(SKKN 2022) xây DỰNG các mô HÌNH KHI GIẢNG dạy bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến mặt PHẲNG TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN CHO học SINH KHỐI 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH KHI GIẢNG DẠY BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 11 Người thực hiện: Lê Mạnh Hùng Chức vụ: TTCM Đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Không gian nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các tính chất hình học 2.1.2.Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Xây dựng mơ hình tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm gần gần đây, Bộ giáo dục đào tạo sử dụng hình thức trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm 90 phút Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan khó khăn lớn học sinh bị áp lực thời gian học sinh phải vận dụng kiến thức kĩ để tìm đáp án khoảng thời gian tương đối ngắn Nhiều dạng Toán xuất hiện, buộc người học phải có tư sáng tạo hồn thành tốt thi thời gian quy định, có tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Do biện pháp tơi đưa nhằm: - Giúp học sinh hình thành khả phân tích, tìm mối liên hệ giả thiết u cầu tốn từ xác định cách giải toán cách chuẩn xác, nhanh gọn - Hình thành cho học sinh khả đánh giá tình huống, biến tốn lạ, chưa có cách giải tốn quen thuộc biết cách giải Và lý đề tài “XÂY DỰNG CÁC MƠ HÌNH KHI GIẢNG DẠY BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 11” đời với mong muốn em học sinh thêm tự tin giải tốn tính khoảng cách, qua cịn rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ sống quan trọng 1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI: - Giúp học sinh hình thành khả phân tích, tìm mối liên hệ giả thiết u cầu tốn từ xác định cách giải toán cách chuẩn xác, nhanh gọn - Hình thành cho học sinh khả đánh giá tình huống, biến tốn lạ, chưa có cách giải toán quen thuộc biết cách giải - Xây dựng mơ hình quen thuộc để tăng kỹ năng, tốc độ để phù hợp với kỳ thi trắc nghiệm mơn Tốn TNTHPT Bộ giáo dục 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Nghiên cứu tính chất bản, quan trọng hình học khơng gian, xây dựng mơ hình tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.4 KHÔNG GIAN NGHIÊN CỨU Hai lớp 11B1, 11B2 trường THPT Hàm Rồng - Thành phố Thanh hóa 1.5 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Từ tháng năm 2022 đến tháng năm 2022 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI: 2.1 Cơ sở lý luận đề tài 2.1.1.Về kiến thức hình học bản: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng ( α ) Khi OH ⊥ (α) → d (O, (α)) = OH , H ∈ (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( α ) Kí hiệu: d ( O, ( α ) ) + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song a P(α ) → d (a, (α)) = d ( A, (α)) = AA ' , A ∈ a, A ' ∈ (α) + Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) P(β) → d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( M , (β)) = MM ', M ∈ (α ), M ' ∈ (β) 2.1.2.Phương pháp giải: a Phương pháp 1: Tính trực tiếp  Phương pháp: Dựng MH ⊥ ( α ) với H ∈ ( α ) Ta có d ( M , ( α ) ) = MH Tính độ dài đoạn MH  Để dựng MH ⊥ ( α ) ta thường dùng cách sau: Cách 1: + Qua M dựng mặt phẳng ( β ) ⊥ ( α ) + Tìm giao tuyến a mặt phẳng ( α ) mặt phẳng ( β ) + Trong mặt phẳng ( β ) kẻ MH ⊥ a Suy MH ⊥ ( α ) Cách 2: + Kẻ MH ⊥ ( α ) H + Chứng minh H điểm thỏa mãn tính chất mặt phẳng Ví dụ tâm đường tròn ngoại tiếp; tâm đường tròn nội tiếp; tâm đường trịn bàng tiếp… b Phương pháp 2: Tính gián tiếp  Phương pháp: Khi việc dựng MH ⊥ ( α ) gặp khó khăn biết trước hay tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( α ) Ta dịch chuyến việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( α ) Tức ta tìm số thực k cho d ( M , ( α ) ) = k.d ( N , ( α ) )  Để tìm số thực k ta thường sử dụng kết sau: + Nếu MN P( α ) d ( M , ( α ) ) = d ( N , ( α ) ) d ( M ,( α ) ) d N, α + Nếu MN ∩ ( α ) = I ( ( ) ) = IM IN 2.2.Thực trạng vấn đề cần giải - Trong trình giảng dạy khả học hình khơng gian học sinh chưa tốt Đa số học sinh gặp tốn tính khoảng cách lúng túng, khơng làm có làm nhiều thời gian Trong đề thi THPT năm gần ln xuất câu tính khoảng cách điểm, đường, mặt phẳng Do học sinh lo ngại tỏ sợ hãi trước toán - Học sinh ý đến tính chất hình học khơng gian, khơng nắm rõ mục tiêu, chất phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Do em nhiều thời gian làm mà hiệu lại không cao - Việc học nhiều môn gây cho em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế phát triển kỹ sống toàn diện học sinh, học sinh giảm hứng thú thiếu say mê học tập nói chung mơn Tốn nói riêng 2.3.Các biện pháp tiến hành để giải - Thông qua việc xây dựng, giải số toán tổng quát, mơ hình quen thuộc, giúp học sinh rút cách nhận diện tốn khó, quy lạ quen để nắm cách xử lý cho gọn gàng, tránh dài dịng lê thê, thời gian 2.3.1 Các mơ hình giải tốn Mơ hình 1: Khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt bên A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài tốn: Cho hình chóp đỉnh S có hình chiếu vng góc S lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên ( SAB ) Cách giải: Như ta biết, để tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAB ) ta cần dựng HF ⊥ ( SAB ) , điểm F ∈ ( SAB ) tính độ dài HF , trường hợp H chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy nên ta dễ dàng dựng HF ⊥ ( SAB ) sau: ) mặt đáy ( ) có giao Cách dựng: Trước hết, ta thấy mặt phẳng ( tuyến chung AB Từ chân đường cao H ta dựng HE vng góc với giao SAB ABC E ∈ AB ) tuyến AB ( ta có:  AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHE ) ( 1)   AB ⊥ HE Tiếp tục dựng HF ⊥ SE , ( F ∈ SE ) ⇒ HF ⊥ AB Từ ( )  HF ⊥ AB ⇒ HF ⊥ ( SAB )  HF ⊥ SE  Ta có: Như khoảng cách từ H đến mặt SAB ) d H ; SAB ) ) = HF bên ( ký hiệu ( ( → Dựng HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SAB ) ) =HF Mơ hình: Dựng HE ⊥ giao tuyến AB  Cách tính: Xét tam giác SHE vng H có đường cao HF , áp dụng hệ thức 1 = + * ⇔ HF = 2 ( ) HF SH H E lượng tam giác vng ta có: SH HE SH + HE Từ hệ thức suy độ dài đoạn thẳng HF Đặc biệt: Nếu HA ⊥ HB tức ∆HAB vuông H có đường cao HE ta có: 1 1 1 = + ⇒ = + + 2 2 2 * ( ) HE HA HB Thế vào HF SH HA HB d Như HA, HB, HS đôi vng góc ta có: B ( H ;( SAB ) ) = 1 + + 2 HS HA HB VÍ DỤ MINH HỌA  Chú ý: Để thuận tiện việc tính tốn, q trình giải ta nên chuẩn hóa a = Ví dụ 1:[Đề THPT QG 2018] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B AB = a, SA vng góc với đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt SBC ) phẳng ( a A a C B a a D Lời giải: Chuẩn hóa a = ⇒ AB = 1, SA = Chú ý ∆ABC vuông B nên AB ⊥ BC Do ta cần dựng AH ⊥ SB ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH 1 = 2+ 2 Ta có: AH SA AB , Chuẩn hóa ⇒ AH = a =1⇒ 1 = + =2 AH 1 a  → AH = 2 Chọn D Ví dụ 2:[Đề THPT QG 2017] Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng SBC ) cạnh a, SA vng góc với đáy khoảngcách từ A đến mặt phẳng ( a Tính thể tích � khối chóp cho a3 V= A B V = a Lời giải: Chuẩn hóa 3a V= C a = ⇒ AB = 1, d ( A; ( SBC ) ) = a3 V= D Một ví dụ liên quan đến tính thể tích khối chóp, muốn làm ví dụ ta cần dựng khoảng cách từ A (là chân đường