Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách chuyển về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, hoặc khoảng cách từ một điểm nằm trong mặt phẳng đáy [r]
(1)BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
Bài viết trình bày cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Quy trình tính khoảng cách tìm cách chuyển khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy, khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp Với mơ hình lăng trụ, ta cần tách phần cần tính để đưa mơ hình hình chóp
{Bài tốn Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểmM đến mặt phẳng(α).
Lời giải.
Để tính khoảng từ điểmM đến mặt phẳng(α)ta có cách sau:
1 Cách 1:Xác định hình chiếu vng gócH của M lên(α). Để xác định vị trí hình chiếuH ta có số lưu ý sau:
Chọn¡
β¢
chứa điểm Mvà(β)⊥(α), xác định giao tuyến∆=(α)∩¡β¢. Trong¡
β¢
dựng MH⊥∆⇒MH⊥(α).
Nếu trong(α)có hai điểm A,Bsao choM A=MBthì trong(α)kẻ đường trung trựcd của đoạnAB, trongm p(M,d)dựngMH⊥d Khi đóMH⊥(α)(h.3) Thật vậy, Gọi I là trung điểm của AB Do M A=MB nên∆M ABcân tại M, suy ra M I⊥AB⊂(α) Lại có AB⊥d⇒AB⊥m p(M,d)⇒AB⊥MH.
Vậy
MH⊥AB MH⊥d
⇒MH⊥(α).
Nếu trong (α) có điểm A và đường thẳng d không qua A sao cho M A⊥d thì trong (α) kẻ đường thẳng d0 đi qua A và d0⊥d, trong m p¡M,d0¢kẻ MH⊥d0⇒MH⊥(α)(h 4)
Thật vậy, do d⊥d0 và d⊥M A⇒d⊥m p¡
M,d0¢
⇒d⊥MH. Lại có MH⊥d0⇒MH⊥m p¡
d,d0¢
≡(α).
Nếu trong (α) có điểm A1,A2, ,An(n≥3) mà M A1=M A2= · · · =M An hoặc đường thẳng M A1,M A2, ,M An tạo với (α) các góc nhau thì hình chiếu của M trên (α) chính tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác A1A2· · ·An.
(2)Nếu tứ diện O ABC có O A, OB, OC đơi vng góc có đường cao OH thì
1 OH2 =
1 O A2+
1 OB2+
1
OC2 (∗)
2 Cách 2: Sử dụng cơng thức thể tích: Xét hình chóp có M đỉnh, đáy nằm trong mặt phẳng (α) Khi đó: d(M, (α))=3V
Sd.
3 Cách 3: Chuyển việc tính khoảng cách từ M về tính khoảng cách từ điểm N dễ tính cách sử dụng kết sau
Nếu M N// (α)thì d(M, (α))=d(N, (α)). Nếu M N∩(α)={I}thì d(M, (α))= M I
N I ·d(N, (α)).
Khi sử dụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển chân đường cao, với ý sau
Chú ý
Cho hình chóp S.A1A2· · ·An có đường cao SH.
Kẻ AiE⊥H Aj Khi
d(Ai, (SH Aj))=AiE
Kẻ HF⊥AiAj, HK⊥SF Khi đó
d(H, (S AiAj))=HK=
HF·HS p
HF2+HS2
E A1
H F
K S
A2 A3
A4 An
4 Cách 4:Gắn hệ trục tọa độOx yzvà sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ta thường gắn hệ trục mô hình tốn có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đơi vng góc.
(3)VÍ DỤ (Thi thử, Sở GD ĐT -Lạng Sơn, 2019) Cho khối chópS.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A vng góc với mặt phẳng đáy, S A=a
p
2 Khoảng cách từ A đến(SBC)là
A. a p
6
4 B.
ap3
2 C.
ap6
3 D.
ap2 Lời giải.
Đây tốn tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên Ta áp dụng cách xử lí ý (1)
Gọi M trung điểm BC AM ⊥BC,AM = a p
3 GọiH hình chiếu vng góc Alên SM, ta có AH⊥ (SBC) Trong tam giác vngS AM, ta có:
1 AH2 =
1 AS2+
1
AM2 ⇒AH= ap6
4 Vậyd(A, (SBC))=AH=a
p
S
H
M A
B
C
Chọn đáp án A
VÍ DỤ (KSCL HK2 Cụm trường THPT TP Nam Định)
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=ap3 Hình chiếu vng góc A0lên(ABCD)trùng với giao điểm AC vàBD Khoảng cách từB0đến mặt phẳng(A0BD)là
A. a
2 B. a p
3 C. a p
3
6 D. ap3
2
A0 B0
D0 C0
A
D C
B I
Lời giải.
(4)GọiI giao điểm ACvà BD Dựng AH⊥BD
Ta có A0I⊥(ABCD)mà AH⊂(ABCD)nên A0I⊥AH.
