Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Tài liệu gồm 86 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Văn Vinh và thầy Lê Đình Hùng (OMEGA Groups) hướng dẫn giải các dạng toán thường gặp trong chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian (Hình học 12 chương 3).

OMEGA Nguyễn Văn Vinh Lê Đình Hùng CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN TP Hồ Chí Minh -2020 BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Tọa độ điểm vecto a) Hệ tọa độ: Hệ gồm trục x ' Ox , y ' Oy z 'Oz khơng gian vng góc với đôi O gọi hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxyz (gọi tắt hệ tọa độ Oxyz) Khi O gọi gốc tọa độ * Lƣu ý: Vecto đơn vị của trục x ' Ox , y ' Oy z 'Oz   i, j k b) Tọa độ điểm vecto: + Tọa độ điểm: Với điểm M tùy ý không gian Oxyz, ta ln có:     OM  xi  y j  zk Khi ba (x; y; z) tọa độ điểm M: M  (x; y;z) M (x; y; z) (x hoành độ; y tung độ z cao độ) + Tọa độ vecto:  Tương tự, với a khơng gian Oxyz, ta ln có:     a  a1 i  a2 j  a3 k  Khi ba (a1;a ;a ) tọa độ a :   a  (a1; a2 ; a3 ) a(a1; a2 ; a3 )  * Lƣu ý: Tọa độ điểm M tọa độ vecto OM 2) Các phép toán tính chất hệ tọa độ Oxyz   Cho điểm A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) , ta có:   AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A ) Tọa độ vecto AB Độ dài đoạn AB  Độ dài vecto a Tổng hiệu vecto Tích vecto với số AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  a  a12  a2  a32   a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  ka  k (a1; a2 ; a3 )  (ka1; ka2 ; ka3 ) Hai vecto Tích vơ hƣớng vecto Hai vecto phƣơng (   a b)   Hai vecto vng góc ( a  b ) Tích có hƣớng vecto    Ba vecto a, b, c đồng phẳng    Ba vecto a, b, c không đồng phẳng a1  b1    a  b  a2  b2 a  b   a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 a1 a2 a3   b1 b2 b3  a.b   a1.b1  a2 b2  a3 b3    a a a a a a   a, b    ; ;     b2 b3 b3 b1 b1 b2      a, b  c        a, b  c    Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( k  )  x  kxB y A  kyB z A  kzB  M  A ; ;  1 k 1 k   1 k Trung điểm M AB  x  xB y A  yB z A  zB  M  A ; ;  2   Trọng tâm M tam giác ABC  x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC  M  A B C ; A ;  3   Trong tâm M tứ diện ABCD  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD  M  A ; ;  4     a1b1  a2b2  a3b3 a, b cos      a.b a12  a2  a32 b12  b2  b32   Góc vecto a, b Diện tích ABC Diện tích hình bình hành ABCD SABC     AB, AC      S ABCD   AB, AD      AB, AC  AS  6 Thể tích tứ diện SABC VABCD  Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’    VABCD A' B 'C ' D '   AB, AD  AA ' * Lƣu ý:    - Tọa độ vecto đơn vị: i  (1;0;0) , j  (0;1;0) k  (0;0;1) - Tọa độ điểm nằm trục: + Trục Ox: M(x;0;0) + Trục Oy: M(0;y;0) + Trục Oz: M(0;0;z) - Tọa độ điểm nằm mặt phẳng tọa độ: + Mặt Oxy: M(x;y;0) + Mặt Oxz: M(x;0;y) + Mặt Oyz: M(0;y;z) (Quy tắc nhớ: Thiếu trục tọa độ tọa độ 0)  BÀI TẬP Phương pháp: Hiểu rõ lý thuyết, nắm vững công thức tọa độ không gian với trường hợp vận dụng cơng thức Ngồi ta cần lưu ý vấn đề thường gặp sau: VÍ DỤ:        Ví dụ 1: Cho vecto a(2;3; 5) , b(0; 3; 4) c(1; 2;3) Tìm tọa độ vecto n  3a  2b  c  - Tọa độ vecto n :   Hướng dẫn:   Ta có: n  3a  2b  c  3(2;3; 5)  2(0; 3; 4)  (1; 2;3) =(6;9;-15)+(0;-6;8)-(1;-2;3)=(6+0 -1;(9+(-6)-(-2));((-15)+8-3)) =(5;5;-10)      Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto AO  3(i  j )  2k  5i Tọa độ điểm A là: Hướng dẫn: - Tọa độ điểm A:             Ta có: AO  3(i  j )  2k  j  3i  12 j  2k  j  3i  17 j  2k      OA  3i  17 j  2k  A  (8; 12;2)       Ví dụ 3: Cho vecto a  (2; 1; 2) ; b  (m;3; 1) ; c  (1; 2;1) , tìm m để ba vecto a , b c đồng phẳng Hướng dẫn:    - Giá trị m để vecto a , b c đồng phẳng:      Ba vecto a , b , c đồng phẳng khi: a,c  b  (*)    12 2 1  ; ; Ta có: a, c       5;0;5   11   (*)   5;0;5 (m;3; 1) =0  5m  0.3  5.