Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN m Các toán tọa độ không gian thường có yêu cầu xác đònh tọa độ điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc vectơ, vấn đề mặt phẳng đường thẳng không gian (phương trình, vò trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ) Tùy theo trường hợp ta cần lưu ý vận dụng kiến thức sau : co I Toạ độ điểm Toạ độ vectơ c Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có vectơ đơn vò ba trục Ox, Oy, Oz G G G e1 , e2 , e3 JJJJG G G G * Cho M(x, y, z) OM = x e1 + y e2 + z e3 G G G G G * Cho a = (a1, a2, a3) a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 oc uo II Các phép toán tọa độ điểm, vectơ Các phép toán tọa độ điểm JJJG Cho hai điểm A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) Ta có nhóm công thức tính tọa độ vectơ AB , khoảng cách hai điểm A, B tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ JJJG * AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) JJJG 2 * AB = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z2 − z1 ) ( x= x1 − kx y − ky z − kz2 ,y= ,z= 1− k 1− k 1− k gb * ) on Các phép toán tọa độ vectơ G G Cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) Với α β số thực ta có công thức tính công thức quan hệ sau : kh a) Công thức tính toán G G α a + β b = ( α a1 + β b1, α a2 + β b2, α a + β b ) G G a b = a1.b1 + a2.b2 + a b ( )= G G n cos a, b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 2 + a 32 b12 + b2 + b32 b) Công thức quan hệ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ⎧a1 = b1 G G ⎪ a = b ⇔ ⎨a = b ⎪a = b ⎩ G G a phương b ⇔ a a1 a = = b3 b1 b2 ( ) (b1, b2, b ≠ 0) m G G a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a b = Chú ý : co Góc hai đường thẳng chéo không gian góc nhọn tạo hai vectơ phương đường thẳng MẶT PHẲNG c I Phương trình mặt phẳng G 1.* Phương trình tham số mặt phẳng α qua M(x0, y0, z0) có cặp vectơ phương a = (a1, G a2, a ), b = (b1, b2, b ) viết : oc uo ⎧ x = x0 + t1a1 + t b1 ⎪ ⎨ y = y + t1a + t b2 ⎪z = z + t a + t b 3 ⎩ t1, t2 ∈ R 2.* Phương trình tổng quát mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0với A2 + B2 + C2 > G Mặt phẳng α có : pháp vectơ : n = (A, B, C) gb 3.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) vuông góc với vectơ G n = (A, B, C) viết : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = on 4.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) nhận vectơ phương G G a = (a1, a2, a ), b = (b1, b2, b ) viết a2 a3 b2 b3 ( x − x0 ) + a3 a1 b3 b1 ( y − y0 ) + a1 a2 b1 b2 ( z − z0 ) = kh 5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ viết : x y z + + =1 a b c II Toán mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác α : Ax + By + Cz + D = : MH = Ax + By + Cz0 + D A + B2 + C2 G Cho hai mặt phẳng α , β có pháp vectơ n = (A, B, C), G n1 = (A1, B1, C1) α cắt β G G ⇔ n khác phương n1 ĐƯỜNG THẲNG oc uo I Phương trình đường thẳng c α ⊥β G G ⇔ n // n1 G G ⇔ n ⊥ n1 α // β co G G Vò trí hai mặt phẳng α , β vò trí pháp vectơ n , n1 : m Vò trí tương đối hai mặt phẳng 1.* Phương trình tham số đường thẳng Δ qua G M(x0, y0, z0) có vectơ phương a = (a1, a2, a ) viết ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ ⎨ y = y0 + ta2 ,t ∈ R (Hệ I) ⎪ z = z + ta ⎩ Nếu a1.a2.a3 ≠ ta có phương trình tắc là: gb x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 on 2.* Phương trình tổng quát đường thẳng Δ xác đònh giao tuyến mặt phẳng α β viết : ⎧ Ax + By + Cz + D = ⎨ ⎩ A1x + B1y + C1z + D1 = (α) (β) (II) kh Ghi chú: Cho phương trình đường thẳng Δ xác đònh hệ (II) Để viết thành phương trình tham số đường thẳng ta đặt z = t tính x, y theo t từ hệ (II) nhờ hệ (I) ta có vectơ phương điểm Δ (hoặc x = t, y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến lại theo t đơn giản) 3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) : ⎧ A1x + B1y + C1z + D1 = ⎨ ⎩ A x + B2 y + C z + D2 = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = (*) với m, n không đồng thời Phương trình (*) gọi phương trình chùm mặt phẳng xác đònh đường thẳng (d) Chú ý :Nếu m= n khác 0, chia hai vế (*) cho n ta có (*) thành A2x + B2y + C2z + D2 = A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = với h = n m oc uo c co Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = hay A2x + B2y + C2z + D2 = Vấn đề TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ¾ Phương pháp : Thông thường ta có cách sau : - Cách : Tìm điểm cặp vectơ phương mặt phẳng - Cách : Tìm điểm pháp vectơ mặt phẳng - Cách : Dùng phương trình chùm mặt phẳng m Nếu m khác chia hai vế (*) cho m ta có: Vấn đề : TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG kh on gb ¾ Phương pháp : Thông thường ta có cách sau : - Cách : Tìm điểm vectơ phương đường thẳng - Cách : Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm - Ghi : Trong cách, thực chất việc tìm phương trình đường thẳng tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng Cái khó phải xác đònh mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay gặp giả thuyết sau : + Đường thẳng (Δ) qua điểm A cắt đường thẳng d : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A chứa d + Đường thẳng (Δ) qua điểm A vuông góc với đường thẳng d : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A vuông góc với d + Đường thẳng (Δ) song song với d1 cắt d2 : Khi đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng chứa d2 song song với d1 Chẳng hạn : Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a cắt đường thẳng ª Cách giải : - (Δ) qua A vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A vuông góc với d - (Δ) qua A cắt d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A chứa d Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 d2 ª Cách giải : - (Δ) qua A cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A chứa d1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Vấn đề HÌNH CHIẾU c co m - (Δ) qua A cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A chứa d2 Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng α, vuông góc với d nằm α ª Cách giải : - Từ giả thuyết ta có (Δ) ⊂ α - (Δ) qua A vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A vuông góc với d Khi (Δ) giao tuyến α β Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) cắt đường thẳng d1 d2 ª Cách giải : - (Δ) song song với (D) cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α chứa d1 song song với (D) - (Δ) song song với (D) cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β chứa d2 song song với (D) Khi (Δ) giao tuyến α β oc uo Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A đường thẳng (d) ¾ Phương pháp : A (d) H gb - Cách : (d) cho phương trình tham số : + H ∈ (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t → → + Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ⊥ a d - Cách : (d) cho phương trình tắc, gọi H(x, y, z) → → kh on + AH ⊥ a d (*) + H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z - Cách : (d) cho phương trình tổng quát : + Tìm phương trình mặt phẳng α qua A vuông góc với đường thẳng (d) + Giao điểm (d) (α) hình chiếu H A (d) Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A mặt phẳng (α) - Cách : Gọi H(x, y, z) + H ∈ α (*) → → + AH phương với n α : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z - Cách : + Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (α) + Giao điểm (d) (α) hình chiếu H A mặt phẳng (α) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α - Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α - Hình chiếu (Δ) d xuống mặt phẳng α giao tuyến α β Bài toán : Tìm hình chiếu H A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α) ¾ Phương pháp : - Tìm phương trình đường thẳng (Δ) qua A song song với (d) - Hình chiếu H giao điểm (Δ) (α) Bài toán : Tìm hình chiếu (Δ) đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng (α) (Δ) (d) ¾ Phương pháp : A co (D) d c (Δ) H oc uo - Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) song song với (D) - Hình chiếu (Δ) giao tuyến (α) (β) Vấn đề4 ĐỐI XỨNG kh on gb Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d ¾ Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A d - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α ¾ Phương pháp : - Tìm hình chiếu H A α - H trung điểm AA’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) ¾ Phương pháp : (D) - Trường hợp : (Δ) (D) cắt : A M (Δ) A’ d + Tìm giao điểm M (D) (Δ) + Tìm điểm A (D) khác với điểm M + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d đường thẳng qua điểm A’ M Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác oc uo c co m - Trường hợp : (Δ) (D) song song : + Tìm điểm A (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d đường thẳng qua A’ song song với (Δ) - Trường hợp : (Δ) (D) chéo : + Tìm điểm phân biệt A, B (D) + Tìm điểm A’, B’ điểm đối xứng A, B qua (Δ) + d đường thẳng qua điểm A’, B’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α ¾ Phương pháp : - Trường hợp : (D) cắt α + Tìm giao điểm M (D) (α) + Tìm điểm A (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α + d đường thẳng qua hai điểm A’ M - Trường hợp : (D) song song với α (D) d A A’ on gb - Tìm điểm A (D) - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α - d đường thẳng qua A’ song song với (D) Vấn đề KHOẢNG CÁCH kh Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = ¾ Phương pháp : d(M, α ) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) ¾ Phương pháp : - Tìm hình chiếu H M (Δ) - Khoảng cách từ M đến (Δ) độ dài đoạn MH Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng song song d1 d2 ¾ Phương pháp : Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Khoảng cách α β cho công thức : d(α, β) = D1 − D2 A + B2 + C m - Tìm điểm A d1 - Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ điểm A đến d2 Bài toán : Tính khoảng cách mặt phẳng song song α : Ax + By + Cz + D1 = Và β : Ax + By + Cz + D2 = ¾ Phương pháp : + Tìm vectơ phương → → a1, a2 oc uo c co Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2 ¾ Phương pháp : - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm điểm A d2 + Khi d(d1, d2) = d(A, α) - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 song song với d1 + Khi d(d1, d2) = d(α, β) Ghi : Mặt phẳng α β mặt phẳng song song với chứa d1 d2 - Cách : + Viết dạng phương trình tham số theo t + Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2 + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1 + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2 d1 d2 gb ⎧ → → ⎪ AB ⊥ a + AB đoạn vuông góc chung d1, d2 ⇔ ⎨ → →1 tìm t1 t2 ⎪ AB ⊥ a ⎩ on + Khi d(d1, d2) = AB Vấn đề GÓC Cho đường thẳng d d’ có phương trình : x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c kh d: d’ : x − x0 y − y0 z − z0 = = a' b' c' Cho mặt phẳng α β có phương trình : α : Ax + By + Cz + D = β : A’x + B’y + C’z + D’ = Góc hai đường thẳng d d’ : cos ϕ = aa'+ bb'+ cc' a + b + c a' + b ' + c ' 2 Góc hai mặt phẳng α β : Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác cos ϕ = AA'+ BB'+ CC' A + B2 + C A' + B' + C' Góc đường thẳng d mặt phẳng α : Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c Chú ý : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = -α⊥β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = - d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = → co Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng α β có phương trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = β : A2x + B2y + C2z + D2 = m sin ϕ = → → → - α cắt β ⇔ n1 n không phương - α song song β ⎧ ⇔ ⎪⎨ n1 n phương - α trùng β ⇔ → oc uo → c Gọi n1 = (A1, B1, C1 ), n = (A , B2 , C ) pháp vectơ mặt phẳng M điểm mặt phẳng α ⎪⎩ M ∉β → ⎧⎪ → n n phương ⎨ ⎩⎪ M ∈β Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ ta có cách khác : - α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C D2 - α trùng β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C D2 gb - α song song β on Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 + Hệ có nghiệm : d1 cắt d2 + Hệ có vô số nghiệm : d1 d2 trùng + Hệ vô nghiệm : → → kh a d1 a d → → a d1 a d phương : d1 // d2 không phương : d1 d2 chéo - Cách : → → + Tìm vectơ phương a d1 , a d2 d1 d2 + Tìm điểm A ∈ d1 B ∈ d2 → → a) a d1 a d phương A ∈ d : d1 ≡ d A ∉ d : d1 / / d Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác → → → co Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng α + Hệ vô nghiệm : d // α + Hệ có nghiệm : d cắt α + Hệ vô số nghiệm : d⊂α - Cách : m b) a d1 a d không phương ta có: G G JJJG i) ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB = d1,d2 cắt G G JJJG ii) ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB ≠ d1,d2 chéo → Tìm vectơ phương a d, pháp vectơ n α tìm điểm A ∈ d → → → → → c → → + a n ≠ ( a không vuông góc n ) : d cắt α → A ∉ α: d / / α A ∈ α: d ⊂ α oc uo + a n = ( a ⊥ n ) Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D) ⎧ x − 2z = ⎨ ⎩3x − 2y + z − = gb vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + = Giải Phương trình tham số (D) viết on ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ ⎪⎩z = t Mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) qua điểm kh G M ( 0, − , ) ∈ (D) có cặp vectơ phương a = G n = (1, –2, 1) (pháp vectơ (P)) ( 2, ⎛ −2 1 −2 ⎞ 1 G ⎜ ⎟ Do đó, pháp véctơ ( Q) n1 = ; ; ⎟= ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎠ ⎝ = (– 11, 2, 15) 10 ,1 ) (vectơ phương (D) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Vậy phương trình (Q) viết –11x + ( y + ) + 15z = ⇔ 11x – 2y - 15 z – = Cách khác: Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) có dạng: m x-2z = (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= Vậy pt (Q) có dạng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – = co (Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + + + 1- m= ⇒ m = Vậy pt mp (Q) là: 11x – 2y - 15 z – = c Ví dụ 2: Xác đònh tham số m n để mặt phẳng 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình : oc uo α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = Giải Chùm mặt phẳng có phương trình α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = chứa đường thẳng (D) có phương trình : gb ⎧3x − y + z − = ⎨ ⎩ x − y − 2z + = kh on Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng (P) chứa (D) nghóa ⎛ 18 ⎞ ⎛ 31 ⎞ chứa điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , ⎟ ∈ (D) Điều kiện để (P) chứa A, B m, n thỏa hệ phương ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪⎪ + + m = ⎨ ⎪5 31 + n + m = ⎪⎩ 10 10 ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: ⎧x − y + z − = Δ1 : ⎨ Δ2 : ⎩x + y − z + = ⎧x = + t ⎪ ⎨y = + t ⎪z = + t ⎩ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 song song với đường thẳng Δ2 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác b) Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ BÀI GIẢI: a) (P) chứa Δ1 // Δ2 a Δ1 = (2, 3, 4); a Δ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) [ ] Mặt phẳng (P) có pvt aΔ1 , aΔ =(2, 0, −1) oc uo c co m (P) : 2x – z = b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Gọi (Q) mặt phẳng qua M vuông góc với Δ2 Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 Do MH a Δ = ⇒ t = Vậy điểm H (2, 3, 3) Ví dụ 4: ( ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M,N,P trung điểm cạnh BB1, CD,A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N BÀI GIẢI: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho ta có : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy M (a, 0, a ); N ( a , a, 0); P (0, a , a) a) A B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a) Gọi (P) mp qua B1D (P) // A1B ⇒ (P) có pháp vectơ n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = a a gb ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = a (− a on , 0, −a) b) MP = (−a, , ) C1 N = Ta có : MP C1 N = ⇒ MP ⊥ C1N Vậy góc MP C1N 900 Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng dm : ⎧(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − = ⎨ ⎩mx + (2 m + 1)z + m + = (m tham số) kh Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) BÀI GIẢI: vectơ phương (dm) : 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) pvt (P) n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a