Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Mặt phẳng    không qua gốc tọa độ, cắt các trục được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của u song song hoặc trùng với d.. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và v

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Hệ tọa độ trong không gian

a) Hệ tọa độ trong không gian

 Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc , ,

với các vectơ đơn vị tương ứng là i j k, ,

  

được gọi là

hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Oxyz

 Điểm O được gọi là gốc tọa độ

 Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuôing góc

M

x k x x

M

y k y y

M

z k z z

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 2

d) Hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ u x y z 1; 1; 1 vµ v x y z 2; 2; 2

,   

 0

f) Tích có hướng của hai vectơ.:

Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u x y z 1; ;1 1

g) Các ứng dụng của tích có hướng (nâng cao)

o Diện tích tam giác ABC: 1

,2

 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz phương trình dạng : AxByCzD0, với A2B2C2 0 là phương trình tổng quát của một mặt phẳng

Hoặc Ax  By  Cz   Ax0  By0 Cz0  0

 Nếu hai vectơ u x y z 1; 1; 1 vµ v x y z 2; 2; 2

không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên    thì vectơ nu v, 

là một vectơ pháp tuyến của   

c) Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 4

d) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

e) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng    không qua gốc tọa độ, cắt các trục

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của u

song song hoặc trùng với d

 Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

 Đường thẳng d qua M x y z 0; 0; 0 và có vectơ chỉ phương u a b c ; ; 

  với điều kiện abc 0

b) Đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

 Cho hai mặt phẳng cắt nhau    :AxByCzD0vµ  ' : 'A xB y' C z' D'0 Gọi d       '

Khi đó một vectơ chỉ phương của d là un n, '

c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng

 d1 qua M1 có vectơ chỉ phương u1

và d2 qua M2 có vectơ chỉ phương u2

 d1 và d2 cắt nhauHệ (I) có đúng một nghiệm

 d1 và d2 chéo nhauHệ (I) vô nghiệm

Lưu ý:

 d1d2  Hệ (I) có vô số nghiệm

 d1/ /d 2 Hệ (I) vô nghiệm và u1

 d     Phương trình (1) có vô số nghiệm

 d / /    Phương trình (1) vô nghiệm

 dcắt    Phương trình (1) có đúng một nghiệm

 d      n a   ,

cùng phương

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 6

4) Khoảng Cách

a) Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điẻm A x A;y z A; A và B x B;y z B; B Khi đó: AB AB  x B x A2y B y A2z B z A2

 Nếu    là mặt phẳng đi qua M và song song với    thì d       ;    d M  ;    

 Mặt cầu S O R  ;  tiếp xúc với mp    d O  ;      R

c) Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng

Phương pháp:

 Lập pt mp   đi qua M và vuông góc với 

 Tìm tọa độ giao điểm H của mp   và d

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ' 

  đi qua M x y z  ; ;  và có vectơ chỉ phương là u 

0    90 là góc giữa hai mặt phẳng    &   

Khi đó: cos cos ;  2 2 ' 2 ' 2 ' 2 2

b) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt có vectơ chỉ phương u a b c1 1, ,1 1&u2a b c2, 2, 2

Gọi   0

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 8

Ví dụ 2 Trong không gian cho ba điểm A  1;0; 2 ;   B  2;1; 1 ;   C  1; 2;2  

a).Tính tọa độ và độ dài của các véctơ    AB AC BC ; ;

b).Tính tọa độ trung điểm các cạnh cúa tam giác ABC

c).Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

d).Cho M x  ;3; z  Tìm x , z để ba điểm A, B, M thẳng hàng

e).Tìm N thuộc mp(Oxz) sao cho NB + NC nhỏ nhất

f).Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' biết A1; 2; 0 , B1; 0; 2 , C2;1; 2 , ' 2; 1; 0 A   

a).Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b).Tính độ dài các đường chéo AC’ và BD’

Ví dụ 4 Trong không gian cho hai điểm A  2; 1;7 ;   B  4;5; 2  

a).Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số là 2 Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AM

b).Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm G Điểm G chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ của G

DẠNG 2 : TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

;   v u   ;  

c)   u w   ;  

