Các dạng bài tập phương trình đường thằng trong không gian

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Điều kiện 1: a và b không cùng phương... […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN f Đ

Trang 1

Các tác giả: ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP VŨNG TÀU) LÊ BÁ BẢO (TP Huế)

I-LÝ THUYẾT:

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng dnếu giá của

vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d

2 Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua M x y z và có 1 vectơ chỉ phương 0 0; 0; 0 aa a a1; ;2 3

+Phương trình tham số của đường thẳng d là:

0 1

0 2

0 3 ( )

d a'

a

M0a

Trang 2

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Điều kiện 1: a và b không cùng phương .

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:

d (*) có nghiệm duy nhất t k 0; 0

Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm .

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra t k và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì 0; 0 t k là 0; 0

nghiệm, ngược lại thì không).

TH2: d1 và d2 chéo nhau.

Điều kiện 1: a và b không cùng phương .

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:

(1) (2) (3)

TH3: d1 và d2 song song nhau.

Điều kiện 1: a và b cùng phương.

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z0( ;0 0; )0 d1. Cần chỉ rõ M0d2.

TH4: d1 và d2 trùng nhau.

Điều kiện 1: a và b cùng phương.

Điều kiện 2: Chọn điểm M x y z0 0; 0; 0d1. Cần chỉ rõ M0d2.

Trang 3

Cách 2: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 chương trình nâng cao theo sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u d vµ M0d



- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương u d/ vµ M0/d



II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

+ Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d.

+ Nếu alà 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng dthì ka k ,( 0) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d.

+ Gọi u



là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Nếu có 2 vectơ a b,

 không cùng phương và

'

/

,,

Trang 4

f) Đường thẳng d4quaB, vuông góc với Ox và 1.

g) Đường thẳng d5 ( )Q qua O và vuông góc với 2.

h) Đường thẳng d6là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ),( )P Q

i) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với 2và song song với mặt phẳng (Oxy )

j)Đường thẳng d8 quaA, cắt và vuông góc với trục Oz.

Bài giải:

a) Đường thẳng 1có 1 vectơ chỉ phương là a  ( ;0 3 4; )

. b) Đường thẳng 2có 1 vectơ chỉ phương là b  ( ;3 3 2 ; )

. Ta có: d1/ /2 nên b  ( ;3 3 2 ; )cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1.

c) Đường thẳng ABcó 1 vectơ chỉ phương là AB ( ; ;1 4 1)



. d) Đường thẳng d2/ /Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j ( ; ; )0 1 0



. e) Mặt phẳng ( )P có 1 vectơ pháp tuyến là n 1 ( ; ;1 3 2 )

. Đường thẳng d3 ( )P nên có 1 vectơ chỉ phương là n 1 ( ; ;1 3 2 )

. f) Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4.

Ta có: i a,  0; 4; 3

 

 

, 4 4

Trang 5

a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến n P 1 1 2; ; 

. Đường thẳng d vuông góc với mặt

+Phương trình tham số của

0 1

0 2

0 3 : ( )

Trang 6

a) Đường thẳng 1 qua M1 2 0; ;  và có 1 vectơ chỉ phương u  1 1 2; ; 

1 5

3 7

y z

Trang 7

d)Đường thẳng d đi qua điểm C1 2 4; ; . Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương là

Trang 8

y z

.Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có:

  





 A5 2 0; ; d. + Xác định vectơ chỉ phương của d: Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có: 1

.

Trang 9

Suy ra: B1 2 1; ; . Đường thẳng d đi qua A2;1 1;  và có 1 vectơ chỉ phương là AB 1 1 0; ; 



nên có

phương trình tham số là:

211

P A

B A

P

Trang 10

[…Chuyờn đề Trắc nghiệm Toỏn 12…] HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN

d1

d2d

A



P

N M

d1

d2d

P

1

2

Bước 1: Viết phương trình mp( ) chứa d và vuông góc với (P)

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp( ) và mp( )

Bước 2: Xác định giao điểm A của d và mp( )

Bước 3: Đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với mp(P)

Kiểm tra sự cắt nhau (



Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)

Cỏch 3: Sử dụng kỹ năng khỏi niệm “thuộc” (Tỡm ra 2 giao điểm M, N)

Trang 11

Mặt phẳng   đi qua A3;2 1;  và vuông góc với  nên nhận u  2 1 3; ; 

làm 1 vectơ pháp tuyến, có phương trình: 2x3 1 y23z102x y 3z 1 0.

