Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSII. Các dạng khác nhau của bất đẳng thức Côsi.[r]
(1)BÀI GIẢNG SỐ MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
I Các dạng khác bất đẳng thức Côsi
1 Dạng tổng quát Cho n số không âm x , x , , x 1 2 n Khi đó, ta có:
* Dạng trung bình cộng trung bình nhân: n n 1 2 n x x x
x x x n
* Dạng tổng sang tích: 1 2 n 1 2
n n
x x x n x x x
* Dạng tích sang tổng: 1 2
n n n
x x x x x x
n
; hoặc:
1
1
n n n
n n
x x x
x x x
n
Dấu “=” xảy rax1x2 xn
2 Dạng hai số Cho x, y 0 Khi đó, ta có:
* xy2 xy
*
2
2 x y xy
;
2
2
x y
xy
3 Dạng ba số Cho x, y, z 0 Khi đó, ta có:
* x y z 33xyz
*
3
3 x y z xyz
;
3 3
3
x y z
xyz
II Một số kỹ thuật
1 Kĩ thuật phân tích số mũ
Ví dụ 1:
1 Cho a, b, c Chứng minh
a a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a
b a3b3c3 a2 bcb2 cac2 ab
Lời giải
a Có a a b 33 a3a3b3 3a2b
Cosi 3
3
2a3 + b3 3a2b
(2) 3(a3 + b3 + c3) 3(a2b + b2c + c2a) a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a (đpcm)
Dấu “=” xảy a3 = b3 = c3 a = b = c
b Có a a a a b c 66 a12b3c3 6a2 bc
Cosi 3 3 3
4a3b3c36a2 bc
Tương tự, ta có: 4b3c3a3 6b2 ca, 4c3a3b36c2 ab
) ab c ca b bc a ( ) c b a (
6 3 3
đpcm
Dấu “=” xảy a3 = b3 = c3 a = b = c
Ví dụ 2:
a Cho a, b, c, d > Chứng minh a b c d a
d d c c b b a
2
2
2
2
b Cho x, y, z > 0, x + y + z Chứng minh: x z z y y x
4
4
4
Lời giải
a Có b.b 3a
b a b b b a
3 Cosi
2
3a 2b
b a
2
Tương tự, ta có: 3b 2c c
b
2
, 3c 2d
d c
2
, 3d 2a
a d
2
a b c d
a d d c c b b a
2
2
2
2
(đpcm)
Dấu “=” xảy a = b = c = d
b Có 5x 4y
y x x y y y y y x y y y y y x
4 5
4 Cosi
5
Tương tự: 5z 4x
x z , z y z y
4
4
x y z
x z z y y x
4
4
4
đpcm
Ví dụ 3:
Cho a, b, c a + b + c = Chứng minh
a a3 + b3 + c3 c a 3 b 3 c 3
b a9 + b9 + c9 a3 + b3 + c3 d a 5 b 5 c 3
Lời giải
a Có a3 1Cosi33 a3.1.1 3a a3 3a
(3) a3 + b3 + c3 3(a + b + c) – = 3 – = đpcm
Dấu “=” xảy a = b = c =
b Có a9 1Cosi33 a9.1.1 3a3 a9 3a3
Tương tự: b9 3b3 – 2, c9 3c3 – a9 + b9 + c9 3(a3 + b3 + c3) – =
= a3 + b3 + c3 + 2(a3 + b3 + c3 – 3)
) a (
a3 + b3 + c3 + 2(3 – 3) = a3 + b3 + c3 (đpcm)
Dấu “=” xảy a = b = c =
c Có
3 a a
2 a
1 a a
a Cosi
3
Tương tự, ta có:
3 c c ,
2 b
b
3
3
6 3
6 c b a c b
a 3
3
(đpcm)
Dấu “=” xảy a = b = c =
d Có
5 a a
4 a
1 1 a a
a Cosi
5
Tương tự:
5 c c ,
4 b
b
5
5 12
12 c b a c b
a 5
5 đpcm
Dấu “=” xảy a = b = c =
2 Kĩ thuật đổi biến số
Ví dụ 4:
(BĐT Nesbitt đời 1905 với 45 cách chứng minh) Cho a, b, c > Chứng minh
2 b a
c a c
b c b
a
(1)
Lời giải
Đặt x = b + c > 0, y = c + a > 0, z = a + b > x + y + z = 2(a + b + c)
2 z y x c ,
y z x b ,
x z y a
z y x c b
a
, (1) trở thành
) ( z y
z x
y x
y z
x z
x y
2
z
z y x
y
y x z
x
x z y
(4)Có 6VP(2) z
y z x y x y z x z x y ) (
VT
Cosi
(2) đpcm
Ví dụ 5:
