Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1 Phương Trình - Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn A Phương Pháp Giải Cơ Bản Đưa phương trình tích • Biến đổi đưa phương trình dạng f (x).g(x) = f (x) = • Áp dụng cơng thức f (x).g(x) = ⇔ g(x) = Đặt ẩn phụ • Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp • Đưa phương trình phương trình theo ẩn t biết cách giải (phương trình chứa x) Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) • Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối • Xét phương trình khoảng Lưu ý Nếu phương trình chứa dấu trị tuyệt đối |f (x)| xét hai trường hợp f (x) ≥ f (x) < B Bài Tập 2.1 Giải bất phương trình sau a) x2 − 6x + > c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ b) −4x2 + x − ≥ d) x4 + x2 + 4x − ≥ 2.2 Giải bất phương trình sau x−2 ≥ a) x − 9x + x+5 2x − c) + > 2x − x+5 x2 − 3x − ≥ 2x + x−1 1 d) < x − 5x + x − 7x + 10 2.3 Giải phương trình sau a) x3 − 5x2 + 5x − = c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 3 e) x2 + + (1 − 3x) = x2 − 3x + √ √ b) x3 − 3x2 + 7x − = 3 d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 2.4 Giải phương trình sau a) x2 − 4x + − x2 − 6x + c) x4 + 3x2 + = 2x e) x4 = 6x2 − 12x + b) x4 = (2x − 5) d) x4 − 4x − = f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + b) = 2.5 Giải phương trình sau 4 a) (x + 3) + (x + 5) = 4 c) (x + 3) + (x − 1) = 82 b) (x + 1) + (x + 3) = 16 d) x4 + (x − 1) = 41 2.6 Giải phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 b) x2 + (x + 3) (x + 5) + 16 = d) x2 − 2x + x2 + 3x + = 14x2 11 Nguyễn Minh Hiếu 2.7 Giải phương trình sau a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + = c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + = b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x + = d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + = 2.8 Giải phương trình sau a) x2 + 5x − x2 + 5x − 24 = b) x2 + x + c) x2 − 2x − 2 − 2x2 + 3x + = 2.9 Giải phương trình sau 1 a) + = 2x2 − x + 2x2 − x + 2x − x + x2 + x c) + =− x x +1 2 x = e) x2 + x+1 2.10 a) c) e) Giải phương trình sau |x − 1| = x2 − 3x + x2 − 5x + − x = x2 − 5x + = x2 + 6x + x2 + x + = 12 d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810 4x 3x + = 4x2 − 8x + 4x2 − 10x + 2 x−1 x−3 x−3 d) + −2 = x+2 x+2 x−1 2 1 13 f) + = 2 x +x+1 x +x+2 36 b) b) x2 + 4x − = x2 + √ d) x2 + 4x + = − x2 f) x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 2.11 Giải phương trình sau a) x2 − x 2 + x2 − x − = c) x2 + 3x − 10 + x2 − = x+1 2x − − − = x+1 2x − d) x2 + 3x − + x2011 + 2011x − 2012 = b) 2.12 Giải bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1| c) x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + 2.13 Giải phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| √ √ e) x2 − 2x + + x2 + 4x + = 2x − ≤ x−3 d) x2 − 2x + x2 − > b) b) x2 − 5x + + x2 − 5x = d) |x − 1| − |x − 2| + |x − 3| = √ √ f) x + x − + x − x − = §2 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn A Phương Pháp Giải Cơ Bản Sử dụng phép biến đổi tương đương f (x) ≥ • f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) • • g(x) ⇔ f (x) = g(x)   f (x) ≥ g(x) > f (x) < g(x) ⇔  f (x) < g (x) f (x) = • • • f (x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ f (x) = g (x) f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g (x)  g(x) <  f (x) ≥  f (x) > g(x) ⇔  g(x) ≥ f (x) > g (x) Đặt ẩn phụ • Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình ẩn t (phương trình chứa ẩn x) • Dạng Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình hệ theo ẩn u v Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Dự đốn nghiệm (nếu có) • Sử dụng tính đơn điệu hàm số để phương trình có nghiệm dự đốn (hoặc PTVN) Đánh giá hai vế f (x) = A • Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A Khi f (x) = g(x) ⇔ g(x) = A 12 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số B Bài Tập 2.14 Giải phương trình sau √ a) x − x − − = √ √ √ c) 3x − − − x = 2x − √ √ √ e) 2x − + x − = 3x + √ √ √ b) 2x + = − x + 3x + √ + = x + d) √ 2x + 6x √ √ 3 f) x + + x + + x + = 2.15 √ Giải bất phương trình sau a) √x2 − 4x − 12 > 2x + c) 6x − 9x2 < 3x √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − d) x3 + ≥ x + 2.16 Giải bất phương trình sau √ √ √ a) (CĐ-09) x + + x − ≤ 5x + √ c) 2x + 6x2 + > x + b) (A-05) d) (A-04) 2.17 Giải phương trình sau √ √ a) (D-05) x + + x + − x + = b) c) x + x+ + x+ d) = 2.18 Giải bất phương trình sau √ a) x4 + x − ≥ − x √ 2 c) (x √ − 2) x + < √ x − √ 2 e) x − 3x + + x − 4x + ≥ x2 − 5x + 2.19 Giải phương trình sau √ a) (D-06) 2x − + x2 − 3x + = √ √ c) 2x2 + 8x + + x2 − = 2x + √ e) x2 + 3x + = (x + 3) x2 + √ √ √ 5x − − x − > 2x − (x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ x−3 x−3 √ √ x − + x − − x − − x − = √ √ x+3 x+2 x−1+ x−2 x−1= √ b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − ≥ √ ≤ x2 − 2x − d) √ (x + 2) − x√ √ f) x + x − + x2 + 2x − ≤ x2 + 4x − √ √ b) − x√2 + x x + = √3 − 2x − x2 d) + x − = 2x + x + 7 f) x2 − + x − = x x x 2.20 Giải√các bất phương trình sau − − 4x2 a) < x 2x c) √ > 2x + 2x + − 21 − 4x + x2 ≥ x+1 x2 d) √ > x − 1+ 1+x 2.21 Giải phương trình √ sau a) (x + 5) (2 − x) = x2 + 3x √ √ c) x + + − x + (x + 1) (4 − x) = b) (x + 1) (2 − x) = + 2x − 2x2 √ √ √ d) 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + 2.22 Giải phương trình sau √ √ a) x + − x2 = + 3x − x2 √ x2 − x2 x c) + + +√ x − x2 x − x2 b) 1− √ b) (x − 3) (x + 1) + (x − 3) x+1 x−3 = −3 √ √ √ + = d) (B-2011) + x − − x + 4 − x2 = 10 − 3x 2.23 Giải phương√trình sau a) x2 + 3x + ≥ x2 + 3x + √ c) x (x + 1) − x2 + x + + ≥ x x+1 e) −2 > x+1 x √ b) x2 + 2x2 + 4x + ≥ − 2x d) x2 − 2x + − (4 − x) (2 + x) ≤ √ √ √ f) x + + x − + x2 + x − ≤ 11 − 2x 2.24 Giải phương trình sau √ a) x2 − =√2x x2 − 2x c) (4x − 1) x3 + = 2x3 + 2x + √ b) x2 − = 2x x2 +√2x d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24 2.25 Giải phương trình sau √ √ a) − x = − √ x − c) x2 + = x3 + √ √ b) (A-09) 3x − + √ − 5x − = d) x2 − 3x + = x3 + http://mathqb.eazy.vn 13 Nguyễn Minh Hiếu 2.26 Giải √ phương trình sau = a) x2 + x +√ c) x3 + = 2x − √ b) x3√+ = 3 3x −√2 d) x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau √ √ a) (B-2012) x + + x2 − 4x + ≥ x √ √ c) x2 − = − x3 b) (A-2010) 2.28 Giải phương trình sau √ √ a) √ 4x − + √ 4x2 − = c) 2x − + x2 + 3√= − x e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + = √ b) x − = −x √ − 4x + 5 d) x + x − − 3x + = √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + = 2.29 √ Giải phương trình sau √ a) x2 − 2x + + x − = √ √ √ c) x − − + x + + x − − = √ √ b) x − + − x = x2 − 6x + 11 √ d) 5x3 + 3x2 + 3x − = 21 x2 + 3x − 21 d) x + x− √ x ≥ 1 − (x2 − x + 1) (1 − x2 ) = − 2x2 §3 Hệ Phương Trình Đại Số A Phương Pháp Giải Cơ Bản Đưa hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) Phương pháp • Loại 1: Rút biểu thức từ phương trình vào phương trình • Loại 2: Giải cụ thể phương trình vào phương trình • Loại Thế số Đặt ẩn phụ Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Nếu y = f (x) đồng biến nghịch biến D f (u) = f (v) ⇔ u = v • Nếu y = f (x) ln đồng biến D y = g(x) ln nghịch biến khơng đổi D phương trình f (x) = g(x) có nhiều nghiệm D B Bài Tập 2.30 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x + y + xy = x2 + y + x + y = c) (DB-05) x (x + y + 1) + y (y + 1) = b) d) x + y + xy = x3 + y + 3(x − y) − = x2 − xy + y = (x − y) x2 + xy + y = 7(x − y) 2.31 Giải hệ phương trình sau a) x − 2y = 2x + y y − 2x2 = 2y + x    2x + y = x c)   2y + x = y 2.32 Giải hệ phương trình sau x2 − xy = a) 2x2 + 4xy − 2y = 14 x3 + y = c) x2 y + 2xy + y = 2.33 Giải hệ phương trình sau x + y = −1 a) x3 − 3x = y − 3y x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + c) (B-08) x2 + 2xy = 6x +  4y   x − 3y = x b) 4x   y − 3x = y  y2 +   3y = x2 d) (B-03) x +2   3x = y2 x2 − 2xy + 3y = x2 − 4xy + 5y = (x − y) x2 + y = 13 d) (DB-06) (x + y) x2 − y = 25 b) b) (DB-06) d) (D-09) 14 x2 + + y (y + x) = 4y x2 + (y + x − 2) = y x (x + y + 1) − = (x + y) − x52 + = http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 2.34 Giải hệ phương trình sau √ √ x−y = √ x−y a) (B-02) x+y = x+y+2 2xy 2 =1 x + y + x+y √ c) x + y = x2 − y x − x1 = y − y1 2y = x3 + 6x2 − 3xy + x + y = x2 + y = b) (A-03) d) 2.35 Giải hệ phương trình sau xy√+ x + y√= x2 − 2y x4 − x3 y − x2 y = a) (DB-07) b) (D-08) x y − x − xy = −1 x 2y − y x − = 2x − 2y x3 + 2y = x2 y + 2xy xy + x − = c) (D-2012) d) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = x2 − 2y − + y − 14 = x − 2.36 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x3 + y = x + 3y x3 − 8x = y + 2y c) (DB-06) x2 − = y + x3 + 2xy + 12y = 8y + x2 = 12 5x2 y − 4xy + 3y − (x + y) = d) (A-2011) xy x2 + y + = (x + y) b) 2.37 Giải hệ phương trình sau xy + x + = 7y a) (B-09) x2 y + xy + = 13y 8x3 y + 27 = 18y c) 4x2 y + 6x = y b) d) 2.38 Giải hệ phương trình sau x (3x + 2y) (x + 1) = 12 a) x2 + 2y + 4x − = √ 2x + y = − 2x − y c) (CĐ-2010) x2 − 2xy − y = 2 x √ +y =5 √ e) y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y 2x2 + x − y1 = y − y x − 2y = −2 x3 − y = x2 + 2y = x − 4y √ x+y− √ xy = √ x+1+ y+1=4 √ √ 2x + y + − x + y = d) (DB-05) 3x + 2y = x + y + x y + xy + xy = − f) (A-08) x4 + y + xy (1 + 2x) = − 45 b) 2.39 Giải trình sau √ √ hệ phương √ √ x − − y = − x3 x + 10 + y − = 11 √ √ a) b) x − + y + 10 = 11 (x − 1) = y √ 4x2 + x +√(y − 3) − 2y = x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y d) (A-2010) c) (A-2012) x2 + y − x + y = 12 4x2 + y + − 4x = §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số A Kiến Thức Bổ Sung Cho hàm số y = f (x) liên tục D có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D Ta có: • m = f (x) có nghiệm D ⇔ f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D x∈D • m ≤ f (x) có nghiệm D ⇔ m ≤ max f (x) x∈D • m ≥ f (x) có nghiệm D ⇔ m ≥ f (x) x∈D • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f (x) x∈D • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x) x∈D B Phương Pháp Giải Cơ Bản Phương pháp tam thức bậc hai • Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho tốn Phương pháp chiều biến thiên hàm số • Từ toán biến đổi rút m theo f (x) • Lập BBT f (x) Từ BBT kiến thức bổ sung để rút KL Phương pháp điều kiện cần đủ • Từ tính chất toán rút điều kiện cần để xảy tốn • Giải điều kiện cần m, thay lại vào toán để kiểm tra http://mathqb.eazy.vn 15 Nguyễn Minh Hiếu C Bài Tập 2.40 Tìm m để phương trình m − a) Có nghiệm √ x2 − 3mx + m + = b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu 2.41 Tìm m để phương trình x2 + (m + 1) x + 9m − = có hai nghiệm âm phân biệt 2.42 Tìm m để phương trình (m − 2) x2 − 2mx + m + = có hai nghiệm dương phân biệt 2.43 Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − (m + 1) x2 + 2m − = a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt √ √ x+ y =1 √ √ 2.44 (D-04) Tìm m để hệ có nghiệm x x + y y = − 3m √ √ 2.45 Tìm m để bất phương trình 4x − + 16 − 4x ≤ m có nghiệm 2.46 Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + (x − 3) x+1 x−3 c) Có bốn nghiệm phân biệt = m có nghiệm √ √ 2.47 (DB-07) Tìm m để bất phương trình m x2 − 2x + + + x (2 − x) ≤ có nghiệm thuộc đoạn 0; + √ √ √ 2.48 (A-07) Tìm m để phương trình x − + m x + = x2 − có nghiệm thực √ 2.49 (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân biệt √ √ √ √ √ 2.50 (B-04) Tìm m để phương trình m + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 có nghiệm √ √ √ √ 2.51 (A-08) Tìm m để phương trình 2x + 2x + − x + − x = m có hai nghiệm phân biệt √ 2.52 (DB-07) Tìm m để phương trình x4 − 13x + m + x − = có nghiệm 2.53 (B-07) Chứng minh với m > 0, phương trình x2 + 2x − = m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt 2.54 Chứng minh với m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = ln có nghiệm 2.55 (DB-04) Tìm m để hệ x2 − 5x +√4 ≤ có nghiệm 3x2 − mx x + 16 = 2x3 − (y + 2) x2 + xy = m có nghiệm x2 + x − y = − 2m √ √ 2.57 Tìm m để hệ − x2 + − x2 = m có nghiệm 2.56 (D-2011) Tìm m để hệ 2.58 Tìm m để hệ x = y2 − y + m có nghiệm y = x2 − x + m 16 http://mathqb.eazy.vn Hướng dẫn giải phương trình bậc cao Tác giả: Lê Văn Huy Phương trình bậc ax + b = với a = Cách Giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân với số: ax + b = ⇔ ax = −b −b ⇔x= a Ví Dụ: Giải phương trình sau: a.3x − = ⇔ 3x = ⇔ x = b (1 + 2i) x = (3 + i) 3+i + 2i (3 + i) (1 − 2i) ⇔x= (1 + 2i) (1 − 2i) + 7i ⇔x= ⇔x= phương trình bậc hai ax2 +bx+c = với (a = 0) 2.1 Cách Giải: Chia vế cho a : ax2 + bx + c = b c ⇔ x2 + x + = a a b c ⇔ x2 + x = − a a b b b ⇔x + x+ = a 2a 2a 2 b − 4ac b = ⇔ x+ 2a 4a2 * Đặt ∆ = b2 − 4ac − c a Khi đó: + Nếu ∆ = ta có: b b =0⇔x=− x+ 2a 2a + Nếu ∆ > ta có: b ∆ x+ = 2a 4a √  b ∆  x + 2a = 2a √ ⇔ b ∆ x+ =− 2a √ 2a  −b + −∆ x = 2a √ ⇔ −b − −∆ x= 2a + Nếu ∆ < Phương trình Vơ Nghiệm tập số thực R Đối với tập số phức C với ∆ < ta có: b ∆ x+ =− 2a 4a b −∆ ⇔ x+ − =0 2a √ 4a √ −∆i b −∆i b ⇔ x+ + x+ − =0 2a √ 2a 2a 2a  −b + −∆i x = 2a √ ⇔ −b − −∆i x= 2a 2.2 Hệ Thức Viet Định Lý: Nếu x1 ; x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) : −b c S = x1 + x2 = ; P = x1 ∗ x2 = a a Hệ quả: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0(a = 0) có a + b + c = phương trình c có nghiệm: x1 = ; x2 = a Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a = 0) có a − b + c = phương trình c có nghiệm: x1 = −1; x2 = − a 2.3 Một Số Ví Dụ Bài 1: Giải phương trình sau : a.x2 − 49x − 50 = C 1:dùng công thức nghiệm: ∆ = (−49)2 − 4.1 − 50 = 2601 ⇒ √ ∆= √ 2601 = 51 Do ∆ > nên phương trình có nghiệm phân biệt: − (−49) − 51 − (−49) + 51 x1 = = −1; x2 = = 50 2 C 2: Ứng dụng định lý viet; Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50 ) = Nên phương trình có nghiệm: x1 = −1; x2 = − b x2 − 2x + = −50 = 50 C 1: Dùng công thức nghiệm Ta xét ∆ = 22 − 4.1 = − = phương trình có nghiệm kép là: x=1 C 2: Dùng đẳng thức x2 − 2x + = ⇔ (x − 1) = ⇔ x = c.x2 + 2x + = Ta có: ∆ = 22 − 4.3 = −8 Phương trình vơ nghiệm tập số thực Đối với số phức ta áp dụng công thức nghiệm nêu lý thuyết Nghiệm của√phương trình  + 8i x =  2√  − 8i x1 =  √ x1 = + 2i ⇔ √ x2 = − 2i Phương trình bậc Ba 3.1 Phương pháp cardano Xét phương trình bậc : x3 + ax2 + bx + c = (1) Đặt y = x + a a ⇔ x = y − phương trình trở thành 3 y + py + q = (2) Để giải phương trình (2) ta đặt y = u + v thay vào (2) ta có: (u + v) + p (u + v) + q = ⇔ u3 + v + (u + v) (3 + p) + q = (3) TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA +) Ta có bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + x − − (4 x − 12 x + 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1)(2 x − x + 2) − (2 x − 1)(2 x − 5) x − x ≤ [ ] ⇔ (2 x − 1) x − x + − (2 x − 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1) f ( x) ≤ 0(1) 2 +) Với f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x Đặt t = x − x ; (t ≥ 0) ⇒ t = x − x - Khi x − x + − (2 x − 5) x − x = 2( x − x) − (2 x − 5)t − x + = 2t − (2 x − 5)t − x + - Ta có ∆ = (2 x − 5) − 8(2 − x) = x − 20 x + 25 + x − 16 = x − 12 x + = (2 x − 3) t = x − Do phương trình f ( x) = ⇔  t = −  Do ta có phân tích f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x = ( x − x − x + 2)(2 x − x + Khi (1) ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2)(2 x − x + 1) ≤ ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2) ≤ 0, (2) (Do x − x + > với x thuộc miền xác định) Ta xét số trường hợp sau: (không thỏa mãn) x ≥ +) TH2) x − x = x − ⇔  ⇔ x = (thỏa mãn) x − 2x = x − 4x + 2 x − > x > +) TH3  ⇔ ⇒ Hệ phương trình vơ nghiệm  x − x < x − x − 2x < x − 4x + +) TH1: x − = ⇔ x = 2 x − < ⇔ x <  x − x > x − +) TH4  Kết hợp với đk ta x ≤ Vậy bất phương trình cho có nghiệm x=2;x ≤ Bài 17: Giải bất phương trình: log ( x + 1) − log ( − x ) ≤ + log ( 3x + ) + BPT ⇔ log ( x + 1) + log ( 3x + ) ≤ + log ( − x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log ( x + 1)( x + ) ≤ log 5 ( − x ) ⇔ ( x + 1)( x + ) ≤ ( − x ) ⇔ 12 x + 21x − 33 ≤ ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ Vậy: nghiệm BPT cho − < x ≤ Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x ⇔ (4 x − x − 7) x + + 2(4 x − x − 7) > 2[( x + 2) − 4] ⇔ (4 x − x − 7)( x + + 2) > 2( x + − 2)( x + + 2) ⇔ x2 − x − > x + − ⇔ x2 > x + + x + + ⇔ (2 x) − ( x + + 1) > ⇔ (2 x + x + + 1)(2 x − x + − 1) >  x + > x − ⇔  x + < −2 x −  x + > −2 x −   x + < x −  + 41  ; +∞    Giải hệ bất pt tập nghiệm là: T = [ −2; −1) ∪  Bài 19: Giải bất phương trình x − x ≥ (4 + x − 1)( x + 14 + x − 1) Hướng dẫn: Điều kiện : x ≥ (1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)( x − + x − + 16 − 1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)3 − (4 + x − 1) (2) - Xét hàm số f (t ) = t − t ; f '(t ) = 3t − > 0∀t ≥ ⇒ f(t) đồng biến [1;+ ∞ ) mà (2) có f (2 x) ≥ f (4 + x − 1) x, + x − ∈ [1; +∞) nên (2) ⇔ x ≥ + x − 2 x − ≥  ⇔ x − ≥ x − ⇔ (2 x − 4)2 ≥ x − x −1 ≥  x ≥ x ≥ 17 + 17  ⇔ ⇔ 17 − 17 17 + 17 ⇔ x ≥ ;x ≥  x − 17 x + 17 ≥ x ≤ 8  ( ) Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + − x + + 2x + 5x + ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 x + = a − b  2x + = a    Đặt  x + = b ⇒  2x + 5x + = ab   a, b ≥ 1 = a − 2b   Bất phương trình trở thành: (a − b )(a − 2b ) + ab ≥ a − 2b ⇔ (a − b )(a − 2b) + b(a + b) − (a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA  x ≥ −1 x ≥ −1   1  TH1:  2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3   2  2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤   x ≥ −1  x ≥ −1   TH2:  2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1    2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥     Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3     Bài 21: Giải bất phương trình 10 x − 50 x − ≥ x − x + − x − 10 x − 50 x − ≥  25 + 745 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x − x + ≥ ⇔ x ≥ 10 x ≥  x − 14 x + 47 - Nhận xét x − x + − x − = >0 2x − 5x + + x − - Bất phương trình cho tương đương với 10 x − 50 x − ≥ x − x + + x − 45 − (2 x − 1)( x − 2)( x − 5) ⇔ x − 27 x + 20 + (2 x − 1)( x − 5) x − ≥ ⇔ 2(2 x − 11x + 5) − 5( x − 2) + x − 11x + x − ≥ - Đặt x − 11x + = a; x − = b, (a > 0; b > 0) ta thu 2a − 5b + 3ab ≥ ⇔ (a − b)(2a + 5b) ≥ ⇔ a ≥ b ⇔ x − 11x + ≥ x − ⇔ x − 12 x + ≥ ⇔ x ≥  Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 +  Bài 22: Giải bất phương trình + 22 − 22 ;x ≤ 2  22 ;+∞   3x − 12 x + ≤ x − + x − x 3 x − 12 x + ≥  Hướng dẫn: Điều kiện  x ≥ ⇔ x≥2  x ( x − 2) ≥  Bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + ≤ x + x − x − + ( x − 1)( x + x + 1) x( x − 1) ⇔ x − x + 10 x − + ( x − 1)( x − ( x + x + 1) x ≥ ⇔ ( x + x + x) − 3( x − x + 2) + x − x + x + x + x ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA x − 3x + x − 3x + ⇔ − 3 +2 ≥ 0(1) x + x2 + x x + x2 + x x − 3x + Đặt = t (t ≥ 0) (1) x3 + x + x ⇔ − 3t + 2t ≥ ⇔ − ≤ t ≤ ⇒ x − x + ≤ x + x + x ⇔ x + x + ≥ 0(2) Nhận thấy (2) nghiệm với x ≥ Kết luận nghiệm S = [2;+∞ ) Bài 23: Giải bất phương trình: x + x2 + x + + ≥ 2 +3 x +1 x +1 Hướng dẫn: ĐK: x > -1 x2 + x + ≥ 3, ∀x > −1 x +1 x+3 - Lại có = x +1 + x +1 x +1 (1) - Theo câu a ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số x + 1, ta được: x +1 ≥ 2, ∀x > −1 (2) x +1 x + x2 + x + Từ (1) (2), cộng vế với vế ta có: + ≥ 2 + , ∀x > −1 x +1 x +1 x +1 + Suy giá trị x > -1 thỏa mãn bất phương trình Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm Bài 24: Giải bất phương trình sau: S = ( −1; +∞ ) + x − x + 3x + 1− x − x +1 >1 x ≥  Hướng dẫn: Điều kiện:  x + 3x + ≥ ⇔ x≥0  1 − x − x + ≠ 1  - Ta có x − x + =  x −  + ≥ > (∀x ≥ 0) ⇒ − x − x + < 2  - BPT ⇔ x + x2 − x + < x + 3x + 1 ⇔ + x + − < x + + (Vì x = khơng thỏa mãn bất phương trình) x x - Đặt x + = t ⇒ t ≥ x > x 13 - Ta có + t − < t + ⇔ t − < ⇔ t < NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA - Suy ≤ t < 13 13 ⇒2≤ x+ < x   x + x ≥ 13 − 105 13 + 105 ( x − 1) ≥ ⇔ ⇔ ⇔  + 57 2 x >   > 2 a b x − x > x + x − x − >    ⇔ x > + 57 (do x ≥ 1) - TH1:  ⇔ ⇔ ⇔  − 57 a > 2b x − x > x + x − 5x − > x <  2 x − x < x + x − 2x − < a < b - TH2:  ⇔ ⇔ ⇔ − < x < + ⇔ ≤ x < + (do x ≥ ) a < 2b x − x < 4x + x − 5x − <  + 57  ;+∞  ∪ 1;1 +   [ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  ) Bài 26: Giải bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 Hướng dẫn: log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x +1 − 3) + log x x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x 2 x +1 − 3.2 x ) ⇔ x + ≤ 22 x +1 − 3.2 x ⇔ x − 3.2 x − ≥  x ≤ −1( L ) ⇔ x ⇔x≥2 ≥  Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +∞ ) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 10 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 x + 3.49 x − x ≥ x 2x 7 7 Hướng dẫn: Chia hai vế bpt cho bpt ⇔   +   − ≥ 2 2 t ≤ −1 x 7 Đặt t =   (với t > 0) BPT trở thành 3t + 2t – ≥ ⇔  1⇒t≥ t ≥ 2 3  x x   7 ⇔   ≥ ⇔ x ≥ − log KL: BPT có tập nghiệm S = − log ; + ∞  2 2   Bài 28: Giải bất phương trình x x − + 45 x − 75 x + 30 x < 4( x ∈ R ) Bất phương trình cho tương đương với x x − − x + 45 x − 75 x + 34 x − < Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ ⇔ x( x − − 1) + ( x − 1)(45 x − 30 x + 4) < ⇔ x ( x − 2) + ( x − 1) 5(3 x − 1) − < 2x −1 + [ ] 4x   ⇔ ( x − 1)  + 5(3 x − 1) − 1 < 0(1)  2x −1 +1  4x 1 - Nhận xét + 5(3 x − 1) − > 5(3 − 1) − > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − < ⇔ x < 2 2x −1 + 1  - Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =  ;1 2  Bài 29: Giải bất phương trình: log ( x − 2) + log 0,5 x < Hướng dẫn: Điều kiện: x > ⇔ log ( x − ) − log x < ⇔ log x−2 x−2 −2 Bài 30: Giải bất phương trình: x − x − > x3 − x + x − x3 − x + Hướng dẫn: Cách 1: BPT ⇔ x − x − > x ( x − ) + 1 −   ⇔ ( x − 2)+ | x − | x + > x 1 +  ( x − 2) ( x − 2) ( x + 1) + 1  ( x ≥ 0) (1) * x = : (1) ⇔ > 2 (loại) * x = : (1) ⇔ −2 > −2 (loại) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA * x > : (1) ⇔ ( x − 2) + x + > x 1 +  ( ) ( x − 2) x ( x − 2) > ta được: (1) ⇔ - Chia vế cho - Xét hàm f (t ) = t + + t , t > ⇒ f '(t ) = + + 1  1 1 + 1+ > + 1+ x x−2 x ( x − 2) t 1+ t2 > ∀t > ⇒ f (t ) đồng biến 1 > ⇔ x − > x ⇔ x − x + > ⇔ x > 4; x < x x−2 - Kết hợp x > ⇒ x > * < x < 2: (1) ⇔ ( x − 2) − x + > x 1 + ( x − ) +    1 1 - Chia vế cho x ( x − 2) < ta được: (1) ⇔ − 1+ < − 1+ x x−2 x x − ( ) ∀t > , (1) ⇔ ( ) - Xét hàm f (t ) = t − + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = − biến ∀t Từ (1) ⇔ t 1+ t2 = 1+ t2 − t 1+ t2 > ∀t ⇒ f (t ) đồng 1 < Trường hợp vơ nghiệm < x−2 x x−2 Đáp số: x > Cách 2: ĐK x ≥ + x = không nghiệm Xét x > : + (1) ⇔ ( x −2 )( ) x +1 > x2 − 5x + x3 − x + x + x3 − x +  x +1  x −1 ⇔ f ( x) = ( x − )  + >  x3 − x + x + x3 − 3x +   x +2 x +1 x −1 + Xét g ( x) = + x +2 x − x + x + x3 − 3x + Nếu x ≥ g ( x) > + Nếu < x < 1: x + > ⇒ x + > Ta có: x3 − 3x + = ( x + 1)( x − ) x +1 x +1 > = x +2 x +2 (1) = x − x +1 > x − = − x ⇒ x3 − x + x + x3 − 3x + > − x 1− x 1− x 1− x 1− x ⇒ < = < = x3 − x + x + x3 − 3x + − x − x + x − x x −1 ⇒ >− (2) x3 − x2 + x + x3 − 3x2 + NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) (2) suy g ( x) > ∀x > + f ( x) > ⇔ x − > ⇔ x > Kết hợp ĐK suy đáp số: x > Bài 31: Giải bất phương trình x − ≤ x − x − + x + 1( x ∈ R ) x3 − ≥  x ≥ Hướng dẫn: Điều kiện:  x − x − ≥ ⇔  ⇔ x≥3 ( x − 3)( x + x + 3) ≥ x + ≥  Bất phương trình cho tương đương với x − ≤ x − x − + x − + ( x − 3)( x + x + 3)( x + 1) ⇔ x − x ≤ ( x − 3)( x + 1) x + x + ⇔ x − x − − x − x − x + x + + x + x + ≤ ⇔ ( x − 2x − − x + x + 3) ≤ ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x = −2 Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình cho vơ nghiệm Bài 32: Giải bất phương trình : log log (2 − x )  > ( x ∈ R) Hướng dẫn: - Điều kiện: log (2 − x ) > ⇔ − x > ⇔ −1 < x <  −1 < x < −1 < x < −1 < x < - Khi ⇔ log (2 − x ) < ⇔  ⇔ ⇔  2  x≠0 2 − x < x > Vậy tập nghiệm bpt S = (−1;0) ∪ (0;1) ( ) Bài 33: Giải bất phương trình: x + x < + x( x + x − 4) (x∈ R)  −1 − ≤ x ≤ Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ ⇔   x ≥ −1 + ⇔ x( x + x − 4) > x + 5x − ⇔ x( x + x − 4) > ( x + x − 4) + 3x (**) + TH 1: x ≥ −1 + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ x2 + x − x2 + 2x − > +3 x x x2 + x − , t ≥ , ta có bpt: t − 4t + < ⇔ < t < x  x − x − < x2 + x − −1 + 17 + 65 1< 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ x ≥ −1 x ≥ −1    1  TH1:  2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3   2  2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤   NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 18 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1  x ≥ −1   TH2:  2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1    2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥     Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3     Bài 47: Giải bất phương trình x + − x ≥ − 3x − x Hướng dẫn: x ≥ 0 ≤ x ≤ −3 + 41   Điều kiện: 1 − x ≥ ⇔  −3 − 41 −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤   8  2 − 3x − x ≥ (*) Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥  −5 + 34 x ≥ x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔  1− x 1− x 1− x  −5 − 34 x ≤  −5 + 34 −3 + 41 Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình ≤x≤ 2 Bài 48: Giải bất phương trình ( x − x + 10 ) x + + ( x + ) x + ≥ x + 13x − x + 32 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình (5 x − x + 10) ( ) x + − + (2 x + 6) ⇔ (5 x − x + 10) ( ) ( ) x + − + 3(5 x − x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x + 13x − x + 32 x + − + (2 x + 6) ( ) x + − − x + x − x + 10 ≥  x − x + 10 ⇔ ( x − 2)  +  x+7 +3  2x + − x −  ≥ (*) x+2 +2  1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ ⇒ ≤ x + > x+2 +2 2x + 2x + ⇒ ≤ = x + (1) x+2+2 1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ + > ⇒ < x − x + 10 > ∀x ∈ ℝ x+7 +3 2 x − x + 10 x − x + 10 x − x + 10 2 ⇒ < = x −x+2⇒ − x − < − x − (2) x+7 +3 x+7 +3 x − x + 10 2x + Từ (1) (2) ⇒ + − x − < Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ x+7 +3 x+2+2 Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 19 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA x +1 x+2 Bài 49: Giải bất phương trình sau log (2 − 8) + log (24 − ) ≤ Hướng dẫn: x +1 2 − > Điều kiện:  x+2 24 − > (1) ⇔ log ( x +1 − ) ≤ log ( 24 − x + ) 2 x +1 − >  x >  x > ⇔  x +1 ⇔ x ⇔ x x+2 x  2.2 − ≤ 24 − 4.2 2 − ≤ 24 − 6.2 ≤ 32 ⇔ < 2x ≤ 16  16  ⇔ < x ≤ log    3 Bài 50: Giải bất phương trình 2( x + − − x ) + x + 3x − ≥ Hướng dẫn: Điều kiên : −3 ≤ x ≤ ⇔2 ( ) x + − + − − 2x + 2x + 3x − ≥  x + − − ( − 2x )  ⇔ 2 +  + ( x − 1)( 2x + ) ≥ x + + + − 2x     ⇔ ( x − 1)  + + 2x +  ≥ (*)  x + + + − 2x  Do −3 ≤ x ≤ ⇒ − 2x ≤ ⇒ ≥ 2x + ≥ −1 nên − 2x + 3  + + 2x + > 0, ∀x ∈  −3;  2 x + + + − 2x  - Từ (*) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm bất phương  3 trình T = 1;   2 NGUYỄN HỮU BIỂN - NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 20 ... §3 Hệ Phương Trình Đại Số A Phương Pháp Giải Cơ Bản Đưa hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) Phương pháp • Loại 1: Rút biểu thức từ phương trình vào phương trình. .. câu điểm (Phương trình, bất phương trình vơ tỷ, hệ phương trình) Câu điểm 10 (Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) Lí mà em khó học ? Đó thường chúng có q nhiều phương pháp, chí số phương. .. 1) − = (x + y) − x52 + = http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 2.34 Giải hệ phương trình sau √ √ x−y = √ x−y a) (B-02) x+y = x+y+2 2xy 2 =1