Từ ta AH⊥(A0BD)
Suy d(B0, (A0BD))=d(A, (A0BD))=AH Xét∆ABC vuông A có
1 AH2=
1 AB2+
1
AD2⇒AH=
s
AB2·AD2 AB2+AD2 =
ap3 Vậy d(B0, (A0BD))=a
p
A0 B0
D0 C0
A
D C
B I
H
Chọn đáp án D
VÍ DỤ
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tam giác ABC vng B, B A = 2a, BC = a, A A0 = a Trên cạnh AB lấy M cho AM=3BM Tính khoảng cách d từ A0 đến
¡
B0MC¢ A. d=a
p
48 B. d=
2ap6 C. d=a
p
12 D. d=
ap6
18 M
B0
B A0
A
C0
C
Lời giải.
Vì cần tính khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng (B0CM)nên ta dựng hình chóp có mặt bên 4B0MC Hơn B A BC, BB0 đơi vng góc, nên ta xét hình chóp B0BMC Khi đó, ta chuyển khoảng cách từ A0 khoảng cách từ B sử dụng công thức (*)
Ngồi ra, vìB A BC, BB0đơi vng góc nên ta gắn hệ trục tọa độ Ox yz Do ta giải tốn theo hai hướng sau:
Hướng 1: Vì ba đường thẳng B A, BC, BB0 đơi vng góc, nên ta gắn hệ trục tọa độ Ox yz, cho B ≡O, A∈ tia Ox, C ∈ tia O y B0∈ tia Oz Khi B(0; 0; 0), A(2a; 0; 0), C(0;a; 0), B0(0; 0; 1), A0(2a; 0;a), C0(0;a;a) M³a
2; 0;
´
(5)GọiIlà giao điểm củaA0BvớiB0M, ta có I A
0
IB = A0B0
MB =4, nên
d(A0, (B0MC))=4d(B, (B0MC))=4h VìB.MCB0là tứ diện vuông tạiB, nên
1 h2=
1 BM2+
1 BC2+
1 B0B2 =
6
a2⇒h= ap6
6 Vậy d=2a
p
M
B0
B A0
A I
C0
C
Chọn đáp án B
VÍ DỤ (Đề thức THPTQG 2019, Mã đề 101)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (S AB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từB đến mặt phẳng (S AC)bằng
A. a p
21
14 B.
ap21 C.
ap2
2 D.
ap21 28
A
B C
D S
Lời giải.
Vì tam giác S AB nằm mặt phẳng vng góc với đáy, nên đường cao tam giác S AB đường cao hình chóp Do đó, hình chiếu S lên (ABCD) trung điểmH cạnhAB Ta chuyển khoảng cách từ Bvề khoảng cách từ H VìBH cắt (S AC) A H trung điểm AB, nên d(B, (S AC))=2d(H(S AC)) Ta có lời giải sau
GọiOlà giao điểm ACvà BD
Gọi H trung điểm AB Khi SH ⊥ (ABCD) SH = a
p
2 (vì tam giác S AB có cạnh a)
Kẻ HK ⊥BD K Khi K trung điểm BO (vì H trung điểm AB AO⊥BD) Do HK=1
2AO= ap2
4 Suy raBD⊥(SHK)
A
B C
O K
D I
H S
(6)Xét tam giác vng SHK có đường caoH I nên
H I2= SH2+
1 HK2=
4 3a2+
16
2a2 ⇒H I= ap21
14 Vậy khoảng cách từ Ađến (SBD)làd (A, (SBD))=2H I=a
p 21
Chọn đáp án B
VÍ DỤ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB=BC=a, AD=2a Cạnh bên S A=2a vng góc với đáy Gọi M trung điểmSB.Tính khoảng cáchdtừMđến mặt phẳng(SCD)
A. d=a p
3
12 B. d=
ap3 C. d=a
p
2 D. d=
ap3
A
B M
D S
C Lời giải.
Bài tốn u cầu tính khoảng cách từ M đến (SCD), ta tìm cách chuyển khoảng cách từ A(do Alà chân đường cao) Để làm điều đó, trước hết ta chuyển khoảng cách từ M khoảng cách từ B, từ chuyển khoảng cách từ A Hoặc ta tìm giao điểm AM với(SCD)và chuyển trực tiếp khoảng cách từ Mvề khoảng cách từ A Cụ thể ta có lời giải sau:
Gọi E giao điểm AB với CD Do BC∥AD BC=
2AD, nên B trung điểm AE Do
d(M, (SCD))= MS
BSd(B, (SCD))= MS
BS · BE
AEd(A, (SCD))=
4d(A, (SCD)) Kẻ A I⊥SC, ta có AC⊥CD nên
d(A, (SCD))=A I= AC·AS AC2+S A2=
2ap3 Vậyd(M, (SCD))=a
p
Chọn đáp án D
(7)Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0cóAB=1,
AC=2, A A0=3 B AC=120◦ Gọi M, N lần
lượt điểm cạnh BB0, CC0 cho BM=3B0M, CN=2C0N Tính khoảng cách từ
điểm Mđến mặt phẳng(A0BN) A.
p 138
184 B.
3p138 46 C.
p
16p46 D.
