Bài toán khoảng cách và góc liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 05: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính khoảng cách Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp: Cho điểm M và đường thẳng (d) có VTCP u  và đi qua điểm 0 M . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi:     0 ; , MM u d M d u         Ví dụ 1:Tính khoảng cách a) Từ điểm   2;3; 1 M  đến đường thẳng 2 1 0 : . 2 3 2 0 x y z d x y z            b) Từ điểm   2;3;1 M đến đường thẳng 2 1 1 : . 1 2 2 x y z d       Bài giải: a. Gọi u  là VTCP của đường thẳng (d)   7; 5;1 u   và   0 4; 3;0 ( ) M d   Ta có:   0 2; 6;1 MM      0 ; 1;5;3 MM u          Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:     1 25 9 35 7 , 75 15 49 25 1 d M d        b. Gọi u  là VTCP của đường thẳng (d)   1;2; 2 u    và   0 2;1; 1 ( ) M d    Ta có:     0 0 4; 2; 2 ; 8; 10; 6 MM MM u                Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:     64 100 36 10 2 , 3 1 4 4 d M d       Ví dụ 2:Tìm điểm M thuộc 1 1 : 4 x t d y t z t          sao cho khoảng cách từ M đến 2 2 : 4 2 1 x t d y t z           bằng 2. Bài giải: Vì     1 1 ; ;4 M d M t t t    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Đường thẳng   2 d có VTCP   1;2;0 u   và qua điểm   0 2;4;1 M Ta có:     0 0 1 ;4 ;1 4 ; 2 8 ; 1 4 ; 6 MM t t t MM u t t t                   Khoảng cách từ M đến   2 d là:           2 2 2 2 2 2 8 1 4 6 81 28 41 , 1 4 5 t t t t t d M d             Mà     2 , 2 d M d  2 2 2 81 28 41 2 81 28 41 2 5 81 28 41 20 5 t t t t t t             2 81 28 21 0 t t     (1) Phương trình (1) vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của M thỏa mãn Ví dụ 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng   1 : . 2 1 2 x y z     Xác định tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến    bằng OM. Bài giải: Đường thẳng    đi qua điểm A(0; 1; 0) và có VTCP   2;1;2 u   Do M thuộc Ox nên M (t; 0; 0)     ; 1;0 ; 2;2 ; 2 AM t AM u t t                   2 ; 5 4 8 , 3 AM u t t d M u              Ta có:     2 2 1 5 4 8 , 2 0 2 3 t t t d M OM t t t t                  Vậy     1 2 1;0;0 , 2;0;0 M M Loại 2. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng   1  và   2  Bài toán 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Phương pháp: Bước 1: Lấy một điểm M thuộc và đường thẳng   1  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 2:Khi đó           1 2 2 , ,d d M     Ví dụ 1:Cho hai đường thẳng   1 2 1 2 : 1 2 1 x y z        và   2 1 1 3 : 2 4 2 x y z         Tính khoảng cách giữa   1  và   2  Bài giải:   1  có VTCP   1 1; 2;1 u    và qua   1 2; 1; 2 M      2  có VTCP   2 2;4; 2 u     và qua   2 1; 1; 3 M        1 2 1 2 2 1;0; 1 ; 4;0; 4 M M M M u               Ta thấy   1  và   2  song song với nhau nên           1 2 1 2 , ,d d M     1 2 2 2 ; M M u u         16 0 16 32 2 3 3 4 16 4 24        Vậy       1 2 2 3 , 3 d    Ví dụ 2:Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng (a) nằm trong (P) và cách d một khoảng là . Bài giải: Đường thẳng (d) qua   2;3; 3 A  và có VTCP là   4;2;1 d u   Vì đường thẳng (a) và (d) cùng nằm trong mặt phẳng (P) và hai đường thẳng đó cách nhau một khoảng là nên (a) // (d)  đường thẳng (a) có VTCP là   4;2;1 u              x 2 4t d: y 3 2t z 3 t        P : x y 2 z 5 0 14 14 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Gọi u  là VTCP của đường thẳng    qua A và vuông góc với (d) thì   ; 3 1; 3;2 d d p p u u u u n u n                       Phương trình đường thẳng   2 3 : 3 9 3 6 x t y t z t              Lấy     2 3 ;3 9 ; 3 6M t t t       Đường thẳng (a) cần tìm là đường thẳng qua M và song song với (d) Theo giả thiết: 2 2 2 2 1 1 14 9 81 36 14 9 3 AM t t t t t           Với     1 3 1 3;0; 1 : 3 4 2 1 x y z t M a         Với     1 1 6 5 1;6; 5 : 3 4 2 1 x y z t M a           Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Bước 1: Đường thẳng   1  đi qua 1 M và có VTCP là 1 u  , đường thẳng   2  qua 2 M và có VTCP là 2 u  Bước 2: Khi đó       1 2 1 2 1 2 1 2 ; . , ; u u M M d u u                 Ví dụ 1: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng a) 1 1 : 1 1 x t d y t z            và 2 2 3 : 2 3 . 