Tổ hợp và xác suất ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT Đỗ Văn Thọ (Biên soạn) Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A Các toán số sổ hợp, số chỉnh hợp nhị thức niu – tơn I Một số kiến thức cần ghi nhớ: Pn  n !  n  n  1  n   0!  n! , 0kn k ! n  k  ! n! Ank  , 1 k  n  n  k ! Cnk  Cnk  Cnnk ,  k  n Cnk  Cnk11  Cnk1 ,  k0 (ĐH khối D - 2004) x  17   b   x  , với x   x  50   c  x   , với x  x   (ĐH QG HN 2000) Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ 12   d   x x  , với x   x  16   e    x3  , với x  x   60   f  x  14  , với x  x   12  3 g  x   , với x  x  h 1  x  x  20   i  x   , với x  x  15  3 j  2x   , với x  x   28 n    Bài 20: Trong khai triển  x x  x 15  , x  Hãy tìm số hạng khơng phụ   thuộc vào x, biết Cnn  Cnn 1  Cnn  79 Bài 21: Tìm hệ số số hạng chứa: 12   a x8 khai triển   x  x  10 b x khai triển x 1  x   x 1  3x  (Khối D - 2007) Bài 22: Giải phương trình sau: a Cn1  Cn2  Cn3  n 2 b Cn  6Cn  6Cn  9n2  14n c Cn2 Cnn 2  2Cn2 Cn3  Cn3Cnn3  100 d Pn 3  720 An5 Pn5 e Pn  An2  Pn An2  12 f An3  An2  12 Pn 1 g Cn4  Cn5  3Cn61 Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ n Bài 23: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển   x5  , biết x  n 1 n Cn  Cn 3   n   n   Bài 24: Cho khai triển  x3   Biết tổng hệ số ba số hạng x   khai triển 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 Bài 25: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức sau 18 12 1  1  a  x   b  x   x x    12  x 3 Bài 26: Tìm hệ số số hạng x khai triển    3 x 28 n    Bài 27: Trong khai triển  x x  x 15  ,  x   Hãy tìm số hạng không chứa   n n 1 n x Biết Cn  Cn  Cn  79 Bài 28: Tìm x khai triển nhị thức n x   x    có tổng số hạng thứ thứ 135, tổng   n 2 n1 n Cn  Cn  Cn  22 n   Bài 29: ìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức  x3   x   Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển 11 Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ khai triển  Bài 31: Tìm số hạng nguyên khai triển  2  15  33 15 Bài 32: Tính hệ số x 25 y10 khai triển  x  xy  B Một số toán quy tắc đếm: I Tóm tắt kiến thức: Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc tiến hành theo hai phương án A B Phương án A thực n cách, phương án B thực m cách Khi cơng việc thực n+m cách Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo n cách, cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n.m cách Hoán vị (hiểu nôm na sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, ta lấy “tất cả” n phần tử ta xếp vào “n vị trí” có sẵn Chỉnh hợp (hiểu nơm na sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, ta lấy “k phần tử n phần tử”, sau ta lấy k phần tử ta “sắp xếp vào k vị trí” có sẵn gọi “chỉnh hợp chập k n phần tử” Tổ hợp (hiểu nôm na sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, ta lấy “k phần tử n phần tử”, gọi “tổ hợp chập k n phần tử” Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp chỗ “Chỉnh hợp ta lấy k phân tử n phần tử xếp vào k vị trí có sẵn” “tổ hợp ta lấy k phần tử n phần tử không xếp hết” * Các ý giải tập Trong tốn đếm ta ưu tiên đếm trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số đứng đầu toán đếm số, điều kiện ràng buộc khác toán…) Ta thường lẫn lộn tổ hợp chỉnh hợp, điểm khác xếp có thứ tự hay không Để phân biệt ta làm sau: Đầu tiên ta đưa đáp án tốn sau ta đảo vị trí phần tử đáp án, nếu: - Tạo nên đáp án  có thứ tự  tổ hợp - Khơng tạo nên đáp án  khơng có thứ tự  chỉnh hợp II Bài tập: Bài 1: Một lớp có 30 học sinh Cần chọn bạn làm lớp trưởng, bạn làm lớp phó bạn làm thư ký Hỏi có cách chọn, biết học sinh có khả làm lớp trưởng, lớp phó thư ký Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ a) Có cách chọn học sinh tham gia thi mơi trường