9p138 46
A
M
C N A0
B0
C0
B Lời giải.
Với liệu cho (lăng trụ đứng, tam giác ABC khơng có tính chất đặc biệt tam giác cân, hay vng) nên ta nghĩ đến việc tính thể tích Trước hết ta tính thể tích khối lăng trụ ta tính tỉ số diện tích tam giác A0MB diện tích tam giác A0B0B, nên ta tính tỉ số thể tích hai khối chópC0A0B0B N A0MB (cùng chiều cao) Hơn ta tính thể tích khối chóp C0A0B0B thơng qua thể tích khối lăng trụ tính trực tiếp Do đó, để tính khoảng cách từM đến mặt phẳng(A0BN)ta cần tính diện tích tam giác A0BN Dựa vào tam giác vuông ta thấy tính độ dài cạnh tam giác A0BN, ta tính diện tích tam giác Ta có lời giải sau:
Ta có
BC2=AB2+AC2−2·AB·ACcosB AC=12+22−2·1·2 cos 120◦=7
Suy raBC=p7 Thể tích khối lăng trụ V=A A0·1
2AB·AC·sinB AC= 3p3
2 Suy
VC0.A0B0B=
2VC0.A0B0B A= 2·
2 3V=
p DoSA0MB=
BM
BB0·SA0B0B=
3
4SA0B0B, nên VN.A0MB=3
4VC0A0B0B= 3p3
8 Mặt khác
A0B=pA0B02+B0B2=p10, BN=pBC2+CN2=p11, A0N=pA0C02+C0N2=p5. Suy
cosàB A0N=
A0B2+A0N2−BN2 2A0B·A0N =
p
5 ⇒sinB Aà0N= p
(8)Suy raSA0BN= 2A
0B·A0N·sin
B A0N=
p 46 Do đód(M, (A0BN))=3VM.A0BN
SA0BN =
9p138 184
Ngồi cách làm trên, ta giải tốn cách dựng hình chóp có mặt (A0BN)chứa mặt phẳng bên hình chóp Vì khoảng cách từ M ta chuyển khoảng cách từB0 Do đó, ta tạo hình chóp có đỉnhB, đường caoBB0 Do đó, ta dựng giao điểmD củaBNvớiB0C0 Khi ta có hình chópB.B0A0D hình chóp cần tìm Ta có lời giải sau:
A0
B0
C0 D
E A B C H M N Ta có
BC2=AB2+AC2−2·AB·ACcosB AC=12+22−2·1·2 cos 120◦=7
Suy raBC=p7 Ta cócosABC=
AB2+BC2−AC2 2·AB·BC =
12+p72−22 2·1·p7 =
2 p
7, suy racosAà
0B0C0=p2
7 GọiD=BN∩B0C0, suy DC
0
DB0=
C0N
BB0 =
1
3, nên DB
0=3
2B
0C0=3
p Từ ta cóA0D2=A0B02+B0D2−2·A0B0·B0DcosAà0B0D=12+
Ã
3p7
!2
−2·1·3 p · p 7= 43 Suy A0D=
p 43
KẻB0E⊥A0D vàB0H⊥BE, suy raB0H⊥(A0BN) Do đód¡
B0, (A0BN)¢
=B0H.
TừcosAà0B0C0=
2 p
7⇒sinAà
0B0C0=
p p
7 Do đóSA0B0D=
1 2·A
0B0·B0D·sinAà0B0D=1
2·1· 3p7
2 · p
3 p
7= 3p3
4 B0E=2SA0B0D
A0D =
2·3 p p 43 =3 p p 43
B0H2= B0E2+
1 B0B2 =
1
Ã
3p3 p
43
!2+
1 32=
46 27⇒B
0H= r
(9)TừBM=3B0M suy rad¡
M, (A0BN)¢
=3 4d
¡
B0, (A0BN)¢
=3 4·B
0H=3
4·
r
27 46=
9p138 184
Chọn đáp án A
Tóm lại: Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta thường chuyển về
Khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp.
Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên hình chóp.
Khoảng cách từ đỉnh tứ diện vng đến mặt đối diện.
{Bài tốn Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhauavà b Tính khoảng cách giữaavàb. Lời giải.
Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng các cách sau:
1 Cách 1:Dựng đoạn vng góc chung M N của avàb Khi d(a,b)=M N.
Chú ý Nếua⊥b thì ta dựng đoạn vng góc chung củaavà bnhư sau
Dựng mặt phẳng(α)chứabvà vng góc với a. Tìm giao điểmO=a∩(α).
Dựng OH⊥b.
ĐoạnOH chính đoạn vng góc chung củaavà b.
2 Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b, đó: d(a,b)= d(a, (α))=d(M, (α))vớiM là điểm thuộc(α).
3 Cách 3:Dựng hai mặt phẳng(α)đi quaavà song song vớib,(β)đi quabvà song song vớia Khi đó: d(a,b)=d((α), (β)).
4 Cách 4:Sử dụng phương pháp tọa độ.
Giả sử #»u, #»v lần lượt VTCP củaa, b và M∈M, N∈b Khi đó d(a,b)=
¯ ¯ ¯(
#»
u∧#»v)·M N# »
¯ ¯ ¯
|#»u∧#»v|
(10)VÍ DỤ (KSCL, Sở GD ĐT - Thanh Hóa, 2018)
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh ap2 Tính khoảng cách hai đường thẳng CC0 vàBD
A. a p
2
2 B. ap2
3 C. a D. a
p
A0 D0
B0
A B
D O
C0
C
Lời giải.
Đây toán dễ Ta thấyCC0nằm mặt phẳng (ACC0A0)vng góc vơi BDtại trung điểmO củaBD, nên ta cóOC đường vng góc chung Do
d[CC0,BD]=OC= AC =
2a =a
Chọn đáp án C
VÍ DỤ (Thi thử lần I, Sở GD ĐT Sơn La 2019)
Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB A0C0bằng
A. a B. ap2 C. 2a D. ap3
B0
B A0
A
C0
C
Lời giải.
Ta thấy hai đường thẳng ABvà A0C0nằm hai mặt phẳng đáy, nên khoảng cách chúng khoảng cách hai đáy, nên ta có lời giải sau:
Ta thấy AB⊂(ABC); A0C0⊂¡
A0B0C0¢
Mà(ABC)∥¡A0B0C0¢
Nênd¡AB;A0C0¢=d¡(ABC);¡A0B0C0¢¢=A A0=a
Chọn đáp án A
VÍ DỤ (Tập huấn, Sở GD ĐT lần 1, 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnhavà S Avng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng S Avà BCbằng
A. a p
2
2 B.
ap3
4 C. a D.
ap3
(11)của AlênBC.Ta có lời giải sau: Lời giải.
Gọi M trung điểm cạnh BC, suy AM⊥BC (1) 4ABC AM=a
p
VìS A⊥(ABC)⇒S A⊥AM (2)
Từ(1) và(2)suy rad(S A,BC)=AM=a p
3
S
A C
M B
Chọn đáp án D
VÍ DỤ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, S A⊥(ABCD), S A=a Tính khoảng cách hai đường chéo nhauSC vàBD
A. a
3 B. a p
6 C. pa
6 D. ap3
2
B
A D
S
C
Ta nhận thấyBD⊥(S AC)nên khoảng cách hai đường thẳng độ dài đoạnOK, trong đóOlà trung điểmBD,K là hình chiếu củaOlên SC
Lời giải.
Do BD⊥AC BD⊥S A nên BD⊥(S AC) Suy BD⊥SC
Trong mặt phẳng(S AC)gọiK hình chiếu củaO lênSC Khi đód(BD,SC)=OK
GọiH trung điểm SC Xét tam giácHOC ta có:
1 OK2 =
1 OH2+
1 OC2 =
4 a2+
2 a2 =
6
a2⇒OK= a p
6
S
A
B C
O
D K
H
Chọn đáp án C
(12)Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB=a, A A0= 2a Khoảng cách AB0vàCC0bằng
A. 2a p
5
5 B. a C. a
p
3 D. a
p
B A
A0
B0 C0
C
Ta thấy AB0 nằm mặt phẳng (ABB0A0) song song với CC0 Do khoảng cách giữa AB0và CC0 chính khoảng cách từCđến(ABB0A0).
Lời giải.
DoCC0∥(A A0B0B)nên
d(AB0,CC0)=d(CC0, (A A0B0B))=d(C, (A A0B0B)) GọiH trung điểm AB
Do4ABC nênCH⊥AB (1)
Mặt khác, A A0⊥(ABC)nênCH⊥A A0 (2) Từ(1)và (2)suy raCH⊥(A A0B0B)
Vậyd(C, (A A0B0B))=CH=a
p
A A0
B
C C0
B0
H
Chọn đáp án D
VÍ DỤ (Đề thi thử lần ĐHSP Hà Nội-2019) Cho khối chóp S.ABC có (S AB) ⊥ (ABC), (S AC)⊥(ABC), S A=a, AB=AC=2a, BC=2ap2 Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SM AC
