Đang tải... (xem toàn văn)
Chia thời gian biểu để học môn Toán. – Học thuôc bài và xem lại các ví dụ trước khi làm BT. Xem lại các BT đã sửa trên lớp. – Học các công thức phải viết ra giấy nháp, không học vẹt và học tủ. – Học dàn bài của bài học, các cách giải bài tập mà Thấy, Cô đã hướng dẫn trên lớp. – Đọc trước SGK bài học mới. – Đọc sách tham khảo. – Làm và luyện tập BT ở nhà
§ KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng Hoạt động 1: Hình thành khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng Ta biết khoảng cách hai điểm A B độ dài đoạn thẳng AB, độ dài ngắn nối hai điểm A B Cho điểm O đường thẳng a Gọi M điểm a, xác định vị trí M a cho khoảng cách từ O đến M ngắn ? Hình 3.1 Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng a, với điểm M nằm a, ta ln ln có OH OM (vì ∆OMH vng H) OM = OH M H Như vậy, với vị trí điểm M hình chiếu O a OM ngắn Tương tự, cho điểm O mặt phẳng (P) Gọi M điểm bất (P), xác định vị trí M cho khoảng cách từ O đến M ngắn ? Hình 3.2 Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (P), với điểm M (P), ta ln có OH OM (vì ∆OMH vng H) OH = OM M H Như vậy, với vị trí M hình chiếu O (P) OM ngắn Từ ta có định nghĩa sau: ĐỊNH NGHĨA a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Gọi H hình chiếu O a Khi độ dài đoạn thẳng OH gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a Kí hiệu d(O, a) b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O (P) Khi độ dài đoạn thẳng OH gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) Kí hiệu d(O, (P)) Nhận xét - Muốn tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hay mặt phẳng (P)), ta phải xác định hình chiếu H O a (trên (P)) d(O, a) = OH (d(O, (P)) = OH) - Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) khoảng cách ngắn khoảng cách điểm O đến điểm nằm a (hoặc (P)) Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy tâm O, tất cạnh a Hãy tính khoảng cách : a) Từ S đến đường thẳng CD b) Từ S đến mp(ABCD) c) Từ O đến mp(SCD) d) Từ A đến mp(SCD) Hình 3.3a Hình 3.3b Hướng dẫn a) Ta xác định hình chiếu S CD, ∆SCD cân S nên gọi I trung điểm CD SI CD d(S, CD) = SI a a Vậy d(S, CD) = ∆SCD tam giác : SI 2 b) Ta xác định hình chiếu S (ABCD), S.ABCD hình chóp O tâm mặt đáy SO (ABCD) d(O, (ABCD)) = SO a a Vậy d(S, (ABCD)) = ∆SOC vuông O : SO SC OC 2 c) Ta xác định hình chiếu O (SCD) Ta có mp(SOI) mp(SCD) (vì (SCD) có CD (SOI)), (SOI) (SCD) = SI, từ O dựng OK SI OK (SCD) d(O, (SCD)) = OK a 1 a Vậy d(O, (SCD))= OK 2 6 OK OS OI d) Ta xác định hình chiếu A (SCD), OK (SCD) (COK) (SCD), (COK) (SCD) = CK, từ A kẻ AH CK AH (SCD) d(A, (SCD)) = AH a a Vậy d(A, (SCD)) = ∆CAH : AH = 2OK = 3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Hoạt động 2: Hình thành khái niệm Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Gọi A B hai điểm tùy ý a A/, B/ hình chiếu A B (P), ta ln ln có AA/ = BB/ (do AA/B/B hình chữ nhật) d(A, (P)) = d(B, (P)) Như vậy, d(A, (P)) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A a Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Hình 