b) Có cách chọn học sinh gồm nam nữ tham gia sân chơi kiến thức cờ c) Có cách chọn học sinh trực an tồn giao thơng, biết phải có học sinh nam Bài 3: Một trường phổ thơng có học sinh giỏi lớp 10, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 12 Cần chọn học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố vui để học” Hỏi có cách chọn, khối có học sinh Bài 4: Một học sinh có sách Toán khác sách Văn khác Cần xếp sách thành dãy theo hàng ngang tủ sách a) Hỏi có cách xếp b) Hỏi có cách xếp kề phải khác Bài 5: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập bao nhiêu: a) Số lẻ có chữ số khác b) Số chia hết cho có chữ số khác Bài 6: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ? Bài 7: Từ chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 lập số gồm chữ số đơi khác a Nếu số số lẻ b Nếu số số chẵn ĐS: a 900 số b 1260 số Bài 8: Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Bài 9: Cho tám chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 Có thể lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 10 ĐS: 1260 số Bài 10: Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi khác : a) Gồm chữ số ? b) Gồm chữ số nhỏ 400 ? c) Gồm chữ số chẵn ? d) Gồm chữ số chia hết cho ? Bài 11: Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Bài 12: Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn Bài 13: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số Bài 14: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập số có chữ số từ X mà chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần Bài 15: Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành Bài 16: Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, Bài 17: Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Bài 18: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho Bài 19: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu: Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ a) Số chẵn có chữ số khác đơi b) Số có chữ số khác chia hết cho c) Số có chữ số khác chia hết cho Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số khơng chia hết cho ĐS: 66 số Bài 21 a Có số chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số số lẻ b Có số gồm chữ số khác đơi có ba số lẻ ba chữ số chẵn ĐS: a 42.000 số b 64.800 số Bài 22: Cho chữ số 0;1; 2;3; 4;5 Từ chữ số cho ta lập a Bao nhiêu số chẵn có chữ số chữ số khác đôi b Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đơi c Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đơi ĐS: a 156 số b 36 số c 16 số Bài 23: Với chữ số 0;1; 2;3; 4;5; 6 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác thiết phải có chữ số ĐS: 1560 số Bài 24: a Có thể tìm số gồm ba chữ số khác đơi b Từ có chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 lập số chẵn có chữ số đơi khác ĐS: a 648 số b 3000 số Bài 25: Từ chữ số 1; 2;3; 4;5; 6 thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh 10 P()  0;P()   P(A)  , với biến cố A Nếu A B xung khắc P(A  B)  P(A)  P(B) (công thức cộng xác suất) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) (công thức cộng xác suất mổ rộng) Chú ý: Với biến cố A, P(A)   P(A) Ví dụ 4: Một hộp chứa bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi lúc Tính xác suất biến cố sau: A: “cả bi bi xanh” B: “cả bi bi đỏ” C: “cả bi bi vàng” D: “2 bi màu” E : “2 bi khác màu” Ví dụ 5: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: A: “Lần thứ xuất mặt chấm” B: “Lần thứ hai xuất mặt chấm” C: “Cả hai lần xuất mặt chấm” D: “Ít lần xuất mặt chấm” II BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT Hai biến cố A, B gọi độc lập, xảy hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố A B hai biến cố độc lập P(A  B)  P(A).P(B) Ví dụ 