A. a
2 B.
a p
2 C. a D. a
p
Từ giả thiết ta cóS Alà đường cao hình chóp Ta dựng mặt phẳng chứa đường này song song với đường Ta ưu tiên dựng mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng đáy, tức dựng mặt phẳng chứaSM và song song với AC Do M là trung điểm của BC và cần dựng song song nên ta nghĩ đến dựng đường trung bình tam giác ABC Do đó, ta dựng I alf trung điểm AB Khi đó, AC∥(SM I), nênd(AC,SM)=d(AC, (SM I))=d(A, (SM I)) Đến ta có tốn quen thuộc tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
(13)GọiI trung điểm AB, M I∥AC⇒AC∥(S I M) Do đód(SM;AC)=d(AC; (SM I))=d(A; (SM I))
Kẻ AK⊥S I Khi đó, ta chứng minh AK⊥(SM I) Nênd(A; (SM I))=AK=pa
2 (do4S ABvng cân A có AK đường cao)
S
A I
B
C M
K
Chọn đáp án B
VÍ DỤ (Thi thử, Sở GD ĐT -Lạng Sơn, 2019)
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Gọi M,N trung điểm AC B0C0 Khoảng cách hai đường thẳngM N vàB0D0bằng
A. ap5 B. a p
5
5 C. 3a D.
a
B
A D
M A0
B0 C0
D0
N
C
Với mơ hình cho hình lập phương, ta gắng hệ trục tọa độOx yzđể giải bài toán Ta chọn hệ trụcOx yz sao cho A≡O, B∈tiaOx, D∈ tiaO y, A0∈tiaOz Khi đó, ta xác định tọa độ điểm cịn lại.
Ngồi cách trên, ta giải cách dựng mặt phẳng chứa M N song song với B0D0 Do N là trung điểm B0C0, nên ta dựng mặt phẳng (M N P) với P là trung điểm C0D0 Khi đó d(B0D0,N M)=d(B0D0, (M N P))=d(O, (M N P)) vớiO là trung điểm B0D0 Ta chọnO vì ta cóMO⊥(A0B0C0D0) Vậy ta giải tốn theo hai cách sau:
Lời giải.
Cách 1:Gắn hệ trục tọa độ Ox yz cho A≡O,B∈tiaOx, D∈tiaO y, A0∈tiaOz ta chọna=2 Khi đóB0(2; 0; 2), D0(0; 2; 2),M(1; 1; 0),N(2; 1; 2) Suy
# »
M N=(1; 0; 2), B# »0D0=(−2; 2; 0), B# »0M=(−1; 1;−2) Do
# »
M N∧B# »0D0=(−4;−4; 2), ³M N# »∧B# »0D0´·B# »0M= −4 Suy
d(M N,B0D0)=
|³M N# »∧B# »0D0´·B# »0M| |M N# »∧B# »0D0| =
2 3=
(14)Gọi O,N,P trung điểm cạnh B0D0,BC0,C0D0 VìB0D0∥N P nên
d(B0D0,M N)=d(B0D0, (M N P))=d(O, (M N P)) Tứ diệnO.M N P cóOM,ON,OP đơi vng góc,
1
d(O, (M N P))2 = OM2+
1 ON2+
1 OP2 ⇒d(O, (M N P))=a
3 Vậy d(B
0D0,M N)=a
3
C D
P
A0 B0
D0
N O
A
C0 B
M
Chọn đáp án D
VÍ DỤ (Hàm Rồng - Thanh Hóa,lần - 2019)
Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vng cạnha Cạnh bênS A vng góc với đáy ABCD Góc giữaSC mặt phẳng đáy bằng45◦ GọiE trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE vàSC
A. a p
5
19 B.
ap38 C.
ap5
5 D.
ap38 19
B
A D
S
C E
Với tốn này, ta giải theo hai cách sau:
Cách 1:Gắn hệ trục tọa độOx yz với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),D(0;a; 0) vàS∈tiaOz Khi đó ta tìm tọa độ đỉnh cịn lại.
Cách 2:Ta dựng mặt phăng chứa SCsong song vớiDE Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành DECF Khi khoảng cách cần tính khoảng cách từ D đến (SCF) và ta chuyển khoảng cách từ A đến (SCF) Cách bạn đọc tự làm, lời giải dưới theo cách thứ hai.
Lời giải.
Dựng hình bình hànhCEDF, ta có:DE∥CF⇒DE∥(SCF) Do đód(DE,SC)=d(D, (SCF))
Lại cóAD∩(SCF)=F nên d(D, (SCF)) d(A, (SCF))=
F D F A =
1 Suy rad(DE,SC)=1
3d(, (SCF))
A B
H S
F K
E C
D
Ta cóS A⊥(ABCD)nên(SC, (ABCD))=(SC,AC)=SC A=45◦
⇒S A=ACtanSC A=a
p
(15)Khi đód(A, (SCF))=AH Ta có
CF=DE=pDC2+CE2=a p
5
2 , S4ACF=
2CD·AF=
2AK·CF Suy AK= AF·CD
CF = 3ap5
5 Xét4S AK có
AH2 = AS2+
1
AK2⇒AH=
3ap38 19 Vậy d(DE,SC)=1
3d(A, (SCF))= 3AH=
ap38 19
Chọn đáp án D
VÍ DỤ (Thi thử lần 1, THPT Văn Giang - Hưng n, 2019)
Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mp(ABC) 45◦ Hình chiếu S lênmp(ABC)là điểm H thuộc AB cho H A=2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng S Avà BC
