Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng năm 2014 đến tháng năm 2015 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Huyền Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường Địa liên hệ: Xóm - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0944.347780 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.886.167 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình hình học lớp 11, 12 toán khoảng cách không gian nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Các toán khoảng cách phong phú đa dạng, đòi hỏi người học phải có tư tốt, có trí tưởng tượng không gian phong phú có kĩ tính toán tốt Do học sinh có lực học trung bình, trung bình toán khoảng cách thường mảng kiến thức khó dễ điểm, học sinh có lực học khá, giỏi em làm tốt phần thân nhiều em chưa tổng quát phương pháp giải cụ thể cho dạng tập nên gặp toán dạng em thường nhiều thời gian để giải Với mong muốn giúp em có nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn, có phương pháp giải cho dạng tập khoảng cách không gian định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp” Từ giúp học sinh đỡ e ngại gặp toán khoảng cách không gian tổng hợp II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Thực trạng trước tạo sáng kiến Hình học không gian mảng khó toán học phổ thông khó học sang quan hệ vuông góc Đối với quan hệ song song không gian, tính chất hình vẽ nhiều khác biệt hình học phẳng nên em dễ nắm bắt dạng toán phương pháp giải Còn quan hệ vuông góc, tính chất có nhiều khác biệt, khó hình vẽ vuông góc không gian hoàn toàn không giống hình học phẳng Do qua quan sát để ý tìm hiểu tôi, nhận thấy học sinh hạn chế sau: + Khả tưởng tượng không gian kĩ vẽ hình không gian không tốt, đặc biệt toán liên quan đến quan hệ vuông góc + Chưa có kĩ vận dụng kiến thức linh hoạt giải tập + Chưa tự tổng quát phương pháp giải tập sau dạng tập Mà nguyên nhân hạn chế là: + Học sinh chưa quen với cách vẽ hình hình học không gian, đặc biệt toán quan hệ vuông góc + Giáo viên chưa phân loại đưa cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh dạng tập Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Giáo viên chưa trọng rèn kĩ vẽ hình, kĩ tính toán, kĩ tổng hợp vấn đề cho học sinh + Giờ học hình học không gian chưa thực hấp dẫn lôi cuốn, rời rạc tẻ nhạt Từ thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn em từ kiến thức Trên sở thấy học sinh yếu phần ta bổ sung kịp thời với hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến học Trong đề tài cố gắng đưa số phương pháp giải dạng tập cụ thể hay gặp để từ giúp học sinh có nhìn tổng quát cụ thể Mô tả giải pháp sau áp dụng sáng kiến A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Các phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng : Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc với Cách Chứng minh d đường thẳng thuộc mặt phẳng d vuông góc với giao tuyến a Các định nghĩa khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng khoảng cách A với hình chiếu vuông góc H A Kí hiệu: d(A, ) Như d(A, ) = AH b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm A mặt phẳng , gọi H hình chiếu vuông góc A lên Khi khoảng cách hai điểm A H gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Kí hiệu: d(A,) Như d(A, ) = AH c) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Kí hiệu: d(a,) d) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng e) Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b + Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Một số công thức cần nhớ a/ Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: b/ Định lí Cosin tam giác: Trong tam giác ABC có (Trong tam giác bình phương độ dài cạnh tổng bình phương độ dài hai cạnh lại trừ lần tích hai cạnh với cosin góc xen giữa) c/ Các công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi p, R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S diện tích tam giác ABC Khi ta có: S * Đối với phương pháp tọa độ không gian có Công thức khoảng cách hình học không gian Oxyz Trong không gian Oxyz cho điểm M Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là: B- BÀI TẬP IKHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta thực sau: Bước