(SKKN 2022) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Chúng ta biết Tốn học cơng cụ giúp học tốt mơn học khác, đóng vai trị vơ quan trọng nhà trường Bên cạnh cịn có tiềm phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực đời sống sản xuất Mặt khác toán học cịn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh kỹ năng: - Kỹ vận dụng tri thức nội mơn tốn để giải tập toán - Kỹ vận dụng tri thức toán học để học tập môn học khác - Kỹ vận dụng tri thức tốn học vào đơì sống, kỹ đo đạc, tính tốn, sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính… Tuy nhiên ba kỹ có quan hệ mật thiết với Kỹ thứ sở để rèn luyện hai kỹ Chính kỹ vận dụng kiến thức để giải tập tốn vơ quan trọng học sinh Trong việc trình bày lời giải tốn thước đo cho kỹ để có lời giải tốt học sinh cần có kiến thức, kỹ ngược lại có kiến thức, có kỹ học sinh trình bày tốt lời giải toán Qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa, nhiều học sinh đứng trước tốn chứng minh hình học, đặc biệt chứng minh quan hệ vng góc khơng gian, tốn tính khoảng cách khơng gian thường có tâm trạng hoang mang, khơng xác định phương hướng để tìm lời giải cho tốn Ngun nhân phân mơn hình học khơng gian trừu tượng, mơ hình dạy học thiếu sinh động Xuất phát từ lý q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi thấy dạng toán cần đưa phương pháp tối ưu để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng, từ giải nhiều toán tương tự Với việc kết hợp phương pháp phân tích ngược phương pháp phân dạng nhỏ cho trường hợp cụ thể thấy học sinh tiếp thu chủ động, ham học Chính điều đó, tơi tìm hiểu viết đề tài ''Một số phương pháp giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian'' với mong muốn học sinh hứng thú học mơn hình hơn, giáo viên có thêm tư liệu, phương pháp dạy học hiệu trung tâm 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu mong muôn giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu toán học từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, việc giải toán, đặc biệt giải tốn trắc nghiệm Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu hoạt động tìm lời giải học sinh cho tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình học khơng gian - Đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12 Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có rút kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán 1.5 Những điểm SKKN - Dựa vào dạng toán để khái quát hóa thành phương pháp giải chi tiết - Học sinh chủ động trước dạng tập Đi từ phương pháp chung đến phương pháp cách giải cụ thể cho dạng toán - Kết hợp phương pháp phân tích ngược (phương pháp truy) để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, từ đến tính khoảng cách Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán tương tự Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Do việc trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viện Trong “khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong khái niệm tốn liên quan đến tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo thường xuyên xuất kỳ thi khảo sát thi tốt nghiệp THPT Đây phần kiến thức quan trọng phân mơn hình học, ngồi tập tính khoảng cách cịn giúp học sinh giải tập tính thể tích khối đa diện, thể tích khối nón, khối trụ Vì việc đưa phương pháp tính khoảng cách khơng gian cần thiết bổ ích cho học sinh Thực tế đa phần học sinh chưa có phương pháp cụ thể để đưa lời giải cho tốn tính khoảng cách, ngun nhân phần hình học khơng gian trừu tượng, em lại chưa tiếp xúc nhiều với dạng tập tính khoảng cách Việc nhận dạng toán để đưa cách giải phù hợp cần thiết, đặc biệt tốn trắc nghiệm Chính lí sở để viết đề tài nhằm giúp học sinh nhận dạng tập, cách vẽ hình cho dạng tập phương pháp giải tốn “tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua kết điều tra học sinh lớp Trung tâm GDNN-GDTX Thiệu Hóa tơi thấy: - Rất học sinh có hứng thú mơn hình học, chưa có phương pháp học tập hiệu mơn