6: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu xanh, cầu đỏ Hộp thứ hai chứa cầu xanh, cầu đỏ Từ hộp lấy ngẫu nhiên a) b) c) d) Tính Tính Tính Tính xác xác xác xác suất suất suất suất sao sao cho cho cho cho hai hai hai hai quả quả cầu lấy màu xanh cầu lấy màu đỏ lấy màu cầu lấy khác màu Sau đây, Nguyễn Minh Đức xin giới thiệu chuyên đề nhỏ tổng hợp số toán mảng kiến thức “ Tổ Hợp-Xác Suất” Như điều hiển nhiên, “Tổ Hợp-Xác Suất” phần không vắng mặt đề thi ĐH trước năm 2015 Năm học 2015 này, sĩ tử đứng trước kì thi với hình thức gọi kì THPT Quốc gia chung Với hình thức thi kèm theo cấu trúc “Tổ Hợp-Xác Suất” thiếu tờ đề thi bộ, chí xếp vào câu chốt có chút làm khó thi sinh dự thi Vậy nên, để đáp ứng nhu cầu ôn luyện thân quà nhỏ gửi đến sĩ tử q trình ơn luyện thi THPT Quốc gia chung năm học 2015, xin viết lên tài liệu Trong q trình viết khơng thể khơng gặp nhiều sai sót Mong bạn đọc đóng góp để tài liệu hoàn thiện hơn! Thân! My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu PHẦN I: MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN: Bài Tốn 1: (ViettelStudy-2014) Một lớp học có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt động 12 Đoàn trường Xác suất chọn nam nữ Tính số học sinh nữ 29 lớp Hướng Dẫn Giải:  , n  28  Gọi số học sinh lớp n n   Số cách chọn ba học sinh là: C303 cách  Số cách chọn ba học sinh có nam nữ là: C302 nCn1 cách  Theo ta có: * (1)  n  14 C302 nCn1 12    n  14  n  45  240     n  45  1065   C30 29   Từ (1) (2) suy ra: n  14 Vậy số học sinh nữ lớp 14 học sinh Bài Toán 2: (ViettelStudy-2014) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 0,1,2,3,4,5 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có chữ số Hướng Dẫn Giải:    Gọi a1a2 a3a4 a5 (với 0,1, 2,3, 4,5 , a1  ) số thuộc tập S  Xác định số phần tử S: - a1 có cách chọn - Lập a2 a3a4 a5 có A54 cách chọn Vậy số phần tử S là: 5.A54 Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com  Gọi A biến cố số chọn có chữ số Suy A biến cố số chọn khơng có số   Vậy n A số số có chữ số khác lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4 Suy ra:   n A  A44  96 (số)  Từ ta có: n  A  600  96  504 (số)  Vậy suy ra: P  A  504 21  600 25 Bài Toán 3: Từ chữ số 1, 2,3, 4,5,6 lập số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số số lập, tính xác suất để số lấy có chữ số chẵn, số lẻ Hướng Dẫn Giải:  Đặt: S  1, 2,3, 4,5,6  Số số có chữ số lập từ tập S là: A64 số  Số cách chọn chữ số chẵn tập S là: C32 cách Số cách chọn chữ số lẻ tập S là: C32 cách Từ chữ số chọn ta lập số có chữ số khác nhau, số lập ứng với hoán vị phần tử Suy số số có chữ số lập từ S mà số có chữ số chẵn, chữ số lẻ là: 4!.C32 C32 số  Gọi A biến cố số có chữ số lập từ tập S mà số có chữ số chẵn, chữ số lẻ Suy ra: P  A  4!.C32 C32  A64 Bài Toán 4: Trong Thể dục, tổ lớp 11A có 12 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam Hướng Dẫn Giải:   Số cách tập trung ngẫu nhiên thành hàng dọc tổ là: 12! cách Gọi A biến cố tập trung tổ theo hàng dọc mà ln có học sinh nam đứng đầu cuối hàng.Khi ta có: n  A  A72 10! (cách)  Vậy suy ra: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com P  A  A72 10!  12! 22 Bài Toán 5: Một hộp chứa bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy có đủ ba màu Hướng Dẫn Giải:  Số cách lấy viên bi từ hộp là: C20 cách  Ta tìm số cách lấy viên bi từ hộp khơng có đủ ba màu: - Trường hợp 1: Lấy viên bi có màu Trường hợp chọn màu vàng, suy có: C88 = cách - Trường hợp 2: Lấy viên bi có màu a) Nếu màu xanh đỏ có: C128 cách b) Nếu màu đỏ vàng có: C158  C88 cách c) Nếu màu vàng xanh có: C138  C88 cách   Vậy trường hợp có: C128  C158  C88  C138  C88  8215 cách Suy số cách lấy viên bi từ hộp khơng có đủ ba màu là: 8216 cách Gọi A biến cố lấy