Trong mặt phẳng hạ Bước Tính dựa vào công thức học Đặc biệt: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Nếu tồn đường thẳng qua A song song với + Nếu đường thẳng qua A cắt I với điểm B thuộc có: Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a, Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC AB a) Chứng minh rằng: b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Từ suy khoảng cách từ S đến CM Giải: a) Trong tam giác SAC có I, O trung điểm SC, AC nên IO // SA Mà nên b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM Gọi trọng tâm tam giác ABC Trong tam giác ABC có Gọi H hình chiếu I CM ta có: +/ Tính khoảng cách từ S đến CM Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a vuông C với AB = 2a, Gọi M điểm di động cạnh AC, H hình chiếu vuông góc S BM a) Chứng minh b) Đặt AM = x với Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất? Giải a) Có Mà Vì b) Vì Trong tam giác vuông SAH có Trong tam giác vuông ABC có Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Trong tam giác vuông MBC có: Thay AH SA vào (1) ta được: Từ (1) suy ra: +/ SH lớn AH lớn nhất, +/ SH nhỏ AH nhỏ nhất, Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O cạnh a Hình chiếu C’ mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC Cạnh CC’ hợp với mặt phẳng (ABC) góc Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách: a) Từ O đến CC’ b) Từ C đến IC’ c) Từ C đến A’B’ Giải a) Trong tam giác C’OC kẻ Vì nên CO hình chiếu vuông góc CC’ mặt phẳng (ABC) suy góc tạo CC’ (ABC) góc b) c) Gọi I’ trung điểm A’B’ Trong tam giác CI’I có BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy S cho SA = 4cm Tính khoảng cách từ S đến BC Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Tính độ dài AD c) Gọi M thuộc đoạn thẳng SA cho AM = x, Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD hình thoi tâm O, Tính a) Khoảng cách từ O đến SC b) Khoảng cách từ D đến SB KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ta sử dụng cách sau: Cách (Tính trực tiếp) Xác định hình chiếu H A +Bước Chọn đường thẳng d dựng mặt phẳng A qua vuông góc với d (nên chọn d cho dễ dựng) +Bước Xác định giao tuyến +Bước Dựng II- Chú ý: + Trong bước ta nên xem xét xem d có sẵn hình vẽ chưa + Các trường hơp đặc biệt: - Trong hình chóp chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy - Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy chân đường cao hạ từ đỉnh hình chóp thuộc giao tuyến hai mặt phẳng - Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên - Hình chóp có cạnh bên (hoặc góc tạo cạnh bên với đáy nhau) chân đường cao chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Cách (Tính gián tiếp) Đi tìm khoảng cách từ điểm B khác A đến (dễ tìm) từ tính khoảng cách từ A đến Ta thường sử dụng kết sau: + Nếu có đường thẳng qua A song song với + Nếu qua A cắt I với điểm B thuộc ta có Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Lưu ý: Đối với toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng điểm B thường xét chân đường cao hạ từ đỉnh hình chóp xuống mặt phẳng đáy Cách Sử dụng công thức thể tích Lưu ý: Đối với phương pháp ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh khối chóp để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hay sử dụng với khối chóp có đáy tam giác nhiều Cách Sử dụng phương pháp tọa độ không gian (Khi hình có sẵn dựng ba đường thẳng phân biệt đôi vuông góc) ĐẶC BIỆT: Đối với toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song toán tính khoảng cách hai mặt phẳng song song ta quy toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, , SA = a a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) b) I trung điểm AB, tính khoảng cách từ I đến mp(SBC) c) G trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) Giải a) Cách (Tính trực tiếp) Trong (SAB) kẻ AH SB, Có Hay Trong tam giác vuông SAB có SA = AB = a Cách (Sử dụng công thức thể tích) b) Vì nên c) Gọi Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Ví dụ 2.2 Cho tam giác cạnh a, đường thẳng Ax (ABC) lấy điểm S cho , K trung điểm BC a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) M điểm đối xứng với A qua C G trọng tâm tam giác SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) Giải