quan hệ vuông gocsgiuwax hai đường thẳng trong không gian

Bài giảng số 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ vuông góc với đường thẳng thứ hai a  b Tức là:  cb d c  a  Định lý: Nếu đường thẳng  d  vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng  P  c vuông góc với đường thẳng nằm  P  b a P  Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu mặt phẳng  P  đường thẳng a Khi ấy, a đường thẳng b nằm  P  vuông góc với a vuông góc với a Tức là: a  b   P   a  b b a'  B CÁC VÍ DỤ MẪU  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc sử dụng việc  tính góc hai đường thẳng Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a ) vuông góc với đường thẳng b (với  vtcp b ), ta lựa chọn theo hướng: Hướng 1: Chứng minh  a, b   900 , nhiều trường hợp sử dụng tích vô hướng Hướng 2: Sử dụng kết liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Chứng minh AD vuông góc với BC A M b) Gọi M N điểm thuộc đường thẳng AB     BD cho MA  k MB ND  k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC B Giải: a) Cách 1: Gọi I trung điểm BC , ta có: BC  IA , BC  ID ,          AD.BC  ID  IA BC  ID.BC  IA.BC   AD  BC   N D I Cách 2: Vì  ABC ,  DBC cân A D nên:  BC  AI  BC   IAD   BC  AD  C  BC  DI     b) Từ giả thiết MA  k MB ND  k NB , suy MN  AD   MN , BC    AD, BC   900 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD Chứng minh AO vuông góc với CD Giải: A Qua O dựng đường thẳng song song với CD , cắt BC , BD theo thứ tự E F , M trung điểm CD suy ra:  AO, CD    AOF  EF  CD  BE  BF  Ta có:  BC  BD   MC  MD OE  OF  Xét  ABE  ABF , ta có:  BE  BF   ABE  ABF  AE  AF  AB chung    ABE  ABF  60  AEF cân A  AO  EF   AOF  900  AO  CD N F B D O M E C Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:       a) AB.CD  AC.DB  AD.BC  Từ đó, suy tứ diện ABCD có AB  CD AC  DB AD  BC A       b) Nếu AB.AC  AC AD  AD AB AB  CD , AC  BD , AD  BC Điều ngược lại có không?   CDA  AD  BC , c) Nếu AD  BD  CD  ADB  BDC AC  DB , AB  CD Giải: a) Ta có:          AB.CD  AB AD  AC  AB.AD  AB AC  3   B D C    AC.BD  AC    AD.BC  AD        AD  AB   AC.AD  AC.AB        AB  AC   AD.AB  AD.AC  3  3 Cộng theo vế  3  ,  3   3  , ta được:       AB.CD  AC.DB  AD.BC  Khi đó, với điều kiện AB  CD AC  DB thì:       AB.CD  AC.DB   AD.BC   AD  BC          b) Ta có: AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC   AB  CD   Chứng minh tương tự ta nhận được: AC  BD , AD  BC Vì phép biến đổi tương đương nên điều ngược lại            AD cos  c) Ta có: AD.BC  AD AB  AC  AD AB  AD AC  AD cos CDA ADB   AD  BC   Chứng minh tương tự ta nhận được: AC  DB , AB  CD Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình bình hành  SAB  SAD tam giác vuông A a) Chứng minh SA vuông góc với BC CD b) Chứng minh SA vuông góc với AC BD Giải: S  BC  AD CD  AB a) Ta có:   BC  SA ,   CD  SA  AD  SA  AB  SA b) Trên tia SA lấy điểm S  cho AS  AS  , ta có: AB , E AD trung trực SS   BS  BS  DS  DS   SBD S BD  c.c.c  A D  OS  OS  OSS  cân O  OA  SS   AC  SA O Trong  CSS   kẻ Ox song song với SS  cắt SC , S C C theo thứ tự E , F trung điểm đường, ta có B F ngay: EF  SA S' Mặt khác,  SBC S BC  c.c.c   BE  BF BEF cân B  OB  EF  BD  SA C' Ví dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD ABC D có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O Chứng minh D' AB  OO tứ giác CDDC  hình chữ nhật Giải: a) Giả sử hình vuông có cạnh a , ta có: O' B C O A D          AB.OO  AB AO  AO  AB AO  AB AO   a a cos 450  a .cos 450  2   AB  OO  a    b) Nhận xét rằng: CD  AB C D  AB  C D  CD    DC , CC     AB, OO   900  5  DCC  5 Từ    5  suy tứ giác CDDC  hình chữ nhật  Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau, ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp học hình học phẳng Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  có  ABC vuông B Trong mặt phẳng  SAB  kẻ AM vuông góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SM SN  Chứng minh rằng: SB SC a) BC   SAB  AM   SBC  b) MN   SAB  , từ suy SB  AN Giải: a) Ta có:  BC  SA  AM  SB  BC   SAB  ,   AM   SBC    BC  AB  AM  BC SM SN b) Từ giả thiết:   MN  BC SB SC  MN   SAB   MN  SB  SB   AMN   SB  AN S N M A C B Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có SA   ABC  , tam giác  ABC  SBC không vuông Gọi H K trực tâm tam giác  ABC  SBC Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy b) SC   BHK  c) HK   SBC  S Giải: a) Gọi E   AH  BC , ta có:  BC  AE  BC   SAE   BC  SE   BC  SA  SE đường cao  SBC  K  SE Vậy ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy E  BH  AC b) Ta có:   BH   SAC   BH  SC  BH  SA Mặt khác, ta có: BK  SC Do SC   BHK  K A C H E c) Do SC   BHK  nên HK  SC Mà HK  BC Do HK   SBC  B Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O  ABC  a) Chứng minh BC   OAH  , CA   OBH  , AB   OCH  