viên bi có đủ màu Khi suy ra: 8216 4529 P  A    C20 4845 Bài Toán 6: Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam Hướng Dẫn Giải:  Số cách chọn học sinh lớp học 25 học sinh là: C25 cách  Gọi A biến cố học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam Trường hợp 1: Có học sinh nữ, học sinh nam  Trường hợp có: C10 C154 cách Trường hợp 2: Có học sinh nữ, học sinh nam  Trường hợp có: C102 C153 cách  C154  C102 C153 (cách) Từ suy ra: n  A  C10  Vậy ta có: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com P  A  C10 C154  C102 C153 325  C25 506 Bài Toán 7: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014) Một hộp đựng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đỏ đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên bút Tính xác suất để lấy bút màu Hướng Dẫn Giải:     Số cách lấy bút từ 20 bút cho là: C204 cách Gọi A biến cố lấy hai bút màu Ta tìm số cách lấy bút khơng có màu với nhau:  Trường hợp có: C61C61.C51.C31 cách Vậy suy ra: C1C1.C1.C1 287 P  A   6  C20 323 Bài Tốn 8: (Chun Vĩnh Phúc-2014) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Hướng Dẫn Giải:    10 Số cách chọn 10 thẻ từ 30 thẻ là: C30 cách Gọi A biến cố “5 thẻ mang số lẻ,5 thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho 10” Số cách chọn thẻ 15 mang số lẻ là: C155 cách Số cách chọn thẻ 12 mang sỗ chẳn mà không chia hêt cho 10 là: C124 cách Số cách chọn thẻ thẻ lại (ba mang số chia hết cho 10 10,20,30) là: C31 Từ ta suy ra: n  A  C155 C124 C31 (cách)  Vậy suy ra: P  A  C155 C124 C31 99  10 C30 667 Bài Toán 9: Lấy ngẫu nhiên chữ số khác từ chữ số {0;1; 2;3; 4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để nhận số tự nhiên có chữ số Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com    Đặt: S={0,1,2,3,4} Số cách lấy chữ số khác tập S xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải là: A53 cách Gọi A biến cố nhận số tự nhiên có chữ số khác Giả sử số tự nhiên có chữ số tạo thành abc  a  0; a, b, c  S  Khi đó: a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Từ ta suy ra: n  A  4.4.3 (số)  Vậy ta có: P  A  4.4.3  A53 Bài Toán 10: (Vĩnh Phúc-2014) Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy cầu hộp là: C164 cách Gọi A biến cố lấy cầu có cầu màu đỏ không hai màu vàng Ta xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có đỏ, xanh  Trường hợp có: C41 C53 cách - Trường hợp 2: Có đỏ, xanh vàng  Trường hợp có: C41 C52 C71 cách - Trường hợp 3: Có đỏ, xanh vàng  Trường hợp có: C41 C51.C72 cách Từ ta suy ra: n  A  C41 C53  C41 C52 C71  C41 C51.C72 (cách)  Vậy ta có: C41 C53  C41 C52 C71  C41 C51.C72 37 P  A   C164 91 Bài Toán 11: Gọi M tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ tập M, tính xác suất để số chọn số có tổng chữ số số lẻ Hướng Dẫn Giải:    Đặt: S={0,1,2,3,4,5,6} Gọi số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ S là: a1a2 a3 Tính số số có ba chữ số đơi khác lập từ S: - a1 có cách Lập a2 a3 có A62 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com Từ suy ra: n  M   A62 (số)   Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số số lẻ Tính số số có ba chữ số đơi khác M có tổng chữ số số lẻ: - Trường hợp 1: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn:  Trường hợp có: C31.C42 3! C31.C41 2!  84 số - Trường hợp 2: Có chữ số lẻ:  Trường hợp có: 3!  