a) Cách (Tính trực tiếp) Gọi K trung điểm BC Mà Trong mp(SAK) kẻ Hay d(A,(SBC)) = AH Trong tam giác ABC có AK = Trong tam giác vuông SAK có: Cách (Sử dụng công thức thể tích) Thể tích khối chóp S.ABC là: Gọi K trung điểm BC, có b) Vì M đối xứng với A qua C nên Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB = a mặt phẳng (SAC) tam giác cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC), M N trung điểm của SA, BC, biết góc MN (ABC) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a Giải Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách (Tính gián tiếp) Gọi H trung điểm AC SH AC Mà Vì H, N trung điểm AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên HN BC Lại có BC SH nên suy BC (SHN) Trong mp(SHN) kẻ HJ SN, Hay Mànên Gọi I trung điểm AH MI // SH MI (ABC) IN hình chiếu vuông góc MN (ABC) góc tạo MN mp(ABC) góc tạo hai đường thẳng MN IN góc (gt) Trong tam giác vuông ABC có AC = Trong tam giác INC có: Trong tam giác vuông MIN có: Trong tam giác vuông SHN có: Cách ( Sử dụng công thức thể tích) Gọi H trung điểm AC SH AC Mà Gọi I trung điểm AH MI // SH MI (ABC) IN hình chiếu vuông góc MN (ABC) góc tạo MN mp(ABC) góc tạo hai đường thẳng MN IN góc (gt) Trong tam giác vuông ABC có AC = Trong tam giác INC có: Trong tam giác vuông MIN có: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 mặt phẳng (SCD) có vec tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (SCD) là: Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a, SA (ABCD) Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách từ: a) A đến mặt phẳng (SBD) b) A đến mặt phẳng (SBM) Giải Cách (Tính trực tiếp) a) Trong tam giác ABD kẻ mà, (SAH) kẻ hay b) Trong ABM kẻ AK BM, mà BM SA BM (SAK) Trong SAK kẻ AF SK, BM AF AF (SBM) Vậy Trong ABM ta có: Cách (Sử dụng công thức thể tích) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 a) Thể tích khối chóp S.ABD là: Ta có Gọi I trung điểm SB b) Diện tích tam giác ABM là: Diện tích tam giác SBM là: Cách (Sử dụng phương pháp tọa độ không gian) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp S.ABCD cho gốc tọa độ trùng với điểm A, tia Ox trùng với AB, tia Oy trùng với AD, tia Oz trùng với AS (như hình vẽ) Khi ta có: a) b) Phương trình mp(SBD) là: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Phương trình mp(SBM) là: Khoảng cách từ A đến (SBM) là: Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA vuông góc với đáy, , M trung điểm BC, Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) theo a Giải Cách (Tính gián tiếp) Vì Hình thoi ABCD có mà AB = BC ABC M trung điểm BC AM BC mà BC SA Trong tam giác vuông SAM gọi H trung điểm SM, nên SAM vuông cân A Cách (Sử dụng công thức thể tích) Tam giác SAM có nên tam giác vuông cân A Có Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách ( Sử dụng phương pháp tọa độ không gian) Tam giác ABC có M trung điểm BC nên Mà SA (ABCD) nên AS, AM, AD đôi vuông góc Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp cho gốc tọa độ O trùng với A, tia Ox trùng với tia AM, ta Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Tam giác SAM có nên tam giác vuông cân A Ví dụ 2.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a Giải Cách (Tính gián tiếp) Gọi I giao điểm AB CD ta có: Gọi E trung điểm AD Tứ giác ABCE có: ABCE hình vuông CE = AE = a Có Trong mặt phẳng (SAC) kẻ AH SC Khoảng cách từ A đến (SCD) Trong tam giác vuông SAC có: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách (Sử dụng công thức thể tích) Thể tích khối chóp S.ABCD Thể tích khối chóp S.ABD là: Thể tích khối chóp S.BCD Gọi E trung điểm AD Tứ giác ABCE có: ABCE hình vuông CE = AE = a Có hay tam giác SCD vuông C Diện tích tam giác SCD là: Cách (Sử dụng phương pháp tọa độ không gian) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp cho gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khi ta có: Suy Mặt phẳng (SCD) có véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (SCD) Khoảng cách từ B đến mp(SCD) là: Ví dụ 2.10 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc A’C mặt đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) theo a Giải Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách (Tính