học - Các kiến thức hình học nói chung hình học khơng gian lớp 11 nói riêng cịn hạn chế - Kỹ tư phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian hình học phẳng cịn q yếu - Kỹ vẽ hình không gian yếu - Chưa thường xuyên tiếp cận với việc sử dụng phương pháp phân tích ngược vào làm tập chứng minh hình học 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống hóa kiến thức Học sinh cần nắm vững phương pháp chứng minh toán đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng (∆) vng góc với mặt phẳng ( α ) ta chứng minh (∆) vng góc với hai đường thẳng (a); (b) cắt thuộc mp(α ) Trong toán cụ thể thường người ta cho (∆) ⊥ (a), đường thẳng (a) gọi đường dễ Ta cần chứng minh (∆) ⊥ (b) ; Dấu hiệu nhận biết đường thẳng (b) thường đáy mặt phẳng cần tính khoảng cách Để chứng minh (∆) ⊥ (b) ta làm ngược lại: Chứng minh đường thẳng (b) vng góc với mp( β ) chứa đường thẳng (∆).[1] Hướng dẫn học sinh nắm vững tốn tìm góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Nắm vững nội dung kiến thức tốn tìm khoảng cách học sách giáo khoa hình học lớp 11 Hệ thống lại kiến thức cách xác định tọa độ điểm hệ trục Oxyz, công thức viết phương trình mặt phẳng, cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, cơng thức tính thể tích khối đa diện, cơng thức tính diện tích tam giác, hệ thức lượng tam giác 2.3.2 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích dạng tập cụ thể thực hành giải tốn * Lí thuyết: Cho điểm M nằm ngồi mặt phẳng ( α ) Gọi H hình chiếu vng góc M mặt phẳng ( α ) Khi độ dài MH khoảng cách từ M đến mp ( α ) Kí hiệu d(M,( α ))=MH Quy trình làm tự luận: Bước 1: Vẽ MH ⊥ (α ) Bước 2: Chứng minh MH ⊥ (α ) Bước 3: Tính độ dài MH cách đẩy vào tam giác vng Quy trình làm trắc nghiệm: Bước 1: Vẽ MH ⊥ (α ) Bước 2: Tính độ dài MH cách đẩy vào tam giác vuông.[1] Bài tốn: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt phẳng (α ) , tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) ta sử dụng phương pháp sau: * Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt phẳng (α ) Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao ( mặt đứng) Cách tìm: Từ điểm cần tính khoảng cách dựng đường vng góc xuống cạnh đối diện (cạnh đáy) mặt phẳng chứa chân đường cao Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm chân đường vng góc đến mặt phẳng cần tính khoảng cách hình chóp có đáy tam giác Ta chia làm trường hợp nhỏ sau: - Nếu đáy tam giác vuông hai điểm khác điểm cần tính khoảng cách: Ta vẽ nét từ chân đường vng góc xuống cạnh chứa đỉnh có góc vng - Nếu đáy khơng vuông đỉnh ta vẽ nét: + Từ điểm cần tính khoảng cách kẻ vng góc xuống cạnh đối diện mặt đáy (Chú ý tam giác tù đường cao lúc nằm ngồi tam giác) + Nối điểm lại (thường trên) xuống chân đường vng góc vừa vẽ xong, sau từ điểm cần tính khoảng cách vẽ vng góc tới đường vừa nối ta S khoảng cách cần tìm.[4] Các dạng tập làm sáng tỏ phương pháp: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao Bài 1: (Trích câu 33- Mã đề 101- THPT 2021)Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác vng cân B, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABC), AB=2a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAC) Giải: C A B Phân tích: Do mp(SAB) chứa đường cao SA, nên Để tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) ta thực nét vẽ Từ C vẽ đường vng góc xuống AB ta khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB), CB CB ⊥ AB   ⇒ CB ⊥ (SAB ) CB ⊥ SA  Nên d (C , ( SAB)) = BC = AB = 2a Thật ta có Bài 2: (Trích câu 36- Mã đề 120-THPT 2021 đợt 2) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh 2a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDD’B’) C’ B’ Giải: Ta thấy mp(BDD’B’) chứa đường cao BB’vng góc với mặt đáy (ABCD) D’ A’ Nên từ A vẽ AH vng góc với BD AH khoảng cách từ A đến mp(BDD’B’) Ta có AH = BD = 4a + 4a = a 2 C B H Nhận xét: Đây toán trắc nghiệm nên học sinh Chỉ cần hiểu thao tác vẽ hình tính khoảng D A cách Bỏ qua bước chứng minh