[YHP – 2000] Cho ABC Chứng minh
3 c b a
c b
a c
b a
c b
a
(1)
Lời giải
Đặt x = b + c – a > 0, y = c + a – b > 0, z = a + b – c >
x + y + z = a + b + c
2 y x c ,
x z b ,
z y
a
, (1) trở thành
6 z y z x y x y z x z x y z
y x y
x z x
z y
(2)
Có 6VP(2)
z y z x y x y z x z x y ) (
VT
Cosi
(2) đpcm
3 Kĩ thuật ghép nghịch đảo
Biến đổi
a) (x y)(1 1) x 0, y
x y
b) (x y z)(1 1) x 0, y 0, z
x y z
c) 1 2 1 2
1
1 1
0 0
n n
n
(x x x )( ) n x , x , , x
x x x
Ví dụ :
(BĐT Nesbitt đời 1905 có 45 cách chứng minh)
Cho a, b, c > Chứng minh
2 b a
c a c
b c b
a
(1)
Lời giải
2 3 ) b a
c ( ) a c
b ( ) c b
a ( )
(
2 b a
c b a a c
c b a c b
c b a
2 ) b a
1 a c
1 c b
1 )( c b a
(
)
b a
1 a c
1 c b
1 )( c b a
(
(5) b a
1 a c
1 c b
1 ) b a ( ) a c ( ) c b
(
Có
VP
b a
1 a c
1 c b
1 ) b a )( a c )( c b (
VT 3
Cosi
đpcm
Dấu “=” xảy a = b = c
Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC Chứng minh
3 c b a
c b
a c
b a
c b
a
(1)
Lời giải
Có
c b a
c b a c
b a c b
a )
1
(
9 ) c b a
c ( ) b a c
b ( ) a c b
a
(
9 ) c b a
1 b
a c
1 a
c b
1 )( c b a
(
c b a
1 b
a c
1 a
c b
1 ) c b a ( ) b a c ( ) a c b
(
VP c b a
1 b a c
1 a c b
1 ) c b a )( b a c )( a c b (
VT 3
Cosi
Vậy toán chứng minh
Dấu “=” xảy a = b = c ABC
4 Kĩ thuật ghép cặp đôi
Dựa việc tách (z x)
2 ) z y ( ) y x ( z y
x
Ví dụ 8:
Cho a, b, c > 0, a2 + b2 + c2 = Chứng minh
a) a b c
c ab b ca a bc
b)
c ab b ca a bc
(6)Lời giải
a) Có
Cosi
) a bc c ab ( ) c ab b ca ( ) b ca a bc (
VT
a b c VP
a bc c ab c ab b ca b ca a bc
đpcm
b) Có 2(a b c )
c b a
b a c
a c b ) c ab b ca a bc
( 2 2
2
2 2
2 2
Cosi
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 ) a
c b
c b a ( ) c
b a
b a c ( ) b
a c
a c b ( 2 c
b a
b a c
a c b
3 ) c b a ( a
c b c
b a
c b a b
a c
b a c a
c b
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Vậy
c ab b ca a bc
(đpcm)
2) Chứng minh x, ta có: x x x x x x
5 ) 20 ( ) 15 ( ) 12
(
Có x xCosi x )x 2.3x
4 15 ( ) 12 ( ) 15 ( ) 12
(
x x
x Cosi
x x
5 ) 20 ( ) 15 ( ) 20 ( ) 15
( , x xCosi x x x
4 ) 12 ( ) 20 ( ) 12 ( ) 20
(
x x x x x x
5 ) 20 ( ) 15 ( ) 12 (
2 đpcm
Dấu “=” xảy ) x
3 20 ( ) 15 ( ) 12
( x x x
5 Kĩ thuật kiểm tra dấu
Ví dụ 9:
Cho a, b, c a + b + c = Chứng minh
a)
9 c b
a3 3
b) a 3 b 3 c 3 9
(7)Lời giải
a) Có
27 a a
a ) ( ) ( a ) ( ) (
a 3 3
Cosi 3
Tương tự:
27 c c , 27
2 b
b3
9
9
3
27
3 c b a c b
a3 3 đpcm
b) Có )
3 a (
9 a ) a (
9 )
3 a ( a a
3 3
3 Cosi
3
3
Tương tự: )
3 c (
9 c ), b (
9 b
3 3
3
3 3
3 ) 9
3 c b a (
9 c b
a đpcm
c) Có
81 a a 3 a ) ( a a a ) ( a a a
3
4 4 4
Cosi 4 4
Tương tự:
81 c c , 81
1 b b
3
4
) a ( 3 3
3 3
3
4
4 )
9 c b a ( ) c b a ( 81
3 ) c b a ( ) c b a (
3
3 3 3
c b a ) 9 ( ) c b a
( đpcm
Ví dụ 10:
Cho ABC vuông C Chứng minh
a)
B B cos A
A
cos6
b)
B B cos A
A
