TINH KHOANG CACH TRONG HINH HOC KHONG GIAN lop 11,12 ( Luyen thi dai hoc )

Chia thời gian biểu để học môn Toán. – Học thuôc bài và xem lại các ví dụ trước khi làm BT. Xem lại các BT đã sửa trên lớp. – Học các công thức phải viết ra giấy nháp, không học vẹt và học tủ. – Học dàn bài của bài học, các cách giải bài tập mà Thấy, Cô đã hướng dẫn trên lớp. – Đọc trước SGK bài học mới. – Đọc sách tham khảo. – Làm và luyện tập BT ở nhà

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Ta đã biết khoảng cách giữa hai điểm A và

B là độ dài của đoạn thẳng AB, đó là độ dài

ngắn nhất nối hai điểm A và B

Cho điểm O và đường thẳng a Gọi M là

điểm bất kì trên a, hãy xác định vị trí của M

trên a sao cho khoảng cách từ O đến M là

ngắn nhất ?

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên

đường thẳng a, với mọi điểm M nằm trên a,

Như vậy, với vị trí điểm M là hình chiếu của

O trên a thì OM ngắn nhất

Tương tự, cho điểm O và mặt phẳng (P) Gọi

M là điểm bất trên (P), hãy xác định vị trí

của M sao cho khoảng cách từ O đến M là

ngắn nhất ?

Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng

M là hình chiếu của O trên (P) thì OM ngắn nhất

Từ đó ta có định nghĩa sau:

ĐỊNH NGHĨA 1

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a Gọi H là hình chiếu của O trên a Khi đó độ dài

đoạn thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a Kí hiệu

là d(O, a)

b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O trên (P) Khi đó độ dài

đoạn thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) Kí hiệu

là d(O, (P))

Hình 3.1

Hình 3.2

Nhận xét

- Muốn tính khoảng cách từ điểm O đến một đường thẳng a (hay mặt phẳng

(P)), ta phải xác định hình chiếu H của O trên a (trên (P)) thì d(O, a) =

OH (d(O, (P)) = OH)

- Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng

cách ngắn nhất trong các khoảng cách giữa điểm O đến một điểm bất kì nằm trên a (hoặc (P))

Ví dụ 1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy tâm O, tất cả các cạnh đều bằng a Hãy tính khoảng cách :

a) Từ S đến đường thẳng CD

b) Từ S đến mp(ABCD)

c) Từ O đến mp(SCD)

d) Từ A đến mp(SCD)



Hướng dẫn

a) Ta xác định hình chiếu của S trên CD, ∆SCD cân tại S nên nếu gọi I là trung

2

b) Ta xác định hình chiếu của S trên (ABCD), vì S.ABCD là hình chóp đều và O là

2

 d(O, (SCD)) = OK

6

a 6 3

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm

Cho đường thẳng a song song với mặt

phẳng (P) Gọi A và B là hai điểm tùy ý trên a

và A/, B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên

(P), ta luôn luôn có AA/ = BB/ (do AA/B/B là

hình chữ nhật)  d(A, (P)) = d(B, (P)) Như

vậy, d(A, (P)) không phụ thuộc vào vị trí của

điểm A trên a

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với

nhau Gọi A và B là hai điểm tùy ý trên (Q) và

A/, B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P),

tương tự ta luôn luôn có AA/ = BB/  d(A, (P))

= d(B, (P)) Như vậy, d(A, (P)) không phụ thuộc

vào vị trí của điểm A trên (Q)

Ta có định nghĩa :

ĐỊNH NGHĨA 2

a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến (P), kí hiệu là d(a, (P))

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((P), (Q))

Hình 3.4

Hình 3.5

Nhận xét

1 Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song, đều qui về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là ngắn nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc (P) Thậy vậy, gọi A là một điểm tuỳ ý trên A và M là

một điểm tuỳ ý trên (P), dựng H là hình chiếu của

ngắn nhất

Tương tự, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song là ngắn nhất trong các khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì

của mặt phẳng kia

Ví dụ 2

Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa : a) AC và (BA/C/) b) (ACD/) và (BA/C/)



Hướng dẫn

 BA / (ADC / B / )); (ADC / B / )  (BA / C / ) = C / K (K

Hình 3.7c Hình 3.6

3 Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Hoạt động 3: Hình thành khái niệm đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau

Giả sử có hai đường ống nước nằm vị trí chéo nhau, người ta muốn nối thông hai đường ống nước đó với nhau Hỏi đường ống thứ ba để nối chúng lại với nhau nên nối như thế nào sao cho tiết kiệm nhất ?

Như vậy, ta tìm hai vị trí lần lượt nằm trên mỗi ống nước sao cho đoạn ống nối hai

vị trí đó là ngắn nhất

Xét bài toán

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, hãy tìm đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b Khi đó chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai giao điểm của  và a,  và b là ngắn nhất

Hướng dẫn

Vì a và b chéo nhau nên có duy nhất một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a

a và b, đồng thời MN là đoạn thẳng cần tìm

Thật vậy, lấy một điểm A tuỳ ý trên a và một

điểm B tuỳ ý trên b Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A trên (Q) thì AH nằm trong (P) và MN

ĐỊNH NGHĨA 3

a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b Nếu đường

đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó Kí hiệu d(a, b)

Nhận xét

1) Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau a và b

- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b

và song song với a

cắt b tại N

Hình 3.9c

Hình 3.10a

góc chung cần dựng Đoạn thẳng MN là đoạn vuông góc chung của a và b 2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng kia