3.4 Gọi A B hai điểm tùy ý (Q) / / A , B hình chiếu A B (P), tương tự ta ln ln có AA/ = BB/ d(A, (P)) = d(B, (P)) Như vậy, d(A, (P)) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A (Q) Ta có định nghĩa : ĐỊNH NGHĨA a) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Hình 3.5 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm a đến (P), kí hiệu d(a, (P)) a // (P) : d(a, (P)) = d(A, (P)), A a b) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((P), (Q)) (P) // (Q) : d((P), (Q)) = d(A, (P)), A (Q) ∆SOI vuông O : Nhận xét Để tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, qui việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) ngắn so với khoảng cách từ điểm thuộc a tới điểm thuộc (P) Thậy vậy, gọi A điểm tuỳ ý A M điểm tuỳ ý (P), dựng H hình chiếu A (P), ta có AH AM (∆AHM vuông H) AH = AM M H Vậy d(a, (P)) = AH ngắn Tương tự, khoảng cách hai mặt phẳng song song ngắn khoảng cách từ điểm mặt phẳng tới điểm Hình 3.6 mặt phẳng Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a Tính khoảng cách : a) AC (BA/C/) b) (ACD/) (BA/C/) Hình 3.7a Hình 3.7b Hướng dẫn a) Ta có AC // A/C/ AC // (BA/C/) Để tính d(AC, (BA/C/)), ta lấy AC điểm tùy ý tính khoảng cách từ điểm đến (BA/C/) Ta dựng hình chiếu H A (BA/C/) Ta có (ADC/B/) (BA/C/) (vì BA/ AB/, BA/ AD) BA/ (ADC/B/)); (ADC/B/) (BA/C/) = C/K (K Hình 3.7c tâm hình vuông ABB/A/), dựng AH C/K AH (BA/C/) d(AC, (BA/C/)) AH AK a = AH ∆AHK ∆C/B/K : AH C' B' C' K b) Ta có (ACD/) // (BA/C/) (vì AC // A/C/ AD/ // BC/) a Từ điểm A (ACD/), ta có AH (BA/C/) d((ACD/), (BA/C/)) = AH = 3 Đường vuông góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo Hoạt động 3: Hình thành khái niệm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Giả sử có hai đường ống nước nằm vị trí chéo nhau, người ta muốn nối thơng hai đường ống nước với Hỏi đường ống thứ ba để nối chúng lại với nên nối cho tiết kiệm ? Như vậy, ta tìm hai vị trí nằm ống nước cho đoạn ống nối hai vị trí ngắn Hình 3.8a Hình 3.8b Xét tốn Cho hai đường thẳng chéo a b, tìm đường thẳng cắt a b đồng thời vng góc với a b Khi chứng minh đoạn thẳng nối hai giao điểm a, b ngắn Hình 3.9a Hình 3.9b Hướng dẫn Vì a b chéo nên có mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a Gọi a / hình chiếu vng góc a (Q), a // (Q) nên a / cắt b N Gọi (P) mặt phẳng chứa a a /, gọi đường thẳng qua N vng góc với (Q), (P) (Q) nằm (P) nên cắt a M vng góc với a b, đồng thời MN đoạn thẳng cần tìm Thật vậy, lấy điểm A tuỳ ý a điểm B tuỳ ý b Gọi H hình chiếu vng góc A (Q) AH nằm (P) MN = AH, ∆AHB vuông H AH AB AH = Hình 3.9c AB H B N nên A M Mặt khác, ta cịn có đường thẳng Thật vậy, giả sử có hai đường thẳng / thỏa mãn điều kiện tốn / (Q) // / hai đường thẳng a b nằm mp(, /), điều trái với giả thiết a b chéo Vậy / ĐỊNH NGHĨA a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường thẳng cắt hai đường thẳng a, b chéo vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo a, b M N đoạn thẳng MN gọi đoạn vng góc chung a b b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Kí hiệu