n = ⇔ −4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) = ⇔ 6m + = ⇔ m = − 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m Ví dụ ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a b Xác đònh tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b BÀI GIẢI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) b ) JJJJG JJJG JJJJG b a) BD = (−a,a,0) ; BA ' = (−a,0, b) ; BM = (0,a, ) JJJG JJJJG ⇒ ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a ) JJJG JJJJG JJJJG 2 c 1 ab 3a b a b ⇒ V= ⎡⎣BD,BA'⎤⎦ BM = (a2 b + ) = = (đvtt) 6 12 JJJG JJJJG JJG b) (A’BD) có vectơ pháp tuyến ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a) (MBD) có vectơ pháp tuyến uo JJJG JJJJG JJJG ⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a) ⎣ ⎦ 2 JJJG JJG Ta có : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m n = co A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, ⇔ b2 + b2 – 2a2 = ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ a =1 b oc Ví dụ ( ĐH KHỐI B-2003): Trong khô ng gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm JJJG A(2;0;0), B(0;0;8) điểm C cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA BÀI GIẢI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8) on gb ⎧x C = JJJG ⎪ AC = (0; 6; 0) ⇔ ⎨y C = ⇔ C (2; 6; 0) I trung điểm BC ⇒ I (1; 3; 4) ⎪z = ⎩ C ⎧x = t ⎪ Pt tham số OA : ⎨y = ⎪z = ⎩ JJJG (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = ⇔ x – = Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thỏa : kh ⎧x = ⎧ x = t,y = 0,z = ⎪ ⇔ ⎨y = Vậy H (1; 0; 0) ⎨ x − = ⎩ ⎪z = ⎩ d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + = thẳng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + =0JJG JJG BÀI GIẢI: n1 = (1, 3k, −1); n = (k, −1, 1) 13 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác JJG ad JJG nP = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) = (1, −1, −2) dk ⊥ (P) ⇔ JJG ad JJG nP phương m ⎧k = 3k − − k − −1 − 3k ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ = = ⇔k=1 −1 −2 ⎪⎩ k = ∨ k = − M C N D a) H O B oc uo S c co Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN BÀI GIẢI: Cách 1: A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = n Ta có OM // SA ⇒ Góc (SA, MB) OMB n= ⇒ tgOMB n = OB ΔOBM có tg OMB gb OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM OM n =30 ⇒ OMB Vẽ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB) b) on ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = (ABM) ∩ SD = N ⇒ N trung điểm SD VSBMN SM SN 1 = = ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD Tương tự: VSABN = VSABCD Vậy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD 1 = AC.BD.SO = 4.2.2 = (đvtt) 16 kh Ta có: Cách 2: a) O trung điểm BD ⇒ D (0; −1; 0) O trung điểm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M trung điểm SC ⇒ M (−1;0; 2) 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác JJJG JJJJG SA =(2; 0;- 2 ); BM = (−1; −1; 2) Gọi ϕ góc nhọn tạo SA BM −2 + − cosϕ = + 1+1+ = ⇒ ϕ = 300 Gọi (α) mp chứa SA // BM ⇒ PT (α) : 2x + z − 2 = 2x + 2y + 3z − 2 = b) Pt mp(ABM): m Ta có d(SA, BM) = d(B, α) = co ⎧x = ⎪ Pt tham số SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R) ⎪ ⎩z = 2t N giao điểm SD mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2) oc uo c JJJG JJJG BS = (0; −1;2 2) ; BA = (2; −1;0) JJJG JJJJG BN = (0; − ; 2) ; BM = (−1; −1; 2) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⎡ BS,BN ⎤ = (2 2;0;0) ; ⎡ BS,BN ⎤ BA = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJJG ⎡ BS.BN ⎤ BM = −2 ⎣ ⎦ 1 VSABMN= VSABN + VSBNM = + 2 = (đvtt) 6 gb Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Biết A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > a) Tính khoảng cách đường thẳng B1C AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B1C AC1 lớn BÀI GIẢI: a) C1 (0; 1; b) Gọ i (α) mặt phẳ ng chứa B1C song song với AC1 JJJJG JJJJG B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b) JJJJG JJJJG on Suy ra: ⎡⎣ B1C,C1A ⎤⎦ = (−2b;0; −2a) Suy ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = ⇔ bx + az = kh Ta có: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)= ab a +b ab = a + b2 b) Cách 1: Ta có: d= ab a +b ≤ ab 2ab = ab ≤ a+b 2 = 2 = ⎧a = b ⎪ Max d ⇔ d = ⇔ ⎨a + b = ⇔ a = b = ⎪a > 0, b > ⎩ 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ab 16 − 2ab ⎛a+b⎞ , đặt x = ab, đk < x ≤ x = ab ≤ ⎜ ⎟ =4 ⎝ ⎠ Xét f(x) = x 16 − 2x f’(x) = 16 − x (16 − 2x)3 > ∀x ∈ (0; 4] co ⇒ d đạt max x = ab = ⇒ a = b = (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) đường thẳng d : ⎨ y = − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ m Cách 2: d = Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d BÀI GIẢI: Cách 1: A (−4; −2; 4) c ⎧x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = − t ⎪z = −1 + 4t ⎩ ⇒ phương trình (Δ) : oc uo LấyJJJJ MG (−3+2t; – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ AM = (1 + 2t; – JJJJ t; −G5JJJJ +G4t) JJJG Ta có: AM ⊥ (d) ⇔ AM ad = (với ad =(2; −1; 4)) ⇔ + 4t – + t – 20 + 16t = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1.JJJJG Vậy đường thẳng cần tìm đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1) x+4 y + z − = = −1 Cách 2: Gọi (α) mp qua A a d ,Gọi (β) mp qua A JJJG ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); ad = (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) có cặp VTCP : gb JJJG JJJJG ⎧⎪ ad = (2; −1;4) ⇒ n (α ) = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) ⎨ JJJG ⎪⎩AB = (1;3; −5) Pt mp (α) : x – 2y – z + = ⎧⎪(β ) qua A (-4; -2; 4) on JJJJG JJJG ⎨ ⎪⎩(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4) ⎧ x − 2y − z + = ⎩2x − y + 4z − 10 = Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = Pt (Δ) : ⎨ Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: x −1 y + z − = = mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + = −1 kh d: a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ nằm mặt phẳng (P), biết Δ qua A vuông góc với d ⎧x = − t ⎪ BÀI GIẢI: a) Phương trình tham số d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R) ⎪z = + t ⎩ 16 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta có : d (I, (P)) = ⇔ | − 2t − + 2t − − 2t + | =2 +1+ ⎡ t = −2 Suy : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; ; 7) ⎣t = ⇔ | − t |= ⇔ ⎢ m b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình d, ta x = 0; y = -1; z = Suy A (0; -1 ; 4) JG Vectơ phương d : a = (−1;2;1) JG Vectơ pháp tuyến (P): n = (2;1; −2) Mặt khác Δ qua A nên phương trình tham số Δ : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨ y = −1 ⎪z = + t ' ⎩ co G G Suy vectơ phương Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1) c Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với oc uo A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN BÀI GIẢI: a) Hình chiếu A1 xuống mp (Oxy) A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chiếu C1 xuống mp (Oxy) C ⇒ C1(0; 3; 4) JJJG Cặp véc tơ phương (BCC1B1) : BC = (−4;3;0) JJJJG BB1 = (0;0;4) Suy véc tơ pháp tuyến (BCC1B1) : JJG JJG JJJG JJJJG n = ⎡⎣ BC, BB1 ⎤⎦ = (12; 16; 0) hay m = (3; 4; 0) gb Mặt khác (BCC1B1) qua B nên có phương trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = ⇔ 3x + 4y – 12 = Bán kính mặt cầu : − 12 − 12 24 R = d (A, (BCC1B1)) = = + 16 on Suy phương trình mặt cầu : x2 + (y + 3)2 + z2 = 576 25 kh b) M trung điểm A1B1 ⇒ M (2; − ; 4) JJJJG JJJJG Mp (P) có cặp véc tơ phương AM = (2; ;4) BC1 = (−4;3;4) ⇒ véc tơ pháp tuyến mp (P): JJG JJJJG JJJJG n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Mặt khác (P) qua A nên có phương trình : x + 4(y + 3) – 2z = ⇔ x + 4y – 2z + 12 = JJJJJG A1C1 qua A1 có véc tơ phương A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = ⎪ nên có phương trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = ⎩ 17 Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình (A1C1) ta x = 0, y = −1, z = ⇒ N (0; −1; 4) 17 MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) = 2 Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : x −1 y + z +1 ⎧x + y − z − = = = d2: ⎨ d1 : −1 ⎩x + 3y − 12 = m Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác oc uo c co a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) JJG BÀI GIẢI: a) d1 qua N (1; −2; −1) có vectơ phương a =(3; −1; 2) JJG d2 qua B (12; 0; 10) có vectơ phương b =(3; −1; 2) JJG JJG JJJG JJG Ta có : a = b NB = (11, 2, 11) không phương với a Vậy d1 // d2 JJG JJG JJJG Mp (P) qua N có pháp vectơ : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17) Phương trình (P) là: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = JJJG JJJG b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡⎣ OA,OB⎤⎦ = (0, −10, 0) JJJG JJJG ⇒ Diện tích (ΔOAB) = ⎡⎣OA,OB⎤⎦ = (đvdt) kh on gb *** 18 [...]... A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: x −1 y + 3 z − 3 = = và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 −1 2 1 kh d: a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d ⎧x = 1 − t ⎪ BÀI GIẢI: a) Phương. .. B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với oc uo A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N Tính độ dài... Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) JJG BÀI GIẢI: a) d1 qua N (1; −2; −1) và có 1 vectơ chỉ phương là a =(3; −1; 2) JJG d2 qua B (12; 0; 10) và có 1 vectơ chỉ phương là b =(3; −1; 2) JJG JJG JJJG JJG Ta có : a = b và NB = (11, 2, 11) không cùng phương. .. nP = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) = (1, −1, −2) dk ⊥ (P) ⇔ JJG ad JJG nP cùng phương m ⎧k = 1 3k − 1 − k − 1 −1 − 3k 2 ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ = = 1 ⇔k=1 1 −1 −2 ⎪⎩ k = 1 ∨ k = − 3 M C N D a) H O B oc uo S c co Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh... vectơ chỉ phương của (dm) là : 2 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) 1 pvt của (P) là n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a n = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0 ⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = − 1 2 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác m Ví dụ 6 ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0),... ⎪ Pt tham số OA : ⎨y = 0 ⎪z = 0 ⎩ JJJG (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thỏa : kh ⎧x = 1 ⎧ x = t,y = 0,z = 0 ⎪ ⇔ ⎨y = 0 Vậy H (1; 0; 0) ⎨ x − 1 = 0 ⎩ ⎪z = 0 ⎩ d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = 5 Ví dụ 8 ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + 2 = 0 thẳng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + 1 = 0 Tìm... = 4 ⇔ | 1 − t |= 3 ⇔ ⎢ m b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta được t = 1 Thế t = 1 vào phương trình d, ta được x = 0; y = -1; z = 4 Suy ra A (0; -1 ; 4) JG Vectơ chỉ phương của d : a = (−1;2;1) JG Vectơ pháp tuyến của (P): n = (2;1; −2) Mặt khác Δ đi qua A nên phương trình tham số của Δ là : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨ y = −1 ⎪z = 4 + t ' ⎩ co G G Suy ra vectơ chỉ phương của Δ : [a, n] = (−5; 0;... Điều kiện để (P) chứa A, B thì m, n thỏa hệ phương 7 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪⎪ 7 + 4 7 + m = 0 ⎨ ⎪5 31 + 9 n + m = 0 ⎪⎩ 10 10 ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: ⎧x − 2 y + z − 4 = 0 Δ1 : ⎨ và Δ2 : ⎩x + 2 y − 2 z + 4 = 0 ⎧x = 1 + t ⎪ ⎨y = 2 + t ⎪z = 1 + 2 t ⎩ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng... chỉ phương AM = (2; ;4) và BC1 = (−4;3;4) ⇒ véc tơ pháp tuyến của mp (P): 2 JJG JJJJG JJJJG n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình : x + 4(y + 3) – 2z = 0 ⇔ x + 4y – 2z + 12 = 0 JJJJJG A1C1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = 0 ⎪ nên có phương trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = 4 ⎩ 17 Thế phương trình A1C1 vào phương. .. = b = 2 (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) và đường thẳng d : ⎨ y = 1 − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ m Cách 2: d = Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d BÀI GIẢI: Cách 1: A (−4; −2; 4) c ⎧x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = 1 − t ⎪z = −1 + 4t ⎩ ⇒ phương trình (Δ) : oc uo LấyJJJJ MG (−3+2t; 1 – t;