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh

a, SA  (ABCD) và SA = a Xác định đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

sau đây và tính khoảng cách giữa chúng :

a) AB và SC b) BD và SC



Hướng dẫn

a) - Ta tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này

và song song với đường thẳng kia, đó là mặt

phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB

- Ta tìm hình chiếu của A trên (SCD) : Ta có

- Từ K dựng đường thẳng song song với AB cắt SC tại I Từ I dựng đường thẳng song song với AK cắt AB tại J Ta có IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SC

 d(AB, SC) = IJ = AK

Hình 3.11a

Nhận xét: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa AB và SC thì ta chỉ cần tính AK, nghĩa là tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng chứa SC song song với AB (không cần phải dựng đoạn vuông góc chung của AB và SC)

b) Cách 1:

– Ta tìm mặt phẳng chứa đường này và

song song với đường kia : Gọi E là trung

điểm của SA và O là tâm của hình vuông thì

với SC

- Tìm hình chiếu của S trên (EBD) : (SAC)

- Từ O dựng đường thẳng song song với SF

cắt SC tại H thì OH là đoạn vuông góc

chung của BD và SC

Cách 2:

với BD : Từ C dựng đường thẳng song

song với BD cắt AB, AD lần lượt tại M

và N Như vậy (SMN) chứa SC và song

song với BD

 (SAC)  (SMN), (SAC)  (SMN) =

chung của BD và SC

Cách 3: Ta nhận xét BD  (SAC)  SC  BD 

thì OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Hình 3.11b

Hình 3.11c

Hình 3.11d

6

Nhận xét: Trong trường hợp nếu BD  SC, ta có cách dựng đường vuông góc chung như sau:

- Dựng giao điểm O của BD và (SAC)

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1 Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

a) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu ∆ vuông góc với a và ∆ vuông góc với b

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau Khi đó đường vuông góc chung ∆ của a và b luôn luôn vuông góc với (P)

c) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và

b thì ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, ∆) và (b, ∆)

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b

e) Đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia

Hướng dẫn

a) Câu a là câu sai vì ta chỉ có khái niệm đường

vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau Hơn nữa, đường vuông góc chung phải

cắt cả hai đường thẳng chéo nhau đó

đó câu b là câu đúng

nên câu c là câu đúng

d) Câu d là câu sai vì ta chưa kết luận được đường thẳng đã cho vuông góc với đường thẳng a

e) Hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta chưa kết luận được có một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia Thậy vậy, giả sử có

Hình 3.12a

và b chéo nhau chưa hẵn đã vuông góc với nhau, nên câu e là câu sai

2 Cho tứ diện S.ABC có SA  (ABC) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy

b) Chứng minh rằng SC  (BHK) và HK  (SBC)

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA



Hướng dẫn

Hướng dẫn

a) Ta thấy hai tam giác ABC và SBC có chung cạnh BC, gọi I là chân đường cao

AH của ∆ABC, ta chứng minh ba điểm S, K, I thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy

- Cách 1:

Ta chứng minh HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (SBC)



Cách 2:

Ta thấy HK là giao tuyến của (SAI) và (BHK), ta chứng minh (SAI) và (BHK)

cùng vuông góc với (SBC)

chung của BC và SA

3 Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A/, B/, D/ đến đường chéo AC/ đều bằng nhau Tính khoảng cách đó



Hướng dẫn

Cách 1:

Ta nhận xét các tam giác vuông bằng nhau và có cạnh

2 2 2

1 1 1 a 6

BI 3

BI  BA BC'  

Cách 2: Ta có AB = AD = AA / = a và C / B = C / D = C / A / = a 2  AC / là trục

Hình 3.14c

3

4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có

AB = a, BC = b, CC/ = c

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

(ACC/A/)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB/

và AC/



Hướng dẫn

∆ABC vuông tại B có BA = a, BC = b

2 2

1 1 1 1 1 ab

BK

BK  BA BC a b   a b



Hình 3.14d

2 2

ab

a b

5 Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a

a) Chứng minh rằng B/D  (BA/C/)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC/ và CD/



Hướng dẫn

a) Cách 1:

 (AB / D)  BA / B / D (1)

Cách 2:

b) Cách 1:

cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Ta có thể chọn điểm A

Vì B / D  (BA / C / )  (AB / D)  (BA / C / ), (AB / D) 

(BA / C / )  d(A, (BA / C / ) = AH Tính AH ?

Cách 2:

6 Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có tất cả các cạnh đều bằng a Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A/B/C/) thuộc đường thẳng B/C/

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA/ và B/C/ vuông góc với nhau, tính khoảng cách giữa chúng



Hình 3.16c

Hướng dẫn

B / C /  HA / là hình chiếu của AA / trên (A / B / C / ), do đó góc giữa cạnh bên và mặt

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng độ dài đoạn AH

7 Cho hình hộp thoi ABCD.A/B/C/D/ có các cạnh đều bằng a và BAD BAA '

DAA ' 60

  Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A/B/C/D/)



Hướng dẫn

Hình 3.17c

8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a

Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD)

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a



Hướng dẫn

a) Vì các cạnh bên hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S trên (ABCD) là tâm

 (SOJ)  (SAD) và (SOJ)  (SAD) = SJ, từ O kẻ OH  SJ  OH  (SAD) Vậy d(EF, SK) = OH không đổi (vì O và (SAD) cố định)

7

OH OS OJ 3a a 3a  