A. a p
210
45 B.
ap210 20 C. a
p 210
15 D.
ap210 30
A C
S
B H
Để tính khoảng cách hai đường thẳng S A và BC ta dựng mặt phẳng chứa S A và song song vớiBC Để làm điều đó, ta dựng hình bình hành ABCD Khi khoảng cách cần tính khoảng cách B đến (S AD)và ta chuyển khoảng cách từ H.
Lời giải.
Dựng hình bình hành ABCD, ABCD hình thoi cạnhavàBC∥AD⇒BC∥(S AD) Do
d (S A;BC)=d [BC; (S AD)]=d [B; (S AD)] Từ B A
H A=
2⇒d [B; (S AD)]=
2d [H; (S AD)] Ta cóSH⊥(ABC)nên suy
á
(SC; (ABC))=(SC;áHC)=SCH
Suy raSCH=45◦
S
B H
A
C I
D K
HC2=HB2+BC2−2HB·BC·cosHBC= ³a
3
´2
+a2−2·a
3·acos 60
◦=7a
2
9 ⇒HC= ap7
(16)Tam giác SHC vuông H SCH=45◦ nên tam giác SHC vuông cân tạiH Từ
ta cóSH=HC=a p
7
KẻHK⊥ADtạiK⇒H AK=60◦ Do
HK=H A·sinH AK=
2a
3 ·sin 60
◦= a
p 3 KẻH I⊥SK tạiK, suy H I⊥(S AD)ta có
d [H; (S AD)]=H I=pHK·HS HK2+HS2 =
ap210 30 Vậyd (S A;BC)=3
2d [H; (S AD)]= 2H I=
3 2·
ap210 30 =
p 210 20
Chọn đáp án B
A BÀI TẬP
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có S A vng góc với (ABCD), ABCD hình thang vng có đáy lớnAD gấp đôi đáy nhỏBC, đồng thời đường cao AB=BC=a BiếtS A=ap3, khoảng cách từ đỉnhB đến đường thẳng SClà
A. a p
10
5 B.
2ap5
5 C. a
p
10 D. 2a
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0có đáy 4ABC cạnh atâmO Hình chiếu C0 lên mặt phẳng(ABC)trùng với trọng tâm của4ABC Cạnh bênCC0tạo với mặt phẳng đáy
(ABC)một góc60◦ Tính khoảng cách từO đến đường thẳng A0B0 A. 7a
4 B.
a
2 C.
ap7
2 D.
7a
Câu 3. Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác vng A, biết S A⊥(ABC)và AB=2a, AC=3a,S A=4a Tính khoảng cáchd từ A đến mặt phẳng(SBC)
A. d=12a p
61
61 B. d=
2a p
11 C. d=
ap43
12 D. d=
6ap29 29
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a>0 Khi khoảng cách từ đỉnh Ađến mặt phẳng(BCD)bằng
A. a p
2
3 B.
ap6
3 C.
ap3
3 D.
ap8
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC, DBC vng cân nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau.AB=AC=DB=DC=2a Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng (ACD)
A. 2a p
6
3 B.
ap6
3 C. a
p
6 D. a
(17)Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, S A⊥(ABCD) S A=ap3 Khi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng(S AC)bằng
A. d (B, (S AC))=a B. d (B, (S AC))=ap2 C. d (B, (S AC))=2a D. d (B, (S AC))=pa
2 A
B C
D S
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vng tâmOvà tất cạnh a Gọi M trung điểm đoạn O A Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD)
A. a p
6
6 B.
ap6
2 C.
ap6
4 D. a
p
Câu 8. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giácS ABđều nằm mặt phẳng vng góc mặt phẳng đáy BiếtSD=2ap3và góc tạo đường thẳngSC mặt phẳng(ABCD)bằng30◦ Tính khoảng cách htừ điểmBđến mặt phẳng(S AC)
A. h=a p
13
3 B. h=
2ap66
11 C. h=
2ap13
3 D. h=
4ap66 11 Câu 9.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, tâm O,SO= a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từOđến mặt phẳng(SCD)bằng
A. p
5a
5 B.
p 2a
2 C.
p 6a
3 D.
p 3a
A
B C
D S
O
Câu 10. Khối chópS.ABC có đáy tam giác vng cân B AB=a,S A⊥(ABC) Góc cạnh bên SBvà mặt phẳng(ABC)bằng60◦ Khi khoảng cách từ Ađến(SBC)là
