh ABCD hình bình hành c, Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bµi 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD a, Chøng minh (G1G2G3) // mp(BCD) b, T×m thiÕt diƯn cđa tø diƯn c¾t bëi mp(G1G2G3) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯntheo diện tích tam giác BCD c, M di động tø diƯn cho G1M // (ACD) T×m tËp hợp điểm M Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang, đáy lớn AB = 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân S SA = 2a Mặt phẳng di động song song với mp(SAB) cắt AD; BC; SC; SD M; N; P; Q a, Chứng minh MNPQ hình thang cân b, Đặt x = AM (0 < x < a) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp đường tròn Tính bán kính đương tròn c, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M động AD Gọi J giao điểm MP NQ Chứng minh IJ có phương không đổi J di động mp cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O, E trung điểm SB Biết tam giác ACE AC = OD = a Mp    di ®éng song song với mp(ACE) qua I OD, mp cát AD, CD, SC, SB, SA M, N, P, Q, R a, Nhận xét tam giác PQR tứ giác MNPR b, Tìm tập hợp giao điểm MP NR I di động đoạn OD www.mathvn.com - 15 www.MATHVN.com c, TÝnh diƯn tÝch MNPQR theo a vµ x = DI Xác định x để diện tích lớn Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đay hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD A; B; C; D Chứng minh điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành mp(P) // (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với mp(ABC) cắt SA; SB; SC A; B; C Tìm tập hợp điểm chung mặt phẳng (ABC), (BAC), CAB) Bài 9: Cho tø diÖn ABCD Gäi E; F; J theo thø tự trung điểm BC; BD; AD Mp   qua EF vµ song song víi BJ, mp    qua BJ vµ song song víi CD a, ThiÕt diƯn mp    c¾t tø diện hình gì? b, Xác định thiết diện mp   c¾t tø diƯn Chøng minh  // c, AC AD cắt mp H, K Gọi I giao điểm AC mp Chứng minh HE; KF AB đồng quy M d, Giả sử tam giác ABC ABD vuông B Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD a Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay hình thang với cạnh ®¸y AB; CD víi CD = pAB (0 < p < 1) Gọi S0 diện tích tam giác SAB mặt phẳng qua M cạnh AD song song với mp(SAB) Đặt DM x AD   x  1 a, X¸c định thiết diện hình chóp SABCD với mp   TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo S0, p, x b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn S0 Bài 11: Cho hình chóp SABC, I trung điểm SB J nằm đoạn SC cho JC JS O trọng tâm tam giác ABC a, Xác định thiết diện hình chóp với mp(OIJ), gọi s diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nµy b,    mặt phẳng qua M nửa đường thẳng BC mp song song trùng với mp(OIJ) Đặt BM x x Tìm x để mp cắt hình chóp BC c, Biện luận theo x dạng thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp    d, Gäi H(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nãi câu c Tính H(x) theo s x Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E giao điểm AD BC Mp(P) song song với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i J, K, H, I a, Tứ giác IJKH hình gì? b, Tìm điều kiện cần đủ để tứ giác IJKH hình bình hành Bài 13: Cho tứ diện ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c Lấy M AB, mặt phẳng qua M song song với AD BC cắt cạnh AC, CD, BD N, P, Q a, Tứ giác MNPQ hình gì? b, Đặt AM = x Tính cạnh tứ giác MNPQ c, Muốn tứ giác MNPQ hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trường hợp Tìm vị trí M AB để tứ giác có diện tích lớn Bài 14: Cho tứ diện ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song víi BC, c¾t BD CD M, N, đặt BM = x Tính AM2  MN  AN www.mathvn.com - 16 www.MATHVN.com BI 5: Phép chiếu song song Hình lăng trụ Hình hộp Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCABC Mp qua đường chéo AC song song với đường chéo BC chia AB theo tỉ số nào? Bài 2: Cho lăng trụ ABCABC Lấy M A ' B ', N  AB, P  CC ' tho¶ m·n: AM ' BN C ' P    MB ' NA PC Mp(MPN) c¾t BC Q Tìm C'Q B'C' Bài 3: Cho lăng trụ ABCABC Gọi H trung điểm AB a, Chứng minh CB // mp(AHC) b, Tìm giao điểm AC mp(BCH) c, Mp(P) qua trung điểm CC song song với AH CB Xác định thiết diện tỉ số mà đỉnh thiết diện chia cạnh tương ứng lăng trụ Bài 4: Cho lăng trụ ABCABC a, Tìm giao tuyến (ABC) (BAC) b, Gọi M N điểm AA BC Tìm giao điểm BC với mp(AAN), MN với (ABC) Bài 5: Cho lăng trụ ABCABC Gọi G G trọng tâm tam giác ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (ABC), (BCA) (CAB) có điểm chung O trªn GG’ TÝnh tØ sè OG : OG’ Bài 6: Cho hình hộp ABCDABCD a, Chứng minh mp(BDA) // mp(B’D’C) b, Chøng minh ®­êng chÐo AC’ qua träng tâm G1; G2 tam giác BDA BDC Chứng minh G1; G2 chia AC làm phần Bài 7: Chứng minh hình hộp, tổng bình phương đường chéo tổng bình phương tất cạnh Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCABC a, Gọi I, K, G trọng tâm tam giác ABC; ABC ACC Chøng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ (A’KG) // (AIB’) b, Gọi M, N trung điểm BB CC Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB MN Bài 9: Cho lăng trụ ABCABC Gọi M, N trung điểm BC CC, P đối xứng với C qua A a, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(AMN) b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(MNP) Bài 10: Cho hình lập phương ABCDABCD cạnh a Gọi M, N, P trung điểm AB, BC; DD’ a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’) b, Xác định thiết diện hình lập phương với mp(MNP)? Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCABC đáy tam giác cạnh a, ABBA, ACCA hình vuông Gọi I, J tâm ABBA, ACCA O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC www.mathvn.com - 17 www.MATHVN.com a, Chøng minh IJ // mp(ABC) b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(IJO) Chứng minh thiết diện hình thang cân ễN TP TNG HP Bài1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC hình thoi cạnh a; SA = SB = a; SC = SD = a Gäi E, F lÇn lượt trung điểm cạnh SA, SB; M điểm cạnh BC 1) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MEF) Thiết diện hình gì? 2) Đặt BM = x (0  x  a) TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diện theo a x 3a KQ: S = 16 x  8ax  3a 16 Bµi2: Cho tứ diện ABCD AB vuông góc với CD vµ AB = AC = CD = a; M điểm cạnh AC với AM = x (0 < x < a); () mặt phẳng qua M song song với AB CD 1) Xác định thiết diện tứ diện tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì? 2) Tính diện tíchthiết diện theo a x Xác định x để diện tích thiÕt diƯn nµy lín a nhÊt S = x(a - x) 0