LẬP TRÌNH LẠI CÁCH TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

o Khái niệm các loại khoảng cách: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU

_

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đồng Tháp, tháng 03 năm 2013

MỤC LỤC

và bỏ đi bài toán về khoảng cách Mặt khác trong hầu hết các đề thi gần đây việc ra

dạng toán khoảng cách lại thường xuyên xuất hiện và việc mất điểm là khó tránh khỏi

Các tài liệu và đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã có thì không trình bày chi tiết phương pháp, các bước xây dựng đường thẳng, mặt phẳng để phục vụ cho việc tính khoảng cách

Xuất phát từ những nhu cầu cấp thiết đó qua đề tài này tôi sẽ cung cấp phương

pháp “lập trình” để giải bài toán khoảng cách, đảm bảo học sinh giải được khoảng cách

nếu đã thực hiện đủ các bước, cuối cùng đến một lúc học sinh đã nắm vững phương

pháp “lập trình” thì ta có thể tùy biến bỏ đi một số bước đã có sẵn trong từng bài toán

để tăng tốc độ tối đa khi giải, đề tài còn cung cấp một hệ thống bài tập giúp học sinh tự rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán

2 Phạm vi nghiên cứu

Hình học không gian phổ thông

Nghiên cứu tại trường THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu

Quá trình nghiên cứu bắt đầu từ tháng 3 năm 2012

3 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo và sưu tầm tài liệu, đề thi

Thu thập phân tích, trao đổi với đồng nghiệp

4 Cấu trúc

Đề tài gồm có

Phần mở đầu Phần nội dung (3 chương) Phần kết luận

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Các kiến thức cơn bản trong hình học phẳng

o Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tam giác thường

o Tỉ số lượng giác các góc trong tam giác vuông

o Sự đồng dạng của tam giác vuông , tam giác thường

Các kiến thức cơn bản trong quang hệ song song hình học không gian

o Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng

o Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

o Chứng minh mặt phẳng song song mặt phẳng

o Các định lí liên quan

Các kiến thức cơn bản trong quang hệ vuông góc hình học không gian

o Chứng minh đường thẳng vuông góc đường thẳng

o Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

o Chứng minh mặt phẳng vuông góc mặt phẳng

o Các hình cơ bản: hình chóp, lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập

phương,…

o Các định lí liên quan: định lí ba đường vuông góc, tính chất liên hệ giữa

quan hệ song song và quan hệ vuông góc

o Khái niệm các loại khoảng cách: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng,

khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

CHƯƠNG II: CƠ SỞ THỰC TIỄN

Khoảng cách là một dạng toán khó, ngay cả những học sinh khá cũng cảm thấy

lúng túng và ngại đối mặt với toán khoảng cách, các em chưa tự tin trong các bước giải

của mình

Tất cả các loại khoảng cách dều được đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng Đưa ra yêu cầu nắm chắc phương pháp giải khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng

Hầu hết giáo viên khi dạy khoảng cách thường ít chỉ ra cách xây dựng, vẽ thêm

đường để tính khoảng cách

Nếu có thể cung cấp một phương pháp giải toán khoảng cách triệt để, một quy

trình có từng bước cụ thể thì học sinh sẽ có được rất nhiều lợi thế

Khi đạt được những yêu cầu của phương pháp “lập trình” căn bản học sinh có

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP

Để có thể giải tốt một bài toán khoảng cách học sinh cần nắm từng bước trong quá trình giải, các bước này đã được chia nhỏ ra giúp học sinh dễ hiểu

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN THIẾT KHI GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH

1 Cách tìm hình chiếu vuông góc của một điểm A lên mặt phẳng ( )

Trường hợp 1.1: Có một đường thẳng a qua M và một đường thẳng b nằm trên (P) vuông góc và chéo nhau

 Cách dựng:

Kẻ qua M đt c vuông góc với b

Gọi d là giao tuyến của mp(a,c) với mp(P)

Kẻ IH d thì H chính là hình chiếu của I lên (P)

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Xác định hình chiếu của A trên (SBC)

Trường hợp 1.2: Có một đường thẳng a qua M và một đường thẳng b nằm trên (P) vuông góc và cắt nhau

M

H

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông SA vuông góc mặt đáy

(ABCD) Tìm hình chiếu của A lên (SBD)

Trường hợp 1.3: Có hai điểm A,B nằm trên (P) sao cho MA = MB

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại A và SAB SAC Tìm

chân đường cao của hình chóp

Trường hợp 1.4: Có một đường thẳng a vuông góc (P)

Cách dựng:

Dựng mp(Q) chứa a và M

Gọi b là giao tuyến của (P) và (Q)

Kẻ MH b H ( b) thì H chính là hình chiếu của M lên (P)

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Bên trong tam giác SAB lấy điểm M Xác

định hình chiếu của M trên (ABCD)

Trường hợp 1.5: Điểm M thuộc vào mặt phẳng (Q) vuông góc (P)

Cách dựng:

Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q)

Kẻ MH b H ( b) thì H chính là hình chiếu của M lên (P)

P

P

M M

H

M

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA vuông

góc (ABCD)

a) Tìm hình chiếu của M trên đường thẳng SA lên (SBC)

b) Gọi O là giao của AC,BD Mp ( ) qua O và song song với BC Tìm hình chiếu của S lên ( )

2 Cách tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( ) song song a

Lấy một điểm A bất kì trên a lúc này ta có d(a,( )) = d(A,( ))

3 Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) và ( )

Lấy một điểm A bất kì trên ( ) lúc này ta có d(( ),( )) = d(A,( ))

4 Cách vẽ đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau a,b

Ta chia bài toán ra hai trường hợp

A'

α

β β

α

A

A'

TH2: a không vuông b

Cách 1: dựa vào mặt phẳng song song

Tìm mặt phẳng ( ) chứa b và song song a

Lấy điểm A bất kì trên a, tìm đường thẳng d qua A và vuông góc ( ), gọi B là giao điểm của d và ( ) Lúc này AB vuông góc với cả a và b

Kẻ NB // a (N b), NM // AB (M a) Lúc này MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 2: dựa vào mặt phẳng vuông góc

Dựng mặt phẳng ( ) a, gọi A là giao điểm của a và ( ) Tìm hình chiếu b’ của b lên ( )

Dựng AB b’ (B b’) Dựng BN // a (N b), NM // AB (M a) Lúc này AB chính là đoạn vuông góc chung cần tìm

5 Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Tìm đoạn vuông góc chung Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm

A B

b a

M

N A

A A

B B

Chú ý:

Nếu ta tìm được hai mặt phẳng ( ), ( ) lần lượt chứa a song song b và chứa b song song a thì lúc đó d(a,b) = d(( ), ( )) (( ), ( ) là hai mặt phẳng song song với nhau

Khi a không vuông góc b ta có thể không cần đến đoạn vuông góc chung Cụ thể đối với hai cách dựng đoạn vuông góc chung phía trên ta có d(a,b) = AB

9 Một số tính chất giúp tăng tốc khi giải

, ( ), ( )

b a

M

N A

C

Tính chất 2: Nếu đường thẳng AB song song mp (P) thì ta có

, ( ) , ( ) , ( )

vuông tại A gọi AH d A BCD,( ) , lúc đó ta có

K H

B LẬP TRÌNH LẠI CÁCH TÍNH KHOẢNG CÁCH

Đến đây thì một hệ thống phương pháp để tính khoảng cách đã hoàn thiện đầy

đủ, tuy nhiên nó thật cồng kềnh và khó nhớ

Từ những phương pháp tại ra mặt phẳng vuông góc như đã biết ở trên chúng ta

có thể hệ thống lại thành các bước dễ hiểu và rõ ràng hơn để học sinh có thể dễ dàng thực hiện như sau:

Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (P) như sau

+ Tìm hai đường thẳng vuông góc chéo nhau a và b

Lúc đó d a b, d P , Q d M Q, MH

C ỨNG DỤNG BIỆN PHÁP VÀO CÁC BÀI TẬP CỤ THỂ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD),

o Chọn được mp chứa BD và BA là (ABCD) chứa B và vuông góc (SAC)

o Tìm giao tuyến (ABCD) với (SAC) là AC

o Từ B kẻ BO vuông góc AC thì BO chính là khoảng cách từ B đến (SAC)

 Lời bình: Và mọi việc đã được giải quyết theo một trình tực cụ thể

O

S

d) d(A,(SBD))?

 Lập trình thì sao?

o Hai đt vg chéo nhau SA và BD với SA quaA, BD nằm trong (SBD)

o Kẻ từ A đường thẳng AO BD

o Chọn được mp chứa SA và AO là (SAO) chứa A và vuông góc (SBD)

o Tìm giao tuyến (SAO) với (SBD) là SO

o Chọn được mp chứa SC và CO là (SCO) chứa C và vuông góc (SBD)

o Tìm giao tuyến (SCO) với (SBD) là SO

7 14

2

a a

10 5

a a

 Lời bình: Lập trình là một phương pháp giải khá hay cung cấp cho học sinh từng bước cụ thể để bắt đầu giải

một bài toán, vì thế đối tượng hướng đến của “lập trình” là những học sinh trung bình khá, tuy nhiên đối với học sinh giỏi nó cũng rất cần thiết vì không phải bài nào các em cũng có thể “loé sáng”

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a, OA, OB, OC đôi một vuông góc

nhau, I là trung điểm BC Tính khoảng cách từ

 Lập trình:

o Hai đt vg chéo nhau SO và AB với SO qua O, AB nằm trong (SAB)

o Kẻ từ O đường thẳng OM AB

o Chọn được mp chứa SO và OM là (SOM) chứa O và vuông góc (SAB)

o Tìm giao tuyến (SOM) với (SAB) là SM

o Từ O kẻ OH vuông góc SM thì OH chính là khoảng cách từ O đến (SAB)

B C

S

H

o CD/ /(SAB) d CD SA, d CD SAB, d C SAB,

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO⊥(ABCD), M

thì việc tìm khoảng cách khá đơn giản Đối với học sinh trung bình sẽ cảm

thấy mọi việc quá phức tạp Tuy nhiên với bài này ta vẫn có thể lập trình,

chỉ khác là phải tạo ra hai đường vuông góc chéo nhau, cách làm cụ thể

như sau

 Lập trình:

Kẻ qua A đường thẳng a song song SO

o Hai đt vg chéo nhau a và BD với a qua A, BD nằm trong (MBD)

o Kẻ từ A đường thẳng AC BD

o Chọn được mp chứa a và AC là (SAC) chứa A và vuông góc (MBD)

o Tìm giao tuyến (SAC) với (MBD) là OM

A H

Bài 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình

hành,  0

45

BAD AC′,B′D lần lượt tạo với đáy góc 45 0 và 60 0 Biết chiều cao

hộp bằng a, tính thể tích khối hộp và khoảng cách d(AC, DB’) theo a

OH

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B

AB=a, BC=b, AA’=c, Tính khoảng cách A’B đến AC

Giải Gọi K là chân đường cao tại B của ABC

Bài 8: Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ tất cả các cạnh đều bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và B′C.

o Chọn được mp chứa BB’ và BM là (BMB’) chứa B và vuông góc (CDB’)

o Tìm giao tuyến (BMB’) với (CDB’) là MB’

Bài 9: Cho hình lăng trụ đều : ABC.A'B'C' có AB=a, góc giữa hai mp (A'BC) và

(ABC) bằng 60 0 Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG và B'C

60 0

G M N

B'

C' A'

B

C A

I

B

 Lời bình: Bây giờ đã đến lúc chúng ta xem phương pháp lập trình sẽ phát huy sức mạnh như thế

nào trong việc giải các bài toán khoảng cách trong đề thi đại học của các năm gần đây nhé!

Bài 1: (Tuyển sinh đại học khối A 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của đáy trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa SC và (ABC) bằnmg 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

a

x

H M

B

S

K L

 Lời bình: Quả thực sự kết hợp giữa lập trình và các tính chất để tăng tốc khi giả là sự kết hợp

hoàn hảo Nếu không đưa về tính khoảng cách từ H đế mp (SA,Ax) thì đây là bài toán nan giải!