A. ap3 B. a
p
2 C.
ap3
3 D.
ap3
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có cạnh đáy bằnga Góc cạnh bên mặt phẳng đáy bằng60◦ Tính khoảng cách từ đỉnh Sđến mặt phẳng(ABCD)
A. a p
3
2 B. a C.
ap6
2 D. a
p
Câu 12. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=ap3 Cạnh bên S A vng góc với đáy S A =2a Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)
A. d=p2a
5 B. d=
2ap57
19 C. d=
ap57
19 D. d=
ap5
Câu 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB=2a, AD=a, A A0=ap3 Gọi M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cáchhtừ điểmD đến mặt phẳng(B0MC)
A. h=pa
21 B. h=
ap21
14 C. h=
3ap21
7 D. h=
(18)Câu 14. Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC cóS A=a,AB=3a Khoảng cách từSđến mặt phẳng(ABC)bằng
A. a p
7
2 B. a C.
a
2 D.
ap3 Câu 15.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B có AB=BC=a, tam giácS AC nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng(ABC)(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ Ađến (SBC)bằng
A. a p
21
14 B. 2a C.
ap42
7 D.
ap42 14
A
B C
S
Câu 16.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB= a, AD =ap2, cạnh bên S A vng góc với mặt phẳng(ABCD), góc giữaSC mặt phẳng(ABCD)bằng 60◦ Gọi M trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ điểmM tới mặt phẳng(ABCD)bằng
A. a
2 B.
3a
2 C. 2a
p
3 D. ap3
D C
M
B S
A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SBD)làap6 Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng(SBD)
A. a p
6
3 B.
ap6
2 C.
p
6a D. ap6
Câu 18.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, đường chéo AC=2a S A vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách hai đường thẳngSB vàCD
A. ap2 B. pa
3 C. a p
2 D. a p
3
S
A B
D C
(19)Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BB0 A0C0bằng
A. p3a B. a C.
p 2a
2 D.
p 2a
A
B C
D
B0 C0
D0 A0
Câu 20. Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB vàCD
A. d(AB,CD)=3a
2 B. d(AB,CD)=a C. d(AB,CD)= ap3
2 D. d(AB,CD)= ap2
2 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên S A vng góc với đáy,I trung điểm củaAC,Hlà hình chiếu củaI trênSC Kí hiệud(a,b)là khoảng cách hai đường thẳngavà b Khẳng định sau đúng?
A. d(BI,SC)=I H B. d(AB,SC)=BH C. d(SB,AC)=AB D. d(S A,BC)=AB Câu 22.
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0có tất cạnh bằnga Gọi Mlà trung điểm củaBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B0C.
A. a p
2
2 B.
ap2
4 C. a D. a
p
A A0
C C0 B0
B M
Câu 23.
Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0có cạnh bằnganhư hình bên Tính khoảng cách hai đường thẳng A A0và B0D0
A. a B. a
p
2 C.
a
2 D. a
p
A B A0
B0
C D
C0 D0 O
Câu 24. Cho lăng trụ đềuABC.A0B0C0có tất cạnh bằnga Khoảng cách hai đường thẳng ACvàBB0
A. p2a
5 B.
p 5a
3 C.
a p
5 D.
p 3a
Câu 25. Cho khối chóp S.ABCD có S A⊥(ABCD), đáy ABCD hình vng cạnh 4, biết S A=3 Khoảng cách 2đường thẳngSB AD
A.
5 B.
12
5 C.
6
5 D.
(20)A. 2a B. ap3 C. a D. ap5
Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng tại A, AB=a, BC=2a.
GọiM,N, P lầ lượt trung điểm AC,CC0, A0Bvà H hình chiếu A lênBC Tính khoảng cách giữaMP N H
A. a p
3
4 B. a
p
6 C. a
p
2 D. a
Câu 28. Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD
A. 3a
2 B. a C.
ap3
2 D.
ap2
Câu 29. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy ABC tam giác vuông A, AB=a Khoảng cách hai đường thẳng ACvà BB0là
A. p
2
2 a B. a C.
p
2a D.
p a
Câu 30. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng ACvà SBlà
A. a p
3
2 B. a C.
a
2 D.
ap2
Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu S mặt phẳng (ABC)trùng với trung điểm BC Cho S A hợp với đáy góc 30◦ Khoảng cách hai đường thẳngS A vàBCbằng
A. a p
3
2 B.
ap2
3 C.
2ap3
3 D.
ap3
Câu 32. Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc
ABC=120◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng A0Cvà BB0
A. a p
3
2 B. a
p
3 C. a
2 D.
a p
3
Câu 33. Cho tứ diện O ABC cóO A, OB, OC đơi vng góc với OB=a
2, O A= 2OB, OC=2O A Khoảng cách hai đường thẳngOB ACbằng bao nhiêu?
A. pa
3 B.
3a
2p5 C.
2a p
5 D.
2a p
3 Câu 34.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng1 (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng A A0và BDbằng
A.