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp  và mặt cầu ( )S có

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết

Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

2 21

Trang 12

d)Đường thẳng 1 đi qua điểm M0;1 0;  và có 1 vectơ chỉ phương a  2 3 1; ; .

Đường thẳng 2 đi qua điểm N1 2 1; ;  và có 1 vectơ chỉ phương b  3 2 2; ; .

:

. a) d1 vuông góc với d2 u1u2 u u 1 2 02 4 a2 0 a 1

b) d1 song song với d2u u1, 2

cùng phương u u 1, 2    2a4; 0; 00a2

Trang 13

Kiểm tra lại: Với a 2 thì 1

. a) Ta có: u u 1, 2  0

Trang 14

. Đường thẳng 2 qua điểm A2; 2;1  và có 1 vectơ chỉ phương là u  2  2;1; 3.

Đường thẳng 1 qua điểm A3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u  1  7; 2; 3.

Đường thẳng 2 qua điểm B8; 5; 8 và có 1 vectơ chỉ phương là u 2 1; 2; 1 

. a) Ta có: u u 1, 2      8; 4; 160

và AB 5; 4; 7



. Xét u u1, 2.AB 40 16 112   1680

Trang 15

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

u

d

Trang 16

2 221

Trang 17

Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 1;1  và 2 đường thẳng

55



. Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

Trang 18

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và 3 đường thẳng d1: 1 2

Trang 19

     

2  1 2t   3 4t 3t 4 03t 3 0  t 1 A 1;1;1

b) Mặt phẳng   cú 1 vectơ phỏp tuyến là n 2; 1; 3 

. Đường thẳng  cú 1 vectơ chỉ phương là u 2; 4;1

b) Viết phương trỡnh đường thẳng  nằm trờn mp(P), đồng thời cắt d1 và d2.

Bài giải:

1

2

Bước 1: Xác định giao điểm A của d và mp(P)

Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(P)

Kết luận: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.

Trang 20

Đường thẳng  qua C  2; 7; 5 và có 1 vectơ chỉ phương là CD 5; 8; 4  

Gọi Hlà hình chiếu của A lên d.

+) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc với d

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng .

b)Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng .

1

A

A A

A A A

x

x y

y z z

A

H



d u d

Trang 21

Cho điểm M x M;y M;z M và mặt phẳng ( ) :P Ax By Cz D   0.

Gọi Hlà hình chiếu của A lên mp P ( )

+)Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mp P ( )

+)Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa  H  d ( )P

Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 4; 2 và mặt phẳng

   

( ) :P x y z 1 0.

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( )P

b)Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng ( )P

Bài giải:

a) Mặt phẳng ( )P có 1 vectơ pháp tuyến là n  1; 1;1.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( )P

+) Đường thẳng d qua M1; 4; 2 và vuông góc với ( )P nhận n  1; 1;1 làm vectơ chỉ phương nên

P

M

H

( )P n d

Trang 22

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( ) P

b) Gọi H tiếp điểm của mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( ) P

d     z trên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và

Trang 23

- Ta chọn A1; 2; 3 d (Sử dụng thuật toán hình chiếu vuông góc điểm trên mặt phẳng)

+ Đường thẳng d đi qua A1; 2; 3 , vuông góc với   nên d nhận n 1;1;1

(4)

123

Trang 24

d



Ví dụ 28: (HVBCVT-2000) (Bài toán hình chiếu theo phương bất kì)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : x y z   3 0và hai đường thẳng:

Trang 25

- Tọa độ hình chiếu A của A là nghiệm của hệ phương trình: /

(1) (2) (3) (4)

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Cho điểm A và đường thẳng  A   đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u.

Trang 26

a)Đường thẳng d đi qua điểm M1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 3.

Đường thẳng d đi qua điểm M1; 3;1 và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 0 

Đường thẳng d đi qua điểm M1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 2.