3 x t d y t z t            Bài giải:   1 d có VTCP   1 1; 1;0 u   và qua điểm   1 1; 1;1 M  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà   2 d có VTCP   2 3;3;3 u   và qua điểm   2 2; 2;0 M      1 2 1 2 1; 1; 1 , ; 3; 3;0 M M u u               1 2 1 2 ; . 0 u u M M          Vậy       1 2 , 0 d d d  Ví dụ 2:Cho hai đường thẳng: 1 2 1 4 8 8 : 1 : 2 1 1 2 2 x t x y z d y t d z t                   a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đuờng thẳng. Hãy viết phương trình đường vuông góc chung MN Bài giải: a.   1 d có VTCP   1 1; 1;2 u   và qua điểm   1 1;1; 2 M    2 d có VTCP   2 2;1; 1 u   và qua điểm   2 4;8;8 M      1 2 1 2 1 2 1 2 5;7;10 , ; 1;5;3 ; . 5 35 30 70 0 M M u u u u M M                          Vậy hai đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau. b. Chuyển   2 d về dạng tham số: 4 2 ' 8 ' 8 ' x t y t z t             Gọi         1 2 1 ;1 ; 2 2 , 4 2 ';8 ';8 ' M t t t d N t t t d             5 2 ' ;7 ' ;10 ' 2 MN t t t t t t           Vì MN là đoạn vuông góc chung của   1 d và   2 d nên 1 2 ' 6 8 0 ' 2 6 ' 13 0 1 MN u t t t t t t MN u                                   0;2; 4 , 8;4;14 M MN     Phương trình đường thẳng MN là 8 2 4 4 14 x t y t z t             http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài toán 3: Các bài toán khoảng cách tổng hợp Vi dụ 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đường thẳng (  ) : 1 2 1 1 2 x y z      . Tìm tọa độ điểm M trên (  ) sao cho: 2 2 28 MA MB   Bài giải: Chuyển (  ) về dạng tham số:   1 : 2 2 x t y t z t             Lấy     1 ; 2 ;2 M M t t t       Ta có       2 2 2 2 ;6 ;2 2 6 2 2 MA t t t MA t t t           2 6 20 40 t t            2 2 2 2 2 2;4 ;4 2 2 4 4 2 6 28 36 MB t t t MB t t t t t                2 2 2 12 48 76 28 MA MB t t       2 12 48 48 0 2 t t t       Vậy M(-1; 0; 4). Ví dụ 2: Cho ba điểm       3; 2;3 , 1;0;5 , 7;2; 2 A B C    và đường thẳng   1 2 3 : 1 2 2 x y z d       a. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d) để 2 2 MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất b. Tìm tọa độ điểm N trên đường thẳng (d) để NA NB NC      đạt giá trị nhỏ nhất Bài giải: a. Gọi I là trung điểm của AB   2; 1;4 I  Ta có:     2 2 2 2 2 2 MA MB MA MB MI IA MI IB              2 2 2 2 2 . 2 . MI MI IA IA MI MI IB IB           2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 AB AB MI MI IA IB MI         http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Từ đó ta thấy 2 2 MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu của I trên (d) Chuyển (d) về dạng tham số:   1 : 2 2 , 3 2 x t d y t t R z t                 1 ;2 2 ;3 2 M d M t t t        1;3 2 ;2 1 IM t t t       M là hình chiếu của I trên (d) nên       . 0 1 1 2 3 2 2 2 1 0 9 9 0 IM u IM u t t t t                  1 t   Vậy   2;0;5 M b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC   1;0;2 G  Ta có: 3 3 NA NB NC NG NG         . Từ đó ta thấy NA NB NC      đạt giá trị nhỏ nhất khi NG nhỏ nhất, tức là N là hình chiếu của G trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua G và vuông góc với (d).Khi đó (P) có VTPT là   1; 2;2 n u     . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là: 2 2 3 0 x y z     Vì     d P N   nên tọa độ N là nghiệm của hệ 1 2 2 1 4 4 6 4 3 0 9 0 0 3 2 2 2 3 0 x t y t t t t t t z t x y z                              Vậy   1;2;3 N Ví dụ 3: (A_2008) Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng: 1 2 : 2 1 2 x y z d     a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d. b) Viết phương trình mặt phẳng ( )  chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( )  lớn nhất. Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Chuyển (d) về dạng tham số:   1 2 : 2 2 x t d y t z t           a. Đường thẳng (d) có VTCP   2;1;2 u  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d)     1 2 ; ;2 2 2 1; 5;2 1 H t t t AH t t t          Vì       . 0 2 1 2 2 2 1 0 1 AH d AH u t t t t              Vậy   3;1;4 H b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên ( )  Ta có     , d A AK AH    ( tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó khoảng cách từ A đến ( )  lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH hay K H  Vậy mặt phẳng ( )  qua H và nhận véctơ   1; 4;1 AH   là VTPT nên có phương trình là       1 3 4 1 1 4 0 4 3 0 x y z x y z            Dạng 2: Tính Góc Loại 1: Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp:Cho đường thẳng     1 2 , d d lần lượt có VTCP là   1 1 1 1 2 2 2 2 ( ; ; ), ; ; u a b c u a b c   . Khi đó góc tạo bởi hai đường thẳng     1 2 , d d là  với 0 2           được tính theo công thức: 1 2 1 2 . os . u u c u u       1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . a a bb c c a b c a b c        Chú ý: a. Điều kiện cần và đủ để     1 2 d d  là 1 2 1 2 1 2 os 0 0 c a a b b c c       b. Trong nhiều bài toán ta lại áp dụng kết quả sau của hình không gian, bằng cách thực hiện các bước: Bước 1: Tìm góc, ta đi tìm điểm I nào đó thỏa mãn:           1 1 2 2 / / , / / IA d d d AIB IB d          Bước 2: Tính góc: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà - Nếu biết tọa độ của , IA IB   thì sử dụng công thức tính góc của hai đường thẳng - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý coossin trong tam giác thường. Ví dụ 1:Lập phương trình đường thẳng đi qua   4;1; 1 A  căt    và tạo với    một góc bằng 0 45 , biết   0 : 1 , 1 x y t t R z t             Bài giải: Đường thẳng    đi qua điểm   0;1;1 B và có VTCP   0;1;1 u    Giả sử đường thẳng (d) cần tìm có VTCP là   ; ; d u a b c   Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa    . Khi đó VTPT của (P) được xác định bởi:   ; 2;4; 4 p n AB u             . Chọn   1; 2;2 p n    Vì (d) cắt    nên     d P  , do đó: . 0 2 2 0 2 2 d p d p u n u n a b c a b c               (1) Vì góc giữa (d) và    bằng 0 45 nên: 0 2 2 2 2 2 . 1 os45 2 . . 1 1 d d u u b c c u u a b c                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 0 b c b c b c b bc c           2 2 b c c b       Với b = 2c thì a = 2c nên   2 ;2 ; d u c c c   . Chọn   2;2;1 d u   . Khi đó phương trình đường thẳng (d) là:   4 2 : 1 2 1 x t d y t z t             , t R  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Với c = 2b thì a = -2b nên   2 ; ;2 d u b b b    . Chọn   2;1;2 d u    . Khi đó phương trình đường thẳng (d) là:   4 2 : 1 1 2 x t d y t z t             , t R  Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 1; -1) vuông góc với đường thẳng 1 1 2 : 1 3 4 x t d y t z t             và tạo với trục Ox góc 60 0 . Bài giải: Goi (d) là đường thẳng cần tìm và (d) có VTCP   ; ; u a b c     1 d có VTCP là   1 2;1;4 u   , trục Ox có VTCP là   2 1;0;0 u   Vì (d) vuông góc với   1 d nên 1 1 . 0 2 4 0 u u u u a b c            2 4 b a c     Vì (d) tạo với Ox một góc bẳng 0 60 nên 2 0 2 2 2 2 2 . 1 os60 2 . . 