gián tiếp) Gọi H trung điểm BC Gọi E trung điểm AC Gọi I trung điểm EC HI // BE HI EC Mà EC A’H EC (A’HI) Trong mặt phẳng (A’HI) kẻ HJ A’I, (J A’I) HJ EC HJ (A’AC) d(H,(A’AC)) = HJ hay d(H,(ACC’A’)) = HJ Vì A’H (ABC) nên HC hình chiếu vuông góc A’C (ABC) suy góc tạo A’C (ABC) góc tạo HC A’C góc Trong tam giác vuông A’HI có: Cách (Sử dụng công thức thể tích) Gọi H trung điểm BC Vì A’H (ABC) nên HC hình chiếu vuông góc A’C (ABC) suy góc tạo A’C (ABC) góc tạo HC A’C góc Gợi E trung điểm BC, I trung điểm EC Mà AC A’H nên Thể tích khối chóp A’.ABC là: Cách (Sử dụng phương pháp tọa độ không gian) Gọi H trung điểm BC Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Vì A’H (ABC) nên HC hình chiếu vuông góc A’C (ABC) suy góc tạo A’C (ABC) góc tạo HC A’C góc Ta có HA’, HC, HA đôi vuông góc nên gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình lăng trụ cho gốc tọa độ O trùng với H, tia Ox trùng với tia HA, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HA’ Khi ta có Khoảng cách từ B đến mp (A’AC) khoảng cách từ B đến (ACC’A’) là: Ví dụ 2.11(Đại học 2009 khối D) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a M trung điểm A’C’, I giao điểm AM với A’C Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Giải Cách (Tính trực tiếp) Có Trong A’AB kẻ AK A’B (K A’B) AK BC mà I A’C nên I (A’AC) hay AK (IBC) Khoảng cách từ A tới (IBC) AK Cách (Dựa vào công thức thể tích) Kẻ IH AC(H AC) IH (ABC) Trong tam giác A’AC có AA’ AC, IH AC IH // AA’ Có hay tam giác A’BC vuông B Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1.(ĐH 2014A) Bài 2.(ĐH 2014B) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Bài 3.(CĐ 2014) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên 60° mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN) Bài 4.(ĐH 2013A) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, , SBC tam giác cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy, tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài 5.(ĐH 2013B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD d(A,(SCD)) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp chung: Để tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta quy toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng từ điểm tới mặt phẳng Cụ thể Cách (Thường sử dụng a b chéo vuông góc) Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng b vuông góc với a, cắt a điểm A Từ A kẻ AH b, H b d(a, b)= AH III- Cách Dựng mặt phẳng chứa b song song với a Khi d(a, b) = d(a, ) = d(A, Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Ví dụ 3.1 (Đại học 2010 khối A – Khoảng cách hai đường thẳng chéo vuông góc) Cho hình chóp S.ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB, AD, H giao điểm CN DM, SH vuông góc với (ABCD), SH Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Giải Ta có Mà nên hay Có Vì nên Trong tam giác kẻ , ( ) ta có Hay = HI Ví dụ 3.2 (Khoảng cách hai đường chéo vuông góc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = AD = 2a, BC = 4a Góc SA mặt phẳng đáy Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SB Giải Gọi = Có AO hình chiếu vuông góc SA mp(ABCD) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 góc tạo SA mp(ABCD) góc tạo hai đường thẳng SA AO góc Gọi E trung điểm BC Ta có: ADEB hình vuông Trong tam giác BCD có: mà Có Trong tam giác kẻ , Gọi suy Ví dụ 3.3 (Khoảng cách hai đường chéo không vuông góc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD), AC = 2a, BD = 4a Tính khoảng cách từ AD đến SC Giải Có AD // BC, BC (SBC) AD // (SBC) Trong tam giác ABC kẻ HI BC, I BC mà BC SH Trong tam giác SHI kẻ HJ SI, J SI HJ BC mà BC SI = I HJ (SBC) d(H, (SBC)) = HJ Trong tam giác vuông SHI có: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Ví dụ 3.4 (Đại học 2011 A)-(Khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN Giải Có Có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) góc tạo hai đường thẳng SB AB góc (gt) Từ giả thiết suy N trung điểm AC Gọi đường thẳng qua N song song với AB Trong tam giác SAI kẻ AJ SI, (J SI) mà Vì Trong tam giác vuông có SA Trong tam giác vuông có Ví dụ 3.5 (Đại học 2008 D) – (Khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a, gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C