;   u  ;2 w v    

Ví dụ 2 Trong không gian cho 4 điểm A  1;2;0 ;  B   1;0;2 ;  C  2;1;3 ;  D  2;0;0 

a).Chứng minh : A, B , C tạo thành một tam giác Tính diện tích tam giác ABC

b).Chứng minh : ABCD là một tứ diện Tính thể tích của tứ diện ABCD

c) Tìm điểm K thuộc trục Oz sao cho 4 điểm A, B, C, K đồng phẳng

d) Cho M  2;0; 1   Chứng minh : AM   ABC  Tính thể tích của tứ diện MABC

Ví dụ 3 Trong không gian cho 3 điểm A  1; 2;0 ;  B   1;0;3 ;  C  2;1;1 

a).Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Ox sao cho  AD   AC

DẠNG 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Phương pháp:

 Tìm tâm I a b c  ; ; và bán kinh R của mặt cầu

Khi đó, mặt cầu có phương trình là :  2  2  2 2

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau

a).Đi qua M  5; 2;1   và có tâm I  3; 3;1  

b).Có tâm I  2;1; 3   và có đương kính bằng 12

c).Có đường kính là AB biết A  1; 2;3 ;   B   3;2;1 

d) Đi qua hai điểm C  2;1;1 ;  D   1;0;3  và có tâm thuộc trục Ox

e) Đi qua ba điểm E  1;2;0 ;  F   1;0;3 ;  H  2;1;1  và có tâm thuộc mp(Oxy)

f) Có tâm I  2;1;3  và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)

g) Có tâm I  2;0; 1   và tiếp xúc với mặt phẳng    : x  5 y  4 z  11 0 

h) Có tâm O  0;0;0  và tiếp xúc với mặt cầu :    S : x  3 2  y  2 2   z  4 2  1

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ,

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 )

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 10

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng 

d) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

e) Viết phương trình mặt phẳng đi qua B , song song với trục Ox và 

f) Viết phương trình mặt phẳng chứa  và vuông góc với mp(ABC)

g) Viết phương trình mặt phẳng chứa  và song song với đường thẳng BC

h) Viết phương trình mặt phẳng chứa  và hợp với mp(ABC) một góc 600

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  1; 2 lần lượt có phương trình :

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  1; 2

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng  1; 2

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;0;0 ;  B  0;2;0 và C  0;0;3 

a).Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC

b).Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2010 )

Ví dụ 4: Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau

a) Chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng    : 2 x  y  5 z  0 một góc 600

b) Đi qua hai điểm A  3;0;0 ;  B  0;0;4  và tạo với trục Oy một góc  , biết 5

a).Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng 

b).Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng 

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2010 )

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1; 2;3   và đường thẳng dcó phương trình :

a).Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d

b).Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.Viết phương trình mặt cầu tâm A , tiếp xúc với d

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với   

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B, biết B  0;1; 2  

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với  Oxy 

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với trục Oy

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz Viết phương trình đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

a) Đi qua M  4;3;1  và song song với đường thẳng

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 12

c) Đi qua M  0; 7;0  , song song với mp   : x  3 y  4 z   9 0 và vuông góc với đường

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau

a) Vuông góc với mặt phẳng    : x  3 y  4 z   6 0 và cắt cả hai đường thẳng

b) Đi qua M  2; 1;1  ,song song với mặt phẳng    : x  3 y  4 z   6 0 và tạo với trục Oz góc 600

Ví dụ 6: Viết phương đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:

a).Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mp(P)

b).Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P)

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2009 )

Ví dụ 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M    1; 1;0  và mặt phẳng   P có phương trình : x  y  2 z   4 0

Viết phương trình tham số của đường thẳng dđi qua M và vuông góc với mp  P Tìm tọa độ giao điểm

H của đường thẳng d với mặt phẳng   P

( Đề tốt nghiệp THPT năm 2007 )

Ví dụ 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :

(P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0 và (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0

a).Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

b).Viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

a) Tính tọa độ của véctơ x   a   2 b 

b) Tính tọa độ của vectơ   

5 Lập phương trình của mặt cầu  S trong các trường hợp sau:

a)  S có đường kính AB với A6;4; 3 &  B2;8;1

b)  S có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm M 0;1;2 & N 1;0; 1 

6 Cho bốn điểm A1;0;0 , B 0;1; 0 , C0;0;1 , D  2;1; 2 

a) Chứng minh rằng , , , A B C D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó

a) Chứng minh , , A B C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 14

c) Tìm tọa độ các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, ngoài của góc A của