(1)   m  1 Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; 2;3) , B(2; 2;1) , C(1; 2; 3) a) Chứng tỏ điểm A,B,C tạo thành tam giác tìm trọng tâm tam giác    b) Tìm tọa độ điểm M cho AM  2BA  3CM c) Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm I ? Tính chu vi diện tích hình bình hành ? d) Tính số đo góc ABC ? Tính diện tích ABC ? Hướng dẫn: a) - Chứng tỏ A,B,C tạo thành tam giác:   Ta có: AB  (1; 4; 2) ; AC  (2; 4; 6) 4 2   2 4 6   Do vecto AB AC khơng phương hay điểm A,B C tạo thành tam giác - Trọng tâm tam giác ABC: Gọi G trọng tâm  ABC , ta có:  xA  xB  xC    xG  3  yA  yB  yC 2 2  G  yG    G( ; ; ) 3 3  z A  z B  zC    zG  3  b) Tọa độ điểm M: Gọi M(a;b;c) , ta có:    AM  2BA  3CM  (a 1;b 2;c 3)  2(1;4;2)  3(a  1;b 2;c 3)  (a 1;b 2;c 3)  (2;8;4)  (3a  3;3b 6;3c 9)  (a 1  2;b  8;c  4)  (3a  3;3b 6;3c 9)  (a  3;b 6;c 1)  (3a  3;3b 6;3c 9) a   3a   a  3   b   3b   b   M(3;0; 4) c   3c   c  4  c) - Xác định D để ABCD hình bình hành Gọi D(a; b;c) để ABCD hình bình hành, ta có:   AB  DC  (1; 4; 2)  (1  a; 2  b; 3  c) 1  a   a  2   2  b  4  b   D(2; 2; 1) 3  c  2  c  1  - Tọa độ tâm I hình bình hành ABCD Vì I giao điểm AC BD nên I trung điểm AC: xA  xB  0  xI   y  yB    I  0;0;0   I  yI  A  zA  zB   zI    - Chu vi hình bình hành ABCD:  Ta có: AB  (1; 4; 2)  AB  12  (4)2  (2)2  21  BC  (3;0; 2)  BC  (3)2  02  (2)  13  CABCD  2(AB BC)  21  13 - Diện tích hình bình hành ABCD:   Ta có: AB  (1; 4; 2) ; AD  (3;0; 4)    4 2 21 4   SABCD   AB, AD    ; ;   4 4 3 30   (16;10; 12)  162  102  (12)2  10 (đvdt) d) - Số đo góc tam giác ABC:  + Số góc BAC   Ta có: AB  (1; 4; 2) ; AC  (2; 4; 6)   AB.AC 1.(2)  (4).(4)  (2).(6) 13        cos(BAC) 2 2 2 AB AC  (4)  (2) (2)  (4)  (6)   41  BAC  + Số đo góc ABC   Ta có: BA  (1; 4; 2) ; BC  (3;0; 4)   BA.BC (1).(3)  4.0  2.(4)        cos ABC 21 BA BC (1)2  42  22 (3)  02  (4)   77  ABC  + Số đo góc ACB   ABC   ACB   180  ACB   62 Vì BAC - Diện tích tam giác ABC:   Ta có: AB  (1; 4; 2) ; AC  (2; 4; 6)    4 2 21 4   AB, AC   ; ; 162  102  (12)2  5 (đvdt)    2  4 6 6 2 2 4     Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a(1;1;0) , b(1;1;0) c(1;1;1) Cho hình hộp  SABC        OABC.O’A’B’C’ thỏa mãn điều kiện OA  a , OC  b , OO'  c Thể tích hình hộp nói bao nhiêu? Hướng dẫn: - Thể tích hình hộp OABC.O’A’B’C’       Gọi O gốc tọa độ , OA  a  A(1;1;0) ; OC  b  C(1;1;0) ; OO'  c  O'(1;1;1)     10 1 11   VOABC.O'A'B'C'  OA, OC OO' =  ; ;  (1;1;1)   0;0; 2  (1;1;1)  (đvtt)  10 01 1  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM      Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto AO  i  4j  2k  5j Tọa độ  điểm A A  3, 2,5 B  3, 17,  C  3,17, 2   D  3,5, 2          Câu 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B,C thỏa: OA  2i  j  3k ; OB  i  2j  k ;        OC  3i  2j  k với i; j; k vecto đơn vị Xét mệnh đề:    I  AB   1,1,   II  AC  1,1,  Khẳng định sau ? A Cả (I) (II) B (I) đúng, (II) sai C Cả (I) (II) sai D (I) sai, (II)   Câu 3: Cho Cho m  (1;0; 1); n  (0;1;1) Kết luận sai:     A m.n  1 B [m, n]  (1; 1;1)     C m n khơng phương D Góc m n 600        Câu 4: Cho vectơ a   2;3; 5 , b   0; 3;  , c  1; 2;3 Tọa độ vectơ n  3a  2b  c là:     A n   5;5; 10  B n   5;1; 10  C n   7;1; 4  D n   5; 5; 10     Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho a   5;7;  , b   3;0;  ,c   6;1; 1 Tọa độ vecto      n  5a  6b  4c  3i là:   B n  16; 39; 26  A n  16;39;30    C n   16;39; 26  D n  16;39; 26    Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a  (1; 2; 2) , b  (0;  1;3) ,  c  (4;  3;  1) Xét mệnh đề sau:       (I) a  (II) c  26 (III) a  b (IV) b  c      10 (VI) a, b phương (VII) cos a, b  15 Trong mệnh đề có mệnh đề ? A B C D       2 Câu 7: Cho a b tạo với góc Biết a  3, b  a  b bằng: A B C D        Câu 8: Cho a, b có độ dài Biết (a, b)   Thì a  b bằng: 3 A B C D    Câu 9: Cho a b khác Kết luận sau sai:          A [a, b]  a b sin(a, b) B [a,3b]=3[a,b]   (V) a.c      C [2a,b]=2[a,b]  D [2a,2b]=2[a,b]     Câu 10: Cho vectơ a  1; m; 1 , b   2;1;3 a  b khi: A m  1 B m  C m      Câu 11: Cho vectơ a  1;log5 3; m  , b   3;log3 25; 3 a  b khi: C m      Câu 12: Cho vectơ a  2;  3;1 , b   sin 3x;sin x;cos x  a  b khi: A m  B m    D m  2 D m    k 2 7 k  B x   x  k,  k  Z    x    k,  k  Z  24 24 12  k  7 k  C x  D x    x    k,  k  Z    x   k,  k  Z  24 12 24 12 Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A x     A   2;0;4 , B  4; 3;5 , C   sin 5t;cos3t;sin 3t  O gốc tọa độ với giá trị t để AB  OC 2   2  t    k  t   k A  B  (k  ) (k  )  t     k  t     k   24 24    2 t   k    t   k C  D  (k  ) (k  )  t     k  t    k   24 24    Câu 14: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho u   4;3;  , v   2; 1;  , w  1; 2;1     u, v  w là:   A B C D     Câu 15: Điều kiện cần đủ để ba vec tơ a, b, c khác đồng phẳng là:       A a.b.c  B a, b  c  D Ba vectơ có độ lớn C Ba vec tơ đơi vng góc Câu 16: Chọn phát biểu đúng: Trong khơng gian A Vec tơ có hướng hai vec tơ phương với vectơ cho B Tích có hướng hai vec tơ vectơ vng góc với hai vectơ cho C Tích vơ hướng hai vectơ vectơ D Tích vectơ có hướng vơ hướng hai vectơ tùy ý    Câu 17: Cho hai véctơ u, v khác Phát biểu sau không ?            A  u, v  có độ dài u v cos u, v B  u, v   hai véctơ u, v phương       C  u, v  vng góc với hai véctơ u, v D  u, v  véctơ    Câu 18: Ba vectơ a  1;2;3 , b   2;1;m  ,c   2;m;1 đồng phẳng khi:   m   m  9 m   m  9 A  B  C  D  m  m   m  2  m  1    Câu 19: Cho ba vectơ a  0;1; 2  , b 1; 2;1 , c  4;3; m  Để ba vectơ đồng phẳng giá trị m ? A 14 B C -7 D       Câu 20: Cho vecto a  1; 2;1 ; b   1;1;  c   x;3x; x   Nếu vecto a, b, c đồng phẳng x A B -1 C -2 D    Câu 21: Cho vectơ a   4; 2;5 , b   3;1;3 ,c   2;0;1 Chọn mệnh đề đúng: A vectơ đồng phẳng B vectơ không đồng phẳng    C vectơ cùng phương D c  a, b  Câu 22: Cho điểm M  2; 3;5 , N  4;7; 9  , P  3; 2;1 , Q 1; 8;12  Bộ điểm sau thẳng hàng: A N, P,Q B M, N, P C M, P,Q D M, N,Q    Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho vecto a   1;1;0  ; b  1;1;0  ; c  1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai       A a  B c  C a  b D b  c Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M  2;3; 1 , N  1;1;1 , P 1; m  1;  Với giá trị m tam giác MNP vng N ? A m  B m  C m  D m      Câu 25: Cho vecto u  (1;1; 2) v  (1;0; m) Tìm m để góc hai vecto u v có số đo 450 Một học sinh giải sau :    2m Bước 1: cos u, v  m2    Bước 2: Góc hai vecto u v có số đo 450 suy ra:  2m    2m  m2  (*) 2 m 1   m   Bước 3: Phương trình (*)  1  2m    m  1  m  4m      m   Bài giải hay sai ? Nếu sai sai bước ? A Đúng B Sai bước C Sai bước D Sai bước    Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho vecto a   1;1;0  ; b  1;1;0  ; c  1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề           A a.c  B a, b, c đồng phẳng C cos b, c  D a  b  c          Câu 27: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  3, b  3, a, b  30 Độ dài vectơ a  2b     là: B C     Câu 28: Cho a   3; 2;1 ; b   2;0;1 Độ dài vecto a  b A D 13 A B C D   Câu 29: Cho hai vectơ a  1;1; 2  , b  1;0; m  Góc chúng 45 khi: A m   B m   C m   D m  Câu 30: Trong hệ trục Oxyz , cho ba điểm A  2,1, 0 , B  3,0,  , C  0, 7,3 Khi ,   cos AB, BC bằng:   14 14 C D  59 57 57     Câu 31: Trong không gian Oxyz cho a   3; 2;  ; b   5;1;6  ; c   3;0;  Tọa độ x     cho x đồng thời vng góc với a, b, c là: A (0;0;1) B (0;0;0) C (0;1;0) D (1;0;0) Câu 32: Trong hệ tọa độ Oxyz cho điêm M(3;1;-2) Điểm N đối xứng với M qua trục Ox có tọa độ là: A 14 118 B  10 x 5 y7 z   điểm 2 M(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, hai điểm A, B cho AB  Viết phương trình mặt cầu (S) A (x  4)2  (y  1)2  (z  6)2  12 B (x  4)2  (y  1)2  (z  6)2  C (x  4)2  (y  1)2  (z  6)2  18 D (x  4)2  (y  1)2  (z  6)2  16 Câu 50: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho (P): 2x-y+2z-4=0 Mặt phẳng sau vng góc với (P) A x  4y  z   B x  4y  z   C x  4y  z   D x  4y  z   Câu 51: Cho điểm I  2;6;3  ba mặt phẳng    : x   0,  : y   0,    : z   Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A    qua I B   / /  Oxz  C    / /Oz D       Câu 52: Cho hai mặt phẳng (P): x+y-z+5=0 (Q): 2x-z=0 Nhận xét sau x y5 z  A Mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) có giao tuyến  1 x y5 z  B Mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) có giao tuyến  1 C Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) D Mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) x  y 1 z Câu 53: Cho hai điểm A(2; 0; 3), B(2; -2; -3) đường thẳng  :   Nhận xét sau A A, B  nằm mặt phẳng B A B thuộc đường thẳng  C Tam giác MAB cân M với M (2; 1; 0) D  đường thẳng AB hai đường thẳng chéo x 1 y z Câu 54: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng mặt phẳng sau   3 1 đây? A 6x  4y  2z   B 6x  4y  2z   C 6x  4y  2z   D 6x  4y  2z   Câu 55: Cho mặt phẳng    : x  y  2z   0,   : x  y  z   0,    : x  y   Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A       B        C        D    / /    Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Câu 56: Hai mặt phẳng  P  : 2x  my  3z   0,  Q  : nx  8y  6z   song song với khi: A m = 4, n =-4 B m = 4, n = C m = 2, n =-4 D m = 0, n =-4 Câu 57: Cho hai mặt phẳng () : m2 x  y  (m2  2)z   () : 2x  m2 y  2z   Mặt phẳng () vng góc với () C m  D m    Câu 58: Cho đường thẳng 1 qua điểm M có VTCP u1 ,  qua điểm N có VTCP u Điều kiện để 1  chéo là: A m  B m  72   A u1 u phương    C  u1 , u  MN phương Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ O    B  u1 , u  MN      D  u1 , u  MN  xyz, cho điểm M 1, 1,1 hai đư ờng thẳng x y 1 z x y 1 z  (d ) :  Mệnh đề    2 3 A (d1 ) , (d1 ) M đồng phẳng B M   d1  M   d  (d1 ) : C M   d  M   d1  D (d1 ) (d1 ) vng góc  x  2t x 1 y z   Câu 60: Cho hai đường thẳng a :  y   4t b : Khẳng định sau   z   6t  đúng? A a, b cắt B a, b chéo C a, b trùng D a, b song song  x   2t  x   4t '   Câu 61: Cho hai đường thẳng d1 :  y   3t d :  y   6t ' z   4t z   8t '   Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A d1  d B d1  d C d1  d D d1 d chéo  x   2t  x   3ts   Câu 62: Vị trí tương đối hai đường thẳng d1 :  y  2  3t ;d :  y   2t là: z   4t z   2t   A Chéo B Trùng C Song song D Cắt x 1 y  z  x  y  z 1 Câu 63: Vị trí tương đối hai đường thẳng 1 :   , 2 :   là: A Song song với B Cắt điểm M(3;2;6) C Cắt điểm M(3; 2;  6) D Chéo x2 y4 z4 Câu 64: Đường thẳng sau song song với (d):   3 x 1 y  z  x2 y4 z4 A B     3 1 x 1 y  z  x 1 y  z 1 C D     1 2 1 2 Câu 65: Cho hai đường thẳng có phương trình sau: x  y  z    x  2y   d2 :  d1 :  3y  z   5x  2y  4z   Mệnh đề sau đúng: A d1 hợp với d góc 60o B d1 cắt d C d1  d D d1  d 73  x   2t x   t '   Câu 66: Giao điểm đường thẳng  d  :  y  2  3t ,  d '  :  y  1  4t ' có tọa độ là: z   4t z  20  t '   A  1; 2;0  B  3; 2;10  C  2;5;  D Đáp án khác  x   mt x   t '   Câu 67: Cho đường thẳng  d  :  y  t ,  d '  :  y   2t ' Giá trị m để (d) cắt (d’) là: z  1  2t z   t '   C m  D m  2  x   (m  1)t x y 1 z  m  Câu 68: Cho hai đường thẳng 1 :   ,  :  y   (2  m)t Tìm m để hai đường z   (2m  1)t  thẳng trùng A m  3, m  B m  C m  0, m  1 D m  0, m  Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x  y  z 1 x  y 1 z  m d1 :   ; d2 :   2 Để d1 cắt d m A B C D 4 4 Câu 70: Khi véc tơ phương (d) vng góc với véc tơ pháp tuyến (P) thì: A Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) B đường thẳng d song song với (P) C đường thẳng d song song nằm (P) D Đường thẳng d nằm (P)  x  3  t  Câu 71: Cho mặt phẳng  P  : 2x  y  3z   đường thẳng d :  y   2t Chọn câu trả lời z   đúng: A d   P  B d / /(P) C d cắt (P) D d   P  A m  B m  1  x   2t  Câu 72: Cho đường thẳng  d  :  y   4t mặt phẳng  P  : x  y  z   z   t  Khẳng định sau ? A  d  / /  P  B  d  cắt  P  điểm M 1; 2;3 C  d    P  Câu 73: Cho đường thẳng d: D  d  cắt  P  điểm M  1; 2; 2 x 8 y 5 z 8 mặt phẳng (P) x+2y+5z+1=0 Nhận xét   1 sau A Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) B Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) C Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) A(8, 5, 8) D Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) 74 Câu 74: Mặt phẳng  P  : 3x  5y  z   cắt đường thẳng d : tọa độ: A 1;3;1 B  2; 2;1 x  12 y  z  điểm có   C  0;0; 2  D  4;0;1 Câu 75: Hai mặt phẳng 3x  5y  mz   2x  ly  3z   song song khi: A m.l  15 B m.l  C m.l  D m.l  3 Câu 76: Trong không gian Oxyz, xác định cặp giá trị (l, m) để cặp mặt phẳng sau song song với nhau: 2x  ly  3z   0;mx  6y  6z   A  3,  B  4; 3 C  4,3 D  4,3 Câu 77: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x  my  3z   (Q) : 2x  y  nz   Khi hai mặt phẳng (P),(Q) song song với giá trị m  n 13 11 A B 4 C  D 1 2 Câu 78: Cho hai mặt phẳng song song (P): nx  7y  6z   (Q): 3x  my  2z   Khi giá trị m n là: 7 A m  ; n  B n  ; m  C m  ; n  D m  ; n  3 Câu 79: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A  1, 2,1 hai mặt phẳng    : 2x  4y  6z   ,  : x  2y  3z  Mệnh