theo a Giải Gọi E trung điểm BB’ ME // B’C Mà ME (AME), B’C (AME) B’C // (AME) Trong tam giác vuông ABM Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 kẻ BI AM, I AM mà AM BB’ AM (BIB’) Trong tam giác vuông BIE kẻ BH IE, H IE BH AM mà AM IE = I Trong tam giác vuông BIE có: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài ( ĐH 2014D) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng chéo SA, BC Bài (ĐH 2013A) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA, BC theo a Bài (ĐH 2010A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm của cạnh AB, AD, H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng chéo DM SC theo a Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M trung điểm CD, N trung điểm A’D’ Tính thể tích tứ diện MB’C’N góc hai đường thẳng B’M C’N III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế hai lớp 11A10, 11A6 năm học 2013 – 2014 đề thi kiểm tra chất lượng học kì II môn Toán năm học 2013 – 2014 Sở Giáo Dục đào tạo Nam Định có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AB = BC = CA = a, SA vuông góc với đáy SA = a Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng SO CD theo a Kết thi: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Số học sinh làm câu khoảng cách Tỉ lệ NĂM HỌC 2014 – 2015 Lớp 11A6 3/40 Lớp 11A10 1/44 7,5% 2,3% Sở dĩ đạt kết do: - Thời gian làm quen luyện tập tập phần khoảng cách chưa nhiều - Là phần kiến thức nên mức độ hiểu hạn chế - Học sinh hai lớp lại chủ yếu có học lực trung bình – - Khi tiếp cận toán khoảng cách lớp 11 thường phải sử dụng phương pháp tính trực tiếp gián tiếp thông qua điểm khác nên hạn chế phương pháp - Học sinh chưa hình thành tảng kiến thức phương pháp giải tập khoảng cách hình học không gian - Khả tưởng tượng để vẽ hình Rút kinh nghiệm từ kết thi tập trung suy nghĩ, tìm tòi hoàn thiện chuyên đề: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học không gian tổng hợp áp dụng vào giảng dạy lớp 12A10 12A6 năm học 2014 – 2015 đạt kết thiết thực sau: + Trong đề thi tám tuần học kì I năm học 2014 – 2015 trường THPT Xuân Trường có câu: a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), SA = a , M N trung điểm của cạnh BC, BA Tính khoảng cách từ M đến mp(SND) (Dành cho lớp từ đến ) Kết thi: Số học sinh làm câu khoảng cách Tỉ lệ Lớp 12A6 20/37 Lớp 12A10 16/40 54,1% 40,0% + Trong đề thi khảo sát chất lượng cuối năm học 2014 – 2015 môn Toán trường THPT Xuân Trường có câu: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích hình chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC) Kết thi sau: Lớp 12A6 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Lớp 12A10 GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Số học sinh làm câu khoảng cách Tỉ lệ NĂM HỌC 2014 – 2015 25/37 20/40 67,6% 50,0% Sau kì thi kiểm tra học sinh bớt e dè với tập khoảng cách Thay nghĩ mặc định câu khoảng cách khó học sinh nhìn nhận câu khoảng cách dễ dàng Một số học sinh tỏ thích thú với tập khoảng cách IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm không chép đâu không vi phạm quyền tác giả Nếu sai thật xin chịu hình thức kỉ luật quan công tác quan chủ quản TÁC GIẢ SÁNG KIẾN CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá¸, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Huyền Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN Danh mục tài liệu tham khảo Lê Hồng Đức (Chủ biên), 2004, Phương pháp giải Toán Hình học tập 4, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Lê Đức, 2009, Các dạng Toán điển hình Hình học 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng, 2007, Phân loại phương pháp giải dạng tập Toán 11 tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa,2007, Giải Toán câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11, NXB Giáo dục Đỗ Thanh Sơn, 2009, Phương pháp giải Toán Hình học 11 theo chủ đề, NXB Giáo dục Việt Nam Trần Đình Thì, 2007, Phân dạng phương pháp giải Hình học 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Bùi Quang Trường, 2002, Những dạng Toán điển hình đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng tập 2, NXB Hà Nội Các diễn đàn Toán học internet: bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường [...]