để rút ngắn thời gian làm Dạng 2: Tính khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt phẳng cần tính khoảng cách Bài 3: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B Biết AB=a; SA=a; SA vng góc với mặt đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) S Giải: Vẽ AH ⊥ SB Ta có: BC ⊥ AB   ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA  AH ⊥ SB  Mặt khác ta có :  ⇒ AH ⊥ (SBC ) AH ⊥ BC  Suy AH = d ( A, ( SBC )) H C A Tính AH : 1 1 a = + = + = ⇒ AH = 2 AH SA AB a a a B Nhận xét cách vẽ: Do tam giác ABC vuông B nên ta vẽ nét (tam giác đáy vuông đâu kẻ đường vng góc với cạnh đỉnh đó) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD=2a có cạnh SA vng góc mp(ABCD) , với SA= a Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) Giải: Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD= 2a nên ta có : S AD//BC, AB= BC= CD= a ; AC ⊥ CD, AB ⊥ BD , AC= BD= a Ta có CD ⊥ AC   ⇒ CD ⊥ mp(SAC) CD ⊥ SA  H Kẻ AH ⊥ SC H ta có AH ⊥ CD Nên AH ⊥ mp(SCD) Vậy AH= d ( A;(SCD) ) A Xét tam giác SAC vng A có AH đường cao 1 1 D 1 Do AH2 = SA + AC2 = (a 6)2 + (a 3) = 2a C B ⇒ AH = 2a ⇒ AH = a Nhận xét: - Ở ta phải nối điểm cần tính khoảng cách (điểm A) với hai điểm đáy mặt để tạo thành tam giác đáy (điểm C D) Ngoài phải biết tam giác ACD vuông C - Chú ý tam giác ABC (ở đáy) với A chân đường vng góc khơng vng B C vẽ nét; trường hợp tam giác đáy tam giác tù khơng phải chân đường vng góc đường cao hạ từ chân đường vng góc xuống cạnh đáy nằm tam giác Dưới tập minh họa: Bài 5: Cho tứ diện O.ABC có OA;OB;OC đơi vng góc Biết OA=a; OB=OC=2a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) .Giải: A *Kẻ OM ⊥ BC; OH ⊥ AM Khi ta chứng minh OH ⊥ ( ABC ) OH ⊥ AM Thật ta có: OH ⊥ BC (vìBC ⊥ ( AOM )) Suy ra: OH ⊥ ( ABC ) ⇒ d [O, ( ABC )] = OH *Tính OH Ta có tam giác AOM vuông O nên: H O C 1 = + (1) 2 OH OA OM M Mặt khác ta có tam giác OBC vuông O nên: 1 = + (2) 2 OM OB OC Thay (2) vào (1) ta được: B 1 1 = + + 2 OH OA OB OC ⇔ 1 1 = + + = ⇔ OH = a 2 OH a ( 2a ) ( 2a ) 2a Chú ý: Tam giác OBC không vuông B C nên ta vẽ nét; trường hợp đường cao hạ từ O xuống BC nằm tam giác OBC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a có cạnh SA vng góc mp(ABCD) với SA= a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Giải: Phân tích: Đây tốn tính khoảng cách từ điểm A chân đường vng góc đến mặt phẳng (SBC) nên ta cần quan tâm đến tam giác đáy ABC có vng B C không, không vuông B C ta thực vẽ nét S Qua A kẻ AE ⊥ BC ; kẻ AF ⊥ SE Ta AF= d ( A;(SBC) ) Xét tam giác vng SAE ta có: 1 1 = 2+ = + 2 AF SA AE (a 6)  a  =  ÷÷   6a 2 6a a a ⇒ AF = ⇒ AF = Vậy d ( A;(SBC) ) = 3 F A E D B C Nhận xét: Do tam giác ABC tam giác tù B nên chân đường vng góc hạ từ A xuống BC nằm ngồi đoạn BC Mặt khác ta cần biết nối điểm A C để tạo tam giác đáy ABC Bài 7: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh 2a SA ⊥ ( ABC ) SB tạo với đáy góc 60o Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Phân tích: Vì tam giác ABC nên vuông B C Đồng thời kẻ AM ⊥ BC M trung điểm đoạn BC S Giải: Gọi M trung điểm BC AM ⊥ BC Kẻ: AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH Để xác định góc SB mp(ABC) ta tìm giao H SB mặt phẳng (ABC) điểm B, điểm S gọi điểm thừa, chân đường vng góc điểm A, ta góc góc ∠SBA C A Ta có: SA = AB tan 60 o = 2a Vì tam giác ABC suy AM = AB sin 60 o = a M Mặt khác tam giác SAM vng A ta có : 1 1 = + = + = 2 2 AH SA AM 12a ( 2a ) (a ) B ⇒ AH = a 12 2a 15 = 5 Chú ý : Bài ta cần xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) góc ∠SBA Khi đẩy AH vào tam giác vuông SAM ta cần sử dụng phương pháp phân tích ngược (Để tính AH cần tính SA AM) * Phương pháp đổi điểm: Một số tốn tính khoảng cách từ điểm mà khơng phải chân đường vng góc A ta sử dụng hai phương pháp sau: M Dạng 1: Phương pháp đổi Ta xác định đường thẳng qua điểm cần tính khoảng cách song song với mặt cần tính khoảng cách, đường ta tìm điểm mà tính khoảng cách tới mặt phẳng cách dễ dàng, khoảng