đề sau ? A    không qua A không song song với    B    qua A song song với    C    qua A không song song với    D    không qua A song song với    Câu 80: Hai mặt phẳng 7x   2m  5 y   mx  y  3z   vuông góc khi: A m  Câu 81: Cho ba B m  mặt phẳng C m  1 D m  5  P  : 3x  y  z   ;  Q  : 3x  y  z    R  : 2x  3y  3z   Xét mệnh đề sau: (I): (P) song song (Q) (II): (P) vng góc (Q) Khẳng định sau ? A (I) sai ; (II) B (I) ; (II) sai C (I) ; (II) sai D (I) ; (II)    : x  y  2z   Câu 82: Cho mặt phẳng () : x  y  z   Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? (  ) : x  y    A        B       C        D        x   3t  Câu 83: Cho đường thẳng d :  y  2t mp(P) : 2x  y  2z   Giá trị m để z  2  mt  d  (P) là: A m  B m  2 C m  75 D m  4 x 1 y  z    m 2m  mặt phẳng (P) : x  3y  2z   Để đường thẳng d vng góc với (P) thì: A m  B m  C m  2 D m  1 2 Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x  y  z  2x  2z  mặt phẳng    : 4x  3y  m  Xét mệnh đề sau: Câu 84 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : I    cắt (S) theo đường tròn 4   m  4  II    tiếp xúc với (S) m  4  III     S   m  4  m  4  Trong ba mệnh đề trên, mệnh đề ? A II III B I II C I D Đáp án khác Câu 86: Gọi (d) giao tuyến hai mặt phẳng x  2y  3z   2x  3y  z   Xác  định m để có mặt phẳng (Q) qua (d) vng góc với a  (m; 2; 3) 85 A B C D 2 Câu 87: Cho mặt phẳng    : 4x  2y  3z   mặt cầu S : x  y  z  2x  4y  6z  Khi đó, mệnh đề sau mệnh đề sai: A    cắt  S theo đường tròn B    tiếp xúc với  S C    có điểm chung với  S D    qua tâm  S Câu 88: Cho mặt cầu S : x  y  z  2x  4y  6z   mặt phẳng    : x  y  z  Khẳng định sau ? A    qua tâm (S) 2 B    tiếp xúc với (S) C    cắt (S) theo đường trịn khơng qua tâm mặt cầu (S) D     S khơng có điểm chung Câu 89: Trong không gian (Oxyz) Cho mặt cầu (S): x  y2  z2  2x  4y  2z   mặt phẳng (P): x  2y  2z  m   (m tham số) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ứng với giá trị m là:  m  3  m3  m3  m3 A  B  C  D   m  15  m  15  m  5  m  15 Câu 90: Cho mặt cầu (S) : (x  1)2  (y 2)2  (z 3)2  25 mặt phẳng  : 2x  y  2z  m  Tìm m để α (S) khơng có điểm chung A 9  m  21 B 9  m  21 C m  9 m  21 D m  9 m  21 Câu 91: Gọi (S) mặt cầu tâm I(2 ; ; -1) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có phương trình: 2x – 2y – z + = Bán kính (S) ? 2 A B C D 2 Câu 92: Cho (S): x  y  z  4x  2y  10z+14  Mặt phẳng (P): x  y  z   cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi là: 76 A 8 B 4 C 4 D 2 Câu 93: Cho (P): x + 2y + 2z – = cắt mặt cầu (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính r = 1/3, biết tâm (S) I(1; 2; 2) Khi đó, bán kính mặt cầu (S) là: 1 2 1 2 65 B C D 3 3 Câu 94: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  4z   mặt cầu (S): x  y2  z2  4x  10z   Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính bằng: A B C D Câu 95: Cho mặt phẳng mặt cầu (P) :2x  2y  z   2 (S) :x  y  z  2x  4y  6z  11  Giả sử (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn (C) A Tâm I(3;0;  2), r  B Tâm I(3;0;2), r  C Tâm I(3;0;2), r  D Tất đáp án sai A Câu 96: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tọa độ cho mặt cầu S : x    y2  z  mặt phẳng  P  :x  y  z  m  , m tham số Biết (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r  Giá trị tham số m là: A m  3;m  B m  3;m  5 C m  1;m  4 D m  1;m  5 2 Câu 97: Cho mặt cầu (S) : x  y  z  2x  2y  2z   Đường thẳng d qua O(0;0;0) cắt (S) theo dây cung có độ dài Chọn khẳng định đúng: x y z A d nằm mặt nón B d :   1 1 C d nằm mặt trụ D Không tồn đường thẳng d Câu 98: Tồn mặt phẳng (P) vng góc với hai mặt phẳng (α): x+y+z+1=0, (β): 2xy+3z-4=0 cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) 26 A B C D Vô số Câu 99: Cho mặt phẳng (P) : k(x  y  z)  (x  y  z)  điểm A(1;2;3) Chọn khẳng định đúng: A Hình chiếu A (P) ln thuộc đường trịn cố định k thay đổi B (P) chứa trục Oy k thay đổi C Hình chiếu A (P) ln thuộc mặt phẳng cố định k thay đổi D (P) không qua điểm cố định k thay đổi ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1B 16D 31B 46A 61D 76A 91C 2C 17B 32C 47A 62A 77C 92B 3B 18B 33A 48B 63B 78D 93D 4C 19A 34A 49C 64A 79B 94B 5D 20D 35D 50D 65D 80A 95B 6D 21C 36B 51A 66D 81B 96D 7A 22B 