d(a, b) Nhận xét 1) Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b - Tìm mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b song song với a - Tìm hình chiếu a / a (Q) cách: Lấy điểm A tùy ý a, dựng AH (Q), từ H dựng đường thẳng a / song song với a (a / hình chiếu a (Q)), đường thẳng a / cắt b N Hình 3.10a - Từ N dựng đường thẳng song song với AH cắt a M đường vng góc chung cần dựng Đoạn thẳng MN đoạn vng góc chung a b 2) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng 3) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Hình 3.10b Hình 3.10c Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD) SA = a Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo sau tính khoảng cách chúng : a) AB SC b) BD SC Hướng dẫn a) - Ta tìm mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia, mặt phẳng (SCD) chứa SC song song với AB (vì AB // CD (SCD)) Hình 3.11a - Ta tìm hình chiếu A (SCD) : Ta có (SAD) (SCD) (vì CD AD, CD SA CD (SAD), CD (SCD)) (SAD) (SCD) = SD, nên từ A kẻ AK SD AK ((SCD) - Từ K dựng đường thẳng song song với AB cắt SC I Từ I dựng đường thẳng song song với AK cắt AB J Ta có IJ đoạn vng góc chung AB SC d(AB, SC) = IJ = AK SD a a Vậy d(AB, SC) = 2 Nhận xét: Nếu toán yêu cầu tính khoảng cách AB SC ta cần tính AK, nghĩa tính khoảng cách AB mặt phẳng chứa SC song song với AB (khơng cần phải dựng đoạn vng góc chung AB SC) b) Cách 1: – Ta tìm mặt phẳng chứa đường song song với đường : Gọi E trung điểm SA O tâm hình vng OE // SC (EBD) chứa BD song song với SC - Tìm hình chiếu S (EBD) : (SAC) (EBD) (vì BD AC, BD SA BD (SAC), BD (EBD)), (SAC) (EBD) = OE, từ S kẻ SF OE SF (EBD) - Từ O dựng đường thẳng song song với SF cắt SC H OH đoạn vng góc chung BD SC Hình 3.11b Cách 2: - Ta tìm mặt phẳng chứa SC song song với BD : Từ C dựng đường thẳng song song với BD cắt AB, AD M N Như (SMN) chứa SC song song với BD - Từ điểm O BD, ta dựng hình chiếu O (SMN) : Vì BD (SAC), BD // MN MN (SAC), MN (SMN) (SAC) (SMN), (SAC) (SMN) = SC, nên từ O dựng OH SC OH (SMN) OH MN, mà MN // BD Hình 3.11c OH BD Vậy OH đoạn vng góc chung BD SC Cách 3: Ta nhận xét BD (SAC) SC BD SC, BD (SAC) = O, nên từ O ta dựng OH SC OH đoạn vng góc chung BD SC ∆SAD vng cân A AK Hình 3.11d OH OC a a OH Vậy d(BD, SC) = SA SC 6 Nhận xét: Trong trường hợp BD SC, ta có cách dựng đường vng góc chung sau: - Dựng mặt phẳng chứa SC vng góc với BD (ở (SAC)) - Dựng giao điểm O BD (SAC) - Trong (SAC) dựng OH SC OH đoạn vng góc chung BD SC Tính OH: ∆COH ∆CSA : CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Trong mệnh đề sau mệnh đề ? a) Đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng a b ∆ vng góc với a ∆ vng góc với b b) Gọi (P) mặt phẳng song song với hai đường thẳng a, b chéo Khi đường vng góc chung ∆ a b ln ln vng góc với (P) c) Đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (a, ∆) (b, ∆) d) Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng qua điểm M a đồng thời cắt b N vng góc với b đường vng góc chung a b e) Đường vng góc chung ∆ hai đường thẳng chéo a b nằm mặt phẳng chứa đường vng