PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến mặt PHẲNG TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống hóa kiến thức 2.3.2 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích dạng tập cụ thể thực hành giải toán I Phương pháp trực tiếp II Phương pháp đổi điểm III Phương pháp tọa độ hóa 11 IV Phương pháp gián tiếp qua cơng thức tính thể tích 12 V Bài tập vận dụng 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 14 Kết luận, kiến nghị 14 3.1 Kết luận 14 3.1.1 Đối với học sinh 14 3.1.2 Đối với giáo viên 14 3.2 Kiến nghị 15 3 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học cơng cụ giúp học tốt mơn học khác, đóng vai trị vơ quan trọng nhà trường Bên cạnh cịn có tiềm phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực đời sống sản xuất Mặt khác tốn học cịn có nhiệm vụ hình thành cho HS kỹ năng: - Kỹ vận dụng tri thức nội mơn tốn để giải tập toán - Kỹ vận dụng tri thức tốn học để học tập mơn học khác - Kỹ vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ đo đạc, tính tốn, sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính… Tuy nhiên ba kỹ có quan hệ mật thiết với Kỹ thứ sở để rèn luyện hai kỹ Chính kỹ vận dụng kiến thức để giải tập toán vơ quan trọng học sinh Trong việc trình bày lời giải tốn thước đo cho kỹ để có lời giải tốt học sinh cần có kiến thức, kỹ ngược lại có kiến thức, có kỹ học sinh trình bày tốt lời giải tốn Qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn Trung tâm GDNN - GDTX Thiệu Hoá, nhiều học sinh đứng trước tốn chứng minh hình học, đặc biệt chứng minh quan hệ vng góc khơng gian, tốn tính khoảng cách khơng gian thường có tâm trạng hoang mang, không xác định phương hướng, phải làm để tìm lời giải cho tốn Học sinh lúng túng khó khăn để tìm phương pháp giải Bởi chứng minh lập luận cách chặt chẽ hợp logic dẫn đến hệ tất yếu để biết trật tự logic đó? Làm để biết bắt đầu chứng minh từ đâu? Phải chứng minh yếu tố trước, yếu tố sau? Trình bày lời giải cho khoa học? Xuất phát từ lý trình giảng dạy nghiên cứu, thấy dạng toán cần đưa phương pháp tối ưu để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng, từ giải nhiều tốn tương tự Với việc kết hợp phương pháp phân tích ngược phương pháp phân dạng nhỏ cho trường hợp cụ thể thấy học sinh tiếp thu chủ động, ham học Chính điều đó, tơi tìm hiểu viết đề tài ''Một số phương pháp giải toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng'' với mong muốn học sinh hứng thú học mơn hình học hơn, giáo viên có thêm tư liệu, phương pháp dạy học hiệu trường trung tâm 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muốn giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu tốn học từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, việc giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu hoạt động tìm lời giải học sinh cho tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình học khơng gian - Đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12 Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải tốn Qua q trình dạy hình học khơng gian 11 ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Tôi nhận thấy rằng, đa số em học sinh “ chưa thạo ” việc giải tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Nguyên nhân học sinh chưa phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp Để góp phần nhỏ vào việc hệ thống lại phương pháp giải tốn, tạo thích thú cho em học sinh Giúp em “khơng cịn ngán ngại” gặp tốn tính khoảng cách Tơi xin phép trình bày phương pháp giải dạng tốn tính khoảng cách thường gặp hình học khơng gian là: “ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ” 1.5 Những điểm SKKN - Dựa vào loại tập để khái