... phương pháp - Học sinh chưa hình thành được nền tảng kiến thức và phương pháp giải bài tập về khoảng cách trong hình học không gian - Khả năng tưởng tượng để vẽ hình còn kém Rút kinh nghiệm từ kết quả bài thi ấy tôi đã tập trung suy nghĩ, tìm tòi và hoàn thiện chuyên đề: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp và áp dụng vào giảng dạy trên lớp 12A10 và 12A6 trong. .. KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI Số học sinh làm được câu khoảng cách Tỉ lệ NĂM HỌC 2014 – 2015 25/37 20/40 67,6% 50,0% Sau mỗi kì thi hoặc bài kiểm tra học sinh đều đã bớt e dè hơn với các bài tập khoảng cách Thay vì nghĩ mặc định câu khoảng cách khó thì học sinh đã nhìn nhận câu khoảng cách dễ dàng hơn Một số học sinh còn tỏ ra rất thích thú với những bài tập về khoảng cách IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI... biên), 2004, Phương pháp giải Toán Hình học tập 4, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Lê Đức, 2009, Các dạng Toán điển hình Hình học 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 3 Nguyễn Kiếm, Lê Thị Hương, Hồ Xuân Thắng, 2007, Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập Toán 11 tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 4 Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa,2007, Giải Toán và câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11, NXB... THI Số học sinh làm được câu khoảng cách Tỉ lệ NĂM HỌC 2014 – 2015 Lớp 11A6 3/40 Lớp 11A10 1/44 7,5% 2,3% Sở dĩ đạt kết quả như trên là do: - Thời gian làm quen và luyện tập bài tập phần khoảng cách chưa nhiều - Là phần kiến thức mới nên mức độ hiểu bài còn hạn chế - Học sinh hai lớp lại chủ yếu có học lực trung bình – khá - Khi tiếp cận các bài toán khoảng cách ở lớp 11 thường phải sử dụng phương pháp. .. nghiệm Hình học 11, NXB Giáo dục 5 Đỗ Thanh Sơn, 2009, Phương pháp giải Toán Hình học 11 theo chủ đề, NXB Giáo dục Việt Nam 6 Trần Đình Thì, 2007, Phân dạng và phương pháp giải Hình học 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 7 Bùi Quang Trường, 2002, Những dạng Toán điển hình trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng tập 2, NXB Hà Nội 8 Các diễn đàn Toán học trên internet: bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net,... S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài 5.(ĐH 2013B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và d(A,(SCD)) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp chung: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta quy về bài toán tìm khoảng cách từ... Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Giải a) Cách 1 (Tính trực tiếp) Có Trong Hay Trong tam giác vuông SAB có: Cách 2 (Sử dụng công thức thể tích) Thể tích khối chóp S.ABC là: Cách. .. ABCE là hình vuông CE = AE = a Có hay tam giác SCD vuông tại C Diện tích tam giác SCD là: Cách 3 (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khi đó ta có: Suy ra Mặt phẳng (SCD) có một véc tơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (SCD) là Khoảng cách từ... khối chóp S.ABC là: Cách 3 (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS( hình vẽ) Khi đó ta có Ta có: Mặt phẳng (SBC) có vec tơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (SBC) là Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là *Tính (Có thể tính theo 3 cách như câu a) Tác giả: Nguyễn Thị Huyền... (SCD) có một vec tơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (SCD) là: Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a, và SA (ABCD) Gọi M là trung điểm của CD Tính khoảng cách từ: a) A đến mặt phẳng (SBD) b) A đến mặt phẳng (SBM) Giải Cách 1 (Tính trực tiếp) a) Trong tam giác ABD kẻ mà, trong (SAH) kẻ hay b) Trong ABM kẻ AK BM, mà BM SA BM (SAK) Trong SAK kẻ AF SK, ... QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá¸, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Huyền Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 –... mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Kí hiệu:... thẳng ta thực sau: Bước Trong mặt phẳng hạ Bước Tính dựa vào công thức học Đặc biệt: Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Nếu tồn