góc với đường Hướng dẫn a) Câu a câu sai ta có khái niệm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Hơn nữa, đường vng góc chung phải cắt hai đường thẳng chéo b) (P) // a, (P) // b a /, b / (P) : a / // a, b / // b, a / b / cắt (vì a b chéo nhau) Mà ∆ a, ∆ b ∆ a / , ∆ b / ∆ (P) Do câu b câu c) ∆ a = M, ∆ b = N ∆ = (a, ∆) (b, ∆) Hình 3.12a nên câu c câu d) Câu d câu sai ta chưa kết luận đường thẳng cho vng góc với đường thẳng a e) Hai đường thẳng a b chéo nhau, ta chưa kết luận có mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng Thậy vậy, giả sử có mặt phẳng (P) chứa b (P) a b a, điều khơng xảy a b chéo chưa hẵn vng góc với nhau, nên câu e câu sai Cho tứ diện S.ABC có SA (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy b) Chứng minh SC (BHK) HK (SBC) c) Xác định đường vng góc chung BC SA Hướng dẫn Hình 3.13a Hình 3.13b Hướng dẫn a) Ta thấy hai tam giác ABC SBC có chung cạnh BC, gọi I chân đường cao AH ∆ABC, ta chứng minh ba điểm S, K, I thẳng hàng BC AI, BC SA (vì SA (ABC) BC) BC (SAI) BC SI, mà SK BC SK, SI nằm (SBC) S, K, I thẳng hàng hay SK qua I Vậy ba đường thẳng AH, SK BC đồng quy b) - Ta có SC BK (gt), ta chứng minh SC BH BH AC (gt), BH SA BH (SAC) BH SC, BK SC SC (BHK) - Cách 1: Ta chứng minh HK vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (SBC) SC ( BHK ) SC HK HK ( SBC ) BC ( SAI ) BC HK Cách 2: Ta thấy HK giao tuyến (SAI) (BHK), ta chứng minh (SAI) (BHK) vng góc với (SBC) 10 Vì SC (BHK), SC (SBC) (BHK) (SBC) (1) BC (SAI), BC (SBC) (SAI) (SBC) (2) (BHK) (SAI) = HK (3) Từ (1), (2) (3) HK (SBC) c) Ta có AI BC (cmt), AI SA (SA (ABC) AI) AI đường vng góc chung BC SA Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A/, B/, D/ đến đường chéo AC/ Tính khoảng cách Hình 3.14a Hình 3.14b Hướng dẫn Cách 1: Ta nhận xét tam giác vuông có cạnh huyền AC/ chung : ∆ABC/ = ∆ADC/ = ∆C/CA = ∆AA/C/ = ∆C/B/A = ∆C/D/A, nên đường cao kẻ từ đỉnh góc vng tam giác đến cạnh huyền AC/ Do khoảng cách từ điểm B, C, D, A/, B/, D/ Hình 3.14c đến đường chéo AC/ đường cao BI tam giác ABC/ vuông B, BA = a, BC/ = a 1 a BI 2 BI BA BC' Cách 2: Ta có AB = AD = AA/ = a C/B = C/D = C/A/ = a AC/ trục tam giác A/BD, có cạnh a Gọi I giao điểm AC/ (BDA/) 11 I tâm tam giác A/BD Ta có DI, BI A/I vng góc với AC/ BD a a khoảng cách từ A/, B, D đến AC/ DI = BI = A/I = 3 / Tương tự, AC trục tam giác CB/D/ có cạnh a Gọi K giao điểm AC/ (CB/D/) K tâm tam giác CB/D/ Ta a khoảng cách từ có CK = B/K = D/K = C, B/, D/ đến AC/ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có AB = a, BC = b, CC/ = c a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC/A/) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BB/ AC/ Hình 3.14d Hình 3.15a Hình 3.15b Hướng dẫn a) Ta dựng hình chiếu B (ACC/A/) Vì (CC/A/A) (ABCD) cắt theo giao tuyến AC, nên từ B ta dựng BK AC BK (ACC/A/) d(B, (ACC/A/)) = BK ∆ABC vng B có BA = a, BC = b 1 1 ab BK 2 BK BA BC a b a b2 12 b) Ta có AC/ nằm (ACC/A/), BB/ // (ACA/C/) d(BB/, (ACC/A/))= ab d(B,(ACC/A/))= BK = a b2 Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a