1 u u a c u u a b c          2 2 2 3 b c a    2 2 2 2 4 16 16 3 a c ac c a        2 2 16 17 0 8 47 a ac c a c        Chọn 1, 8 47 20 2 47 c a b        phương trình (d) là: 1 ( 8 47) 1 (12 2 47) ( ) 1 x t y t t R z t                   và 1 ( 8 47) 1 (12 2 47) ( ) 1 x t y t t R z t                   Loại 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng [...]... http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) có phương trình: x 1 y z  2   và mặt 2 1 1 phẳng  P  : x  2 y  z  0 Gọi C là giao điểm của ( ) và (P), M là điểm thuộc ( ) Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC  6 ĐS: 1 6 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đương thẳng d... S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a ĐS: VS BCNM  a3 3 , d  AB, SN   2a 39 13 Bài 5 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): x 1 y  3 z  3   và mặt phẳng 1 2 1 ( P) : 2 x  y  2 z  9  0 a Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P) Viết phường tham số của đường thẳng. .. và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a ĐS: VSABC  a3 7 a 42 , d  SA, BC   12 8 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  , trong đó b, c  0 và mặt phẳng  P  : y  z  1  0 Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 3 ĐS: b  c  1 2 Bài 9: Trong không gian. .. 1;1 và D  0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)  P  : 4 x  2 y  7 z  15  0 ĐS:   ( P ) : 2 x  3z  5  0 Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3;0;1 , B 1; 1;3 Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mp (P), hãy viết phương trình đường. .. vuông góc của điểm A trên đương thẳng (d) b Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất ĐS: a H (3; 1; 4) b x – 4y + z – 3 = 0 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường x 1 y z  9 x 1 y  3 z  1   , 2 :   Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao 1 1 6 2 1 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng. .. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết cos   1 6 Bài giải: a Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN Khi đó d  A ' C , MN   d... giải:  Đường thẳng ( ) có VTCP là u   4;5; 1  Mặt phẳng   có VTPT là n   3; 1;1  n.u 12  5  1 6 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng ( ) và   Khi đó: sin       77 16  25  1 9  1  1 n.u Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian Ví dụ 2: Trong không gian với hệ... là trung điểm của SC a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ĐS: a)   300 , d  SA, BM   2 6 3 b) VS ABMN  2 Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 600 Tính thể... 1:Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  x  1  2t  a) d :  y  1  3t và  P  : 2 x  y  2 z  1  0 z  2  t  Bài giải:   d  có VTCP là u   2;3; 1  (P) có VTPT là n   2; 1;2   n.u 4 3 2 1 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng (d) và (P) Khi đó sin       4  9  1 4  1  4 3 14 n.u  2 x  y  3z  1  0 và   : 3 x  y  z  1  0 x  y  z  2  0 b)  :  Bài giải:  Đường. .. phường tham số của đường thẳng    nằm trong mp (P), biết    đi qua A và vuông góc với (d) Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com ĐS: Khóa học: Hình học giải tích trong không gian x  t  b    :  y  1 , t  R z  4  t  a I1 (3;5; 7), I 2 (3; 7;1) Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD .    Ví dụ 2 :Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng (a) nằm trong (P) và cách d một khoảng là . Bài giải: Đường thẳng (d) qua. VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính khoảng cách Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp: Cho điểm M và đường thẳng (d) có VTCP u  và. Loại 2. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng   1  và   2  Bài toán 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Phương pháp: Bước 1: Lấy một điểm M thuộc và đường thẳng   1 