cách từ hai điểm tới mặt phẳng cần tính khoảng cách Sau tập minh họa Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc ∠BAD = 120 o cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm BC, góc tạo SM mp(ABCD) 45o Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) theo a Giải: S Ta cần nhận biết DA song song với (SBC) ⇒ d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) Nối A với C để tạo tam giác đáy ABC Ta thấy tam giác ABC tam giác nên AM ⊥ BC Vẽ : AH ⊥ SM H ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH Tính AH ta đẩy AH vào tam giác vng AHM Ta có : AH = AM sin 45 o a mà AM = AB sin 60 o = (vì tam giác ABC đều) a a ⇒ AH = = 2 A B 45o M D C Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB vng góc với đáy, tam giác SAB tam giác Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) S Giải: Bước 1: Cần biết đường thẳng AB song song với mặt phẳng(SCD) Bước 2: Chứng minh AH song song với (SCD) Suy d ( A, ( SCD )) = d ( H , ( SCD )) Bước 3: Tính d ( H , ( SCD )) theo phương pháp làm trực tiếp K Vì tam giác HCD khơng vng C D, nên: A H B vuô ng góc với D M C Nên lấy H trun HE ⊥ CD  g Vẽ:  ⇒ d ( H , SCD) = HK điể HK ⊥ SE  m Để tính HK ta đẩy vào tam giác vng SHK ta có: 1 a 21 = + ⇒ HK = AB HK SH HE suy SH vuô ng góc Nhận xét: Chú ý tốn cho mặt bên (SAB) vng góc với đáy cịn SA khơng với vng góc với đáy Nên lấy H trung điểm AB suy SH vng góc mặt với mặt phẳng (ABCD) phẳ Dạng 2: Phương pháp đổi tỉ lệ ng Phương pháp chung: (A ∆ Tìm đường thẳng ∆ qua M ∆ cắt mp (α ) M BC I, ∆ chọn điểm A ( A ≠ I, A ≠ M ) D) A d ( M; ( α ) ) IM = Lúc d ( A; ( α ) ) IA I d ( A;(α ) ) IM α dẫn đến d ( M; ( α ) ) = IA Nhận xét: Ở hướng thay tính khoảng cách từ A đến mp (α ) ta đưa tính khoảng cách từ điểm khác A thuộc đường thẳng ∆ qua A mà khoảng cách tính cách dễ dàng Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD hình vng tâm O Biết AB=2a; SA=4a Tính: S a Khoảng cách từ O đến mp(SAB) b Khoảng cách từ A đến mp(SCD) Giải: a Ta có: SO ⊥ ( ABCD) nên SO đường cao hình chóp Nhận thấy tam giác đáy OAB khơng vng A B K nên ta thực ba nét vẽ: A OI ⊥ AB ⇒ OH = d (O, ( SAB)) OH ⊥ SI Ta có: OH ⊥ SI (1) ta cần chứng minh thêm cho OH ⊥ AB Ta làm ngược lại chứng minh AB vng Góc với mp(SIO) Thật ta có: AB ⊥ SO   ⇒ AB ⊥ (SIO) AB ⊥ IO  ⇒ OH ⊥ AB (2) Từ (1) (2) ⇒ OH ⊥ (SAB) hay OH = d (O, ( SAB)) D H Vẽ: I B J O C Tính OH : Ta có: OI = a ; SO = SA − OA = 14a Trong tam giác vng SOI ta có: 1 1 15 a 210 = + = + = 2 2 ⇒ OH = OH OI SO a 14a 14a 15 d [ A , ( SCD )] b Tính Nhận thấy A khơng có tính vng góc nên thay tính khoảng cách A ta tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) sau sử dụng tính chất : d ( A, ( SCD )) AC = =2 d (O, ( SCD)) OC Kẻ OJ ⊥ CD; OK ⊥ SJ Với cách làm tương tự ta có : d ( A, ( SCD )) = 2OK = 2.d (O, ( SAB)) = 2a 210 15 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mp(ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC) S Giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) F Khi Mà d ( G; ( SAC ) ) d ( B; ( SAC ) ) = FG = FB OB ⊥ SA   ⇒ OB ⊥ (SAC) nên OB ⊥ AC  a 2 1a a Vậy d ( G;(SAC) ) = = F d ( B;(SAC) ) = OB = D G A C O B Nhận xét: Vì mặt (SAC) chứa chân đường vng góc A nên từ B vẽ BO vng góc với AC BO d ( B, ( SAC )) Ngoài hai phương pháp học sinh lớp 12 ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thông qua phương pháp tọa độ hóa cơng thức tính thể tích Sau phương pháp tập minh họa * Phương pháp tọa độ hóa.[7] Ta thực qua bước sau: Bước 1: Xác định hệ trục tọa độ, từ suy tọa độ điểm Bước 2: Lập mặt phẳng cần tính khoảng cách Tìm yếu tố: Điểm véctơ pháp tuyến mặt phẳng Bước 3: Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách cần tìm Bài tập làm sáng tỏ phương pháp: Bài 12: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) 10 Giải: Trong ∆ABC có : AB + AC = BC = 25 nên ∆ABC vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đề-các vng góc Oxyz sau: O ≡ A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0) ; D(0;0;4) ; D Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) là: z x y z + + = ⇔ x + y + z − 12 = 4 Tính : AH = d ( A, ( BCD) ) A − 12 12 34 d ( A, ( BCD) ) = = = 17 16 + + 34 H C y M x B Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết AD=CD=a; AB=2a; SA=a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a Giải: Nhận thấy A chân đường vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A trùng với gốc tọa độ O hình vẽ Các điểm: D ∈ Ox; B ∈ Oy; S ∈ Oz; C ∈ ( xOy)  A(0;0;0)   D(a;0;0)  Ta có:  B(0;2a;0)  S (0;0; a ) C ( a; a;0) z S Lập mặt phẳng (SCD): Ta có: DC = (0; a;0) A B y DS = (−a;0; a ) Chọn véctơ phương đường thẳng DC là: a = (0;1;0) ;véctơ phương đường D thẳng DS là: b = (−1;0; ) Suy véctơ pháp tuyến mặt x phẳng (SCD) là: n = a; b = ( 3;0;1) Mặt phẳng (SCD) có phương trình là: C [ ] ( x − a ) + 0( y − 0) + 1( z − 0) = ⇔ x + z − a = Khoảng cách từ B(0;2a;0) đến mặt phẳng (SCD) là: d ( B, ( SCD )) = −a ( 3) + = a Nhận xét: Bài ta sử dụng phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD), AB song song với CD nên khoảng cách từ B đến mp(SCD) khoảng cách từ A đến mp(SCD) 11 3Vchóp h = * Phương pháp gián tiếp thông qua sử dụng công thức Sdáy [8] Phương pháp chung: Ta gắn khoảng cách cần tìm vào hình chóp xem khoảng cách chiều cao hình chóp đáy đa giác có diện tích S mà ta tính Khi biết thể tích khối chóp ta tính chiều cao h Các tập minh họa: Bài 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) Giải: Phân tích: Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay A.MNP dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến mp(AMN) thay khoảng cách từ C đến (SAB) Gọi O tâm hình vng ABCD, SO ⊥ (ABCD) 1 a2 M, N trung điểm SA SB nên S AMN = S ANS = S ABS = 16 PC / /( AMN ) ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = d ( (C ,( AMN )) ) 1 Vậy:VP AMN = S AMN d ( ( P,( AMN )) ) = S ABS d ( (C ,( AMN )) ) 3 S 1 1 = VC ABS = VS ABC = S ABC SO 4 a S ABC = a , SO = SA2 − AO = 2 M 1 a a3 N Vậy VAMNP = a = 12 2 48 D P 3V ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a C S AMN O A B Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a; SA a vng góc với mặt phẳng đáy Góc ∠ BAD=120o, SA = Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Giải: Phân tích: Ta cần tính VSBCD, tính diện tích tam giác SBC, từ suy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) 12 - Tính VSBCD Vì AB=BC ∠BAC = 60 o nên tam giác ABC tam giác cạnh a Mặt khác S 1 = S ABC = a S ABCD 2 1 a a3 = S BCD SA = a = (đvtt) 3 BCD Suy ra: VSBCD - Tính S SBC theo cơng thức Hê-rơng Ta có: BC=a a a 3 a  + a2 = SB = SA + AB =     2 Suy p = BC + SB + SC = ( A B 120o ) +1 a Từ ta có : S SBC = S = p ( p − SB )( p − SC )( p − BC ) = a D a C Gọi h khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) ta có : h= 3VSBCD S SBC a3 a = 28 = a 2.3.3 Bài tập vận dụng.[4] Bài 1:(Trích câu 36- đề minh họa BGD 2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B AB= Tính khoảng cách từ C đến mp(ABB’A’) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a; SA ⊥ ( ABCD) ; SA = a Tính: a Khoảng cách từ A đến mp(SBC) b Khoảng cách từ A đến mp(SBD) Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A, B , C , biết AA, = a ; đáy ABC tam giác vng A có BC=2a; AB = a Tính: a Khoảng cách từ A đến mp( BCC , B , ) b Khoảng cách từ A đến mp ( A, BC ) Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC biết cạnh đáy a; cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB vng góc với đáy, tam giác SAB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) 13 Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC A, B , C , có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a; AA, =2a; A, C =3a Gọi M trung điểm A , C , , I giao điểm AM A, C Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Bài 8: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, góc mặt bên với mặt đáy 60o Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SA=AB= a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) Bài 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài: ''Một số phương pháp giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng'', vào giảng dạy nhận thấy đề tài giúp ích cho học sinh tìm nhanh lời giải tốn tính khoảng cách, đặc biệt giúp học sinh giải nhanh để tìm đáp án tập trắc nghiệm lớp, đề thi THPT Các em giải tốt tập tính khoảng cách khơng gian Thực nghiệm cho thấy có khoảng 75% học sinh lớp 12 trung tâm giải dạng toán liên quan đến tốn tính khoảng cách mức độ nhận biết thông hiểu Kết quả, minh chứng tiến học sinh áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trước sau dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát 39 học sinh lớp 12 với 03 câu hỏi thu kết sau: Kết thống kê Câu Trước dạy Sau dạy Nội dung hỏi thực nghiệm thực nghiệm Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Em có phương pháp 06 Học sinh 32 Học sinh để tính khoảng cách từ trình bày 15.4% trình bày 82.1% điểm đến mặt phẳng hay được khơng? Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; cạnh a; SA ⊥ ( ABCD) Góc SB mp(ABCD) 30o Tính khoảng cách từ A đến05 HS giải 30 HS 12.8% 76.9% a mặt phẳng (SBD) giải Tính khoảng cách từ D đến 05 HS 32 HS b 12.8% 82.1% mặt phẳng (SBC) Giải giải Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: - Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh 14 - Thống kê số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chun đề thực - Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực - Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực - Thiết kế số phương pháp dạy theo hướng dạy học tích cực - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Trong trình giảng dạy mơn Tốn trường, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt, thân rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện, cách trình bày lời giải tốn cho học sinh : - Trình bày giải mẫu - Trình bày giải với bước xếp hợp lý - Đưa tốn có gợi ý giải - Đưa giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai sửa lại cho Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Vấn đề tơi thấy học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề 3.2 Kiến nghị Trung tâm cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo, cần tạo trang Web chung để học sinh giáo viên chia sẻ thông tin giảng phương pháp giải tốn Qua học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để nâng cao hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Đối với phụ huynh học sinh: Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Qua trình nghiên cứu vận dụng đề tài:''Một số phương pháp giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng'', vào giảng dạy nhận thấy vấn đề giúp ích cho học sinh việc làm tốn, giúp em khơng cịn “ngán ngại” phần khoảng cách nữa, em giải tốt tập tính khoảng cách khơng gian Thực nghiệm cho thấy có khoảng 70% học sinh giải 85% tập sách giáo khoa Riêng thân tiếp tục nghiên cứu sâu để có định hướng tốt Tơi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với q thầy dạy mơn Tốn việc “hệ thống” kiến thức, vài kĩ giải tốn tính khoảng cách khơng gian Vì kiến thức thời gian hạn chế, nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý thầy giáo Tơi xin chân thành cảm ơn Tôi xin cam đoan skkn trình bày 15 thân, có dấu hiệu chép tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thiệu Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2022 Xác nhận thủ trưởng quan Trịnh Đình Chung Người thực Đinh Văn Ba 16 ... 2: Tính độ dài MH cách đẩy vào tam giác vuông.[1] Bài tốn: Trong khơng gian cho điểm M khơng thuộc mặt phẳng (α ) , tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng. .. - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong khái niệm tốn liên quan đến tính. .. dụng phương pháp sau: * Phương pháp trực tiếp: Xác định chân đường vng góc H hạ từ M đến mặt phẳng (α ) Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao ( mặt đứng) Cách tìm: Từ điểm