quát hóa thành phương pháp giải chi tiết - Học sinh chủ động trước dạng tập Đi từ phương pháp chung đến phương pháp cách giải cụ thể cho dạng tốn - Kết hợp phương pháp phân tích ngược (phương pháp truy) để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, từ đến tính khoảng cách Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chung để tìm lời giải tốn: 2.1.1 Tìm hiểu nội dung tốn - Giả thiết gì? Kết luận gì? hình vẽ minh họa sao? Sử dụng kí hiệu nào? - Dạng tốn nào? cách giải nào? - Kiến thức cần có gì? 2.1.2 Xây dựng cách giải: Chỉ rõ bước theo trình tự thích hợp 2.1.3 Thực cách giải: Trình bày làm theo bước Chú ý sai lầm thường gặp cách vẽ hình dạng 2.1.4 Kiểm tra nghiên cứu kết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua kết điều tra học sinh lớp Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa tơi thấy: + Rất học sinh có hứng thú mơn hình học, chưa có phương pháp học tập hiểu môn học + Các kiến thức hình học nói chung hình học khơng gian lớp 11 nói riêng hạn chế + Kỹ tư phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian hình học phẳng cịn q yếu + Kỹ vẽ hình khơng gian yếu + Chưa thường xuyên tiếp cận với việc sử dụng phương pháp phân tích ngược vào làm tập chứng minh hình học 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống hóa kiến thức Khi giải tốn hình học khơng gian, học sinh cần thực bước sau: đọc kỹ đề bài; phân tích giả thiết kết luận; vẽ hình đúng; đặc biệt xác định thêm yếu tố khác: điểm phụ, đường phụ, mặt phẳng phụ (nếu có) phục vụ trình giải tập Học sinh cần nắm vững phương pháp chứng minh tốn đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2.3.2 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích dạng tập cụ thể thực hành giải toán Phương pháp tập minh họa: * Trước hết học sinh cần nắm vững định lí sau: Định lí 1: Để chứng minh đường thẳng (d) ⊥ (α ) Ta chứng minh: d ⊥a   d ⊥b   ⇒ d ⊥ (α ) a×b  a; b ∈ (α ) d b a Định lí 2: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc a ⊥ ( β )  ⇒ (α ) ⊥ ( β ) a ∈ (α )  Định lí 3: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng (α ) ⊥ ( β )  (α ) × ( β ) = a   ⇒ b ⊥ (α ) [1] b ∈ (β )   b⊥a * Học sinh cần nắm vững cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng mà tập hay sử dụng: Để chứng minh đường thẳng (∆) ⊥ (α ) ta chứng minh (∆) vng góc với hai đường thẳng (a); (b) cắt thuộc mp(α ) Trong toán cụ thể thường người ta cho (∆) ⊥ (a) , đường (a) gọi đường dễ Ta cần chứng minh (∆) ⊥ (b) ; Dấu hiệu nhận biết đường thẳng (b) thường đáy mặt phẳng Để chứng minh (∆) ⊥ (b) ta cần làm ngược lại: chứng minh (b) ⊥ với mp( β ) chứa (∆) * Bài tốn cần nghiên cứu: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt phẳng (α ) tính khoảng cách d ( M;(α ) ) từ M đến mặt phẳng (α ) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) ta sử dụng phương pháp sau: I Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt phẳng (α ) Phương pháp chung dựa vào định lí 3: Bước 1: Tìm mp( β ) chứa M vng góc với mp( α ) theo giao tuyến (a) Bước 2: Từ M dựng MH vng góc với (a) Bước 3: Tính MH = d ( M , (α )) cách đẩy vào tam giác vng sau tính theo phương pháp truy, tức tam giác vng muốn tính cạnh ta cần biết hai cạnh lại cạnh góc sau tính ngược lên để tìm khoảng cách Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mp chứa đường cao Cách tìm: Dựng đường vng góc xuống cạnh đối diện chứa chân đường cao Dạng 2: Tính khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng cần tính khoảng cách Ta chia làm trường hợp nhỏ sau: - Nếu đáy tam giác vng điểm khác điểm cần tính khoảng cách Ta cần kẻ nét từ chân đường vng góc xuống cạnh chứa đỉnh có góc vng xong - Nếu đáy không vuông đỉnh ta kẻ nét: + Từ điểm cần tính khoảng cách kẻ vng góc xuống cạnh đối diện (Chú ý tam giác tù đường cao lúc nằm ngồi tam giác) + Nối điểm cịn lại (thường trên) xuống chân đường vng góc vừa kẻ xong, sau kẻ vng góc từ điểm cần tính khoảng cách tới đường vừa nối ta khoảng cách cần tìm.