37A 52A 67C 82D 97A 8B 23D 38A 53A 68B 83C 98A 77 9A 24C 39D 54C 69D 84B 99B 10D 25D 40A 55C 70C 85D 11A 26A 41B 56A 71B 86D 12A 27B 42D 57C 72D 87B 13D 28D 43C 58B 73A 88D 14A 29D 44D 59A 74C 89B 15C 30A 45B 60C 75A 90D BÀI 5: CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Ngồi tốn thường gặp viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, xác định giao điểm, hình chiếu, vị trí tương đối…, chun đề cịn xuất tốn khó liên quan đến chủ đề cực trị Kể từ chuyển hình thức thi tốn sang trắc nghiệm, toán cực trị xuất ngày nhiều thường có mặt đề thi tuyển sinh nhằm tăng thêm tính phân loại, chọn lọc học sinh giỏi cho trường, ngành tốp cao Do vậy, dạng toán quan trọng mà bạn học sinh muốn vơ ngành có điểm cao cần phải nắm Các toán cực trị chuyên đề thường xoay quanh vấn đề sau: Bài tốn 1: Cho điểm A,B,C,…Tìm điểm H thuộc mặt phẳng ( ) đƣờng thẳng d cho thỏa mãn điều kiện để biểu thức sau có giá trị lớn nhỏ nhất:    A  a1 HA  a2 HB  a2 HC  (1) A  a1HA2  a2 HB2  a3HC2  (2) H thuộc mặt phẳng ( ) H thuộc đường thẳng d    + Bước 1: Gọi I điểm thỏa mãn biểu thức vecto: a1 IA  a2 IB  a2 IC   tọa độ I + Bước 2: Suy tọa độ H hình chiếu I lên mặt phẳng ( ) đường thẳng d * Lƣu ý: Đối với dạng (2): - A max a1  a1   an  - A a1  a1   an  Bài toán 2: Cho điểm A B khơng thuộc d, tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( ) cho MA+MB đạt giá trị nhỏ Khi A B nằm khác phía ( ) Khi A B nằm phía ( ) 78 + Bước 1: Gọi B’ điểm đối xứng B qua + Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d ( ) , tính tọa độ B’ qua A B + Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d + Bước 2: Suy M giao điểm d ( ) qua A B’ + Bước 3: Suy M giao điểm d ( ) * Lƣu ý: Để kiêm tra A( xA ; yA ; zA ) B( xB ; yB ; zB ) nằm phía hay khác phía ( ) ta làm sau: Giả sử phương trình ( ) có dạng: A x  B y  C z  D  , thay A, B vào ( ) gọi C1  AxA  ByA  CzA  D ; C2  AxB  ByB  CzB  D : + Nếu C1.C2  A,B nằm khác phía ( ) + Nếu C1.C2  A,B nằm phía ( ) Bài toán 3: Cho điểm A B khơng thuộc d, tìm điểm M thuộc d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ  Khi AB vng góc với d + Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A,B vng góc với d + Bước 2: Suy tọa độ M giao điểm ( ) d  Khi AB khơng vng góc với d + Bước 1: Gọi tọa độ M theo t ( M  d ) + Bước 2: Tính tổng A=MA+MB theo t + Bước 3: Dùng đạo hàm khảo sát A theo t  Giá trị t làm cho Amin Trường hợp AB vng góc với d  Tọa độ M Bài toán 4: Cho điểm A B, viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua B cho ( ) cách A khoảng lớn Mặt phẳng ( ) mặt phẳng qua B vng góc với AB 79 Bài tốn 5: Cho điểm A đƣờng thẳng d khơng qua A, viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua d cho ( ) cách A khoảng lớn + Bước 1: Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng ( ) Tìm tọa độ H + Bước 2: Suy ( ) mặt phẳng chứa d vng góc với AH Bài tốn 6: Cho mặt phẳng ( ) điểm B thuộc ( ) , viết phƣơng trình đƣờng thẳng a chứa ( ) , qua B cách điểm A không thuộc ( ) khoảng lớn nhỏ a cách A khoảng lớn a cách A khoảng nhỏ Đường thẳng a xác định đường thẳng Gọi K hình chiếu A lên ( ) , đường qua B vng góc với AB Khi vecto thẳng a xác định đường thẳng   phương a tích có hướng AB n( ) : qua B K    u a   AB, n( )  Bài toán 7: Cho điểm A thuộc mặt phẳng ( ) đƣờng thẳng d không song song nằm ( ) , viết phƣơng trình đƣờng thẳng a chứa ( ) qua A cách d khoảng lớn + Bước 1: Tìm tọa độ M giao điểm d ( ) , qua A kẻ đường thẳng d’ song song với d + Bước 2: Gọi I hình chiếu M lên d’, tìm tọa độ I + Bước 3: Khi a đường thẳng qua A vng góc với MI (hay a nằm mặt phẳng vng góc với MI) * Lƣu ý:   Vecto phương a tích có hướng MI n( )    u a   MI , n( )  80 Bài toán 8: Cho hai đƣờng thẳng a b khơng song song nhau, viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) chứa a tạo với b góc lớn + Bước 1: Lấy điểm A a, qua A kẻ đường thẳng b’ song song với b Viết phương trình d’ + Bước 2: Lấy điểm K b’ tìm hình chiếu H K lên a + Bước 3: Khi ( ) mặt phẳng qua a vng góc  với KH ( KH vecto pháp tuyến ( ) ) Bài toán 9: Cho điểm A thuộc mặt phẳng ( ) đƣờng thẳng a không song song nằm ( ) , viết phƣơng trình đƣờng thẳng b chứa ( ) qua A cho tạo với a góc lớn nhỏ  