a) Chứng minh B/D (BA/C/) b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA/C/) (ACD/) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC/ CD/ Hình 3.16a Hình 3.16b Hướng dẫn a) Cách 1: Ta chứng minh B/D vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (BA/C/) BA/ AB/ (hai đường chéo hình vng), BA/ AD (vì AD (ABB/A/)) BA/ (AB/D) BA/ B/D (1) Tương tự BC/ (CDB/) BC/ B/D (2) Từ (1) (2) B/D (BA/C/) Cách 2: Ta có B/B = B/A/ = B/C/ = a DB = DA/ = DC/ = a B/D trục ∆BA/C/ B/D (BA/C/) b) Cách 1: Ta có (BA/C/) // (ACD/), khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ta chọn điểm A (ACD/) tính d(A, (BA/C/)) 13 Vì B/D (BA/C/) (AB/D) (BA/C/), (AB/D) (BA/C/) = JK (J tâm tam giác BA/C/, K tâm hình vng ABB/A/) Từ A dựng AH JK AH (BA/C/) d(A, (BA/C/) = AH Tính AH ? AH AK a ∆AHK ∆C/B/K AH = C' B' C' K Cách 2: Nếu ta sử dụng kết đường chéo DB/ vng góc với mặt phẳng (BA/C/) (ACD/), qua trọng tâm Hình 3.16c ∆BA/C/, ∆ACD/ trọng tâm chia đoạn DB/ thành ba phần ta khoảng cách (BA/C/) (ACD/) DB' a 3 c) Hai đường thẳng BC/ CD/ nằm hai mặt phẳng song song (BA/C/) (ACD/) nên khoảng cách chúng khoảng cách hai mặt a phẳng song song Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A/B/C/) thuộc đường thẳng B/C/ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy b) Chứng minh hai đường thẳng AA/ B/C/ vng góc với nhau, tính khoảng cách chúng Hình 3.17a Hình 3.17b 14 Hướng dẫn a) Ta xác định góc cạnh bên mặt phẳng đáy Vì AH (A/B/C/) H B/C/ HA/ hình chiếu AA/ (A/B/C/), góc cạnh bên mặt phẳng đáy góc AA' H 300 Khoảng cách hai mặt phẳng đáy độ dài đoạn AH a ∆AA/H vuông H: AH = AA/sin300 = a b) ∆AA/H vuông H: A/H = AA/cos300 = A/H đường cao tam giác A/B/C/ A/H B/C/, AH B/C/ B/C/ (AA/H) AA/ B/C/ Vì B/C/ (AA/H) nên từ H ta dựng HK AA/ HK Hình 3.17c đoạn vng góc chung AA/ B/C/ a ∆A/KH: HK = A/Hsin300 = BAA ' Cho hình hộp thoi ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a BAD ' 600 Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A/B/C/D/) DAA Hình 18a Hình 3.18b Hướng dẫn Ta xác định hình chiếu điểm A/ thuộc mặt phẳng (A/B/C/D/) mặt phẳng (ABCD) Vì tam giác AA/B, ABD, AA/D tam giác nên hình tứ diện A/ABD hình tứ diện cạnh a, hình chiếu H A/ (ABCD) a trọng tâm tam giác ABD A/H = AA' AH a Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (A/B/C/D/) (ABCD) 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD) b) Gọi E, F trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đường thẳng AD Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng EF SK không phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a Hình 3.19a Hình 3.19b Hướng dẫn a) Vì cạnh bên hình chóp nên hình chiếu S (ABCD) tâm O hình chữ nhật ABCD d(S, (ABCD)) = SO a ∆ABC vuông B : AC AB BC a OA = 2 a 5 a ∆SOA vuông O : SO SA OA a b) EF // (SAD) (vì EF // AB), SK (SAD) d(EF, SK) = d(O, (SAD)) Gọi J trung điểm AD, AD OJ, AD SO AD (SOJ), AD (SAD) (SOJ) (SAD) (SOJ) (SAD) = SJ, từ O kẻ OH SJ OH (SAD) Vậy d(EF, SK) = OH khơng đổi (vì O (SAD) cố định) 1 a 21 ∆SOJ vuông O : OH 2 OH OS OJ 3a a 3a 2 16