Bài giảng số 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ vuông góc với đường thẳng thứ hai a b Tức là: cb d c a Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng P c vuông góc với đường thẳng nằm P b a P Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu mặt phẳng P đường thẳng a Khi ấy, a đường thẳng b nằm P vuông góc với a vuông góc với a Tức là: a b P a b b a' B CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc sử dụng việc tính góc hai đường thẳng Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a ) vuông góc với đường thẳng b (với vtcp b ), ta lựa chọn theo hướng: Hướng 1: Chứng minh a, b 900 , nhiều trường hợp sử dụng tích vô hướng Hướng 2: Sử dụng kết liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Chứng minh AD vuông góc với BC A M b) Gọi M N điểm thuộc đường thẳng AB BD cho MA k MB ND k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC B Giải: a) Cách 1: Gọi I trung điểm BC , ta có: BC IA , BC ID , AD.BC ID IA BC ID.BC IA.BC AD BC N D I Cách 2: Vì ABC , DBC cân A D nên: BC AI BC IAD BC AD C BC DI b) Từ giả thiết MA k MB ND k NB , suy MN AD MN , BC AD, BC 900 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Chứng minh AO vuông góc với CD Giải: A Qua O dựng đường thẳng song song với CD , cắt BC , BD theo thứ tự E F , M trung điểm CD suy ra: AO, CD AOF EF CD BE BF Ta có: BC BD MC MD OE OF Xét ABE ABF , ta có: BE BF ABE ABF AE AF AB chung ABE ABF 60 AEF cân A AO EF AOF 900 AO CD N F B D O M E C Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: a) AB.CD AC.DB AD.BC Từ đó, suy tứ diện ABCD có AB CD AC DB AD BC A b) Nếu AB.AC AC AD AD AB AB CD , AC BD , AD BC Điều ngược lại có không? CDA AD BC , c) Nếu AD BD CD ADB BDC AC DB , AB CD Giải: a) Ta có: AB.CD AB AD AC AB.AD AB AC 3 B D C AC.BD AC AD.BC AD AD AB AC.AD AC.AB AB AC AD.AB AD.AC 3 3 Cộng theo vế 3 , 3 3 , ta được: AB.CD AC.DB AD.BC Khi đó, với điều kiện AB CD AC DB thì: AB.CD AC.DB AD.BC AD BC b) Ta có: AB.CD AB AD AC AB AD AB AC AB CD Chứng minh tương tự ta nhận được: AC BD , AD BC Vì phép biến đổi tương đương nên điều ngược lại AD cos c) Ta có: AD.BC AD AB AC AD AB AD AC AD cos CDA ADB AD BC Chứng minh tương tự ta nhận được: AC DB , AB CD Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình bình hành SAB SAD tam giác vuông A a) Chứng minh SA vuông góc với BC CD b) Chứng minh SA vuông góc với AC BD Giải: S BC AD CD AB a) Ta có: BC SA , CD SA AD SA AB SA b) Trên tia SA lấy điểm S cho AS AS , ta có: AB , E AD trung trực SS BS BS DS DS SBD S BD c.c.c A D OS OS OSS cân O OA SS AC SA O Trong CSS kẻ Ox song song với SS cắt SC , S C C theo thứ tự E , F trung điểm đường, ta có B F ngay: EF SA S' Mặt khác, SBC S BC c.c.c BE BF BEF cân B OB EF BD SA C' Ví dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD ABC D có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O Chứng minh D' AB OO tứ giác CDDC hình chữ nhật Giải: a) Giả sử hình vuông có cạnh a , ta có: O' B C O A D AB.OO AB AO AO AB AO AB AO a a cos 450 a .cos 450 2 AB OO a b) Nhận xét rằng: CD AB C D AB C D CD DC , CC AB, OO 900 5 DCC 5 Từ 5 suy tứ giác CDDC hình chữ nhật Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau, ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp học hình học phẳng Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC có ABC vuông B Trong mặt phẳng SAB kẻ AM vuông góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SM SN Chứng minh rằng: SB SC a) BC SAB AM SBC b) MN SAB , từ suy SB AN Giải: a) Ta có: BC SA AM SB BC SAB , AM SBC BC AB AM BC SM SN b) Từ giả thiết: MN BC SB SC MN SAB MN SB SB AMN SB AN S N M A C B Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có SA ABC , tam giác ABC SBC không vuông Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy b) SC BHK c) HK SBC S Giải: a) Gọi E AH BC , ta có: BC AE BC SAE BC SE BC SA SE đường cao SBC K SE Vậy ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy E BH AC b) Ta có: BH SAC BH SC BH SA Mặt khác, ta có: BK SC Do SC BHK K A C H E c) Do SC BHK nên HK SC Mà HK BC Do HK SBC B Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O ABC a) Chứng minh BC OAH , CA OBH , AB OCH b) Chứng minh H trực tâm ABC 1 1 c) Chứng minh 2 OH OA OB OC d) Chứng minh góc ABC nhọn Giải: a) Từ giả thiết OH ABC OH BC A OA OB Ta có: OA OBC