Bài giảng số 2: Quan hệ song song giữa hai đường thẳng trong không gian

Gọi Q là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng MN song song với PQ. Bài 8: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau. Bài 9: Cho hình chóp[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cách giải:

Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng

Cách 2: Tìm điểm chung hai mặt phẳng Sau áp dụng định lý giao tuyến (hoặc hệ định lý giao tuyến)

Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách giải:

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng sử dụng kiến thức hình học phẳng (chẳng hạn định lý Ta-lét đảo)

Cách 2: Sử dụng định lý giao tuyến hệ định lý giao tuyến

Cách 3: Sự dụng tính chất bắc cầu đường thẳng song song

Dạng Chứng minh hai đường thẳng chéo

Cách giải: Phản chứng, giả sử hai đường thẳng khơng chéo Sau dùng phép suy luận lơ-gíc để dẫn tới mâu thuẫn

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, AB đáy lớn Gọi M N theo thứ tự

trung điểm SB SC

a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD)

c) Tìm giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (AMN) Từ suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN)

Giải:

a) Trong mp ABCD  kẻ ADBC I Khi    

I SAD  SBC

S

A

D

I

C

B M

N K H

(2)

Mà SSAD  SBC Do SI giao tuyến SAD SBC

b) Hai mặt phẳng SAB SCD có AB CD

Mà SSAB  SCD Do giao tuyến hai mặt phẳng SAB SCD đường thẳng  d qua S song song với AB CD

c) Trong mp SBI  kẻ MN cắt SI K Khi KAMN

Trong mp SAI  kẻ AK cắt SD H

Vậy H giao điểm SD mặt phẳng AMN

Từ suy tứ giác AHNM thiết diện tạo hình chóp cắt mặt phẳng AMN

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF chứa hai mp khác Trên đường chéo AC

và BF lấy hai điểm M, N cho AC3AM BF, 3BN. Chứng minh MN song song với DE

Giải:

Trên AB lấy điểm I cho AB3AI

Trong ABC có MIBCAD

MI MI

BC  AD  (định lý Talet)

Gọi O giao điểm AE BF

Trong ABO có: INAO IN AO 

1 IN AE

 

Do MI IN AD  AE

 

DAEMIN Suy DAE MIN

 đồng dạng với

Vậy MO DE

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng chéo  a ,  b Trên  a lấy hai điểm phân biệt A B , ,  b lấy hai điểm phân biệt ,C D

a) Chứng minh AC BD chéo

b) M điểm cạnh AC, N điểm cạnh BD MN song song với AB

hoặc CD không?

c) O điểm đoạn MN Chứng minh AO cắt CN BO cắt DM Giải:

D C

M

A I

N B

E F

(3)

a) Giả sử AC BD không chéo nhau, suy AC BD đồng phẳng Do AB CD đồng phẳng (điều mâu thuẫn với giả thiết) Vậy AC BD chéo

b) MN song song với AB CD bởi:

+) Nếu MNAB MN AB đồng phẳng AM BN đồng phẳng  AC BD đồng phẳng (mâu thuẫn) +) Nếu MN CD MN CD đồng phẳng CM

DN đồng phẳng  AC BD đồng phẳng (mâu thuẫn) c) Chứng minh AO cắt CN Ta có:

OMN OCMN

ACM ACMN AO và CN đồng phẳng

Ngồi ra, AO và CN khơng thể song song với

nếu AO CN O nằm đoạn MN (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy AO cắt CN

Tương tự ta chứng minh BO cắt DM

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD, cạnh

6a Gọi I J trung điểm , AC, BC Gọi K

là điểm cạnh BD với KB2KD

a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng IJK Chứng minh thiết diện hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện theo a

Giải:

a) Ta có:

   

AB ABD v IJ IJK

AB IJ

ABD IJK Kx

  

 

  



 Kx AB IJ 

Giả sử Kx cắt AD H Khi ta đoạn giao tuyến IJ, IH, HK KJ Do thiết diện hình thang IJKH

Mặt khác, ta thấy ngay: ACDBCD IH JK Vậy thiết diện IJKH hình thang cân

b) Trong ABC có:

IJ  AB a

Trong ABD có:

3

HK KD

AB  BD 

1

2

HK AB a

  

Trong BJK có: BJ 3a, BK 4a 

2 2

2 cos

JK BJ BK  BJ BK KBJ

 2  2

3a 4a 2.3 cos 60a a 13a

    JK a 13

Xét hình thang IJKH , hạ đường cao KP, ta có:

(4)

2

2 2 51

2

IJ HK a

KP JK PJ  JK    

 

   

2

1 51 51

2 2

IJKH

a a

S  IJHK KP a a 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm đoạn SA Xác định giao tuyến mặt phẳng

a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SBC) (SAD)

d) Tìm giao điểm N SD (MBC) Từ suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Bài 2: a) Cho tứ diện ABCD, tam giác ABC ABD có trọng tâm M N Chứng minh

MN song song với CD

b) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, BC P điểm cạnh CD Gọi Q giao điểm AD mặt phẳng (MNP) Chứng minh MN song song với PQ

Bài 3: Cho hai đường thẳng a b chéo Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A B; đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C D Chứng minh AC BD chéo

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm

SA, SB

a) Chứng minh MN song song với CD b) Tìm giao điểm P SC (ADN)

c) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI, AB, CD đôi song song Tứ giác SABI hình gì?

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm BC AC Gọi M điểm tùy ý cạnh

AD N giao điểm mặt phẳng (MIJ) BD

a) Chứng minh MN song song với IJ

b) Gọi K giao điểm IN JM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABK) (MIJ) c) * Tìm quỹ tích điểm K

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm đoạn SA Xác định giao tuyến mặt phẳng

(5)

c) (SBC) (SAD)

d) Tìm giao điểm N SD (MBC) Từ suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Bài 7: a) Cho tứ diện ABCD, tam giác ABC ABD có trọng tâm M N Chứng minh

MN song song với CD

b) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, BC P điểm cạnh CD Gọi Q giao điểm AD mặt phẳng (MNP) Chứng minh MN song song với PQ

Bài 8: Cho hai đường thẳng a b chéo Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A B; đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C D Chứng minh AC BD chéo

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm

SA, SB

a) Chứng minh MN song song với CD b) Tìm giao điểm P SC (ADN)

c) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI, AB, CD đôi song song Tứ giác SABI hình gì?

Bài 10: Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm BC AC Gọi M điểm tùy ý cạnh AD N giao điểm mặt phẳng (MIJ) BD

a) Chứng minh MN song song với IJ

b) Gọi K giao điểm IN JM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABK) (MIJ) c) * Tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn AD (M không trung điểm AD)

Bài 11: Cho tứ diện ABCD ba điểm M, N, P nằm ba cạnh AB, CD, BC Hãy xác định giao điểm Q AD (MNP) nếu:

a) AC song song với MP b) AC cắt MP

Bài 12: Cho tứ diện ABCD có M, N, P, Q nằm bốn cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh

M, N, P, Q đồng phẳng MN, PQ, AC đôi song song đồng quy

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M trung điểm SC, N trung điểm OB (O giao điểm BD AC)

a) Tìm giao điểm SD với (MNA)

b) Tính tỉ số SI ID

Bài 14: Cho tứ diện ABCD điểm M, N, E, F cạnh AB, BC, CD DA Chứng minh rằng:

(6)

b) Nếu MA NB EC FD

MB NC ED FA  M, N, E, F đồng phẳng