[4] Các dạng tập làm sáng tỏ phương pháp: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vuông B Biết AB=a; BC= a ; SA=a; SA vng góc với mặt đáy ABC a.Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Giải: a Do mp(SAB) chứa đường cao SA, nên từ C kẻ đường vng góc xuống AB ta khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) CB Thật ta có CB ⊥ AB   ⇒ CB ⊥ (SAB ) CB ⊥ SA  Nên d (C , ( SAB)) = BC = a b Vẽ AH ⊥ SB Ta có: S BC ⊥ AB   ⇒ BC ⊥ ( SAB) BC ⊥ SA  ⇒ BC ⊥ AH AH ⊥ SB   ⇒ AH ⊥ (SBC ) AH ⊥ BC  Suy AH = d ( A, ( SBC )) Mặt khác ta có : Tính AH : H C A 1 1 = + = + = 2 2 AH SA AB a a a a ⇒ AH = B Nhận xét cách vẽ: Do tam giác ABC vuông B nên ta vẽ nét (tam giác đáy vuông đâu kẻ đường vng góc với cạnh đó) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc mp(ABCD) , với SA= a Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) S Giải: Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD= 2a nên ta có AD//BC, AB= BC= CD= a AC ⊥ CD, AB ⊥ BD , AC= BD= a CD ⊥ AC  Ta có  ⇒ CD ⊥ mp(SAC) CD ⊥ SA  A Kẻ AH ⊥ SC H ta có AH ⊥ CD Nên AH ⊥ mp(SCD) Vậy AH= d ( A;(SCD) ) Xét tam giác SAC vng A có AH đường cao 1 1 H D B C 1 Do AH2 = SA + AC2 = (a 6)2 + (a 3) = 2a ⇒ AH = 2a ⇒ AH = a Nhận xét: - Ở ta phải nối điểm cần tính khoảng cách (điểm A) với hai điểm đáy mặt để tạo thành tam giác đáy (điểm C D) Ngoài phải nhận tam giác ACD vng C - Khơng phải tốn ta xác định chân đường vng góc hạ từ điểm đến mặt phẳng Một số toán ta cần mặt phẳng ( β ) qua M ( β ) ⊥ (α ) Tìm giao tuyến ∆ = ( β ) ∩ (α ) Kẻ MH ⊥ ∆ d ( M;(α ) ) = MH Chú ý tam giác ABC đáy không vuông B C đồng thời góc A vng vẽ nét; trường hợp tam giác đáy tù chân đường vuông góc đường cao hạ từ chân đường vng góc xuống cạnh đáy nằm tam giác Dưới hai tập minh họa: Bài 3: Cho tứ diện O.ABC có OA;OB;OC đơi vng góc Biết OA=a; OB=OC=2a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) .Giải: A *Kẻ OM ⊥ BC; OH ⊥ AM ; Khi ta chứng minh OH ⊥ ( ABC ) OH ⊥ AM Thật ta có: OH ⊥ BC (vìBC ⊥ ( AOM )) Suy ra: OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ d [O, ( ABC )] = OH *Tính OH Ta có tam giác AOM vng O nên: C O 1 = + (1) 2 OH OA OM M Mặt khác ta có tam giác OBC vng O nên: 1 = + (2) 2 OM OB OC Thay (2) vào (1) ta được: B 1 1 = + + 2 OH OA OB OC 1 1 ⇔ = + + = 2 2 OH a ( 2a ) ( 2a ) 2a ⇔ OH = a Chú ý: Tam giác OBC không vuông B C đồng thời góc ∠BOC vng nên ta vẽ nét; trường hợp đường cao hạ từ O xuống BC nằm tam giác OBC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc mp(ABCD) với SA= a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) S Giải: Qua A kẻ AE ⊥ BC ⇒ (SAE) ⊥ BC ⇒ (SAE) ⊥ (SBC) mà (SAE) ∩ (SBC)=AE Qua A kẻ AF ⊥ SE ⇒ AF ⊥ (SBC) Vậy AF= d ( A;(SBC) ) Xét tam giác vng SAE ta có A D F E B C 1 1 = + = + 2 2 AF SA AE (a 6)  a 2 =  ÷ ÷ 6a   6a a ⇒ AF = ⇒ AF = a Vậy d ( A;(SBC) ) = Nhận xét: Ở ta chưa thể tìm chân đường vng góc hạ từ A đến mp(SBC) tam giác ABC tam giác tù B nên chân đường vng góc hạ từ A xuống BC nằm đoạn BC Mặt khác ta cần biết nối điểm A C để tạo tam giác đáy ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh 2a SA ⊥ ( ABC ) SB tạo với đáy góc 60 o Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Giải: S AM ⊥ BC Gọi M trung điểm BC Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH H Ta có : SA = AB tan 60 o = 2a Vì tam giác ABC suy AM = AB sin 60 o = a Mặt khác tam giác SAM vng A ta có : C A 1 1 = + = + = 2 2 AH SA AM 12a ( 2a ) (a ) M B 12 2a 15 ⇒ AH = a = 5 Chú ý : Bài ta cần xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) góc ∠SBA Khi đẩy AH vào tam giác vuông SAM ta cần sử dụng phương pháp phân tích ngược (Để tính AH cần tính SA AM) II Phương pháp đổi điểm: Một số tốn tính khoảng cách từ điểm mà khơng phải chân đường vng góc ta sử dụng hai phương pháp sau: Dạng 1: Phương pháp đổi Ta xác định đường thẳng qua điểm cần tính A khoảng cách song song với mặt cần tính khoảng cách, M đường ta tìm điểm mà tính khoảng cách tới mặt cách dễ dàng, khoảng cách từ hai điểm tới mặt cần tính khoảng cách Sau tập minh họa Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi Cạnh a, góc ∠BAD = 120 o , cạnh bên SA vng Góc với đáy Gọi M trung điểm BC, góc ∠SMA = 45 o Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) theo a Giải: S Ta cần nhận biết DA song song với (SBC) ⇒ d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) AM ⊥ BC Vẽ : AH ⊥ SM ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH Tính AH ta đẩy vào tam giác vng AHM Ta có : AH = AM sin 45 o a mà AM = AB sin 60 o = H A M (vì tam giác ABC đều) ⇒ AH = a a = 2 B 45o D C Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SA vng góc với đáy, tam giác SAB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) [6] Giải: Nhận xét: Chú ý toán cho mặt bên (SAB) vng góc với đáy cịn SA khơng vng góc với đáy S Nên lấy H trung điểm AB suy SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gợi ý cách làm : Bước : Cần biết đường thẳng AB song song với mặt phẳng(SCD) K Bước : Chứng minh AH song song với (SCD) A D Suy d ( A, ( SCD )) = d ( H , ( SCD )) Bước 3: H Tính E d ( H , ( SCD )) theo phương pháp làm trực tiếp Vì tam giác HCD không vuông C D, nên: Vẽ: HE ⊥ CD   ⇒ d ( H , SCD) = HK HK ⊥ SE  B C Để tính HK ta đẩy vào tam giác vng SHK ta có: 1 a 21 = + 2 ⇒ HK = HK SH HE Dạng 2: Phương pháp đổi tỉ lệ Phương pháp chung: Tìm đường thẳng ∆ qua M ∆ cắt mp (α ) I ∆ chọn điểm A ( A ≠ I, A ≠ M ) d ( M; ( α ) ) IM = Lúc d ( A; ( α ) ) IA dẫn đến d ( M; ( α ) ) = d ( A;(α ) ) IM [4] IA ∆ M A I α Nhận xét : Ở hướng thay tính khoảng cách từ A đến mp (α ) ta đưa tính khoảng cách từ điểm khác A thuộc đường thẳng ∆ qua A mà khoảng cách tính cách dễ dàng Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD hình vng tâm O Biết AB=2a; SA=4a a Tính khoảng cách từ O đến mp(SAB) S b Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) Giải: Ta có: SO ⊥ ( ABCD) OI ⊥ AB ⇒ OH = d (O, ( SAB)) OH ⊥ SI AB ⊥ SO  Thật ta có:  ⇒ AB ⊥ (SIO) AB ⊥ IO  ⇒ AB ⊥ OH Mà OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) hay OH = d (O, ( SAB)) Tính OH : B Ta có: OI = a ; SO = SA − OA = 14a Kẻ H K A I D J O C Trong tam giác vng SOI ta có: 1 1 15 = + = + = 2 2 OH OI SO a 14a 14a a 210 ⇒ OH = 15 b.Tính d [ A, ( SCD)] Nhận thấy A khơng có tính vng góc nên thay tính khoảng cách A ta tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) sau sử dụng tính chất : d ( A, ( SCD )) AC = =2 d (O, ( SCD)) OC Kẻ OJ ⊥ CD; OK ⊥ SJ Với cách làm tương tự ta có : d ( A, ( SCD )) = 2OK = 2.d (O, (SSAB)) = 2a 210 15 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mp(ABCD), SA= a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC) F D Giải: Gọi O tâm hình vng ABCD G C O 10 A B Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) F Khi Mà d ( G; ( SAC ) ) d ( B; ( SAC ) ) = FG = FB OB ⊥ SA   ⇒ OB ⊥ (SAC) nên OB ⊥ AC  a 2 1a a = Vậy d ( G;(SAC) ) = d ( B;(SAC) ) = OB = Nhận xét: Vì mặt (SAC) chứa chân đường vng góc(A) nên từ B vẻ BO vng góc với AC BO d ( B, ( SAC )) Ngoài hai phương pháp học sinh lớp 12 ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thơng qua phương pháp tọa độ hóa cơng thức tính thể tích Sau phương pháp tập minh họa III Phương pháp tọa độ hóa.