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 5

d) Tính góc giữa đường thẳng BC &OA

10 Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua A5; 2;1  và có tâm K 3; 3;1 

b) Đi qua điểm M 0;8;0 , N 4;6;2 , P 0;12;4 và có tâm nằm trên mặt phẳng Oyz 

c) Có tâm I 1;2;3 và tiếp xúc với mp Oyz  

11 Cho mặt cầu  S có phương trình x2y2z22x 4y 4z 0

a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của  S

b) Xác định tọa độ giao điểm của  S với các trục tọa độ

12 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A2;0; 1 ,  B 1; 2;3 ,  C 0;1;2

13 Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A0;1;1 , B 1;0;2 và vuông góc với mặt phẳng

1 0

xy z  

14 Tính khoảng cách từ A2;4; 3  đến mặt phẳng 2 xy 2z   9 0

15 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm H 1;0;0 , I 0; 2;0 ,  K 0; 0;3

16 Viết phương trình mặt phẳng   qua M 1;2;3 , N 2; 2;4  và song song với Oy

17 Viết phương trình mặt phẳng   qua gốc tọa độ, vuông góc với  Q :x2y z  và tạo với 0

21 Cho A2;3;1 , B 4;1; 2 ,  C 6;3;7 , D  5; 4;8 Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện

24 Xét vị trí tương đối của đường thẳng

28 Lập phương trình đường thẳng d biết:

a) d qua A0;1;2 và vuông góc với mặt phẳng  P :x2y   1 0

b) d qua B  1;2 3 , song song với  Q :x2y z  và vuông góc với 0

Phạm Thanh Bình THPT Tân Hiệp

Luyện thi đại học liên hệ : 01255640905 16

III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A B C D có tọa độ xác định bởi: , , ,

a) Chứng minh rằng ABAC AC, AD AD, AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đương thẳng AB& CD

c) Tính góc giữa & ABD 

d) Viết phương trình mặt cầu  S đi qua bốn điểm , , , A B C D

e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện   của  S song song với ABD 

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A1; 1; 2 ,  B1;3; 2 , C4;3; 2 , D 4; 1;2 

a) Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng

b) Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy Viết phương trình mặt cầu  S qua bốn điểm A B C D ', , ,

c) Viết phương trình tiếp diện   của  S tại A'

3 Trong không gián với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

 S x: 2y2z22x2y4z 3 0 và hai đường thẳng  1

1:

a) Chứng minh1 &  chéo nhau 2

b) Viết phương trình tiếp diện của  S , biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1&  2

4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho ba điểm A1;0; 1 ,  B 1;2;1 , C 0; 2;0 G là trọng tâm ABC

a) Viết phương trình đường thẳng OG

b) Viết phương trình mặt cầu  S qua bốn điểm , , , O A B C

c) Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu  S

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A B C Tính diện tích , , ABC

b) Gọi G là trọng tâm ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình 2 1 1

a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và  P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với  P

7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M   1; 1;0 và mặt phẳng  P có phương trình : (P): x y 2z   4 0

a) Viết phương trình mặt phẳng  Q qua M và song song với  P

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với  P Tìm tọa độ giao điểm H của d và  P

8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 2 1

b) Viết phương trình mặt phẳng qua K1; 2;1  qua vuông góc với d 2

9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm E1; 4;5 ,  F 3; 2;7 , A1;0; 2 , B 3;1;5

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua F và có tâm là E

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF

c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d

d) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M1; 2;3 và mặt phẳng   :2x3y6z35

a) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với  

b) Tính khoảng cách từ M đến  

c) Tìm điểm N trên Ox sao cho M N d M ,  

11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A3; 2; 2   và  P :2z2y   z 1 0

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với  P

b) Tính khoảng cách từ A đến  P

c) Viết phương trình  Q song song với  P sao cho d Q    , P d A P ,  

12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ABC với

1; 4; 1 , 2;4;3 , 2; 2; 1

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2;1; 2  và đường thẳng 1 1

a) Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với 

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với 

14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M1; 2;0 ,  N 3; 4;2 và mặt phẳng

 P :2x2y   z 7 0

a) Viết phương trình đường thẳng MN

b) Tính khoảng cách từ trung điểm của MN đến  P

15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A2; 1;3  và