số Từ suy được: n  A  90 (số)  Vậy suy ra: P  A  90  A6 Bài Toán 12: Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên cộng số bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ Hướng Dẫn Giải:    Số cách rút viên bi từ 11 viên bi là: C116 cách Gọi A biến cố thu số lẻ Tính số cách rút viên bi cho tổng số viên bi số lẻ : Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có bi mang số chẵn, bi mang số lẻ  Trường hợp có: C61.C55 cách - Trường hợp 2: Có bi mang số lẻ, bi mang số chẵn  Trường hợp có: C63 C53 cách - Trường hợp 3: Có bi mang số lẻ, bi mang số chẵn  Trường hợp có: C65 C51 cách Từ suy ra: n  A  C61.C55  C63 C53  C65 C51 (cách)  Vậy suy ra: P  A  C61.C55  C63 C53  C65 C51 118  C116 231 Bài Tốn 13: Trong kì tuyển sinh năm 2015, trường THPT Lê Quảng Chí có học sinh gồm nam nữ đậu vào khoa A trường đại học Số sinh viên đậu vào khoa A chia ngẫu nhiên thành lớp Tính xác suất để có lớp có nam nữ trường THPT Lê Quảng Chí Hướng Dẫn Giải:  Với học sinh có cách xếp học sinh vào lớp Do đó, số cách xếp học sinh vào lớp 45 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com    Gọi X biến cố chia lớp có nam nữ trường THPT Lê Quảng Chí Số cách chọn học sinh nam học sinh nữ học sinh là: C32 C21 cách Ứng với cách chọn , có cách xếp học sinh vào lớp có 32 cách xếp học sinh lại vào lớp lại Vậy số cách xếp có học sinh nam học sinh nữ trường THPT Lê Quảng Chí vào lớp là: 4.32.C32 C21 cách hay n  X   4.32 C32 C21 (cách) Từ suy ra: P X   4.32 C32 C21 27  45 128 Bài Toán 14: Cho tập E={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Hướng Dẫn Giải:     Số số có chữ số đơi khác lập từ E là: A53 =60 số Suy số cách viết số lên bảng mà số có chữ số đôi khác lập từ E là: C602 cách Số số có chữ số mà số khơng có mặt chữ số lập từ E là: A43  24 (số)  Số số có chữ số mà số có mặt chữ số lập từ E là: 60  24  36 (số) Gọi A biến cố viết lên bảng hai số mà hai số có số có chữ số Ta có, số cách viết hai số lên bảng mà có số có chữ số là: 1 C24 C36 1 C36 Từ suy ra: n  A  C24 (cách)  Vậy ta có: P  A  1 C24 C36 144  C60 295 Bài Toán 15: Một hộp có viên bi đỏ ,3 viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên bi số bi đỏ lớn số bi vàng Hướng Dẫn Giải:  Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cả viên lấy bi đỏ  Trường hợp có C54 cách - Trường hợp 2: Có viên bi đỏ, viên bi vàng  Trường hợp có C53 C31 cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com Trường hợp 3: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C53 C41 cách - Trường hợp 4: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C52 C42 cách - Trường hợp 5: Có viên bi đỏ, viên bi xanh  Trường hợp có C51.C43 cách - Trường hợp 6: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh  Trường hợp có C52 C31.C41 cách Từ trường hợp ta suy ra, số cách lấy viên bi thỏa mãn yêu cầu toán là: C54  C53 C31  C53 C41  C52 C42  C51.C43  C52 C31.C41  275 cách -  Bài Toán 16: Trong lớp học gồm có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có học sinh nam học sinh nữ Hướng Dẫn Giải:  Số cách chọn học sinh lớp lên bảng là: C354 cách   Gọi A biến cố học sinh lên bảng có học sinh nam học sinh nữ Ta tính số cách gọi học sinh lên bảng có học sinh nam học sinh nữ: Ta có trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C153 cách - Trường hợp 2: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C152 cách - Trường hợp 3: Có học sinh nam, học sinh nữ  Trường hợp có: C20 C15 cách C153  C20 C152  C20 C15 Từ suy ra: n  A  C20 (cách)  Vậy ta có: P  A  C20 C153  C20 C152  C20 C15 4615  C35 5236 Bài Toán 17: Cho hai đường thẳng song song d1 d Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d có n điểm phân biệt  n  3, n  * Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho.Tìm n Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com  Ta có số tam giác tạo từ điểm thuộc d1 d là: Cn310  C103  Cn3  Theo đề ta suy ra: Cn310  C103  Cn3  2800   n  10  n   n    10.9.8  n  n  1 n    2800.6  n  8n  560   n  20  Do n  3, n  *  Vậy n  20 điểm Bài Toán 18: Một hộp có viên bi xanh,6 viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp.Tính xác suất biến cố