Trƣờng hợp b tạo với a góc lớn Đường thẳng b tạo với a góc lớn 900 , vecto phương b tích có      hướng u a n( ) : u b  u a , n( )   Trƣờng hợp b tạo với a góc nhỏ + Bước 1: Qua A kẻ đường thẳng a’ song song với a, viết phương trình a’ + Bước 2: Chọn điểm K thuộc a’, tìm hình chiếu H K lên ( ) + Bước 3: Khi b qua A H BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : (2;1;1) khoảng lớn A x  y  3z   C x  2y  z   x 1 y z  cách điểm M   1 B 3x  y  z   D x  y  z +  Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A (1;-2;1), song song với d : x 1 y z    1 cách gốc tọa độ khoảng lớn A 12x  9y  5z   B x  16y  5z  43  C 4x  16y  z  23  D 11x  16y  10z  53  Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O vng góc với mặt phẳng (Q): 2x  y  z   tạo với trục Oy góc lớn 81 A 2x  y  z  C 2x  5y  z  B x  y  z   D 2x  y  z   x 1 y 1 z  Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : tạo với đường   2 x  y z 1 thẳng d : góc lớn   A x  4y  z   B x  4y  z   C 3x  y  z   D x  3y  2z +  x 1 y z  Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng qua O, song song với đường thẳng d :   tạo với mặt phẳng (P) : x  2y  z   góc nhỏ A 11x  22y  7z  B 12x  27y 17z  C 11x  7y  22z  D 17x  22y  27z  Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A 1; 2; 1 , B  2;1;3 , tạo với trục Ox góc lớn A x  17y  4z  15  B x  17y  4z  15  C 17x  y  4z  15  D 17x  y  4z 15  Câu 7: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng (P) : 2x  y  z  cách điểm M 1; 2;1 khoảng nhỏ x y z x y z B     14 13 13 14 x y z x y z C D     13 14 14 13 Câu Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M 1;1; 1 cho trước, nằm mặt phẳng A  P  : 2x  y  z  cách điểm M  0; 2;1 khoảng lớn x 1 y 1 z  x  y 1 z 1     B 1 x  y 1 z  x  y 1 z 1     C C 2 Câu Tìm cặp số nguyên dương  a; b  nhỏ để khoảng cách từ O đến đường thẳng A  x   a  at  d :  y   b  bt  a   nhỏ  z   2a  b  2a  b t    A a  8; b  12 B a  11; b  C a  8; b  11 D a  12; b  Câu 10 Tìm cặp số nguyên dương  a; b  nhỏ để khoảng cách từ O đến đường thẳng  x   2a  at  1  d :  y  2  2a  1  a  t (a tham số) cách điểm M  ;1;  khoảng lớn 2  z  1 t  A a  B a  82 D a  3 Câu 11 Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng x y 1 z   góc nhỏ  P  : x  y  z  tạo với đường thẳng d :  1 x y z x y z2     A B 10 13 10 7 13 x y z x y z     C C 10 13 10 7 13 x 1 y z   Viết Câu 12 Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   , A  0; 2;1 đường thẳng d : phương trình đường thẳng d’ qua A, nằm (P) khoảng cách d d’ lớn góc nhỏ x y 1 z 1 x y z 1    A  B 7 12 9 x y  z 1 x y 1 z 1   C  C  9 7 Câu 13 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A 1;0; 2  cách điểm M  2;1;1 khoảng lớn A x  y  3z  B x  y  3z   C x  y  3z   C x  y  3z   x 1 y z 1   Câu 14 Cho đường thẳng d : , Viết phương trình đường thẳng d’ song song với 2 d, cách d khoảng cách điểm K  3; 4;3 khoảng lớn nhất, nhỏ C a  x 3  x 3  C 2 A y2 z  y2 z  x y z   2 3 x3 y 2 z   C 2 2 B  x   2t  Câu 15 Cho đường thẳng d :  y   t , Viết phương trình đường thẳng (P) song song cách z   t  d khoảng R  2 cách M  0;1;  khoảng nhỏ (lớn nhất) A  x  y  z   C  x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   Câu 16 Cho mặt cầu  S  :  x  1   y    z  điểm A  3;0;0  , A  4; 2;1 Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ biểu thức MA  2MB A B 2 C C Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;1;1 Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng (P) qua điểm sau đây? A M1 1; 2;0  B M2 1; 2;0  C M3  1; 2;0  D M4  1; 2;0  83 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1;1) Gọi P mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng P qua điểm sau đây? A M1 1; 2;  B M2 1; 2; 2  C M3 1; 2;  D M4 1; 2;  Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; -2) đường thẳng d có x 1 y 1 z 1   phương trình: Gọi P mặt phẳng qua A, song song với d khoảng 1 cách từ d tới (P) lớn Khi đó, mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng sau đây? A x  y  z   B  x  y  z   C x  y  z   C x  y  z   x2 y z2   Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Gọi  2 đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với d Gọi P : Ax  By  Cz  D  0,  A, B, C   