Bài 2: (Tuyển sinh đại học khối D 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a

o Đã có mp(ABB’A’) chứa A và vuông góc với (BCD’A’) chúng có giao tuyến là A’B

o Kẻ AH A’B thì AH= d(A,(BCD’))

 Lời bình: Phát hiện (ABB’A’) (BCD’A’) giúp cải thiện đáng kể, nó giúp rút gọn các khâu tiên

của phương pháp lập trình! Nếu học sinh đặt câu hỏi liệu em không phát hiện (ABB’A’) thì sao? Mọi việc đều được giải quyết bằng cách bắt đầu lại lập trình như đường cơ bản nhất như sau:

 Lập trình?

o Hai đt vg chéo nhau AA’ và BCvới qua A, BC nằm trong (BCD’A’)

o Kẻ từ A đường thẳng AB BC

o Chọn được mp chứa AA’ và AB là (ABB’A’) chứa A và vuông góc (BCD’A’)

o Tìm giao tuyến (ABB’A’) với (BCD’A’) làA’B

o Từ A kẻ AH vuông góc A’B thì AH chính là khoảng cách từ A đến (BCD’A’)

Bài 3: (Tuyển sinh đại học khối A 2011)

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mp (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mp (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mp qua SM

và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo

D A

B

C

B' H

E O

C1

D1 A1

o Chọn được mp chứa SA và AI là (SAI) chứa A và vuông góc (SNP)

o Tìm giao tuyến (SAI) với (SNP) là SI

Bài 4: (Tuyển sinh đại học khối B 2011)

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3

Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể

tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

3 tan 60

3 33

H

o Chọn được mp chứa CD và CO là (ABCD) chứa C và vuông góc (A 1 BD)

o Tìm giao tuyến (ABCD) với (A 1 BD) là BD

o Từ C kẻ CH vuông góc BD thì CH chính là khoảng cách từ C đến (A 1 BD)

Xét tam giác BCD có 1 2 12 12 12 12 42 3

a CH

Bài 5: (Tuyển sinh đại học khối D 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và  0

4,

o Chọn được mp chứa SH và HD là (SHD) chứa H và vuông góc (SAC)

o Tìm giao tuyến (SHD) với (SAC) là SD

o Từ H kẻ HK vuông góc SD thì HK chính là khoảng cách từ H đến (SAC)

Hai tam giác vuông ABC và HDC đồng dạng (do có chung góc C)

C

S

H

D K

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, M là trung điểm AB

hình chiếu của S xuống ABCD trùng với trung điểm của OM, góc giữa (SAB)

và (ABCD) là 60 0 Tính thể tích hình chóp và khoảng cách giữa AB và SC

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD và  A AB A AD Tìm

hình chiếu của A’ trên (ABCD)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông SA vuông góc mặt đáy

(ABCD) Tìm hình chiếu của C lên (SBD)

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Một mp ( )đi qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tìm hình chiếu của S trên ( )

Bài 5: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong một mp thoả  xOy xOz Tìm

chân đường vuông góc hạ từ một điểm M thuộc Ox xuống mp (yOz)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C và SA vuông góc (ABC)

Một điểm M thuộc cạnh AB Tìm hình chiếu của M trên (SBC)

Bài 7: Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân tại A Gọi (P) là mp đi

qua A và trung điểm hai cạnh bên BB’,CC’ Tìm hình chiếu của các điểm sau trên (P)

a Từ A’,B’,C’

b Từ trung điểm I của BC

c Từ trọng tâm G của A’B’C’

Bài 8: Cho hình vuông ABCD Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp

(ABCD) lấy điểm S khác A Xác định chân đường vuông góc hạ từ C và trung điểm của cạnh BC xuống (SBD)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có SA=SC, SB=SD và đáy ABCD là hình thoi Tìm

hình chiếu của

a Giao điểm hai đường chéo của mặt đáy lên (SAB)

b A lên (SBC)

Bài 10: (Tuyển sinh đại học khối A 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Bài 11: (Tuyển sinh đại học khối D 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA'=2a, A'C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM

và A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)