viên chọn có đủ màu số bi đỏ số bi vàng Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy ngẫu nhiên viên từ hộp là: C185 cách Gọi A biến cố viên bi chọn có đủ ba màu số bi đỏ số bi vàng Tính n  A : - Trường hợp 1: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh:  Trường hợp có: C61.C71 C53 cách - Trường hợp 2: Có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh  Trường hợp có: C62 C72 C51 cách -  Từ suy ra: n  A  C61.C71 C53  C62 C72 C51 (cách) Vậy ta có: P  A  C61.C71 C53  C62 C72 C51 95  C185 408 Bài Toán 19: Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ từ A,B,C,…….,Z Các chữ số chọn từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hỏi có biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ giống ( Có phân biệt vị trí xếp chữ chữ số biển số với nhau: VD: AK 1698 KA 1698 ) Hướng Dẫn Giải:  Chọn hai chữ số khác nhau, ta có số cách chọn là: A262 cách  Chọn hai số lẻ giống ta có cách Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com  Chọn vị trí vị trí để đặt chữ số lẻ giống nhau, cách chọn vị trí vị trí mà khơng quan tâm đến thứ tự xếp Do có C42 cách  Sắp xếp chữ số chẵn vào vị trí lại, cách chọn phần tử lặp lại phần tử Mỗi vị trí có năm cách chọn Do có 52 cách Từ ta suy ra, số biển xe thỏa mãn yêu cầu đề là: A26 5.C42 52  487500 (cách)  Bài Toán 20: Lớp học đủ ánh sáng có bòng đén sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng Trong lớp học có bóng đèn, bóng đèn có xác suất bị cháy Hướng Dẫn Giải:   Gọi A, B, C cách biến cố “ lớp có bóng đèn sáng”, “lớp có bóng đèn sáng” “lớp có bóng đèn sáng ” Vì bóng có xác xuất sáng Theo cơng thức nhân ta có kết sau:  3  P  A    4    53 P B  C          43 1  P  C   C6      4 4  Do với S biến cố lớp học đủ sáng thì: P  S   P  A  P  B   P  C   1701   0,8306  2048 Nguyễn Minh Đức 16-02-1998 K10A-Trường THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài Toán 21: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Hướng Dẫn Giải:   Số số tự nhiên có chữ số 9.104  90000 số Gọi số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho có chữ số hàng đơn vị là: a1a2 a3a41  a1    Ta có biến đổi sau: a1a2 a3a41  3.a1a2 a3a4   7.a1a2 a3a4 (*) Từ (*) ta có nhận xét: Để a1a2 a3a41 chia hết cho 3.a1a2 a3a4  phải chia hết cho 7 x 1 x 1 Đặt: 3.a1a2 a3a4   x  x  *  Suy ra: a1a2 a3a4   2x  ** 3 Từ (**) ta suy x  phải chia hết cho 3.Đặt x   3t  x  3t  t  *   Khi đó: a1a2 a3a4  7t   1000  7t   9999  t 143,144, ,1428 Vậy số cách chọn t cho số a1a a3a41 chia hết cho có chữ số hàng  đơn vị 1286 cách (ứng với t ta số a1a a3a41 ) Từ ta có xác suất cần tính là: 1286 643 P    0, 0143 90000 45000 Bài Toán 22: (Đề Thi HSG Toán 11 cấp tỉnh-Thái Nguyên 2012) Cho tập hợp A  1;2;3; ;18 Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Hướng Dẫn Giải: Lời giải Sở GD&ĐT Thái Ngun (bài khó q khơng giải được, tham khảo lời giải nhé!  ):  Ta cần tìm số phần tử tập T sau:   T  (a1,a , ,a ) : a1  a   a ;  a i  18; a i  a j   Xét tập hợp H  (b1,b2 , ,b5 ) : b1  b   b5 ;  bi  14 Xét ánh xạ f cho tương ứng (a1 ,a , ,a ) với (b1,b2 , ,b5 ) xác định sau: b1  a1,b2  a  1,b3  a  2,b4  a  3,b5  a  Dễ thấy f song ánh, suy T  H Mặt khác (b1,b2 , ,b5 ) H tổ hợp chập 14 phần tử  Do Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com H  C14  2002 Vậy T  2002 Bài Toán 23: Từ chữ số 0, 2, 3, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, hai chữ số khơng đứng cạnh Hướng Dẫn Giải:   Đặt S={0,2,3,5,6,8} Gọi a1a2 a3a4 a5a6 số gồm chữ số đôi khác thiết lập từ tập S  Ta tính số cách lập thành số a1a2 a3a4 a5a6 từ tập S   - a1 có cách - a2 a3a4 a5a6 có A55 cách Từ suy ra, có 5.A55 số gồm gồm chữ số đơi khác thiết lập từ tập S Ta tìm số số chữ số đơi khác thiết lập từ tập S mà số có hai chữ số đứng cạnh nhau: - Trong a1a2 a3a4 a5a6 có vị trí để đứng cạnh vị trí đầu bên trái có khả 50a3a4 a5a6 , vị trí lại hoán vị cho - Sau chọn vị trí để hai chữ số đứng cạnh nhau, ta chọn hoán vị chữ số lại Từ suy ra, có 9.4! số dạng a1a2 a3a4 a5a6 lập từ S mà có hai chữ số đứng cạnh Vậy ta có A55  9.4!  