BÀI TẬP VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PH NG PHÁP XÁC Hình h c không gian NH VÀ TÍNH NHANH GÓC TRONG KHÔNG GIAN ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây t p kèm v i gi ng gi ng Ph ng pháp xác đ nh tính nhanh góc không gian thu c khóa h c: Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B Bi t AB  2a , ACB  300 Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng ( ABC ) trung m c a c nh BC góc t o b i SA m t đáy b ng 600 Tính cosin c a góc t o b i AH SC Gi i: G i H trung m c a BC , đó: SH  ( ABC ) , suy góc t o b i S 2a SA m t đáy SAH  60 Có BC    2a tan ACB tan 30  BH  AB BC  a , đó: AH  AB2  BH  a Xét tam giác SAH ta có: SH  AH tan 600  a  a 21 M 600 A G i M trung m c a SB , suy HM // SC , đó: 2a  AH , SC    AH , HM  Ta có HM  MB  C 300 H B ( SB SH  BH 21a  3a   a 2 Tam giác AMB vuông t i B nên ta có: AM  AB2  MB2  4a  6a  10a Xét tam giác AMH có: cos AHM  42 AH  HM  AM 7a  6a  10a  (2)   AH HM 28 2.a 7.a T (1) (2) suy cosin c a góc t o b i AH SC cos AHM  42 28 Bài Cho hình chóp đ u S ABC có SA  2a , AB  3a Tính góc gi a SA m t ph ng đáy ABC Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: G i H hình chi u vuông góc c a S ( ABC ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Do S ABC hình chóp đ u nên H tr ng tâm tam giác ABC ( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau) Ta có SH  ( ABC ) , HA hình chi u c a SA ( ABC ) Suy  SA,( ABC )   ( SA, HA)  SAH G i I trung m c a BC , tam giác ABC đ u c nh 3a nên: AI  3a  AH  AI  a 3 S Xét tam giác SAH ta có: cos SAH  2a AH a    SAH  300 2a SA V y  SA,( ABC )   30 A Ta có (SBC ) ( ABC )  BC  BC  AI Mà   BC  ( SAI )  BC  SH ( SAI ) ( SBC )  SI M t khác:  ( SAI ) ( ABC )  AI B H 3a I C   (SBC ),( ABC )   ( SI , AI )  SIA  2  SH  SA  AH  (2a )  a Ta có   HI  AH  a  2   a  tan SIA  V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) SH a   IH a 2 Bài Cho hình chóp đ u S ABCD , đáy tâm O có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, BC Bi t góc gi a MN ( ABCD) b ng 60 Tính sin c a góc t o b i MN ( SAC ) Gi i: Do S ABCD hình chóp đ u nên ta có SO  ( ABCD) S G i P trung m c a AO Khi MP / / SO  MP  ( ABCD) Suy  MN,( ABCD)   MNP  600 M Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có: PN  CN  CP  2CN.CP.cos 450  5a a 10  PN  A Trong tam giác vuông MNP ta có : P D Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 N OH C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian  a 10  PN a 10    MN  cos MNP cos 60    PM  NP tan MNP  a 10 tan 600  a 30  SO  PM  a 30  4 G i H trung m c a OC Suy NH / / BD mà BD  (SAC )  NH  (SAC ) Do  MN,(SAC )   NMH a NH a a 10 Ta có NH  OB  Suy ra: sin NMH  :   4 10 MN V y sin c a góc t o b i MN ( SAC ) b ng 10 Bài Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , BAC  1200 , AB  AC  a SA a Tính góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: S G i M trung m c a BC  BC  AM Khi   BC  ( SAM )  BC  SA Suy  (SBC ),( ABC )   SMA Tam giác ABC cân t i A nên a AM  AC.cos MAC  a cos 60  Trong tam giác vuông SAM có : SA a a   SMA  300 tan SMA  :  AM 3 A C 1200 M B V y  ( SBC ),( ABC )   30 Bài Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a Tính góc t o b i hai m t ph ng ( BA' C ) ( DA' C ) Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD H OH  A' C ( H  A' C ) Khi đó: A' C  OH    A' C  ( BDH ) A' C  BD  V y  ( BA' C ),( DA' C)   ( HB, HD) A' D' B' C' Trong tam giác vuông A' BC có BH  a Trong tam giác BHD , áp d ng đ nh lí cosin ta có: T H 2SA' BC BC A' B a a a    A' C A' C a A ng t ta có DH  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t D O B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian 2a 2a   2a BH  DH  BD   cos BHD  2a 2 BH DH 2 Suy BHD  1200  ( HB, HD)  600 V y  ( BA' C ),( DA' C)   60 Bài Cho hình l ng tr đ u ABC A' B ' C ' , đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b G i M trung m c a AB  góc t o b i đ ng th ng MC ' m t ph ng ( BCC ' B ') Tính tan  G i M ', N l n l Gi i: t trung m c a A' B ' BC G i P trung m c a BN Ta có: AN  BC    AN  ( BCC ' B ') AN  BB ' M B A P N C M t khác MP // AN , nên suy MP  ( BCC ' B ') Do  MC ',( BCC ' B ')     MC ' P Tam giác ABC đ u c nh a nên AN  Suy MP  a B' A' M' AN a  C' 3a L i có MC '  MM '2  M ' C '2  b  3a 3a 9a 2   b  Suy PC '  MC '  MP  MC '  b  16 16 2 MP a 9a a  : b2   PC ' 4 16b2  9a Bài Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, SC Trong tam giác vuông C ' PM ta có tan MC ' P  Bi t ( BM , ND)  600 Tính chi u cao c a hình chóp Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD G tr ng tâm tam giác SAC ng th ng qua G song song v i BM c t BC F ng th ng qua G song song v i DN c t AD E  EA  ED BF GM GN ED  Ta có     FC GC GA EA  FC  FB S Suy EF qua tâm c a hình vuông ABCD O trung m c a đo n EF M  EGF  600 0 T ( BM , ND)  60  (GE, GF )  60    EGF  1200 G N A *) V i EGF  600 D O B Hocmai.vn – Ngôi tr E ng chung c a h c trò Vi t F T ng đài t v n: 1900 58-58-12 C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ta có GEF cân t i G, suy GEF đ u  GO  Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ Suy SO  3GO  Hình h c không gian EF 10a c EF  10 30a a *) V i EGF  1200 Ta có GEF cân t i G, suy GO  EF  10a 30a  SO  3GO  6 30a 30a ho c SO  Bài Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a i m M thu c đo n BC ' , N thu c đo n AB ' a ng th ng MN t o v i m t ph ng ( ABCD) góc  Ch ng minh r ng: MN  sin   cos  Gi i: V y SO  G i M ', N ' l n l D t hình chi u M' c a M , N lên m t ( ABCD) Không m t tính t ng quát gi s MM '  NN ' MN C N' A B M ' N '  P M Khi  MN,( ABCD)   NPN '   D' Ta có MM '  BM '; NN '  AN '  a  BN ' M t khác MN  PN  PM  MN cos   PN cos   PM cos   PN ' PM '  M ' N '    MN sin   PN sin   PM sin   NN ' MM '   (a  BN ')  BM '  a  ( BN ' BM ') (1)  Do M ' N '  BN '2  BM '2  MN cos   P C' N A' B' (2)  T (1) (2), suy MN sin   cos   a  ( BN ' BM ')   BN '2  BM '2   a  ( BN ' BM ')  BN ' BM '  a (do 2( x2  y2 )  ( x  y)2 ) Suy MN  a sin   cos  (đpcm) Bài Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông t i B , có SA  AB  a , BAC   , SA  ( ABC ) góc gi a hai m t ph ng ( SAC ) ( SBC )   cos  cos  Tam giác ABC th a mãn u ki n đ   600 Ch ng minh r ng tan  tan   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c không gian Gi i: G i H , K l n l t hình chi u vuông góc c a A SB, SC CB  AB Ta có   CB  ( SAB)  CB  AH  AH  ( SBC ) CB  SA Suy AH  SC  SC  ( AHK)  SC  KH S K Khi AKH   (do AKH  900 ) BC AH AH BC (1)  AB HK AB HK AH SH  ABH ~ SAH  AB  SA (2) Do  SCB ~ SHK  CB  SC  HK SH BC AH SH SC SC Thay (2) vào (1) ta đ c: tan  tan     AB HK SA SH SA Ta có tan  tan   H A C B a a2 a  cos  2  SC  SA  AC  a   M t khác AC  cos  cos  cos  Suy  cos  SC  cos   hay tan  tan   (đpcm) cos  SA cos  Do   600 nên tan  tan   tan   tan    cos   cos    1   tan  2 cos  cos  cos  Suy 3tan    tan   tan   1 Do 00    900  tan      450 V y tam giác ABC vuông cân t i B Bài 10 Qua đ ng cao c a t di n đ u d ng m t ph ng c t m t bên c a t di n theo đ v i đáy góc  ,  ,  Ch ng minh r ng tan   tan   tan   12 S Gi i: G i t di n đ u SABC m xác đ nh nh hình v SH SH SH Ta có: tan   ; tan   ; tan   MH NH PH 1    tan   tan   tan   SH     (*) 2 NH PH   MH G i 1 , 2 , 3 góc t o b i MP v i đ K M A ng Hocmai.vn – Ngôi tr N ng vuông góc K, I , J ) Ta có: HI  HJ  HK  1 a a AI   3 ng chung c a h c trò Vi t H J vuông góc h t H xu ng AB, BC, CA ( ng v i chân đ ng th ng t o B I C P T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  MH  Hình h c không gian a a a ; NH  ; PH  6cos 3 6cos 1 6cos 2 12(cos 1  cos 2  cos 3 ) 1 (1)     MH NH PH a2 Mà ta có: 1  2  600  1800  2  1200  1 2  3  BCA  600  3  600  2  1  600  cos 1  cos 2  cos 3  cos 21  cos 22  cos 23  2 0 cos 21  cos  2(120  1 )   cos  2(1  60 )    2 cos 21  2cos 600.cos(1800  21 ) cos 21  cos 21     2 2 1 18    (2*) T (1) (2)  2 MH NH PH a  (2)  a   a  2a Mà ta có: SH  SI  HI   (3*)         2 Thay (2*) (3*) vào (*) ta đ c: tan   tan   tan   2a 18  12 a2 Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -