Bài viết trình bày nghiên cứu về vấn đề dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp (PP) gián tiếp - thông qua thể tích của khối chóp. Tác giả đã giải quyết vấn đề bằng cách tìm hiểu những khó khăn của học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) khi tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; xây dựng quy trình và biện pháp dạy học để rèn luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng PP thể tích cho HS.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8A, pp 17-27 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0161 DẠY HỌC GIẢI BÀI TỐN TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP "THỂ TÍCH" CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Anh Tuấn1 , Lại Văn Định2 Khoa Bộ Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội mơn Tốn-Tin, Trường Đại học Điều dưỡng Nam Định Tóm tắt Bài báo trình bày nghiên cứu vấn đề dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp (PP) gián tiếp - thơng qua thể tích khối chóp Tác giả giải vấn đề cách tìm hiểu khó khăn học sinh (HS) Trung học phổ thơng (THPT) tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; xây dựng quy trình biện pháp dạy học để rèn luyện kĩ giải loại toán PP "thể tích" cho HS Kết nghiên cứu thể biện pháp ví dụ minh họa cụ thể việc dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian Từ khóa: Tìm khoảng cách, điểm, mặt phẳng, phương pháp thể tích Mở đầu Dạy học giải tốn tình dạy học điển hình, giữ vai trị quan trọng hàng đầu dạy học Toán trường phổ thơng lẽ tình vận dụng tổng hợp kiến thức kĩ có liên quan Các tác giả Nguyễn Bá Kim [4], Bùi Văn Nghị [6], Đào Tam [12], nghiên cứu sâu sắc từ góc độ sở lí luận phương pháp dạy học, đặc biệt làm rõ yêu cầu phát triển lực tìm tịi lời giải tốn cho học sinh Tính khoảng cách khơng gian tốn quan trọng Hình học khơng gian, thường gặp đề thi THPT tuyển sinh vào đại học [1] Trong tốn tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tương đối dễ giải đưa mặt phẳng dựng đường vng góc Với tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, hai mặt phẳng, người ta thường đưa toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nghiên cứu dạy học giải toán khoảng cách không gian số tác giả đề cập đến báo khoa học gần Có thể kể đến viết đăng tải tạp chí Tốn học tuổi trẻ: Tác giả Cao Thị Thanh Lê (2012, [5; 5-7]) xem xét vấn đề từ tốn tính khoảng cách sách giáo khoa hình học 11 để rèn luyện kĩ cho học sinh THPT Tiếp cận tốn tính khoảng cách khơng gian, tác giả Hồng Đức Ngun (2009, [7; 4-5]) đưa phương pháp giải tốn tìm khoảng cách thơng qua việc đưa vào khai thác tính chất tứ diện vng Ngày nhận bài: 15/9/2015 Ngày nhận đăng: 25/10/2015 Liên hệ: Nguyễn Anh Tuấn, e-mail: tuandhsphn@gmail.com 17 Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định Nhìn nhận vấn đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tác giả Đỗ Thanh Sơn (2007, [11; 7-8]) xây dựng phương pháp xác định chân đường vng góc hạ từ điểm xuống mặt phẳng Tiếp cận vấn đề phương pháp tính thể tích khối đa diện, tác giả Nguyễn Minh Nhiên (2009, [8; 7-10]) xem xét vấn đề tính khoảng cách bước quy trình tính thể tích khối đa diện khơng gian Ngồi ra, vấn đề tính khoảng cách khơng gian cịn đề cập đến tác giả Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001, [13]) nghiên cứu hệ thống hóa dạng tốn phương pháp giải tốn hình học khơng gian Hay đưa vào tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào đại học (Bùi Quang Trường, 2005, [14]), Trong thực tế dạy học Hình học khơng gian trường phổ thơng, khái niệm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) định nghĩa "khá đơn giản" khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu M mặt phẳng (P) Tuy nhiên việc xác định tính khoảng cách tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh Bởi lẽ, tốn thường có vài cách giải sau: - Một PP giải "chính tắc" xác định trực tiếp hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P), dựng đường vng góc MH tính độ dài MH dựa vào tam giác - Theo đường tính khoảng cách đường thẳng d qua M song song với mặt phẳng (P), ta tìm cách dựng d, sau tìm d điểm N (khác M) mà ta xác định hình chiếu H N mặt phẳng (P), tính độ dài NH dựa vào tam giác khoảng cách cần tìm - Dựa vào tính chất tỉ số đồng dạng, ta tìm điểm trung gian N (khác M) mà khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (P), nhờ việc tính khoảng cách từ N đến (P) mà ta tìm khoảng cách từ M đến (P) Nhưng với PP kể trên, ta cần xác định hình chiếu điểm mặt phẳng mà việc gây khó khăn cho khơng HS Bởi lẽ, khả tưởng tượng không gian thao tác hình học cịn hạn chế nên nhiều em ngại phải dựng, vẽ thêm hình phụ hình học khơng gian Vấn đề đặt là: Làm để khắc phục khó khăn nêu cho HS dạy học giải tốn tính khoảng cách khơng gian? Trong viết này, chúng tơi nghiên cứu tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng từ cách tiếp cận đường thơng qua "thể tích hình chóp" Xuất phát từ phương pháp tính khoảng cách cách đưa vào hình chóp, xem khoảng cách độ dài đường cao hình chóp mà ta tính thể tích diện tích đáy khơng q khó khăn; chúng tơi xây dựng quy trình bốn bước dạy tri thức phương pháp luyện tập cho học sinh THPT kĩ giải tốn tính khoảng cách theo "phương pháp thể tích" 2.1 Nội dung nghiên cứu Quy trình dạy học giải tốn tính khoảng cách phương pháp "thể tích" Bước 1: Trang bị củng cố kiến thức cho HS Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu M mặt phẳng (P ) Định lí 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a; AB = c; CA = b cosA = 18 Dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 ; cosB = ; cosC = 2bc 2ac 2ab Định lí 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a; AB = c; CA = b, 1 S∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 Định lí 3: Hình chóp đỉnh S, đáy đa giác, đường cao SH tích diện tích đáy nhân với đường cao Hệ 1: Khoảng cách từ đỉnh S hình chóp đến mặt phẳng đáy lần thể tích chia cho diện tích đáy Hệ 2: Với hình chóp S.ABC, thể tích tính theo cơng thức VS.ABC = SH.S∆ABC , H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) 3VS.ABC Hệ 3: d (S; (ABC)) = SH = S∆ABC Định lí 4: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P ) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P ) Bước 2: Xây dựng quy trình giải tốn tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng PP "thể tích" Xuất phát từ cơng thức tính thể tích: Thể tích hình chóp diện tích đáy nhân với đường cao, chẳng hạn với hình chóp tam giác S.ABC ta có: VS.ABC = SH.S∆ABC , với H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) Từ đó, ta dễ dàng rút cơng thức tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy 3VS.ABC (ABC) d (S; (ABC)) = SH = S∆ABC Như vậy, ta biết thể tích diện tích đáy hình chóp việc tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy trở nên đơn giản Mặt khác, với đáy tam giác việc tính diện tích nhiều khơng thiết phải tính chiều cao tam giác mà tính biết góc cạnh tam giác nhờ công 1 thức S∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B Cũng cần ý rằng: đáy đa giác, ta 2 đưa tốn tính diện tích tam giác Như vậy, để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta gián tiếp thơng qua PP "thể tích" Đặc biệt với tốn mà giả thiết cho chứa đựng yếu tố liên quan đến thể tích hình chóp Từ rút PP "thể tích" để giải tốn tính khoảng cách gồm năm bước sau: - Đầu tiên ta chọn khối chóp với đỉnh điểm S đó, đáy đa giác (nói riêng ∆ABC, tứ giác ABCD) nằm mặt phẳng cần tìm khoảng cách từ S đến - Sau dựa vào giả thiết để tính thể tích hình chóp Trong trường hợp cần thiết, ta chọn đỉnh khác cho dễ tính thể tích - Tính diện tích đa giác đáy (∆ABC, tứ giác ABCD, ) Ta sử dụng định lí cosin kiến thức hình học phẳng để tính tốn cạnh Chẳng hạn: Tính diện tích ∆ABC 1 nhờ công thức S = b.c sin A = a.c sin B; 2 19 Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định - Áp dụng công thức hệ để tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy - Trả lời kết theo yêu cầu toán Bước 3: GV thể việc vận dụng quy trình thơng qua ví dụ minh họa Bước 4: GV tổ chức HS luyện tập vận dụng quy trình cách hướng dẫn giải tập tương tự 2.2 Ví dụ tập minh họa Bài tốn (Trích đề thi tuyển sinh mơn Tốn khối A, A1 năm 2014) 3a , hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Hướng dẫn tìm lời giải toán Với toán việc xác định chiều cao hình chóp dễ dàng đầu cho hình chiếu S trung điểm AB Nhưng việc xác định hình chiếu A mặt phẳng (SBD) tương đối khó khăn Thậm chí nhiều HS cịn khơng vẽ hình Trong suy nghĩ luôn cho phải vẽ hình chiếu A mặt phẳng (SBD) dẫn đến khơng giải tốn Trong trường hợp em ý H trung điểm AB gợi cho ta nghĩ đến khoảng cách từ A đến (SBD) gấp lần khoảng cách từ H đến (SBD) Khi việc vẽ khoảng cách từ H đến (SBD) dễ dàng nhiều Lời giải toán: Cách 1: Gọi H trung điểm AB, suy SH⊥ (ABCD) Do ∆SHD tam giác vng Ta có √ = a DH = AD + AH = a2 + √ √ a nên SH = SD2 − DH = a ABCD hình vng nên S∆ABD = 1 1 AB.AD = a HB = AB = a ⇒ 2 2 a 1 VS.ABD = a a2 = Gọi K hình chiếu vng góc H BD E hình chiếu vng góc H SK Ta có BD⊥HK BD⊥SH nên BD⊥ (SHK) Suy BD⊥HE Mà HE⊥SK HE⊥ (SBD) Ta có HK = HB sin KBH = a sin 450 = √ 1 HS.HK a a Trong tam giác vng SHK có = + ⇒ HE = = 2 HE HK SH HS2 + HK 2a Do d (A, (SBD)) = 2d (H, (SBD)) = 2HE = Tuy nhiên, thực tế cho thấy: Khi giáo viên định hướng nhận xét H trung điểm AB Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 20 Dạy học giải toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" HS khó nhận khoảng cách từ A đến (SBD) hai lần khoảng cách từ H đến (SBD) Ngay biết khoảng cách từ A đến (SBD) hai lần khoảng cách từ H đến (SBD) có HS gặp khó khăn khơng hình dung tưởng tượng nên khơng vẽ hình Từ em lúng túng việc xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Thậm chí có HS vẽ hình, sai lầm nghĩ hình chiếu A nằm SO Khi cịn cơng cụ tính khoảng cách thơng qua thể tích hình chóp mà đỉnh điểm A đáy mặt phẳng (hoặc phần mặt phẳng) mà ta tính khoảng cách tới mặt phẳng Chiều cao hình chóp có đỉnh điểm A đáy ∆SBD khoảng cách từ điểm A đến (SBD) Nhờ vậy, ta không cần phải xác định hình chiếu A mặt phẳng (SBD) Cơng việc tính thể tích hình chóp A.SBD diện tích ∆ đáy SBD Cách 2: Chọn khối chóp A.SBD với A đỉnh Khi VA.SBD = d (A; (SBD)) S∆SBD nên 3VA.SBD d (A; (SBD)) = S∆SBD Mặt khác ta lại coi S đỉnh, mặt phẳng (ABD) đáy Gọi H trung điểm AD, chiều cao hình chóp SH VS.ABD = SH.S∆ABD Có ABCD hình vng nên S∆ABD = 1 1 AB.AD = a2 HB = AB = a 2 2 Mà ∆SHD vuông √ H nên SH = √ SD − DH mà DH = AD + AH = √ a = a ⇒ SH = a2 + 2 √ 1 a3 a 3a = a ⇒ VS.ABD = a a2 = − 2 Vì SH chiều cao hình chóp nên SH⊥ (ABD) ⇒√SH⊥HB Vậy tam giác SHB √ a a = vng H Khi SB = HS + HB = a2 + 2 √ √ √ 2 ABCD hình vng cạnh a suy BD = AB + AD = a2 + a2 = a Áp dụng định lí cos tam giác SBD ta có √ √ 3a a + a − 2 SB + BD − SD √ =√ cosB = = 2SB.BD a √ 10 .a 2 2 2 √ = Áp dụng công thức sin B + cos B = ⇒ sin B = − cos B = − 10 10 nên sin B = √ 10 √ 1 a √ 3a2 Áp dụng công thức S∆SBD = SB.BD sin B = a √ = 2 10 21 Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định a3 = 2a Vậy d (A; (SBD)) = 3a2 Khi tính thể tích hình chóp A.SBD ta chọn lại đỉnh khác để tính thể tích Cịn tính diện tích ∆SBD ta khơng cần quan tâm tam giác đặc biệt hay không Nhiều HS thấy tam giác khơng đặc biệt khó khăn nên khơng tính diện tích đáy khơng tính khoảng cách từ A đến (SBD) Phân tích hai lời giải toán so sánh ưu, nhược điểm: Ta thấy cách thứ hai HS kẻ thêm hình Cách thứ em phải kẻ thêm hình, mà hình học khơng gian, việc vẽ thêm hình thường gây khó khăn HS Bởi lẽ việc địi hỏi HS phải có khả tưởng tượng tốt nắm định lí hình học khơng gian Nhiều em khơng biết ta nên bắt đầu vẽ hình từ đâu để vẽ hình chiếu A đến mặt phẳng (SBD) Vì em khơng giải tốn Nhưng với cách ta khơng phải kẻ thêm hình việc đưa khoảng cách vào hình chóp cách rõ ràng, thuận lợi Bài tốn (Trích đề thi tuyển sinh mơn Tốn khối B năm 2014) Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc ′ A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A′ C mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′ A′ ) Hướng dẫn tìm lời giải toán HS thường mắc sai lầm toán từ B kẻ đường thẳng BK vng góc với AC xác định BK đường cao ln Có HS kẻ thêm từ B vng góc xuống A′ K coi đường cao Nguyên nhân em chưa vận dụng định lí cách xác Để khắc phục khó khăn khơng cần kẻ thêm hình mà sử dụng tính khoảng cách qua thể tích Thuận lợi với toán giả thiết gợi ý cho chiều cao hình chóp đường thẳng nối A′ với trung điểm AB Do ta tính dễ dàng thể tích hình chóp A′ ABC Nên ta phải chọn hình chóp B.A′ AC để tính khoảng cách từ B đến (A′ C ′ CA) mà (A′ AC) phần mặt phẳng (A′ C ′ CA) - Ta có d (B; (ACC ′ A′ )) = d (B; (ACA′ )) - Gọi H trung điểm AB Theo giả thiết A′ H⊥ (ABC) Chọn khối chóp B.ACA′ 3VB.ACA′ Cũng với khối chóp ta chọn A′ đỉnh khi d (B; (ACA′ )) = S∆ACA′ VA′ ABC = A′ H.S∆ABC √ √ a2 a S∆ABC = CH.AB = - Ta có ∆ABC tam giác cạnh a nên CH = 2 ′H 3a A ⇒ A′ H = CH tan 600 = - Trong tam giác vng A′ HC có tan A′ CH = CH 22 Dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" - Vậy VA′ ABC √ √ a3 3a a2 = = AA′ AC sin A Muốn ta phải biết độ dài cạnh tam giác Việc tính độ dài cạnh tam giác hồn tồn dựa vào tam giác vng nên dễ dàng Sau muốn tính sin A ta vận dụng định lí cosin tam giác để tính cos A √ √ 3a a a 10 ′ ′ 2 Ta có AC = a; AA = A H + AH = = + 2 Đến ta tính diện tích tam giác ACA′ qua công thức S∆ACA′ = A′ C √ = A′ H + CH = 3a Trong tam giác ACA′ có cos A = A′ A2 + AC − A′ C = 2A′ A.AC ⇒ sin A = √ a2 39 1− cos2 A = 1− + √ a √ a 10 2 √ 10 √ =a √ + a2 − a √ a 10 a 2 = = √ 10 √ a 10 39 ⇒ S∆ACA′ = a 40 2 39 = 40 √ a3 √ 3a 13 ′ Vậy d (B; (ACA )) = √ = 13 a 39 Bài tốn (Trích đề thi thử mơn Tốn THPT quốc gia 2015, Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Cho lăng trụ đứng ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ , có đáy ABCD hình thoi cạnh a với góc BAD = 600 Gọi O, O1 tâm hai đáy, OO1 = 2a Gọi S trung điểm OO1 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn tìm lời giải tốn Trong thực tế, có nhiều HS nhầm dựng hình chiếu O (SAB) dù hướng dẫn kĩ phải vận dụng cho định lí Tuy nhiên, có nhiều HS dựng sau: Nối O với trung điểm H AB, sau kẻ OK⊥SH coi OK khoảng cách cần tìm (!) 