cao) SBC ) đến mặt phẳng ( AB ⊥ BC , Do dựng AH ⊥ SB ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH 1 = 2+ 2 Lại có: AH SA AB ⇒ AH = ⇔  2  ÷   = 1 + ⇒ SA = SA 1 1 a3 V = SA.S ABCD = SA AB =  →V = 3 3 Chọn D Thể tích khối chóp cho là: Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 3a có hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) vng góc với đáy Góc SC với mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 30 a 31 A 30 a 31 B C a 30 31 ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC  SAC ) ⊥ ( ABC ) (   Lời giải: Ta có: Mà AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) AC = AB + BC = + = 10 Từ A kẻ đường thẳng AH ⊥ SB với H ∈ SB Suy AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH ABC ) Mặt khác AC hình chiếu SC ( · ⇒ (·SC ; ( ABC ) ) = (·SC ; AC ) = SCA = 600 D 2a 30 31 SAC Xét tam giác vuông · tan SCA = SA ⇒ SA = AC tan 600 = 10 = 30 AC A, ta có 1 1 31 30 = 2+ = + = ⇒ AH = 2 31 Chọn C Khi AH SA AB 30 30 Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A có AB = a, BC = a Biết SA = 3a SA ⊥ ( ABC ) Tính khoảng cách từ A đến mặt SBC ) phẳng ( 3a B 13 6a A a C 3a D 2 Lời giải: Ta có tam giác ABC vng A ⇒ AC = BC − AB = − = Cắt đáy Dựng : AE ⊥ BC , AF ⊥ SE  → d ( A; ( SBC ) ) = AF ∆ABC vuông A , đường cao AE ⇒ 1 1 1 1 = + = 2+ = 2+ + 2 2 2 AE AB AC Do đó: AF SA AE SA AB AC ⇒ 1 1 49 6a = 2+ 2+ = ⇒ AF =  →d = AF 36 7 Chọn A AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4, AB = 3, BC = Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có Tính BCD ) khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( A d= 34 17 B d= 15 59 59 C d= 34 17 D d= 34 17 2 Lời giải: Ta có: AB + AC = BC ⇒ ∆ABC vuông A Mặt khác AD ⊥ ( ABC ) , AB, AC , AD đơi vng góc (bài tốn rơi vào ⇒ trường hợp đặc biệt) Chọn C d ( A;( BCD ) ) = 1 1 1 17 34 + + = 2+ 2+ = ⇒d = 2 AD AB AC 4 32 17 a, SA ⊥ ( ABC ) Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh Đường thẳng SC tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách từ A đến mặt SBC ) phẳng ( 2a 15 A a 15 B 2a C a D Lời giải: Chuẩn hóa a = ⇒ ∆ABC cạnh Do · SA ⊥ ( ABC ) ⇒ (·SC ; ( ABC ) ) = SCA = 600 Suy SA = AC tan 60 = Cắt đáy → d ( A; ( SBC ) ) = AF Dựng AE ⊥ BC , AF ⊥ SE  1 = 2+ SA = 3, AE = 2 (đường cao tam giác Ta có: AF SA AE đều) ⇒ 1 15 = + ⇒ AF = 2 AF  3  ÷   Chọn B Mơ hình 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt bên A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài tốn: Cho hình chóp đỉnh S có hình chiếu vng góc S lên mặt đáy ) H Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng bên ( Cách giải: Trong toán việc tìm hình chiếu vng góc điểm C SAB ) gặp nhiều khó khăn (vì C khơng phải điểm đặc biệt), mặt phẳng ( dựa vào phần kiến thức tảng vừa nêu ta tìm cách quy đổi khoảng SAB SAB ) cách từ điểm C khoảng cách từ chân đường cao Hđến mặt phẳng (  → Quay tốn mơ hình Nếu CH / / ( SAB ) ⇒ d ( C; ( SAB ) ) = d ( H ; ( SAB ) ) CH ∩ ( SAB ) = I ⇒ Nếu d ( C; ( SAB ) ) d ( H ; ( SAB ) ) = dC CI = d H HI CI =k Đến ta cần tính tỷ số HI khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng ( SAB ) Từ suy d ( C ; ( SAB ) ) = k d ( H ; ( SAB ) ) dC C = → dC d H (ba chấm ta điền giao điểm)  → Tính d H  H Mơ hình: Giới thiệu cơng thức tính nhanh: Nếu ta đặt d ( H ; AB ) HI = =k d ( C ; AB ) CI ta có:  k  d ( H ; AB )  k2  = = k + = + = +    2 2 ÷ 2 d( C ;( SAB ) ) d( H ;( SAB ) ) HE  h  d ( C; AB )  HE h  SH  d ( C ; AB )  k2 1 k2 = 2+ 2 Vậy d c h (công thức c − k − h , kiến hư), đó:  d = d ( C ; ( SAB ) )  c = d ( C ; AB ) khoảng cách từ C đến giao tuyến AB HI d( H ; AB ) = CI d( C ; AB ) k=  khoảng cách cần tìm dH d CI , C HI tỷ số khoảng cách chia chất  h = SH chiều cao khối chóp B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B có AB = a, BC = a Tam giác SAC cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SB = 3a , tính SAB ) a)khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SBC ) b)khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( a = 1, AB = 1, BC = 2, SB = Lời giải: Chuẩn hóa Cắt mặt Giả thiết cho SB = ⇒ khai thác SH + HB = SB Gọi H trung điểm AC ⇒ SH ⊥ AC Mặt khác ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Ta có: BH = AB + BC = 2 (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng AC = 2 với cạnh huyền nửa cạnh ấy).Do SH = SB − BH = HF ⊥ ( SAB ) d H ; SCD ) ) = HF Dựng HE ⊥ AB; HF ⊥ SE Do ( ( Lại có HE = BC 1 =1 = + ⇒ HF = 2 2 Mặt khác HF HE SH SAB ) Đường thẳng CH cắt mặt phẳng ( điểm A d ( C ; ( SAB ) ) = CA = ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) = 2d ( H ; ( SAB ) ) = HA )) Ta có ( ( Cách 2: Áp dụng công thức kiến hư với d H ; SAB h = 1, c = d ( C; AB ) = CB = 2, k = HA = CA 1 1 = + = ⇒ d = 2 Ta có: d 4.1 b) Dựng HM ⊥ BC , HN ⊥ SM ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HN Trong HM = AB 1 1 = ⇒ = + ⇒ HN = 2 2 HN SH HM SBC ) Đường thẳng AH cắt mặt phẳng ( điểm C d ( A; ( SBC ) ) Ta có: d ( H ; ( SBC ) ) = AC = ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = 2d ( H ; ( SBC ) ) = HN = HC Cách 3: Áp dụng cơng thức tính nhanh với 1 = + = ⇒d = Ta có: d 4.1 h = 1, c = d ( A; BC ) = AB = 1, k = HC = AC · Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 30 , SBC tam giác cạnh a mặt bên ( SBC ) vng góc với đáy Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) a 39 A 26 Lời giải: Gọi a 39 B 13 H 2a 39 C 13 3a 39 D 13 trung điểm BC ⇒ SH ⊥ BC SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Lại có: (  BC = a  a⇒ a  SH =  Ta có: ∆SBC cạnh a A ⇒ AC = BC sin B = a sin 300 = ∆ABC vuông Dựng HE HE ⊥ AB, HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( ABC ) ) = HF đường trung bình AC a = 1 a 39 = + ⇒ HF = 2 26 Ta có: HF SH HE ∆ABC ⇒ HE = dC CB a 39 = = ⇒ dC = 2d H = HF = d HB 13 H Mặt khác Chọn B Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh với h= HB , c = d ( C ; AB ) = CA = , k = = 2 CB 1 k 13 a 39 = + = ⇒d = 13 Chọn B Ta có: d c h Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy nằm cạnh AC cho HA = HC a , tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Biết a a 3a 3a d= d= d= d= A B C D SH = Lời giải: Dựng HE ⊥ BC , mặt khác SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SEH ) Cắt mặt Dựng HE ⊥ BC , mặt khác SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SEH ) · Dựng HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HF ∆HCE vng E có góc HCE = 60 (do ∆ABC đều) nên: HE = HC sin 600 = a a sin 600 = Chọn D HC h = , c = d ( A; BC ) = ,k = = 2 AC Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh với 1 k 16 = + = ⇒d = 2 Chọn D Ta có: d c h Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vng góc với mặt phẳng ( ABC ) với SH = 2a SAB ) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( 21 a B A 3a Lời giải:Dựng C 21 a a D HE ⊥ AB, HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SAB ) ) = HF · Tam giác ABC nên BAC = 60 · = 600 Xét ∆HEA vuông E có góc HAE ⇒ HE = HA sin 600 = 2a sin 600 = a 1 2a 21 = + ⇒ HF = 2 Suy HF SH HE d ( C ; ( SAB ) ) Lại có: d ( H ; ( SAB ) ) ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) = = CA = HA 3a 21 Chọn B Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh với h = 2, c = d ( C ; AB ) = 3 HA ,k = = CA 1 k2 21 = + = ⇒d = 2 Ta có: d c h 27 Chọn B a, SD = 3a Tam giác Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) a A 2a C B a a D AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Lời giải: Gọi H trung điểm Ta có: HD = HA2 + AD = a Lại có: SH + HD = SD ⇒ SH = a Cắt đáy Dựng HE ⊥ BD, HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SBD ) ) = HF a a ⇒ HE = (hình vng có hai đường chéo vuông Dựng d A AB 2a 1 a = = ⇒ d A = 2d H = = + ⇒ HF = 2 d HB HF SH HE H góc).Mặt khác Ta có: AO ⊥ BD ⇒ AO = Chọn C Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh với h = 1, c = d ( A; BD ) = AO = 1 k2 2 HB = + = ⇒d = ,k = = 2 AB Ta có: d c h Chọn C Ví dụ 6: [Đề minh họa THPT QG 2019]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình o · thoi cạnh a, BAD = 60 , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) a 21 A a 15 B a 21 C a 15 D · Lời giải: Tam giác ABD cân A (vì AB = AD = a ) có BAD = 60 ⇒ ∆ABD cạnh a Cắt đáy Có AB //CD ⇒ AB // ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) Dựng AE ⊥ CD; AF ⊥ SE ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = AF · · Do BAC = 60 = ABE (so le trong) Xét ∆AEB vuông E ⇒ AE = AB sin B = a sin 600 = a 1 a 21 = + ⇒ d = AF = 2 AE SA Chọn A Ta có: AF 0 · · Nhận xét: Vì góc BAD = 60 ⇒ ABC = 120 góc tù nên điểm E nằm bên đoạn BC Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh với h = 1, c = d ( B; CD ) = d ( A; CD ) ,k = =1 d ( B; CD ) 1 k2 21 = + = ⇒d = 2 Chọn B ta có: d c h Ví dụ 7: [Đề minh họa THPT QG2017]:Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy hình vng cạnh a Tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng a vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) 2a 4a A B 8a C a = ⇒ AB = 2, V = Lời giải: Chuẩn hóa 3a D Gọi H trung điểm AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Do ( Ta có: 1 VS ABCD = SH S ABCD = SH 3 AB //CD ⇒ AB // ( SCD ) ( 2) = ⇒ SH = Do ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) d ( A; ( SCD ) ) Mặt khác: d ( H ; ( SCD ) ) = AD = ⇒ d A = 2d H HD ⇒ d B = d A = 2d H Do HD ⊥ CD, dựng H F ⊥ SD ⇒ d H = HF , HD = 1 = + ⇒ d H = HF = ⇒ d B = 2 3 Chọn B Ta có: HF SH HD Cách 2: Với h = 2, c = d ( B; CD ) = BC = 2, k = d ( H ; CD ) d ( B; CD ) = ⇒ d = c + k2 h = 16 ⇒d =  Bình luận: Ở ví dụ cần quy đổi khoảng cách từ điểm B khoảng cách điểm A, sau tiếp tục quy đổi khoảng cách từ điểm A khoảng SCD ) cách điểm H đến mặt phẳng ( từ suy khoảng cách từ B đến mặt SCD ) SCD ) phẳng ( theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( Ta xét ví dụ tương tự Ví dụ 8:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) , từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 15 , 10 từ C đến mặt phẳng ( SAB ) 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Thể tích khối chóp S ABC A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải:Gọi H chân đường cao hạ từ S xuống đáy ( ABC ) Gọi E , F , K hình chiếu vng góc H cạnh BC , AB AC  BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ SE  BC ⊥ HE  Ta có: 1 V = VS ABC = d ( A; ( SBC ) ) S SBC = SE.BC 3 15 30 ⇔V = SE V= SF = SK 24 60 120 , tương tự: Đặt SH = x ⇒ V = x.S ABC = x 12  HE = SE − SH = x   ⇒ SE = x 2, SF = x 5, SK = x 10 ⇒  HF = SF − SH = x  2  HK = SK − SH = 3x Lại có: S ABC = S HBC + S HCA + S HAB = ⇔ 3x = ( HE + HK + HF ) = 3 ⇔x= ⇒V = 12 48 Chọn B Mơ hình 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H SHB ) Tính khoảng cách từ điểm A (thuộc đáy) đến mặt bên ( SHB )  Cách giải: Vì mặt bên ( chứa đường cao SH nên ta dễ ràng dựng hình SHB ) chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( sau: Cách dựng: Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) Kẻ AK ⊥ HB ta có:  AK ⊥ HB ⇒ AK ⊥ ( SHB )   AK ⊥ SH d ( A; ( SHB ) ) = d = AK Theo Cách tính: Cách 1: Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác Ta có: S AHB = AK HB d = AK = S AHB HB Do đó: · · Cách 2: Sử dụng góc: Ta có: d = AK = AB sin ABK = AH sin AHK B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O với AB = a, AD = a Biết SO ⊥ ( ABCD ) , tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) a A a B Lời giải: Dựng CH ⊥ BD Ta có: SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CH a C D a Cắt đáy Do CH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = CH 1 a = + ⇒ CH = 2 2 Chọn B Mặt khác CH CB CD Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a Tam giác SAB tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối a3 , SAB ) chóp S ABCD tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( A a a B C 3a Lời giải: Do tam giác SAB nên SH ⊥ AB, SH = a SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Mặt khác ( Ta có: DA ⊥ AB; DA ⊥ SH ⇒ d ( D; ( SAB ) ) = DA Lại có: 1 a a3 VS ABCD = SH S ABCD = AD AB = 3 ⇒ AD = 2a = d ( D; ( SAB ) ) Chọn D D 2a 0 · Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC có BC = 2a, ACB = 60 Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy điểm thuộc cạnh AC , tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) a A B a a C D a  BM ⊥ AC ⇒ BM ⊥ ( SAC )  BM ⊥ SH  Lời giải: Ta có: ⇒ d ( B; ( SAC ) ) = BM · Tam giác BMC vuông M có góc MCB = 60 · Do đó: d ( M ; ( SAC ) ) = BM = BC sin BCM = 2a sin 600 = a Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung SHC ) điểm AB Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( a 39 A 13 a B 2a 39 C 13 D a Lời giải: Cắt đáy Do tam giác SAB cân S nên SH ⊥ AB HA = HB = Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ta có: Dựng DK ⊥ CH ⇒ DK ⊥ ( SHC ) Do d ( D; ( SHC ) ) = DK Ta có: CH = HB + BC = 13 1 S HCD = CD.d ( H ; CD ) = = 2 Mặt khác 2S 39 d ( D; ( SHC ) ) = HCD = CH 13 Chọn C Vậy Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B có AD = 3a, AB = BC = a Biết SA ⊥ ( ABCD ) , tính khoảng cách từ điểm D đến mặt SAC ) phẳng ( A d= 3a B d= 3a C d = a D d = 2a Lời giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) , dựng DH ⊥ AC Khi đó: DH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( D; ( SAC ) ) = DH Dựng CM ⊥ AD ⇒ CM = AB = a 1 S ADC = CM AD = DH AC 2 Ta có: 1 ⇔ a.3a = DH AB + BC 2 ⇔ DH = 3a a2 + a2 = 3a Chọn A 2.3.1 Đối với thân - Sau thời gian tiến hành thay đổi cách bố cục nội dung soạn chuyên đề bồi dưỡng, xây dựng mơ hình tính nhanh áp dụng q trình dạy Bản thân tơi thấy thay đổi lớn, tơi nhận bên cạnh việc tự học hỏi, trao dồi kiến thức chun mơn ln ln phải cố gắng thay đổi liên tục phương pháp dạy phù hợp với học sinh 2.3.2 Đối với học sinh Sau thực xây dựng mơ hình tính nhanh vấn đề khó, chất lượng lớp 11B1.11B2 năm học 2021-2022, tơi nhận thấy học sinh học học tập tích cực, sôi hứng thú Các em tự tin hơn, tập trung hơn, kỹ thuyết trình tốt hơn, kỹ làm việc tập thể tốt hơn, kỹ giao tiếp ứng xử tốt hơn, kỹ đối diện ứng phó khó khăn sống tốt hơn, kỹ đánh giá người khác nâng cao…Các em hiểu chất toán, biết phân tích đề, tìm cách giải nhanh chóng.Các em vận dụng tính chất biết cách chủ động, sáng tạo 2.3.3 Đối với tổ chuyên mơn Sau q trình áp dụng sáng kiến tơi thấy phát triển kỹ sống tồn diện học sinh, học sinh hứng thú say mê học tập mơn Tốn Tơi báo cáo sáng kiến tổ chuyên môn, đồng nghiệp đánh giá cao Tổ chuyên môn đưa