[7] Phương pháp làm: Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ, từ suy tọa độ điểm Bước 2: Lập mặt phẳng cần tính khoảng cách (Tìm yếu tố điểm VTPT) Bước 3: Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tập làm sáng tỏ phương pháp: Bài 10: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD = ; AB = ; BC = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) [1] Giải: Trong ∆ABC có : AB + AC = BC = 25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau O ≡ A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH = d ( A, ( BCD) ) Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) z x y z + + = ⇔ x + y + 3z − 12 = 4 − 12 12 34 d ( A, ( BCD) ) = = = 17 16 + + 34 D ( BCD) : A H C y M x B Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, cạnh bên SA vng góc với đáy AB=2a; SA=a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a Giải: 11 Chọn hệ trục tọa độ với A trùng với gốc tọa độ O hình vẽ (Nhận thấy A chân đường vng góc) D ∈ Ox; B ∈ Oy; S ∈ Oz; C ∈ ( xOy)  A(0;0;0)   D(a;0;0)  Ta có:  B(0;2a;0)  S (0;0; a ) C ( a; a;0) z S Lập mặt phẳng (SCD) A k B DC = (0; a;0) y DS = (−a;0; a ) Chọn vtcp DC: a(0;1;0) vtcp DS: b(−1;0; ) D Suy vtpt n = a; b = ( 3;0;1) Mặt phẳng (SCD) có phương trình là: x [ ] C ( x − a ) + 0( y − 0) + 1( z − 0) = ⇔ 3x + z − a = Khoảng cách từ B(0;2a;0) đến mặt phẳng (SCD) là: d ( B, ( SCD )) = −a ( 3) + = a Nhận xét: Bài ta sử dụng phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD), AB song song với CD nên khoảng cách từ B đến mp(SCD) khoảng cách từ A đến mp(SCD) 3Vchóp h = IV Phương pháp gián tiếp thông qua sử dụng công thức Sdáy [8] Bài 12: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' By lập với góc 450 Trên đường vng góc với (P) B lấy BA= a, kẻ Ax // Bx ' lấy C thuộc Ax cho AC= c Gọi D hình chiếu C lên By Kẻ CE// AB Tính khoảng cách từ B đến mp(ACD) Giải: Ta thấy tứ giác ABEC hình chữ nhật CE ⊥ (P).Từ ED ⊥ BD (định lí A đường vng góc) Kẻ DF ⊥ BE từ ta có tam giác DBE c K vng cân đỉnh D Mà BE= AC= c nên BD= DE= DF= c c Và F trung điểm BE Vì AB ⊥ (BDE) ⇒ AB ⊥ DF Do DF ⊥ AB  ⇒ DF ⊥ (ABEC) DF ⊥ BE  C a B 450 y D F x E x’ 12 Nghĩa DF đường cao hình chóp DABC Từ đó: VABCD = DF.SABC = AC.AB.DF = ac 12 Kẻ DK ⊥ AC, tam giác ADC cân có AD= DC= c2 a + nên K trung điểm 2 AC Từ DK= AD2 − AK = a + c2 2 c2 c −  ÷ = a2 + 2 1 c2 SADC = AC.DK = c a + = c 4a + c 2 4 3V 3ac2 c ac ⇒ d ( B;(ADC) ) = ABCD = : 4a + c = SADC 12 4a + c2 Nhận xét: ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách gặp khó khăn V Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a; SA ⊥ ( ABCD) ; SA = a Tính: a Khoảng cách từ A đến mp(SBC) b Khoảng cách từ A đến mp(SBD) Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A, B , C , biết AA, = a ; đáy ABC tam giác vng A có BC=2a; AB = a Tính: a Khoảng cách từ A đến mp( BCC , B , ) b Khoảng cách từ A đến mp ( A, BC ) Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC biết cạnh đáy a; cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB vng góc với đáy, tam giác SAB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) [6] Bài 6: Cho lăng trụ ABC A, B , C , có AB = a; AA, = 2a M trung điểm CC , Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A, BC ) [6] Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, góc ∠BAD = 90 o ; ∠ADC = 90 o ; AD = DC = a; AB = 2a; SA = a Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) [6] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trước sau dạy hai tiết dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát 39 học sinh với câu hỏi thu kết sau: 13 Câu hỏi Nội dung Em có thích học hình học hay khơng? Kiến thức em hình học khơng gian có tốt khơng? Em có phương pháp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay khơng? Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; cạnh a; SA ⊥ ( ABCD) Góc SC mp(SAB) 30o a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) b) Gọi I trung điểm SC Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBD) Kết thống kê Trước dạy Sau dạy tiết thực nghiệm thực nghiệm Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % HS 20.5% 30 HS 76.9% 04 HS 10.3% 28 HS 71.8% 03HS 7.7% 26 HS 66.7% 05 HS 12.8% 32 HS 82.1% HS 12.8% 25 HS 64.1% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế số phương pháp dạy theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Trong trình giảng dạy mơn Tốn trung tâm, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt, thân rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện, cách trình bày lời giải tốn cho học sinh : Trình bày giải mẫu Trình bày giải với bước xếp hợp lý Đưa tốn có gợi ý giải 14 Đưa giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai sửa lại cho Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Vấn đề tơi thấy học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Với Sở GD&ĐT Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh 3.2.2 Với BGĐ Trung tâm Trung tâm cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo, cần tạo trang Web chung để HS giáo viên chia sẻ thông tin giảng phương pháp giải Tốn Qua học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để nâng cao hứng thú, kết học tập mơn Tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung 3.23 Với phu huynh học sinh Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài:''Một số phương pháp giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng'', vào giảng dạy nhận thấy vấn đề giúp ích cho học sinh việc làm tốn, giúp em khơng cịn “ngán ngại” phần khoảng cách em giải tốt tập tính khoảng cách khơng gian Thực nghiệm cho thấy có khoảng 70% học sinh giải 85% tập sách giáo khoa Riêng thân tiếp tục nghiên cứu sâu để có định hướng tốt Tơi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với q thầy dạy mơn Tốn việc “hệ thống” kiến thức vài kĩ tính khoảng cách Vì kiến thức thời gian nhiều hạn chế cịn có thiếu sót, tơi chân thành nhận góp ý thầy cô Xin chân thành cảm ơn Tôi xin cam đoan sáng kiến thân, có dấu hiệu chép tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Xác nhận thủ trưởng quan Thiệu Hóa, ngày 10/04/2021 Người thực Trịnh Đình Chung Đinh Văn Ba DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Đinh Văn Ba 15 Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên dạy mơn tốn trường TT.GDNN-GDTX Thiệu Hóa TT Tên đề tài sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải tập tiếp tuyến Một số phương pháp giải toán hình học khơng gian cho học sinh Cấp đánh giá xếp loại Sở GD& ĐT Sở GD& ĐT khối 11 Một số phương pháp giải toán quan hệ vng góc khơng gian Sở GD& ĐT Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại C 2012 C 2014 C 2017 16 ... ) từ M đến mặt phẳng (α ) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) ta sử dụng phương pháp sau: I Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt phẳng (α ) Phương pháp. .. với mặt đáy ABC a .Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Giải: a Do mp(SAB) chứa đường cao SA, nên từ C kẻ đường vng góc xuống AB ta khoảng cách từ. .. Phương pháp đổi Ta xác định đường thẳng qua điểm cần tính A khoảng cách song song với mặt cần tính khoảng cách, M đường ta tìm điểm mà tính khoảng cách tới mặt cách dễ dàng, khoảng cách từ hai điểm