b) Chứng minh H trực tâm  ABC 1 1 c) Chứng minh    2 OH OA OB OC d) Chứng minh góc  ABC nhọn Giải: a) Từ giả thiết OH   ABC   OH  BC A OA  OB Ta có:   OA   OBC   OA  BC OA  OC Do BC   OAH  H Chứng minh tương tự ta nhận CA   OBH  , AB   OCH  b) Từ kết câu a) ta có: BC   OAH   BC  AH AC   OBH   AC  BH Vậy H trực tâm  ABC c) Giả sử AH cắt BC K , suy OK  BC B 1 Trong OBC vuông O , ta có:   OK OB OC 1 1 1 Trong OAK vuông O , ta có:      2 2 OH OA OK OA OB OC d) Giả sử OA  a , OB  b , OC  c O C K Xét  ABO ,  BCO ,  ACO vuông O , ta có: AB  OA2  OB  a  b , BC  OB  OC  b  c , AC  OA2  OC  a  c 2 2 2 AB  AC  BC a  b  a  c  b  c  cos BAC   0 AB AC a  b2 a  c2  nhọn  BAC Chứng minh tương tự, ta góc  ABC  ACB nhọn   Vậy góc  ABC nhọn Ví dụ 9: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh SA  a vuông góc với mặt phẳng  ABCD  a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Mặt phẳng   qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB , SC , SD B , C  , D Chứng minh BD song song với BD AB vuông S góc với SB Giải: a) Ta có ngay,  SAB  SAD vuông A C' Từ giả thiết: SA   ABCD   SA  BC B' Mặt khác, ta có: AB  BC ABCD hình vuông D' E Suy BC   SAB   BC  SB  SBC vuông B Chứng minh tương tự ta  SDC vuông D b) Nhận xét rằng:  SAB  SAD  c.g c   SB  SD SB SD B Trong  SBD có:   BD  BD A SB SD Ta có: SC     SC  AB  Mà BC   SAB   BC  AB Do đó, AB   SBC   AB   SB O C D Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi H , I , K hình chiếu vuông góc điểm A SB , SC , SD a) Chứng minh BC   SAB  , CD   SAD  S b) Chứng minh  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD c) Chứng minh AH , AK vuông góc với SC Từ suy ba thẳng AH , AI , AK chứa mặt phẳng d) Chứng minh  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn HK Từ suy HK  AI e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA  AB  a I H K E B A O D C Giải: a) Từ giả thiết  SA  BC Mặt khác, ta có: AB  BC ABCD hình vuông Suy BC   SAB  Chứng minh tương tự ta CD   SAD  b) Từ giả thiết SA   ABCD   SA  BD Mặt khác, ta có: AC  BD ABCD hình vuông Do BD   SAC  trung điểm O BD Vậy  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD  AH  SB c) Từ giả thiết kết hợp với kết câu a), ta được:   AH   SBC   AH  SC  AH  BC Chứng minh tương tự ta AK  SC Như vậy, AH , AI , AK vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH , AI , AK chứa mặt phẳng qua A vuông góc với SC d) Giả sử HK cắt AI E Nhận xét rằng:  SAB  SAD  c.g c   SH  SK SH SK   HK  BD E trung điểm HK SB SD Kết hợp với kết câu a), suy HK   SAC  trung điểm E HK Trong  SBD , ta có: Vậy  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn HK Từ kết HK   SAC  suy HK  AI e) Ta có: S AHIK  AI HK a 1 1  2    AI  2 AI SA AC a 2a a SH SK Trong  SBD , ta được:    HK đường trung bình  HK  SB SD 2 a a a2 Vậy S AHIK   Trong  SAC vuông A , ta được: C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ diện ABCD có I trung điểm AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây:   a) AB BC ĐS: AB,BC  1200 b) CI AC     ĐS:  CI , AC   150 Bài 2: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc OA  OB  OC  a Gọi M trung điểm AB Tính góc hai vectơ OM BC       HD: Sử dụng OM  OA  OB BC  OC  OB sau sử dụng tính cosin hai vectơ từ tính o toán để suy 120   Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Hãy phân tích vectơ AC ' BD theo ba vectơ AB , AD AA' b) Tính cos( AC ', BD) từ suy AC ' BD vuông góc với Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau đây: a) AB B’C’ ĐS:  AB,B' C'   900 b) AC B’C’ ĐS:  AC,B' C'   450 c) A’C’ B’C ĐS:  A' C',B' C   600 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Tính góc hai đường thẳng SC AB   CSA  Chứng minh rằng: Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  ASB  BSC a) SA  BC b) SB  AC Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh AB  CD, AC  BD, AD  BC Điều ngược lại có không? c) SC  AB AB AC  AC AD  AD AB Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, AB vuông góc với AC , AB vuông góc với BD Gọi P, Q điểm thuộc đường thẳng AB, CD cho PA  k PB , QC  k QD ( k  ) Chứng minh AB PQ vuông góc với   Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a góc  ABC  B ' BA  B ' BC  600 Tính diện tích tứ giác A’B’CD Bài 10: Tính góc cặp đường thẳng DA BC , DB AC, DC AB tứ diện ABCD, biết DA  BC  a, DB  AC  b, DC  AB  c   BAD   600 , CAD   900 Gọi I J Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC trung điểm AB CD Chứng minh rằng: a) AB  CD b) IJ  AB,IJ  CD  ... Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau,... chọn cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp học... dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD ABC D có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O Chứng minh D' AB  OO tứ giác CDDC  hình chữ nhật Giải: a) Giả sử hình vuông