384 cách lập số tự nhiên có chữ số từ tập S mà số hai chữ số khơng đứng cạnh Bài Tốn 24: (Đề nghị 30-4 2008) Có số tự nhiên có 10 chữ số khác đơi một, chữ số 1,2,3,4,5 xếp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải số 1,2,3,4,5,6 khơng xếp vậy?     Hướng Dẫn Giải: Gọi số tự nhiên có 10 chữ số a1a2 .a9 a10  0,1, 2, ,7,8,9 , a1   Theo yêu cầu đề chữ số 1,2,3,4 thiết phải đứng trước chữ số Do chữ số đứng vị trí a6 , a7 , a8 , a9 ,a10 Ta xét vị trí chữ số , đến vị trí chữ số 6, vị trí (1,2,3,4) cuối vị trí chữ số lại Xét trường hợp sau: - Trường hợp a10  : Chữ số có vị trí , (1,2,3,4) có C84 vị trí bốn chữ số 0,7,8,9 có 4! vị trí Như có 9.C84 4! cách xếp kể a1  Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com Ta bỏ trường hợp a1  ( có 8.C74 3! cách xếp)  Trường hợp có 9C84 4! 8.C74 3! số  - Trường hợp a9  ta có: 8.C74 4! 7.C64 3! số - Trường hợp a8  ta có: 7.C64 4! 6.C54 3! số - Trường hợp a7  ta có: 6.C54 4! 5.C44 3! số - Trường hợp a6  ta có: 5.C44 4! số Từ trường hợp trên, cộng lại ta suy số số thỏa mãn đề là: 22680 (số) Bài Toán 25: Xếp học sinh nam học sinh nữ ngồi vào bàn tròn 10 ghế Tính xác suất để khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh Hướng Dẫn Giải:  Ta cố định vị trí cho học sinh nữ, đánh ghế lại từ đến Khi ta có số khơng gian mẫu n     9! (cách)   Gọi A biến cố khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh Ta xét trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số 4, học sinh nữ lại ngồi ghế vị trí 6,7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3.3! cách - Trường hợp 2: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 2.3! cách - Trường hợp 3: Có học sinh nữ ngồi ghế số 2, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách - Trường hợp 4: Có học sinh nữ ngồi ghế số 3, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 7,8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 2.3! cách - Trường hợp 5: Có học sinh nữ ngồi ghế số 3, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách - Trường hợp 6: Có học sinh nữ ngồi ghế số 4, học sinh nữ ngồi ghế số học sinh nữ lại ngồi ghế số 8; hốn vị vị trí  Trường hợp có 3! cách Ứng với cách xếp nữ có ! cách xếp nam Từ suy ra: n  A  6! 3.3! 2.3! 3! 2.3! 3! 3!  10.6!.3! Vậy ta có: 10.6!.3! P  A   9! 42   Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com [ Tài Liệu Tham Khảo ] Cảm ơn tài liệu sau làm nguồn đề, nguồn tài liệu cho Nguyễn Minh Đức hoàn thành chuyên đề này: Các đề thi thử đại học Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc, Chuyên Vĩnh Phúc, Chuyên Đại Học Vinh số tỉnh, trường nước Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 11-Thái Nguyên năm học 2011-2012 Một số đề thi thử trung tâm Viettelstudy Một đề không rõ nguồn gốc, Nguyễn Minh Đức xin cảm ơn tác giả -The End- Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com ...Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A Các toán số sổ hợp, số chỉnh hợp nhị thức niu – tơn I Một số kiến thức cần ghi nhớ:... gọi tổ hợp chập k n phần tử Lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự Ak n! = n⋅ phần tử) Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu là: Cnk = k !.( n − k )! k ! Phân biệt tổ hợp. .. ? ĐS: n = 13 Công thức xác suất BT 128 Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích là: 0, 6; 0, 0, Tính xác suất để có người bắn trúng bia ĐS: P ( A ) = 0,976 BT 129 Nam Hải thi đấu với trận