2 B.
C. p2 D.
p 2
A
B C
D A0
B0 C0
D0
Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0có tất cạnh bằnga. Mlà trung điểm
của A A0 Tìm khoảng cách hai đường thẳng MB0và BC
A. a B. a
2 C.
ap6
3 D.
(21)Câu 36. Cho hình chópS.ABC có đáy ABC tam giác vng, AB=AC=a Biết tam giác S AB có ABS =60◦ nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách d từ
điểm A đến mặt phẳng(SBC)theoa A. d=a
p 21
7 B. d=3
p
3 C. d=2ap3 D. d=a p
3 Câu 37.
Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh bằng2a Gọi I trung điểm AB Biết hình chiếu S lên mặt phẳng(ABC)là trung điểm củaC I, góc giữaS Avà mặt đáy 60◦ (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng S Avà C I
A. a p
57
19 B. ap7
4 C.
ap21
5 D.
ap42
S
A C
B H I
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A⊥(ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC vàSB
A. a p
2
2 B.
ap15
5 C. 2a D.
ap7
Câu 39. Cho hình chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh2a, tam giácS ABđều, góc (SCD)và (ABCD)bằng60◦ Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnhS lên mặt phẳng(ABCD)nằm hình vng ABCD Tính theoakhoảng cách hai đường thẳngSM AC
A. 5a p
3
3 B.
ap5
5 C.
2ap5
5 D.
2ap15
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Dựng mặt phẳng (P) cách năm điểm A,B,C,D vàS Hỏi có tất mặt phẳng (P)như vậy?
A. 4mặt phẳng B. 5mặt phẳng C. 1mặt phẳng D. mặt phẳng Câu 41. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a,
SB A =SC A=90◦, góc đường thẳng S A mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính theo a
khoảng cách hai đường thẳngSBvà AC A. 6a
7 B.
2a
7 C.
2a p
57 D.
6a p
57
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, S A vng góc với mặt phẳng đáy BiếtS A=2p2a, AB=a, BC=2a Khoảng cách BDvà SC
A. p
7a
7 B.
p 7a
7 C.
p
7a D.
p 6a
Câu 43. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0có cạnh bằnga Khoảng cách từ điểmDđến mặt phẳng¡
AD0B0¢
bằng A. a
p
3 B.
ap2
2 C.
ap6
(22)Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tam giác S AB nằm mặt phẳng vng góc với đáy(ABCD) Tính khoảng cách từ Ađến(SCD)
A. B.
p 21
7 C.
2p3
3 D.
p
Câu 45. Cho hình chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh2a,tam giácS ABđều, góc (SCD)và (ABCD)bằng60◦.Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnhStrên mặt phẳng(ABCD)nằm hình vng ABCD.Tính theoakhoảng cách hai đường thẳngSM AC
A. a p
5
5 B.
5ap3
3 C.
2ap5
5 D.
2ap15
Câu 46. Cho hình chópS.ABCD có đáy hình thoi tâmOcạnh AB=2ap3,gócB ADbằng
120◦.Hai mặt phẳng S AB S AD vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) (ABCD)bằng45◦.Tính khoảng cáchhtừO đến mặt phẳng(SBC)
A. h=a p
3
2 B. h=
3ap2
4 C. h=
ap2
3 D. h=3a
Câu 47. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnha Gọi I, J trung điểm BCvà AD Tính khoảng cáchdgiữa hai mặt phẳng(A I A0)và(C JC0)
A. d=2a
r
5
2 B. d=2a p
5 C. d=a
p
5 D. d=
3ap5 Câu 48.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a, A A0 = b Gọi M,N trung điểm A A0,BB0(tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách hai đường thẳngB0MvàCN
A. d(B0M,CN)= p
3ab p
12a2+4b2 B. d(B0M,CN)=
p 3ab p
4a2+12b2 C. d(B0M,CN)= a
2 D. d(B0M,CN)= a
p
A
A0 M
B
C
B0
C0 N
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng10 Cạnh bên S A vng góc với mặt phẳng (ABCD)và SC=10p5 Gọi M, N trung điểm S A vàCD Tính khoảng cáchdgiữa BDvà M N
A. d=3p5 B. d=p5 C. d=5 D. d=10
Câu 50. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình vng Đường thẳngSD tạo với đáy ABCD góc 60◦ Gọi M trung điểm AB Biết MD= 3a
p
2 , mặt phẳng (SD M) mặt phẳng(S AC)cùng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SM theoa
A. a p
5
4 B.
3ap5
4 C.
ap15
4 D.
(23)ĐÁP ÁN
1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.D
11.C 12.B 13.D 14.B 15.C 16.B 17.D 18.A 19.C 20.D
21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.C 27.A 28.D 29.B 30.C
31.D 32.C 33.C 34.D 35.D 36.A 37.C 38.B 39.B 40.B