Các dạng bài tập về vector trong không gian

a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ: I) Quy trình giải toán Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc.-> Phiên dịch giả thiết , kết luận toán hình học cho ngôn ngữ véc tơ Bớc 2: Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bớc 3: Chuyển kết luận véc tơ sang tính chất hình học tơng ứng VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,CD G trung điểm đoạn thẳng MN a) Chứng minh đờng thẳng AG qua trọng tâm A tam giác BCD Phát biểu kết luận tơng tự đờng thẳng BG,CG DG b) Chứng minh GA=3GA A BG: JJJK JJJK JJJK Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở { } *Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc +Giả thiết: (H.1) JJJJK JJK J M trung điểm AB AM = AB M JJJK JJJK JJJK N trung điểm CD AN = ( AD + AC ) G G trung điểm đoạn MN D JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AG = AM + AN = AB + AC + AD (1) B A JJJJK JJJK JJJK JJJK N A trọng tâm tam giác BCD AA ' = AB + AC + AD (2) + Dễ thấy yêu cầu toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh C JJJK JJJJK AG = AA ' Từ (1),(2) ta dễ dàng giải toán II, Một số tính chất cần ghi nhớ Để giải toán hình học không gian phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững khái niệm tính chất sau: JJJK JJJK JJJK 1) Quy tắc điểm: AB + BC = AC , với A,B,C điểm không gian JJJK 2) Quy tắc hiệu véc tơ chung gốc: AB véc tơ cho trớc với điểm O , ta có: JJJK JJJK JJJK AB = OB OA JJJK JJJK JJJK 3) Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC hình bình ta có : OB = OA + OC 4) Tính chất trung điểm: Nếu M trung điểm đoạn AB thì: JJJK JJJK K + MB + MA = JJJK JJJK JJJJK + OA + OB = 2OM , với điểm O 5).Tính chất trọng tâm tam giác : Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: JJJK JJJK JJJK K + GA + GB + GC = JJJK JJJK JJJK JJJK + OA + OB + OC = 3OG với điểm O ( ) ( ( ) ) JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 6) Tích vô hớng véc tơ: AB.CD = AB CD cos AB, CD G G G G G G 7) Điều kiện để véc tơ phơng : Véc tơ a phơng với véc tơ b(b 0) k R : a = kb JJJK JJJK 8) Điều kiện để điểm thẳng hàng ĐK cần đủ để điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: k : AB = k AC JJJK JJJK JJJK JJJK G 9) Điều kiện để véc tơ vuông góc: AB CD AB.CD = 10) Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi đồng phẳng đờng thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng 11).Công thức mối liên hệ độ dài tích vô hớng véc tơ: G G G G G G2 + a.b = a + b a b GG G G G2 G2 + a.b = a b a b x1 = x2 G G G G G G G G G 12) Nếu a, b, c véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 z = z JJJK JJJK JJJJK OA kOB 13) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k với điểm O ta có: OM = k JJJK JJJK JJJK 14) Trong không gian cho hệ O, OA, OB, OD Điểm D mp ( ABC ) JJJK JJJK JJJK JJJK OD = OA + OB + OC ,( + + = 1; , , R ) ( ( ) ) ( ) { } b, Các dạng bi tập *Bi tập hình thnh phơng pháp Dạng Bi tập phân tích véc tơ theo véc tơ không đồng phẳng (Xem khái niệm véc tơ đồng phẳng mục A-II-10) VD2: Cho tứ diện ABCD Các trung tuyến AA1 BB1 tam giác ABC cắt M Có thể JJJJK biểu diễn véc tơ DM theo ba véc tơ ,trong ba véc tơ cho sau đây? JJJK JJJK JJJK 1) DA, DC , DB JJJK JJJK JJJK 2) DA, AA1 , BB1 JJJK JJJK JJJJK D 3) AB, DA, A1 B1 JJJJK JJJK JJJK JJJK 1) DM = DA + DB + DC ( JJJJK JJJK JJJK JJJK 2) DM = DA + AA1 + 0.BB1 (H.2) A B M B1 A1 C ) 3) Do A1B1//AB nên véc tơ JJJJK đồng phẳng , mặt khác véc tơ DM không đồng JJJJK phẳng với véc tơ véc tơ , DM JJJK JJJK JJJJK không biểu diễn đợc theo véc tơ: AB, DA, A1 B1 VD3: Cho tứ diện ABCD Điểm M trọng tâm tam giác ABC JJJJK JJJK JJJK JJJK Hãy biễu diễn DM theo véc tơ: DA, AC , CB JJJJK JJJK JJJK JJJK HD: (Xem hình 2.) M trọng tâm tam giác ABC nên: DM = DA + DB + DC Vậy để giải JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK toán ta cần biểu diễn DB, DC theo véc tơ DA, AC , CB Ta có: JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK + DB = DA + AC + CB DC = DA + AC Từ suy ra: DM = 3DA + AC + CB Bi tập tự giải: 1).Cho tứ diện ABCD M N trung điểm DB DC Hãy phân tích véc tơ JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK AM , BN , MN theo DA, DB, DC 2) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O JJJK JJK JJK JJJK a) Hãy phân tích SD theo SA, SB, SC JJK JJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK b) Hãy phân tích véc tơ SA, SB, SC , SD theo véc tơ AB, AC , SO 3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD Gọi O tâm hình lập phơng I tâm mặt CDDC Hãy JJJK JJK JJJK JJJK JJJJK phân tích véc tơ AO, AI theo AB, AD, AA ' 4) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C G G G JJJK JJJJK G JJJK G JJJK G1 1 a) Đặt AC1 = c; BA1 = a; CB1 = b Hãy phân tích véc tơ AA1 theo a, b, c JJJJK JJJK JJJK JJJK b) M trung điểm đoạn B1C Hãy phân tích véc tơ AM theo AA1 , AB, AC ( ) ( ) MD NA 5) Cho tứ diện ABCD M N điểm chia đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số = m; = n Hãy phân MB NC JJJJK JJJK JJJK JJJK tích véc tơ MN theo AB, DA, BC 6) Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ điểm S vẽ tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C tiếp điểm ) JJJK JJK JJK JJJK Hãy phân tích véc tơ SO theo SA, SB, SC biết ba véc tơ cặp tạo với góc 600 -Dạng 2: Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc * Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phơng pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu toán thành ngôn ngữ véc tơ cách đơn giản VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt trung điểm AB CD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR=2RC S giao điểm cạnh AD với mp(PRQ) Chứng minh AS=2SD BG: A JJJK JJJK JJJK Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở Ta có: JJJK JJJK P trung điểm AB AP = AB S JJJK JJJK JJJK D Q trung điểm CD AQ = AC + AD JJJK JJJK JJJK R nằm BC BR=2RC AR = AB + AC 3 Q JJJK JJJK JJJK JJJK Yêu cầu toán tơng đơng với việc chứng minh : AS = SD hay AS = AD (H.3) P { } ( B R C )