23 Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định Sử dụng PP tính khoảng cách thơng qua thể tích hạn chế sai lầm cho HS Ở tốn này, giả thiết thuận lợi cho HS thấy chọn hình chóp S.OAB hình chóp cần sử dụng vào việc tính khoảng cách từ O đến (SAB) Có SO = a, AB = AD = a; BAD = 600 ⇒ ∆BAD tam giác nên √ √ √ a a a2 a3 AO = ; BO = ⇒ S∆BAO = OA.OB = ⇒ VS.ABO = SO.S∆BAO = 2 24 √ √ √ √ a a a = = ;SA = SO + OA2 = a2 + SB = SO + OB = a2 + 2 √ √ a a +a − √ 2 a SB + AB − SA2 √ = √ ⇒ ⇒ cos ABS = = 2SB.AB a 2.a √ √ 1 a2 19 19 √ = √ ⇒ S∆SAB = AB.SB sin SBA = ⇒ sin ABS = 1− 5 √ a3 √ 3VS.ABO a 57 24 d (O; (SAB)) = = = 2√ S∆SAB 19 a 19 Với đường lối giải tốn trên, HS giải nhiều tốn khắc phục khó khăn phải vẽ thêm đường phụ khác Cũng với cách giải ta vận dụng vào tính khoảng cách hai đường thẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng thuận lợi cho HS Bài tốn Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác tâm O Hình chiếu vng góc C ′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng CC ′ a, góc hai mặt phẳng (ACC ′ A′ ) (BCC ′ B ′ ) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng CC ′ OB ′ 24 Dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" Hướng dẫn giải toán Từ tâm O kẻ đường thẳng KM song song AB, O trung điểm KM Vì ∆ABC nên CO⊥AB ⇒ CO⊥KM, C ′ O đường cao nên C ′ O⊥KM , KM ⊥ (CC ′ O) ⇒ C ′ C⊥HM KM ⊥C ′ C Gọi H hình chiếu O C ′ C Nên C ′ C⊥ (HKM ) ⇒ suy C ′ C⊥HK góc (ACC ′ A′ ) (BCC ′ B ′ ) góc HK HM Nếu KHM = 600 ta có suy ∆KHM Mà ∆KCM có C = 600 nên tam giác Do HO = CO Mà tam giác ∆COH vng, suy vơ lí Vậy góc KHM = 1200 Vì KM ⊥ (CC ′ O) ⇒ KM ⊥HO; O trung điểm KM HO vừa trung tuyến vừa đường cao nên ∆KHM tam giác cân √ √ Suy KM = 2KO = 2HO tan 600 = 2a ⇒ AB = KM = 3a ⇒ CI = √ AB 9a = 2 √ 27a2 , CO = CI = 3a, tam giác COC ′ vng nên Do S∆ABC = CI.AB = √ 1 3a = + ⇒ C ′O = OH CO C ′ O2 - Ta có CC ′ //BB ′ ⇒ CC ′ // (OBB ′ ) nên d (CC ′ ; OB ′ ) = d (CC ′ ; (OBB ′ )) = d (C; (OBB ′ )) 3VC.OBB ′ - Xét hình chóp C.OBB ′ có d (C; (OBB ′ )) = SOBB ′ ′ ′ ′ ′ - Mặt khác VC.OBB = VB OBC ,vì (A B C ′ ) // (ABC) nên d (B ′ ; (BCO)) = ′ d (C ; (BCO)) = C ′ O √ 1 9a2 1 ⇒ VB ′ OBC = C ′ O.SOBC = S∆CBO = S∆ABC = CI.AB = 3 √ √ 9a3 9a3 ⇒ VC.OBC ′ = 16 16 - Tính diện tích tam giác BB ′ O: √ √ 9a ′ ′ ′ Ta có BB = CC = CO + C O = ;BO = CO = 3a; tam giác OB ′ C ′ √ 3a Vận dụng định lí cosin tam giác OBB’ vng C’ nên OB ′ = C ′ O2 + C ′ B ′ = √ √ 31 BO2 + BB ′ − B ′ O2 ′ ′ = ⇒ sin OBB = ⇒ S∆OBB ′ = ta cos OBB = ′ 2BO.B B 9 √ 9a3 √ √ √ 1 9a 31 3a2 62 16 √ = BO.BB ′ sin OBB ′ = 3a = ⇒ d (C; (OBB ′ )) = 2 3a 62 √ √ 9a 9a √ Vậy d (CC ′ ; OB ′ ) = √ 31 31 Nhận xét PP tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng thông qua thể tích hình chóp giúp 25 Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định cho HS khắc phục số khó khăn thường gặp, lẽ em khơng cần phải xác định hình chiếu điểm mặt phẳng Mặt khác, HS tính diện tích tam giác nhờ vận dụng định lí cosin mà khơng cần phải xác định tam giác có dạng Hạn chế PP lời giải trình bày có phần dài dịng, ưu điểm quan trọng giúp HS giải nhiều tốn khó liên quan đến khoảng cách không gian Bài tập tương tự (dành cho HS tự luyện tập nhà) Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, AB = AC = a, I trung điểm SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60◦ Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a Bài toán Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = ′ a, AA = 2a, A′ C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A′ C ′ , I giao điểm AM A′ C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) √ Bài toán Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD) 60◦ Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài toán Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, √ BD = 2a ; tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC = a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) theo a Bài toán Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 1200 Mặt phẳng (AB ′ C ′ ) tạo với đáy góc 60◦ Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách từ điểm C ′ đến mặt phẳng (AM B ′ ) theo a Bài tốn 10 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB = a BC = 2a , mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc 2a Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD √ Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Kết luận Tiếp cận tốn tính khoảng cách PP "thể tích", chúng tơi xây dựng quy trình bốn bước dạy học giải toán từ điểm đến mặt phẳng, vận dụng số toán hình học khơng gian kì thi quốc gia bậc THPT Những kết nghiên cứu giúp cho HS THPT khắc phục khó khăn thường gặp, rèn luyện cho em không kĩ giải loại tốn mà cịn phát triển tư sáng tạo lực giải vấn đề thơng qua nội dung Hình học khơng gian mơn Tốn trường phổ thơng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] 26 Bộ Giáo dục Đào tạo, 2011; 2012; 2013; 2014) Đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, 2008 Hình học 11 Nxb Giáo Dục Phan Huy Khải, 2012 Hình học khơng gian Nxb Giáo Dục Nguyễn Bá Kim, 2015 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm Cao Thị Thanh Lê, 2012 Từ tốn tính khoảng cách sách giáo khoa hình học 11 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, số 416, tr 5-7 Dạy học giải tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] Bùi Văn Nghị, 2008 Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm Hồng Đức Ngun, 2009 Tính khoảng cách nhờ tính chất tứ diện vng Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, số 384, tr 4-5 Nguyễn Minh Nhiên, 2009 Phương pháp tính thể tích khối đa diện Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, số 387, tr 7-10 Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, 2006 Hình học 10 Nxb Giáo Dục Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, 2008 Hình học 12 Nxb Giáo Dục Đỗ Thanh Sơn, 2007 Phương pháp xác định chân đường vng góc hạ từ điểm xuồng mặt phẳng Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, số 356, tr 7-8 Đào Tam, Trương Thị Dung, 2013 Tạo nhu cầu bên hội để học sinh phát kiến thức Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol 58, No.4, trang 3-10 Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức, 2001 Phân loại PP giải tốn hình học không gian Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Bùi Quang Trường, 2005 Những dạng tốn điển hình kì thi đại học cao đẳng Nxb Hà Nội http://www.Mathvn.com ABSTRACT Teaching the problem of finding the distance from a point to a plane by means of "volume" for high school students This paper presents research on teaching problem solving to find the distance from a point to a plane by the indirect method through the volume of the frustum The author has solved the problem by understanding the difficulties of high school students to find the distance from one point to the plane; developing procedures and teaching methods to train the skill for solving this kind of problem by means of "volume" for students The study results demonstrated in measures and specific examples in order to teach the problem of finding the distance from a point to a plane in space Keywords: Teaching solve puzzles to find the distance, the method of "volume " 27 ... hai mặt phẳng (ACC ′ A′ ) (BCC ′ B ′ ) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng CC ′ OB ′ 24 Dạy học giải toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp "thể tích" Hướng dẫn giải tốn Từ. .. cứu Quy trình dạy học giải tốn tính khoảng cách phương pháp "thể tích" Bước 1: Trang bị củng cố kiến thức cho HS Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) khoảng cách hai điểm M H, H... cứu tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng từ cách tiếp cận đường thông qua "thể tích hình chóp" Xuất phát từ phương pháp tính khoảng cách cách đưa vào hình chóp, xem khoảng cách độ dài đường