Đường thẳng d đi qua điểm M1;1; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u  2; 2;1 

Trang 27

Ta có: sin ;   cos ,  2 2. 2 . 2 . 2 2

Trang 28

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u  1;1;1.

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u  2; 1;1 

. Mặt phẳng ( )P có 1 vectơ pháp tuyến n  2; 3;1.

Trang 29

Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và d 

d A

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q).

Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và dd d1, d2, d1 không song song, không trùng với d2.

Phương pháp:

Trang 30

A Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và   /

d



III- BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 2; 1 , (3;1;1), (2;1; 5)  B C ,

b) Qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( )P

c) Qua A và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).

Trang 31

j) Qua C, song song với 2 mặt phẳng (Oxz Q ),( )

k) Qua O, song song với mặt phẳng ( )P và vuông góc với đường thẳng ( ) P

l) Vuông góc với mặt phẳng ABC tại trọng tâm của tam giác ABC.

Bài 2: (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A   4; 2; 4 và:

Trang 32

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Bài 12: (Khối A_2002) Cho hai đường thẳng: 1

Trang 33

III- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1

A. 1

2

3 2

Trang 34

Trang 35

Hướng dẫn:

Gọi H là giao điểm giữa đường thẳng

1 2:

Trang 36

Phương trình tham số 1

1 2

1 31:

Do d1 cắt d2 vì vậy 2

54

Trang 37

d P d d P d M P    , 2    2   2 

6835

Trang 38

2 4:

Trang 39

; ;:

Trang 40

Theo đề bài,  vuông góc d nên ABu

Trang 42

Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

1

1 2:

Trang 43

2 2

00

10

4

Trang 44

( )( )( )

 





.

Thế 1

1

t s

 





 vào (3) ta được m 1

Lựa chọn đáp án A

Trang 45

IV- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

2

2 2

C. Điểm thuộc d ứng với giá trị , t 0 nằm trên trục Oy

D. Điểm thuộc d ứng với giá trị , t  1 nằm trên mặt phẳng Oyz

Câu 2 Cho đường thẳng d có phương trình tham số: 2 2

A.

1

1 0

Trang 46

Câu 8 Cho hai mặt phẳng   và  ' có phương trình   : 2x2y z  4 0 và

 ' : 2x y z   3 0 Một điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng   và  ' có tọa

Trang 47

x y

Trang 48

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Câu 20 Cho đường thẳng : 2 2

Trang 49

Câu 27 Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng :

Trang 50

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Câu 34 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 5

y z

x y

y z

x y

Câu 40 Đối với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(1; 1; 2) và

song song với trục Ox là:

A.

112

y z

x y

Trang 51

112

y z

x y

y z

x y

Câu 47 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x2y z  3 0. Đường thẳng d đi

qua A(0; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng  P có phương trình chính tắc là:

Trang 52

A.

10

A.

10

A.

10

Trang 54

A.

0

x t

y t z

x y

Câu 64 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  :x y 2 0 và   :y z  1 0. Phương trình nào sau đây không phải là phương

Trang 55

Câu 68 Cho biết đường thẳng d đi qua điểm (0; 1;1) và song song với đường thẳng

Câu 71 Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3x2z0 và   :x y  3 0. Cho mặt

phẳng  P : x y z   3 0. Mặt phẳng  Q đi qua giao tuyến d và vuông góc với mặt phẳng  P là:

Trang 56

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Câu 74 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 1 3

A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. Trùng nhau.

Câu 75 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 2 3

Câu 76 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: : 1 1

Câu 77 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 1

Câu 78 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: : 1 1

Câu 79 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: : 1 1

Câu 81 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 2 1

Trang 57

Câu 82 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

Trang 58

A.

3 5

1 30

Trang 59

9 14.

3

3.14

Câu 101 Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ với A(0; 0; 0),

Trang 60

A. Đúng B. Sai ở bước 1. C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 3.

Câu 102 Cho hai đường thẳng 1: 2 2 3

4 33

Trang 61

4 3.2

Câu 109 Cho hai đường thẳng 1

Trang 62

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Câu 113 Cho hai điểm A(3; 3;1), (0; 2;1)B và mp(P): x y z   7 0. Đường thẳng d nằm trên mp(P)

sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là:

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	1,13 MB