vấn đề thảo luận kết luận: - Mỗi giáo viên dạy phải xác định mục tiêu, kế hoạch, phương pháp dạy phù hợp với thực tế lực học sinh lớp Giáo viên nghiên cứu kỹ ma trận đề thi TNTHPT năm gần để thấy cấu trúc đề thi, lượng kiến thức cần huy động Từ đó, giáo viên biết điều chỉnh cách dạy, học sinh biết tự học, tự bồi dưỡng - Xây dựng mơ hình tính nhanh cho chun đề khó, tạo thư viện dùng chung cho giáo viên tổ Toán ba khối để dạy học theo hình thức tích hợp; kết hợp vận dụng linh hoạt phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực Tùy vào điều kiện thực tế lớp , vận dụng linh hoạt trình dạy học 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Khi làm xong đề tài nghiên cứu thân tơi thấy thay đổi lớn, nhận bên cạnh việc tự học hỏi, trao dồi kiến thức chun mơn ln ln phải cố gắng thay đổi liên tục phương pháp dạy - Trong kiểm tra KSCL môn thi tốt nghiệp lớp 11 lần trường THPT Hàm Rồng ngày 15/05/2022 có năm câu hỏi tính khoảng cách (phần phụ lục) Kết kiểm tra cuối kỳ lớp 11- Năm học 2021-2022 Lớp Điểm 5đ - 6.5đ – 8.5 đ – 10 đ Điểm TB 12B6 34 14 8,1 12B7 32 18 8,3 KẾT LUẬN - Giáo viên ln người định hướng q trình hình thành tri thức cho học sinh, cần giúp học sinh vượt qua khó khăn, giúp học sinh hình thành tư tưởng xem xét tốn nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng, kết nối kiện u cầu tốn Phân tích đánh giá, tìm mối liên hệ toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc biết cách giải biết phân tích, tổng hợp, so sánh trường hợp riêng lẻ để đem đến chung mang tính chân lý Giáo viên ln bên cạnh, sát cánh để động viên, khích lệ tiến dù nhỏ học trò cách kịp thời Tạo động lực cho em hăng say học tập Sau thực sáng kiến thấy hiệu tốt Từ trở q trình dạy học sinh có chuyên đề khó, xây dựng mơ hình tính nhanh tơi thực XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2022 CAM KẾT KHÔNG COPY (Tác giả ký ghi rõ họ tên) Lê Mạnh Hùng PHỤ LỤC Các câu trích từ đề thi khảo sát cuối năm khối 11- Năm học 2021-2022 SA ⊥ ( ABC ) Câu 1:Cho hình chóp S ABC có SA = 3a Biết AB = BC = 2a, ·ABC = 120o SBC ) Khoảng cách từ A đến ( 3a a A B C a D 2a Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm H AB Biết SD = 3a a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) A a a B C a D a SBD ) b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( a A a B a C 2a D Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, điểm H thuộc cạnh AD cho HD = HA SH ⊥ ( ABCD ) , biết SH = a Tính khoảng cách từ C đến SBD ) mặt phẳng ( 3a A 10 a 14 B 3a 14 C 14 a D Câu 4: Cho hình chóp S ABC có BC = a, góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 30 Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) Biết tam giác HBC vuông cân H thể tích khối chóp S ABC a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) A 2a B 6a C 2a D 6a Câu 5: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết a3 thể tích khối chóp S ABCD 12 Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) a A B a 2a C a D ... đổi khoảng cách từ điểm B khoảng cách điểm A, sau tiếp tục quy đổi khoảng cách từ điểm A khoảng SCD ) cách điểm H đến mặt phẳng ( từ suy khoảng cách từ B đến mặt SCD ) SCD ) phẳng ( theo khoảng. .. pháp: Khi việc dựng MH ⊥ ( α ) gặp khó khăn biết trước hay tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( α ) Ta dịch chuyến việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( α ) tính khoảng cách từ điểm. .. TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 11? ?? đời với mong muốn em học sinh khơng có thêm tự tin giải tốn tính khoảng cách, qua cịn rèn luyện cho