OA BC OA OC Do BC OAH H Chứng minh tương tự ta nhận CA OBH , AB OCH b) Từ kết câu a) ta có: BC OAH BC AH AC OBH AC BH Vậy H trực tâm ABC c) Giả sử AH cắt BC K , suy OK BC B 1 Trong OBC vuông O , ta có: OK OB OC 1 1 1 Trong OAK vuông O , ta có: 2 2 OH OA OK OA OB OC d) Giả sử OA a , OB b , OC c O C K Xét ABO , BCO , ACO vuông O , ta có: AB OA2 OB a b , BC OB OC b c , AC OA2 OC a c 2 2 2 AB AC BC a b a c b c cos BAC 0 AB AC a b2 a c2 nhọn BAC Chứng minh tương tự, ta góc ABC ACB nhọn Vậy góc ABC nhọn Ví dụ 9: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh SA a vuông góc với mặt phẳng ABCD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Mặt phẳng qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB , SC , SD B , C , D Chứng minh BD song song với BD AB vuông S góc với SB Giải: a) Ta có ngay, SAB SAD vuông A C' Từ giả thiết: SA ABCD SA BC B' Mặt khác, ta có: AB BC ABCD hình vuông D' E Suy BC SAB BC SB SBC vuông B Chứng minh tương tự ta SDC vuông D b) Nhận xét rằng: SAB SAD c.g c SB SD SB SD B Trong SBD có: BD BD A SB SD Ta có: SC SC AB Mà BC SAB BC AB Do đó, AB SBC AB SB O C D Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi H , I , K hình chiếu vuông góc điểm A SB , SC , SD a) Chứng minh BC SAB , CD SAD S b) Chứng minh SAC mặt phẳng trung trực đoạn BD c) Chứng minh AH , AK vuông góc với SC Từ suy ba thẳng AH , AI , AK chứa mặt phẳng d) Chứng minh SAC mặt phẳng trung trực đoạn HK Từ suy HK AI e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA AB a I H K E B A O D C Giải: a) Từ giả thiết SA BC Mặt khác, ta có: AB BC ABCD hình vuông Suy BC SAB Chứng minh tương tự ta CD SAD b) Từ giả thiết SA ABCD SA BD Mặt khác, ta có: AC BD ABCD hình vuông Do BD SAC trung điểm O BD Vậy SAC mặt phẳng trung trực đoạn BD AH SB c) Từ giả thiết kết hợp với kết câu a), ta được: AH SBC AH SC AH BC Chứng minh tương tự ta AK SC Như vậy, AH , AI , AK vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH , AI , AK chứa mặt phẳng qua A vuông góc với SC d) Giả sử HK cắt AI E Nhận xét rằng: SAB SAD c.g c SH SK SH SK HK BD E trung điểm HK SB SD Kết hợp với kết câu a), suy HK SAC trung điểm E HK Trong SBD , ta có: Vậy SAC mặt phẳng trung trực đoạn HK Từ kết HK SAC suy HK AI e) Ta có: S AHIK AI HK a 1 1 2 AI 2 AI SA AC a 2a a SH SK Trong SBD , ta được: HK đường trung bình HK SB SD 2 a a a2 Vậy S AHIK Trong SAC vuông A , ta được: C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ diện ABCD có I trung điểm AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây: a) AB BC ĐS: AB,BC 1200 b) CI AC ĐS: CI , AC 150 Bài 2: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc OA OB OC a Gọi M trung điểm AB Tính góc hai vectơ OM BC HD: Sử dụng OM OA OB BC OC OB sau sử dụng tính cosin hai vectơ từ tính o toán để suy 120 Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Hãy phân tích vectơ AC ' BD theo ba vectơ AB , AD AA' b) Tính cos( AC ', BD) từ suy AC ' BD vuông góc với Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau đây: a) AB B’C’ ĐS: AB,B' C' 900 b) AC B’C’ ĐS: AC,B' C' 450 c) A’C’ B’C ĐS: A' C',B' C 600 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a BC a Tính góc hai đường thẳng SC AB CSA Chứng minh rằng: Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC ASB BSC a) SA BC b) SB AC Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh AB CD, AC BD, AD BC Điều ngược lại có không? c) SC AB AB AC AC AD AD AB Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, AB vuông góc với AC , AB vuông góc với BD Gọi P, Q điểm thuộc đường thẳng AB, CD cho PA k PB , QC k QD ( k ) Chứng minh AB PQ vuông góc với Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a góc ABC B ' BA B ' BC 600 Tính diện tích tứ giác A’B’CD Bài 10: Tính góc cặp đường thẳng DA BC , DB AC, DC AB tứ diện ABCD, biết DA BC a, DB AC b, DC AB c BAD 600 , CAD 900 Gọi I J Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD BAC trung điểm AB CD Chứng minh rằng: a) AB CD b) IJ AB,IJ CD ... Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau,... chọn cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp học... dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD ABC D có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O Chứng minh D' AB OO tứ giác CDDC hình chữ nhật Giải: a) Giả sử hình vuông