Các dạng bài tập về vector trong không gian

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.. II, Một số tính chất cần ghi nhớ Để giải quyết một bài to

a, lý thuyết Phương pháp véc tơ:

I) Quy trình giải toán

Bước 1: Lựa chọn “ Hệ véc tơ gốc”.-> “Phiên dịch” các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho

ra ngôn ngữ “véc tơ”

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc

tơ theo hệ véc tơ gốc

Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các tính chất hình học tương ứng

VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là

trung điểm của đoạn thẳng MN

a) Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD Phát biểu kết luận tương tự đối với các đường thẳng BG,CG và DG

b) Chứng minh GA=3GA’

BG: Chọn hệ {A AB AC AD,JJJK JJJK JJJK, , }

làm cơ sở

A

*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc +Giả thiết:

M là trung điểm của AB ⇔ 1

2

AM = A

JJJJK JJK

2

BJ

N là trung điểm CD 1( )

2

AN AD+AC

JJJK JJJK JJJK

G là trung điểm đoạn MN

AG AM AN AB AC AD

⇔JJJK= JJJJK JJJK+ = JJJK JJJK JJJK+ + (1)

' 3

AA AB+AC+AD

⇔JJJJK= JJJK JJJK JJJK .(2) + Dễ thấy yêu cầu của bài toán tương đương với yêu cầu chứng minh

(H.1)

A’

G

N

M

B

D

3

AG= A

C

A

JJJK JJJJK

Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên

II, Một số tính chất cần ghi nhớ

Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau:

1) Quy tắc 3 điểm: ABJJJK JJJK JJJK+BC= AC, với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian

2) Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc: JJJKAB

là một véc tơ cho trước thì với mọi điểm O bất kì , ta có:

JJJK JJJK JJJKAB=OB OAư

3) Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có : OBJJJK JJJK JJJK=OA OC+

4) Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì: JJJ JJJ K

+ MBK+MAK=0

,

OB OM

JJJK JJJK JJJJK

GB GC=

OB OC= OG

JJJK JJJK JJJK JJJK

+ OA+ =2 với mọi điểm O

5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: JJ JJJ

+ OA + + 3 với mọi điểm O

6) Tích vô hướng của 2 véc tơ: JJJK JJJKAB CD = JJJK JJJKAB CD cos(JJJK JJJKAB CD, )

7) Điều kiện để 2 véc tơ cùng phương : Véc tơ a

G cùng phương với véc tơ b b( 0)

3

≠

G G

:

k R a kb

⇔ ∃ ∈ G= G G

8) Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: ∃ ≠k 0 :JJJKAB=k AJJJKC

9) Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc: JJJKAB⊥CDJJJK⇔JJJK JJJKAB CD =0G

10) Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với một

mặt phẳng

11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hướng 2 véc tơ:

2

a b= ⎡ a b+ ưa ưb ⎤

2

a b= ư ⎡ a bư ưa ưb ⎤

12) Nếu a b c, , là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :

G G G

x aG+y bG+z cG=x aG+y bG+z cG thì:

1 2

1 2

1 2

x x

y y

z z

=

⎧

⎪ =

⎨

⎪ =

⎩

13) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k≠1 thì với điểm O bất kì ta có:

1

OA kOB OM

k

ư

=

ư

JJJK JJJK JJJJK

14) Trong không gian cho hệ {O OA OB OD,JJJK JJJK JJJK, , }

Điểm D∈mp ABC( ) thì ODJJJK=αOAJJJK+βOBJJJK+γOCJJJK ,(α β γ+ + =1; , ,α β γ∈R)

b, Các dạng bμi tập

*Bμi tập hình thμnh phương pháp

Dạng 1 Bμi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng

(Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10)

VD2: Cho tứ diện ABCD Các trung tuyến AA 1 và BB 1 của tam giác ABC cắt nhau tại M Có thể biểu diễn véc tơ DMJJJJK theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây?

1) DA DC DBJJJK JJJK JJJK, ,

A AA BB

JJK JJJK JJJK

3) JJJK JJJK JJJJKAB DA A B, , 1 1

D

3

DM = DA+DB+DC

JJJJK JJJK JJJK JJJK

3

DM =DA+ AA + BB

JJJJK JJJK JJJK JJJK

3) Do A1B1//AB nên 3 véc tơ trên là

đồng phẳng , mặt khác véc tơ JJJJKDM

không đồng phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy DMJJJJK

không biểu diễn được theo các véc tơ:JJJK JJJK JJJJKAB DA A B, , 1 1

VD3: Cho tứ diện ABCD Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC

Hãy biễu diễn DMJJJJK

theo các véc tơ:DA AC CBJJJK JJJK JJJK, ,

(H.2)

1

M

A

C

B

HD: (Xem hình 2.) M là trọng tâm của tam giác ABC nên: 1(

3

DM = DA+DB+DC)

JJJJK JJJK JJJK JJJK

Vậy để giải quyết bài toán ta cần biểu diễn DB DCJJJK JJJK, theo 3 véc tơ

, ,

DA AC CB

JJJK JJJK JJJK

.Ta có:

+ DBJJJK JJJK JJJK JJJK=DA+AC CB+ và DCJJJK JJJK JJJK=DA+AC Từ đó suy ra: 1( )

3

DM = DA+ AC+CB

JJJJK JJJK JJJK JJJK

Bμi tập tự giải:

1).Cho tứ diện ABCD M và N là trung điểm DB và DC Hãy phân tích các véc tơ

, , theo , ,

AM BN MN DA DB DC

JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK

2) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O

a) Hãy phân tích SDJJJK theo SA SB SCJJK JJK J K, , JJ

b) Hãy phân tích các véc tơ SA SB SC SDJJK JJK JJJK JJJK, , , theo các véc tơ

, ,

AB AC SO

JJJK JJJK JJJK

3).Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là tâm của hình lập phương và I là tâm của mặt CDD’C’ Hãy

phân tích các véc tơ AO AIK JK, theo AB AD AAJK JJK, , JK'

1 1 1

JJJ J JJ J JJJ

4) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C

4

1

a) Đặt ACJJJJK =c BAG JJJK=a CBG JJJK =bG Hãy phân tích véc tơ JJJKAA1 theo , ,a b cG G G

b) M là trung điểm đoạn B1C Hãy phân tích véc tơ JJJJKAM theo ,JJJK JJJK JJJKAA AB AC1 ,

5) Cho tứ diện ABCD M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số MD m; NA

MB = NC =n Hãy phân tích véc tơ MNJJJJK theo JJJK JJJK JJJKAB DA BC, ,

JJ

6) Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm )

Hãy phân tích véc tơ SOJJJK theo SA SB SCJJK JJK J K, , biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 60

0

-

Dạng 2: Bμi tập lựa chọn “ hệ véc tơ gốc ”

* Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véc tơ Nói chung

việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu:

+ Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng

+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc

tơ một cách đơn giản nhất

VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi R

là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) Chứng minh

rằng AS=2SD

BG:

A

làm cơ sở Ta có:

P là trung điểm AB 1

2

AP AB

JJJK JJJK

2

AQ AC AD

⇒JJJK= JJJK JJJK+

R nằm trên BC và BR=2RC 1 2

AR AB A

⇒JJJK= JJJK+ JJJKC

Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh : 2 hay 2

3

AS = SD AS= AD

JJJK JJJK JJJK JJJ

(H.3)

B

R

S

P

C

Q

D

K