mặt phẳng chứa  có khoảng cách đến d lớn Khi đó, M  A2  B2  C giá trị sau đây? A B C D x 1 y z    Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : điểm 2 A(2;5;3) Gọi (P) mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Khi đó, mặt phẳng P vng góc với đường thẳng sau đây? x 1 y  z  x 1 y  z      A B 4 1 x 1 y  z  x 1 y  z      C C 2 1 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  y  z   đường x 1 y 1 z    thẳng Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) 1 góc nhỏ Mặt phẳng P qua điểm đây? A M1  0; 2;6  B M2  0; 2;6  C M3  0; 2; 6  D M4  0; 2; 6  Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi P mặt phẳng qua điểm M (9;1;1), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ bằng: 81 83 A 41 B C 40 D 2 Câu 24: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) , cắt 1   tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức có giá trị nhỏ Mặt 2 OA OB OC phẳng P qua điểm đây? A M1  4;0;  B M2  2;0;  C M3 1;0;  D M4  2;0;1 Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) mặt phẳng qua điểm M(1;4;9), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA+OB+OC có giá trị nhỏ Mặt phẳng (P) qua điểm đây? A M1 12;0;0  B M2  0;6;0  C M3  0;0;12  D M4  6;0;0  84 x  y 1 z 1   hai điểm A(3;2;1), 2 B(2;0;4) Gọi  đường thẳng qua A, vng góc với d cho khoảng cách từ B tới  nhỏ  Gọi u   a; b; c  vec-tơ phương  với a, b, c € R.Giá trị P  a  b2  c giá trị đây? A 11 B C D x 1 y z 1   Câu 27: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng  : hai điểm 1 A(1;2;-1), B(3,-1,-5) Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn Khi đó, gọi M(a;b;c) giao điểm  Giá trị P = a + b +c bao nhiêu? A -2 B C D Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường x  y 1 z   Gọi d đường thẳng qua điểm B cắt đường thẳng  điểm C thẳng  : 1 cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ Đường thẳng d vng góc với đường thẳng sau đây?  x  1  t  x  1  t  x  1  t  x  1  t     A  y  2t B  y  2t C  y  2t D  y  2t z  1 t z  1 t z  1 t z  1 t     Câu 26: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A(1;0;0); B (0;-2;3) Gọi d đường thẳng nằm (P) qua A cách B khoảng   lớn Gọi u vec-tơ phương d u vng góc với vec-tơ sau đây?     A n  1; 4;1 B n   1; 4;1 C n  1; 4;1 D n   1; 4;1 Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A(1;0;0) ; B(0;-2;3) Gọi d đường thẳng nằm (P) qua A cách B khoảng nhỏ   Gọi u vec-tơ phương d u vng góc với vec-tơ sau đây?     A n   1; 3;1 B n   1;3;1 C n  1;3;1 D n   1;3; 1 Câu 31: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz gọi d đường thẳng qua A(0;-1;2), cắt đường x 1 y z  x 5 y z     thẳng 1 : cho khoảng cách d đường thẳng 1 : 1 2 lớn Đường thẳng d song song với mặt phẳng sau đây? A  P1  : 2x  y  17z   B  P2  : 2x  y  17z   C  P3  : 2x  y  17z   D  P4  : 2x  y  17z   Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua A(1;-1;2) , song song với mặt phẳng  P  : 2x  y  z   Gọi α,  góc lớn nhỏ d x  y 1 z   Trong khẳng định sau, khẳng định 2 cos    cos     cos    cos   A  B  C  D  9 cos   cos   cos   cos     đường thẳng 1 : 85 Câu 33: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz gọi d đường thẳng qua A(-1;0;-1), cắt đường x 1 y  z    thẳng 1 : Gọi α,  góc lớn nhỏ d đường 1 x 3 y 2 z 3   thẳng  : Trong khẳng định sau, khẳng định là: 1 2 cos   cos   cos   cos       A  B  C  D  2 cos   cos   cos   cos     ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1A 2D 3C 4A 5B 6C 7D 8A 9C 10D 11A 12C 13B 14A 15B 16C 17A 18C 19B 20C 21A 22B 22B 24B 25D 26D 27C 28B 29C 30A 31D 32B 33C 86 ...BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Tọa độ điểm vecto a) Hệ tọa độ: Hệ gồm trục x ' Ox , y ' Oy z 'Oz khơng gian vng góc với đôi O gọi hệ trục tọa độ Đề- các vng góc Oxyz (gọi tắt hệ tọa độ Oxyz)... tắc nhớ: Thiếu trục tọa độ tọa độ 0)  BÀI TẬP Phương pháp: Hiểu rõ lý thuyết, nắm vững công thức tọa độ không gian với trường hợp vận dụng cơng thức Ngồi ta cần lưu ý vấn đề thường gặp sau: VÍ... 23: Trong không gian Oxyz, cho vecto a   1;1;0  ; b  1;1;0  ; c  1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai       A a  B c  C a  b D b  c Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