cos5
Lời giải
Do ABC vuông C B
A cos2A + cos2B = cos2A + sin2A =
a) Có
3cos A
2 A A
A cos
1 A A
A
cos
3
2 Cosi
2
2 A A cos A
A cos
2
(8)Tương tự:
2 B B cos B
B cos
2
3(cos A cos B) (A B)
B B cos A
A cos
2
2
6
B B cos A
A cos 1
3 6
2
Vậy toán chứng minh
Dấu “=” xảy
4 B
A
b) Có
Cosi
2
5
2 A 2 A A
A cos A
A cos
A cos
2 A A A
A cos A
A cos
55
2
5
2 A A cos A
A cos
2 2
5
Tương tự:
2 B B cos B
B cos
2 2
5
) (cos A cos B) 2(A B)
B B cos A
A cos (
2 2 2
5
B B cos A
A cos
2 2 2
5 5
đpcm
Dấu “=” xảy
4 B A
6 Phối hợp nhiều kỹ thuật
Ví dụ 11 :
Cho x > 0, y > x + y Tìm 2
3
y y x
4 x
A
Lời giải
Có
Cosi
2
2 y ) y y y
2 ( ) x x ( x y y
2 x
x
A
2 MinA
9
y x y y y y
2 x x 2 x
3
2
(9)
2 y
2 x
4 y x
4 / y y /
x / / x
2
Ví dụ 12:
Cho a, b, c > 0,
2 c b
a Chứng minh rằng:
2 15 c b a c b
a
Lời giải
Có
Cosi
3
Cosi
abc ) c b a ( c b a ) c b a ( ) c b a ( ) c b a (
VT
) c b a (
9 )
c b a ( c b a
9 ) c b a (
3 c b a
3 )
c b a (
VP
2 15
2
27 ) c b a (
9 ) c b a ( ) c b a (
27
đpcm
Dấu “=” xảy
2 c b a
Ví dụ 13:
Cho a, b, c > a + b + c Chứng minh: 82 c
1 c b
1 b a
1
a 2
2 2
2
Lời giải
Có ) 82
c c ( ) b b ( ) a a ( )
( 2
Chọn , 2)
c c ( w ), , b b ( v ), , a a (
u
),3
c b a ( c b a w v u
Do |u||v||w||uvw|
18 ) c b a ( ) c b a ( 18 ) c b a ( ) c b a ( ) ( VT
2
Vì a, b, c > a + b + c a b c c
1 b a
(10)Cosi
3
Cosi
) c b a ( abc
3 ) c b a ( c b a ) c b a ( ) c b a
(
64 ) c b a ( ) c b a ( 1 ) c b a ( c b a
9
VT(1) 64 18 82 VP(1) đpcm
Dấu “=” xảy
3 c b
a
III Bài tập tự giải
1 Cho a > b > Chứng minh rằng:
a
) b a ( b
4
a 2
b [VĐNT – 1979]
) b )( b a (
4
a 2
2 Cho x, y, z > Tìm của: )
xy z ( z ) zx
1 y ( y ) yz
1 x ( x
P
3 Cho x 3, y Tìm max A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y)
4 Cho a 3, b 4, c Tìm max
abc
4 b ca a bc c ab
A
5 Cho a, b, c > thoả mãn
4 c b
a
Chứng minh a3b3 b3c3 c3a 3 Dấu “=” xảy
6 Cho a, b, c > Chứng minh
a)
a c c b b a ) a c ( ) c b ( ) b a
( 3 3 c)
a b b a a
1 b b a
3 3
b)
b c a b c a ) a c ( ) c b ( ) b a
( 3 3 d)
b a a b a
1 b b a
3 3
7 Cho ABC Chứng minh
a) a b c
c b a
c b a c
b a c b
a2 2
b)
2 c b a b a
c a c
b c b
a2 2
(11)c)
3 c b a b a
c a c
b c b
a2 2
8 Cho x, y, z > xyz = Chứng minh:
2 x
z z
y y
x2 2
9 Cho x, y, z > xyz = Tìm
y y x x
) y x ( z
x x z z
) x z ( y
z z y y
) z y ( x P
2
2
10 Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị lớn
1 c
c b
b a
a A
11 Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
abc
c b a ab c
1 ca b
1 bc a
1
2
2
12 Cho x, y, z > z y x
Chứng minh
1 y x z
1 x
z y
1 z
y x
1
13 Cho a, b > 0, a + b = Chứng minh
a
b a
1 ab
1
2
2
b 14
b a
3 ab
2
2
2
14 Chứng minh x > 0, y > ta có ) 256 y
9 )( x y )( x
(
Khi dấu “=” xảy
15 Cho x, y, z > thoả mãn xyz = Chứng minh
3 zx
x z yz
z y
xy y x
1 3 3 3